Chapitre 3 : Le magnétisme
publicité
Chapitre 3 : Le magnétisme Tutorat PSA SPR 27 août 2013 Les illustrations de ce cours sont partiellement issues du cours du professeur Phillipe Jacquier. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 1 / 34 1 Induction (création) d'un champ magnétique Loi de Biot et Savart Champ crée par un l inni Champ crée par une bobine Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 2 / 34 Loi de Biot et Savart (1/2) Le magnétisme étudie les charges électriques en mouvement. Celles-ci sont à l'origine de forces microscopiques et macroscopiques qui intéressent les physiciens et les ingénieurs. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 3 / 34 Loi de Biot et Savart (1/2) Le magnétisme étudie les charges électriques en mouvement. Celles-ci sont à l'origine de forces microscopiques et macroscopiques qui intéressent les physiciens et les ingénieurs. On explique plus facilement ces phénomènes en introduisant la notion de champ magnétique. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 3 / 34 Loi de Biot et Savart (1/2) Le magnétisme étudie les charges électriques en mouvement. Celles-ci sont à l'origine de forces microscopiques et macroscopiques qui intéressent les physiciens et les ingénieurs. On explique plus facilement ces phénomènes en introduisant la notion de champ magnétique. Propriété fondamentale : Toute particule chargée en mouvement émet → − autour d'elle en tout point de l'espace un champ magnétique B . Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 3 / 34 Loi de Biot et Savart (1/2) Le magnétisme étudie les charges électriques en mouvement. Celles-ci sont à l'origine de forces microscopiques et macroscopiques qui intéressent les physiciens et les ingénieurs. On explique plus facilement ces phénomènes en introduisant la notion de champ magnétique. Propriété fondamentale : Toute particule chargée en mouvement émet → − autour d'elle en tout point de l'espace un champ magnétique B . C'est un champ vectoriel : A tout point M de l'espace, on associe un → − vecteur B (M). Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 3 / 34 Loi de Biot et Savart (2/2) La loi de Biot et Savart donne l'expression du → − champ B en M pour un petit élément de l conducteur placé au point O : → − − − → µo I dl ∧ → r dB(M) = 4π r 3 Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 4 / 34 Loi de Biot et Savart (2/2) La loi de Biot et Savart donne l'expression du → − champ B en M pour un petit élément de l conducteur placé au point O : → − − − → µo I dl ∧ → r dB(M) = 4π r 3 I : intensité du courant → − dl : petit élément de l. Orienté dans le sens du courant. −−→ → − r = OM µo = 4π.10−7 T .m.A−1 : perméabilité du vide. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 4 / 34 1 Induction (création) d'un champ magnétique Loi de Biot et Savart Champ crée par un l inni Champ crée par une bobine Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 5 / 34 Champ crée par un l inni 1/9 Déterminons le champ crée par un l inni où circule I en un point quelconque de l'espace. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 6 / 34 Champ crée par un l inni 1/9 Déterminons le champ crée par un l inni où circule I en un point quelconque de l'espace. Calcul long : soyez attentifs aux étapes. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 6 / 34 Champ crée par un l inni 1/9 Déterminons le champ crée par un l inni où circule I en un point quelconque de l'espace. Calcul long : soyez attentifs aux étapes. Retenez le raisonnement, pas le calcul. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 6 / 34 Champ crée par un l inni 1/9 Déterminons le champ crée par un l inni où circule I en un point quelconque de l'espace. Calcul long : soyez attentifs aux étapes. Retenez le raisonnement, pas le calcul. Notez le résultat nal : trop long à redémontrer au concours ! Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 6 / 34 Champ crée par un l inni 1/9 Déterminons le champ crée par un l inni où circule I en un point quelconque de l'espace. Calcul long : soyez attentifs aux étapes. Retenez le raisonnement, pas le calcul. Notez le résultat nal : trop long à redémontrer au concours ! − − − On travaille en coordonnées cylindriques (→ er ,→ eθ ,→ ez ). Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 6 / 34 Champ crée par un l inni 2/9 On remarque sur la gure : → − − dl = dl → ez : élément de l. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 7 / 34 Champ crée par un l inni 2/9 On remarque sur la gure : → − − dl = dl → ez : élément de l. → − −−→ − d = OM = d → eρ : plus courte distance entre le l et M. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 7 / 34 Champ crée par un l inni 2/9 On remarque sur la gure : → − − dl = dl → ez : élément de l. → − −−→ − d = OM = d → eρ : plus courte distance entre le l et M. → − − − r = −z → ez + d → eρ : distance entre dl et M. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 7 / 34 Champ crée par un l inni 3/9 Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément de l Loi de Biot et Savart : → − − − → µo I dl ∧ → r dB = 3 4π r Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 8 / 34 Champ crée par un l inni 3/9 Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément de l Loi de Biot et Savart : → − − − → µo I dl ∧ → r dB = 3 4π r → − − On remplace alors → r et dl par leur expression : − − − − → µo I dl → ez ∧ (−z → ez + d → eρ ) dB = 4π r3 Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 8 / 34 Champ crée par un l inni 3/9 Etape 1 : déterminer le champ créé par un petit élément de l Loi de Biot et Savart : → − − − → µo I dl ∧ → r dB = 3 4π r → − − On remplace alors → r et dl par leur expression : − − − − → µo I dl → ez ∧ (−z → ez + d → eρ ) dB = 4π r3 On développe le produit vectoriel : − − − − − → µo I → ez ∧ (−z → ez ) + → ez ∧ d → eρ dB = dl 3 4π r Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 8 / 34 Champ crée par un l inni 4/9 On "sort" les constantes du produit vectoriel : − − − − − → µo I −z(→ ez ∧ → ez ) + d(→ ez ∧ → eρ ) dB = dl 3 4π r Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 9 / 34 Champ crée par un l inni 4/9 On "sort" les constantes du produit vectoriel : − − − − − → µo I −z(→ ez ∧ → ez ) + d(→ ez ∧ → eρ ) dB = dl 3 4π r Rappels : produit vectoriel des vecteurs unitaires → − − − er ∧ → eθ = → ez → − → − → − eθ ∧ ez = er → − − − ez ∧ → er = → eθ → − → − − e ∧→ e = 0 i i Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 9 / 34 Champ crée par un l inni 4/9 On "sort" les constantes du produit vectoriel : − − − − − → µo I −z(→ ez ∧ → ez ) + d(→ ez ∧ → eρ ) dB = dl 3 4π r Rappels : produit vectoriel des vecteurs unitaires → − − − er ∧ → eθ = → ez → − → − → − eθ ∧ ez = er → − − − ez ∧ → er = → eθ → − → − − e ∧→ e = 0 i i On a alors : → − − − → µo I 0 + d → eθ dl dB = 3 4π r Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 9 / 34 Champ crée par un l inni 4/9 On "sort" les constantes du produit vectoriel : − − − − − → µo I −z(→ ez ∧ → ez ) + d(→ ez ∧ → eρ ) dB = dl 3 4π r Rappels : produit vectoriel des vecteurs unitaires → − − − er ∧ → eθ = → ez → − → − → − eθ ∧ ez = er → − − − ez ∧ → er = → eθ → − → − − e ∧→ e = 0 i i On a alors : Finalement : → − − − → µo I 0 + d → eθ dl dB = 3 4π r − → µo I d → dB = dl − e 4π r 3 θ Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 9 / 34 Champ crée par un l inni 5/9 Etape 2 : Tout exprimer en fonction d'une seule variable : α Seuls r et dl dépendent de l'angle α. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 10 / 34 Champ crée par un l inni 5/9 Etape 2 : Tout exprimer en fonction d'une seule variable : α Seuls r et dl dépendent de l'angle α. Exprimons r : r= Tutorat PSA (SPR) d cosα Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 10 / 34 Champ crée par un l inni 6/9 Exprimons dl : dl dz = dα dα Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 11 / 34 Champ crée par un l inni 6/9 Exprimons dl : dl dz = dα dα Or : z = d × tanα Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 11 / 34 Champ crée par un l inni 6/9 Exprimons dl : dl dz = dα dα Or : z = d × tanα La dérivée de tanα est Tutorat PSA (SPR) 1 cos 2 α Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 11 / 34 Champ crée par un l inni 6/9 Exprimons dl : dl dz = dα dα Or : z = d × tanα La dérivée de tanα est 1 cos 2 α dl d = dα cos 2 α Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 11 / 34 