Chapitre 2 MOUVEMENT DE TRANSLATION

Chapitre 2
MOUVEMENT DE TRANSLATION
MOUVEMENTS RECTILIGNES
Sommaire
– 1. Mouvement rectiligne uniforme
– 2. Mouvement rectiligne uniformément accéléré
– 3. Mouvement rectiligne uniformément décéléré
1. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORME
Un piéton se promène dans un parc. L'allée qu'il suit est en ligne droite. Sa trajectoire
est donc rectiligne.
.
Examinons maintenant son mouvement.
Nous remarquons que ce piéton met constamment 60 s pour parcourir chaque espace de
100 m. Si nous divisons son trajet en espaces de 50 m, nous constatons qu'il met
systématiquement 30 s pour parcourir chaque espace de 50 m. Partageons maintenant
son parcours en espace de 25 m et constatons qu'il met 15 s pour parcourir chaque
espace de 25 m.
Nous en déduisons que le piéton parcourt des espaces égaux en des temps égaux :
– 60 s pour chaque espace de 100 m;
– 30 s pour chaque espace de 50 m;
– 15 s pour chaque espace de 25 m.
Son mouvement est régulier. On dit qu'il est uniforme. Étant donné que sa trajectoire
est rectiligne, nous pouvons dire que son mouvement est rectiligne uniforme.
1.1 Définition
Le mouvement d'un mobile est rectiligne uniforme s'il parcourt, sur une droite et
toujours dans le même sens, des espaces égaux en des temps égaux, quels que soient ces
temps.
Théorie chapitre 2 – page 1
1.2 Lois du mouvement
L'exemple nous fait remarquer que, pour parcourir 100 m, le temps est de 60 s et, pour
parcourir 25 m, le temps est de 15 s.
Cela veut dire que si l'espace parcouru est 4 fois plus petit, le temps mis pour le
parcourir est également 4 fois plus petit.
Si nous faisons la comparaison dans le sens inverse, nous constatons que pour parcourir
25 m, le temps est de 15 s et, pour parcourir 50 m, le temps est de 30 s. Par conséquent,
si l'espace parcouru est 2 fois plus grand, le temps mis pour le parcourir est également 2
fois plus grand.
Loi des espaces : dans tout mouvement rectiligne uniforme, l'espace parcouru est
proportionnel au temps mis à le parcourir.
Il nous reste à découvrir ce facteur de proportionnalité.
Que peut-on dire du piéton qui parcourt des espaces égaux en des temps égaux ? C'est
qu'il marche toujours à la même vitesse. En effet, il ne marche jamais plus vite ni moins
vite. Sa vitesse est constante.
Loi des vitesses : dans tout mouvement rectiligne uniforme, le quotient de l'espace
parcouru par le temps mis à le parcourir est constant : c'est la vitesse.
Nous pouvons éventuellement, à la lumière de ces lois, définir le mouvement rectiligne
uniforme comme étant le mouvement d'un mobile dont la trajectoire est rectiligne et la
vitesse constante.
1.3 Formules
Désignons chaque élément :
Vitesse
Espace
Temps
v
e
t
m/s
m
s
En vertu des lois du mouvement et en particulier la loi des vitesses, nous pouvons
établir :
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
e=v*t
t=e/v
Théorie chapitre 2 – page 2
1.4 Représentation graphique
Il est important de savoir ce que nous permet un graphique. Un graphique permet d'avoir
directement une vue d'ensemble de l'évolution d'un phénomène.
Prenons par exemple les graphiques de température et de rythme cardiaque utilisés par
les médecins dans les hôpitaux.
Il est donc intéressant d'utiliser la méthode graphique pour représenter le déplacement
d'un mobile animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Prenons un exemple pratique pour nous permettre d'élaborer les graphiques du
mouvement :
Un cyclomoteur roule à la vitesse constante de 12 m/s pendant 20 s. Quel espace a-t-il
parcouru pendant ce temps ?
Donnée(s)
v= 120 m/s
t= 20 s
Inconnue(s)
e=?m
Formule(s)
v=e/t
e=v*t
Solution
e = 12 * 20 = 240 m
1.5 Diagramme des espaces
Le diagramme des espaces va représenter l'évolution de l'espace parcouru en fonction
du temps.