Champ crée par un l inni 6/9 Exprimons dl : dl dz = dα dα Or : z = d × tanα La dérivée de tanα est 1 cos 2 α dl d = dα cos 2 α ⇔ dl = Tutorat PSA (SPR) d dα cos 2 α Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 11 / 34 Champ crée par un l inni 7/9 − → On remplace r et dl dans l'expression de dB : − → µo I d → dB = dl − e 4π r 3 θ Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 12 / 34 Champ crée par un l inni 7/9 − → On remplace r et dl dans l'expression de dB : − → µo I d → dB = dl − e 4π r 3 θ − → µo I d d.cos 3 α → − ⇔ dB = dα eθ 4π cos 2 α d3 Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 12 / 34 Champ crée par un l inni 7/9 − → On remplace r et dl dans l'expression de dB : − → µo I d → dB = dl − e 4π r 3 θ − → µo I d d.cos 3 α → − ⇔ dB = dα eθ 4π cos 2 α d3 − → µo I cosα → dB = dα− eθ 4π d Une seule variable dans cette expression : α. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 12 / 34 Champ crée par un l inni 8/9 Etape 3 : Déterminer le champ total On additionne tous les petits champs − → dB pour obtenir le champ total. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 13 / 34 Champ crée par un l inni 8/9 Etape 3 : Déterminer le champ total On additionne tous les petits champs − → dB pour obtenir le champ total. L'addition d'une innité de petits éléments est une intégrale. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 13 / 34 Champ crée par un l inni 8/9 Etape 3 : Déterminer le champ total On additionne tous les petits champs − → dB pour obtenir le champ total. L'addition d'une innité de petits éléments est une intégrale. Pour un l inni, α varie de − π2 à π2 (voir gure). Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 13 / 34 Champ crée par un l inni 8/9 Etape 3 : Déterminer le champ total On additionne tous les petits champs − → dB pour obtenir le champ total. L'addition d'une innité de petits éléments est une intégrale. Pour un l inni, α varie de − π2 à π2 (voir gure). On aurait pu calculer le champ pour un l ni en changeant les angles ! Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 13 / 34 Champ crée par un l inni 8/9 Etape 3 : Déterminer le champ total On additionne tous les petits champs − → dB pour obtenir le champ total. L'addition d'une innité de petits éléments est une intégrale. Pour un l inni, α varie de − π2 à π2 (voir gure). On aurait pu calculer le champ pour un l ni en changeant les angles ! → − B tot (M) = Z − → µo I dB = 4πd Tutorat PSA (SPR) Z + π2 π − cosαdα→ eθ −2 Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 13 / 34 Champ crée par un l inni 9/9 Calculons donc l'intégrale : → − µo I 1 B tot (M) = 4π d Tutorat PSA (SPR) sin π 2 − sin Cours de physique, chapitre 3 −π 2 → − eθ 27 août 2013 14 / 34 Champ crée par un l inni 9/9 Calculons donc l'intégrale : → − µo I 1 B tot (M) = 4π d sin π 2 − sin −π 2 → − eθ On aboutit au résultat suivant (à connaître !) : → − µo I 1 → − e B tot (M) = 2π d θ Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 14 / 34 Champ crée par un l inni 9/9 Calculons donc l'intégrale : → − µo I 1 B tot (M) = 4π d sin π 2 − sin −π 2 → − eθ On aboutit au résultat suivant (à connaître !) : → − µo I 1 → − e B tot (M) = 2π d θ Ouf ! (... un instant, le tuteur reprend son soue !) Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 14 / 34 1 Induction (création) d'un champ magnétique Loi de Biot et Savart Champ crée par un l inni Champ crée par une bobine Champ crée par une spire Les bobines d'Helmholtz Solénoïde inni Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 15 / 34 Champ crée par une spire 1/3 Une spire (boucle circulaire) parcourue par un courant I émet un champ magnétique. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 16 / 34 Champ crée par une spire 1/3 Une spire (boucle circulaire) parcourue par un courant I émet un champ magnétique. En particulier, sur son axe (cf cours pour la démo) : → − 1 µo I → − B (M) = ez 2R (1 + d 2 ) 23 R R : le rayon de la spire d : est la distance entre le centre de la spire et M. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 16 / 34 Champ crée par une spire 2/3 On détermine le sens du courant avec la règle du tire bouchon (concours 2012 +++) : Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 17 / 34 Champ crée par une spire 2/3 On détermine le sens du courant avec la règle du tire bouchon (concours 2012 +++) : Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 18 / 34 Champ crée par une spire 3/3 Quelques situations particulières : Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 19 / 34 Champ crée par une spire 3/3 Quelques situations particulières : Au centre de la spire, d = 0 : → − 1 µo I → − B (O) = ez 2R (1 + 0) 32 → − µo I → − B (O) = ez 2R Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 19 / 34 Champ crée par une spire 3/3 Quelques situations particulières : Au centre de la spire, d = 0 : → − 1 µo I → − B (O) = ez 2R (1 + 0) 32 → − µo I → − B (O) = ez 2R Très loin de la spire, d >> R : → − µo I R 2 → − B (M) = ez 2R d 3 Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 19 / 34 Bobines d'Helmholtz Bobine = solénoïde = assemblage de plusieurs spires parcourues par un courant. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 20 / 34 Bobines d'Helmholtz Bobine = solénoïde = assemblage de plusieurs spires parcourues par un courant. Bobine d'Helmholtz : on place deux bobines sur le même axe. La distance entre les bobines est celle du rayon : d = r . Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 20 / 34 Bobines d'Helmholtz Bobine = solénoïde = assemblage de plusieurs spires parcourues par un courant. Bobine d'Helmholtz : on place deux bobines sur le même axe. La distance entre les bobines est celle du rayon : d = r . Cette conguration est intéressante, car elle permet de crée un champ uniforme (à peu près égale en tout point de l'espace). A la base du champ de l'IRM (imagerie par résonnance magnétique) ! Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 20 / 34 Solénoïde inni Un solénoïde avec un grand nombre N de spires ≈ inni. Le champ à l'intérieur d'un solénoïde inni d'axe (Oz) est uniforme (n=Nb de spires/longueur) : Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 21 / 34 Solénoïde inni Un solénoïde avec un grand nombre N de spires ≈ inni. Le champ à l'intérieur d'un solénoïde inni d'axe (Oz) est uniforme (n=Nb de spires/longueur) : → − − B = µo nI → ez Pour déterminer le sens du champ : règle du tire-bouchon. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 21 / 34 2 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique La force de Lorentz Déviation de la particule chargée Travail de la force de Lorentz Etude du mouvement de la particule chargée Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 22 / 34 Déviation de la particule chargée − Dans un champ, les particules chargées en mouvement (→ v ) sont déviées. ⇒ Une force s'exerce sur les particules : la Force de Lorentz. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 23 / 34 Déviation de la particule chargée − Dans un champ, les particules chargées en mouvement (→ v ) sont déviées. ⇒ Une force s'exerce sur les particules : la Force de Lorentz. → − → − − F = q→ v ∧B Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 23 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Travail élémentaire : → − → − → − → − → − − − − dW = F . dl = (q → v ∧ B ). dl = (q → v ∧ B ).→ v dt Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Travail élémentaire : → − → − → − → − → − − − − dW = F . dl = (q → v ∧ B ). dl = (q → v ∧ B ).→ v dt On fait une "permutation circulaire" du produit vectoriel : → − − − dW = (→ v ∧ q→ v ). B Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Travail élémentaire : → − → − → − → − → − − − − dW = F . dl = (q → v ∧ B ). dl = (q → v ∧ B ).→ v dt On fait une "permutation circulaire" du produit vectoriel : → − − − dW = (→ v ∧ q→ v ). B − → − → dW = 0 . B = 0 Conséquences : La force de Lorentz ne travaille jamais. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Travail élémentaire : → − → − → − → − → − − − − dW = F . dl = (q → v ∧ B ). dl = (q → v ∧ B ).→ v dt On fait une "permutation circulaire" du produit vectoriel : → − − − dW = (→ v ∧ q→ v ). B − → − → dW = 0 . B = 0 Conséquences : La force de Lorentz ne travaille jamais. N'accélère pas une particule immobile. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 Travail de la force de Lorentz Impact de la force sur la vitesse de la particule ? − → → − − − dl ⇔ dl = → v dt . On a → v = dt Travail élémentaire : → − → − → − → − → − − − − dW = F . dl = (q → v ∧ B ). dl = (q → v ∧ B ).→ v dt On fait une "permutation circulaire" du produit vectoriel : → − − − dW = (→ v ∧ q→ v ). B − → − → dW = 0 . B = 0 Conséquences : La force de Lorentz ne travaille jamais. N'accélère pas une particule immobile. Ne modie pas la vitesse de la particule ! (Th Ec) Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 24 / 34 2 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique La force de Lorentz Etude du mouvement de la particule chargée Caractéristiques du mouvement Trajectoire de la particule Application : spectromètre de masse Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 25 / 34 Caractéristiques du mouvement 1/5 → − − Particule dans un champ B = B → ez . Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 26 / 34 Caractéristiques du mouvement 1/5 → − − Particule dans un champ B = B → ez . Deux composantes : une composante vz selon l'axe (Oz) et une composante v⊥ dans le plan (Oxy). vz et v⊥ sont constantes. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 26 / 34 Caractéristiques du mouvement 2/5 v⊥ dépend de x et de y. Il tourne autour de l'axe (Oz). − − v⊥ (t) = vo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 27 / 34 Caractéristiques du mouvement 2/5 v⊥ dépend de x et de y. Il tourne autour de l'axe (Oz). − − v⊥ (t) = vo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) On vérie que la norme est constante : |v⊥ | = Tutorat PSA (SPR) q vo2 cos 2 θ + vo2 sin2 θ Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 27 / 34 Caractéristiques du mouvement 2/5 v⊥ dépend de x et de y. Il tourne autour de l'axe (Oz). − − v⊥ (t) = vo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) On vérie que la norme est constante : |v⊥ | = q vo2 cos 2 θ + vo2 sin2 θ |v⊥ | = vo Tutorat PSA (SPR) p cos 2 θ + sin2 θ = vo Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 27 / 34 Caractéristiques du mouvement 3/5 On cherche à quelle vitesse ω il tourne. On rappelle que la dérivée une fonction u(v ) qui dépend implicitement d'une autre fonction v du temps est : du(v ) du(v ) dv = dx dv dx Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 28 / 34 Caractéristiques du mouvement 3/5 On cherche à quelle vitesse ω il tourne. On rappelle que la dérivée une fonction u(v ) qui dépend implicitement d'une autre fonction v du temps est : du(v ) du(v ) dv = dx dv dx On dérive maintenant v⊥ par rapport au temps : − − d(vo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) dθ dv⊥ (θ) = dt dθ dt Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 28 / 34 Caractéristiques du mouvement 3/5 On cherche à quelle vitesse ω il tourne. On rappelle que la dérivée une fonction u(v ) qui dépend implicitement d'une autre fonction v du temps est : du(v ) du(v ) dv = dx dv dx On dérive maintenant v⊥ par rapport au temps : − − d(vo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) dθ dv⊥ (θ) = dt dθ dt On pose : θ̇ = dθ dt dv⊥ (θ) − − = vo (−sinθ(t)→ ex + cosθ(t)→ ey )θ̇ dt Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 28 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m Tutorat PSA (SPR) − → − d→ v = F dt Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m m Tutorat PSA (SPR) − → − d→ v = F dt d− v→ ⊥ → − = q− v→ ⊥ ∧ B ez dt Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m m m Tutorat PSA (SPR) − → − d→ v = F dt d− v→ ⊥ → − = q− v→ ⊥ ∧ B ez dt d− v→ ⊥ − − − = qBvo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) ∧ → ez dt Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m m − → − d→ v = F dt d− v→ ⊥ → − = q− v→ ⊥ ∧ B ez dt d− v→ ⊥ − − − = qBvo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) ∧ → ez dt d− v→ ⊥ − − − − m = qBvo (cosθ(t)→ ex ∧ → ez + sinθ(t)→ ey ∧ → ez ) dt m Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m m − → − d→ v = F dt d− v→ ⊥ → − = q− v→ ⊥ ∧ B ez dt d− v→ ⊥ − − − = qBvo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) ∧ → ez dt d− v→ ⊥ − − − − m = qBvo (cosθ(t)→ ex ∧ → ez + sinθ(t)→ ey ∧ → ez ) dt d− v→ ⊥ − − m = qBvo (−cosθ(t)→ ey + sinθ(t)→ ex ) dt m Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 