Le graphique va présenter deux axes perpendiculaires, dont :
– l'axe horizontal (Ot) sera l'axe des temps (en s);
– l'axe vertical (Oe) sera l'axe des espaces (en m);
– l'intersection (O) sera l'origine des axes.
Voyons l'évolution de l'espace parcouru seconde après seconde :
à l'instant
l'espace parcouru est de :
t= 0s
e = v * t = 12 * 0 = 0 m
t= 1s
e = v * t = 12 * 1 = 12 m
t= 2s
e = v * t = 12 * 2 = 24 m
t= 3s
e = v * t = 12 * 3 = 36 m
t= 4s
e = v * t = 12 * 4 = 48 m
t= 5s
e = v * t = 12 * 5 = 60 m
Théorie chapitre 2 – page 3
t= 6s
e = v * t = 12 * 6 = 72 m
t= 7s
e = v * t = 12 * 7 = 84 m
t= 8s
e = v * t = 12 * 8 = 96 m
t= 9s
e = v * t = 12 * 9 = 108 m
t = 10 s
e = v * t = 12 * 10 = 120 m
t = 11 s
e = v * t = 12 * 11 = 132 m
t = 12 s
e = v * t = 12 * 12 = 144 m
t = 13 s
e = v * t = 12 * 13 = 156 m
t = 14 s
e = v * t = 12 * 14 = 168 m
t = 15 s
e = v * t = 12 * 15 = 180 m
t = 16 s
e = v * t = 12 * 16 = 192 m
t = 17 s
e = v * t = 12 * 17 = 204 m
t = 18 s
e = v * t = 12 * 18 = 216 m
t = 19 s
e = v * t = 12 * 19 = 228 m
t = 20 s
e = v * t = 12 * 20 = 240 m
Théorie chapitre 2 – page 4
Reportons maintenant sur le graphique suivant tous les éléments obtenus par le calcul.
e (m)
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t (s)
Que constatons-nous en joignant les différents points obtenus par calcul ?
Le diagramme du mouvement rectiligne uniforme est une droite oblique par rapport aux
deux axes et dont l'origine est l'origine des axes.
Ce diagramme va nous permettre, par lecture directe, de trouver rapidement la solution
de problèmes simples : déterminer l'espace parcouru après un certain temps ou encore
rechercher le temps mis pour parcourir un certain espace.
Théorie chapitre 2 – page 5
Par exemple :
– pour parcourir 90 m, le temps est de 7,5 s
– après 12 s, l'espace parcouru est de 144 m
En pratique, il n'est pas nécessaire d'effectuer tous ces calculs pour établir ce
graphique. Nous avons établi que le diagramme des espaces du mouvement rectiligne
uniforme est une droite. En conséquence, deux points suffisent pour son tracé.
1.6 Diagramme des vitesses
Le diagramme des vitesses va représenter la constante « vitesse » à n'importe quel
moment.
Le graphique va présenter deux axes perpendiculaires, dont :
– l'axe horizontal (Ot) sera l'axe des temps (s);
– l'axe vertical (Ov) sera l'axe des vitesses (m/s);
– l'intersection O sera l'origine des axes.
v (m/s)
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
t (s)
Nous constatons que le diagramme des vitesses du mouvement rectiligne uniforme est
une droite parallèle à l'axe des temps.
Théorie chapitre 2 – page 6
1.7 Applications
1. Une voiture parcourt 1 km en 46 s. Calculez sa vitesse si son mouvement est
uniforme.
2. Un cyclomoteur roule à la vitesse constante de 54 km/h. Calculez le temps mis
pour parcourir 5,7 km.
3. Un piéton part à 10h20 et parcourt 6 km à la vitesse constante de 1,5 m/s. A
quelle heure termine-t-il son parcours ?
4. Un cycliste roule à la vitesse constante de 26,1 km/h. Il part de Bruxelles à 10
heures et se rend à Malines. Il doit parcourir 24360 m. A quelle heure arrive-t-il
à destination ? Tracez le diagramme des espaces.
5. Un train semi-direct part de Bruxelles à 8h50 en direction de Namur. Il s'arrête
pendant 3 minutes en gare de Wavre. La vitesse constante du train entre chaque
gare est de 81 km/h. La distance de Bruxelles – Wavre est de 27 km et celle de
Namur – Wavre est de 39,15 km. Établissez l'horaire du train.