4/5 D'autre part, on utilise la seconde loi de Newton : m m − → − d→ v = F dt d− v→ ⊥ → − = q− v→ ⊥ ∧ B ez dt d− v→ ⊥ − − − = qBvo (cosθ(t)→ ex + sinθ(t)→ ey ) ∧ → ez dt d− v→ ⊥ − − − − m = qBvo (cosθ(t)→ ex ∧ → ez + sinθ(t)→ ey ∧ → ez ) dt d− v→ ⊥ − − m = qBvo (−cosθ(t)→ ey + sinθ(t)→ ex ) dt d− qBvo v→ ⊥ − − = (sinθ(t)→ ex − cosθ(t)→ ey ) dt m m Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 29 / 34 Caractéristiques du mouvement 5/5 On écrit alors l'égalité entre les deux expressions établies : qBvo − − − − (sinθ(t)→ ex − cosθ(t)→ ey ) vo (−sinθ(t)→ ex + cosθ(t)→ ey )θ̇ = m Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 30 / 34 Caractéristiques du mouvement 5/5 On écrit alors l'égalité entre les deux expressions établies : qBvo − − − − (sinθ(t)→ ex − cosθ(t)→ ey ) vo (−sinθ(t)→ ex + cosθ(t)→ ey )θ̇ = m vo θ̇ = − Tutorat PSA (SPR) qBvo m Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 30 / 34 Caractéristiques du mouvement 5/5 On écrit alors l'égalité entre les deux expressions établies : qBvo − − − − (sinθ(t)→ ex − cosθ(t)→ ey ) vo (−sinθ(t)→ ex + cosθ(t)→ ey )θ̇ = m vo θ̇ = − θ̇ = − qBvo m qB m La vitesse angulaire du vecteur v⊥ est donc constante ! Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 30 / 34 Trajectoire de la particule Considérons que la particule se déplace dans le plan (Oxy), perpendiculaire au champ magnétique. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 31 / 34 Trajectoire de la particule Considérons que la particule se déplace dans le plan (Oxy), perpendiculaire au champ magnétique. La force est radiale, la vitesse uniforme => la particule a un mouvement circulaire plan de rayon R. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 31 / 34 Or, la norme de l'accélération centripète s'écrit : a = Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 v2 R 27 août 2013 32 / 34 Or, la norme de l'accélération centripète s'écrit : a = v2 R On utilise la seconde loi de Newton : m.a = m Tutorat PSA (SPR) v2 = qvB R Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 32 / 34 Or, la norme de l'accélération centripète s'écrit : a = v2 R On utilise la seconde loi de Newton : m.a = m v2 = qvB R Le rayon de la trajectoire est donc : R= Tutorat PSA (SPR) mv qB Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 32 / 34 Application : spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d'analyse utilisée en laboratoire : Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 33 / 34 Application : spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d'analyse utilisée en laboratoire : On génère des ions et on les accélère grâce à un champ électrique. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 33 / 34 Application : spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d'analyse utilisée en laboratoire : On génère des ions et on les accélère grâce à un champ électrique. On les fait pénétrer dans une enceinte où le champ magnétique est uniforme. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 33 / 34 Application : spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d'analyse utilisée en laboratoire : On génère des ions et on les accélère grâce à un champ électrique. On les fait pénétrer dans une enceinte où le champ magnétique est uniforme. Ce champ leur fait décrire un demi-cercle dont le rayon varie en fonction de leur masse : R = mv qB . Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 33 / 34 Application : spectromètre de masse Le spectromètre de masse est une méthode d'analyse utilisée en laboratoire : On génère des ions et on les accélère grâce à un champ électrique. On les fait pénétrer dans une enceinte où le champ magnétique est uniforme. Ce champ leur fait décrire un demi-cercle dont le rayon varie en fonction de leur masse : R = mv qB . En sortie, ils sont détectés et identiés grâce à cette trajectoire propre à leur masse/nature. Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 33 / 34 C'est ni ! Merci de votre attention, cours de magnétisme 2 lundi prochain ! :D Et préparez bien vos 4 exercices pour jeudi ! Pour toute question : forum CEMP6 section physique +++ Tutorat PSA (SPR) Cours de physique, chapitre 3 27 août 2013 34 / 34