6. Une voiture, roulant à la vitesse de 81 km/h, quitte Bruxelles à 14 heures et se
dirige vers Mons. La distance est de 75 km. A quelle vitesse doit rouler le camion,
parti de Mons en même temps (14 heures), afin qu'il rencontre la voiture à 43 km
de Bruxelles ?
7. Un camion est parti de Lyon à 9h30 et se dirige vers Paris. Il roule à la vitesse de
88,2 km/h. La distance est de 463 km. Une voiture est partie de Paris à 8h25 et
se dirige vers Lyon. Les deux véhicules se rencontrent à 154,35 km de Lyon.
Calculez, et représentez graphiquement, l'heure de la rencontre et la vitesse de
la voiture.
8. La planète Mars se trouve à la distance de ± 250 millions de km de la Terre. Le 20
août 1975, une sonde Viking 1 est partie de la Terre et s'est posée sur la planète
Mars le 20 juillet 1976. Calcule la vitesse moyenne de la sonde si l'on considère
que le trajet a été effectué à vitesse constante.
9. Le principe du radar est le suivant : on envoie une onde radio vers un obstacle
quelconque et on mesure le temps nécessaire à cette onde pour revenir à
l’émetteur. L’onde radar voyage à la vitesse de la lumière (300.000 km/s).
Connaissant le temps de voyage et la vitesse de l’onde, on peut déterminer la
distance parcourue. Le professeur Tournesol détecte un astéroïde qui se dirige
vers la Terre. Un faisceau d’onde radar met 4 minutes pour faire l’aller-retour
jusqu’à l’astéroïde. A quelle distance se trouve cet astéroïde ?
10. En 1987, Alain Prost battait le record de vitesse sur le circuit de SpaFrancorchamps à la vitesse de 213,260 km/h. En combien de temps a-t-il fait un
tour de ce circuit de 6,940 km ?
Théorie chapitre 2 – page 7
2. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT ACCÉLÉRÉ
Lorsqu'un automobiliste effectue un parcours
maintenir une vitesse constante sur la totalité
descentes, les dépassements, la signalisation...
de la vitesse de son véhicule. Son mouvement
mouvement varié.
en voiture, il est évident qu'il ne peut
du trajet. Les virages, les montées, les
sont autant de causes de modifications
n'est donc pas uniforme. Il s'agit d'un
Ces variations de vitesse peuvent être régulières, c'est-à-dire constantes et peuvent
consister en une augmentation ou en une diminution de vitesse.
Cette partie de notre cours va nous permettre d'étudier les augmentations constantes
de vitesse. Les diminutions constantes seront abordées dans la partie suivante.
Au cours de nos jeux, nous avons tous vu une balle rouler dans une rue en pente. Nous
avons pu constater qu'elle roulait de plus en plus vite car, pour la ramasser, nous avons
dû courir de plus en plus vite et parfois, l'avons-nous laisser s'échapper !
Si nous avions examiné avec plus d'attention le mouvement de la balle, il nous aurait été
possible de constater que sa vitesse augmentait régulièrement.
Cet exemple, parmi tant d'autres, nous permet de constater que l'augmentation de
vitesse, appelée accélération, du mobile est constante.
2.1 Définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré lorsqu'il se
déplace suivant une droite et qu'il est soumis à une accélération constante.
Dans tout mouvement uniformément accéléré, l'accélération est une augmentation
constante de vitesse par unité de temps.
L'accélération est désignée par la lettre « a » (minuscule) et s'exprime en m/s2. En
effet, il s'agit d'une augmentation de m/s (vitesse) /s (unité de temps).
2.2 Formule
Vitesse
v
accélération a
Temps
t
m/s
m/s2
s
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
a=v/t
t=v/a
Théorie chapitre 2 – page 8
2.3 Mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale
Examinons une voiture qui démarre. Nous ne pouvons, en aucun cas, imaginer que ce
véhicule va atteindre instantanément la vitesse qu'il maintiendra éventuellement
constante par la suite. Ce mobile est soumis à une accélération que nous considérons
constante.
Prenons l'exemple d'une voiture soumise au démarrage à une accélération constante de
1,5 m/s2. A l'instant initial (t = 0) c'est-à-dire à l'instant précis où commence son
mouvement, la vitesse de la voiture est nulle.
Loi des vitesses
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = a * t = 1,5 * 0 = 0 m/s
t= 1s
v = a * t = 1,5 * 1 = 1,5 m/s
t= 2s
v = a * t = 1,5 * 2 = 3 m/s
t= 3s
v = a * t = 1,5 * 3 = 4,5 m/s
t= 4s
v = a * t = 1,5 * 4 = 6 m/s
t= 5s
v = a * t = 1,5 * 5 = 7,5 m/s
t= 6s
v = a * t = 1,5 * 6 = 9 m/s
t= 7s
v = a * t = 1,5 * 7 = 10,5 m/s
t= 8s
v = a * t = 1,5 * 8 = 12 m/s
Représentons graphiquement la vitesse en portant sur l'axe Ot et Ov les valeurs
obtenues dans l'exemple pris en considération et traçons ainsi le diagramme des
vitesses d'un mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale.
Théorie chapitre 2 – page 9
v (m/s)
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (s)
Que constatons-nous en joignant les différents points obtenus par calcul ?
Le diagramme du mouvement rectiligne uniformément accéléré sans vitesse initiale est
une droite oblique par rapport aux deux axes et dont l'origine est l'origine des axes.
Loi des espaces
Nous savons calculer l'espace parcouru par un mobile au moyen de la formule e = v * t, à
condition que la vitesse soit constante.
Pour adapter cette formule au mouvement uniformément accéléré, considérons deux
mobiles dont l'un est animé d'un mouvement uniforme et l'autre d'un mouvement
uniformément accéléré.
Théorie chapitre 2 – page 10
Le mobile animé d'un mouvement uniformément accéléré parcourt le même espace
pendant le même temps. Il a donc la même vitesse « moyenne » que le mobile animé d'un
mouvement uniforme.
La vitesse moyenne du mobile 2 (MRUA) est la moyenne arithmétique des vitesses
extrêmes car l'augmentation est constante.
L'espace parcouru est égal au produit de la vitesse moyenne par le temps mis à le
parcourir.
e =v moyenne ×t
Espace
Temps
e
t
m
s
Accélération
a
m/s2
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
a=
t=
Théorie chapitre 2 – page 11
L'espace parcouru par un mobile animé d'un mouvement uniformément accéléré est
proportionnel – puisque « a » est une constante – au carré du temps mis à le parcourir.
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
vitesses.
à l'instant
l'espace parcouru est de :
t= 0s
e = (a * t2)/2 = (1,5 * 02)/2= 0 m
t= 1s
e = (a * t2)/2 = (1,5 * 12)/2= 0,75 m
t= 2s
e = (a * t2)/2 = (1,5 * 22)/2= 3 m
t= 3s
e = (a * t2)/2 = (1,5 * 32)/2= 6,75 m
t= 4s
e = (a * t2)/2 = (1,5 *42)/2= 12 m
t= 5s
e = (a * t2)/2 = (1,5 * 52)/2= 18,75 m
Représentons graphiquement l'espace parcouru par ce mobile seconde après seconde, en
reportant sur le diagramme les valeurs obtenues.
e (m)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
Nous constatons que le diagramme des espaces d'un MRUA sans vitesse initiale est une :
courbe appelée parabole (plus précisément arc de parabole).
Théorie chapitre 2 – page 12
Exemples d'application
Un train est animé, au démarrage, d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
Pendant 55 s, il est soumis à une accélération de 0,4 m/s 2 . Calculez la vitesse atteinte
et l'espace parcouru. Représentez ensuite l'espace parcouru par ce train durant son
MRUA (échelle pour e : 1 cm pour 50 m, échelle pour t : 1 cm pour 10 s).
Donnée(s)
a = 0,4 m/s2
t = 55 s
Inconnue(s)
Formule(s)
Solution
v = ? m/s
v=a*t
v = 0,4 * 55 = 22 m/s
e=?m
e =( a * t2 )/2
e = (0,4 * 552 )/2 = 605 m
Théorie chapitre 2 – page 13
2.4 Mouvement rectiligne uniformément accéléré avec vitesse initiale
Lorsqu'en roulant en vélo, nous abordons une descente, nous constatons que nous roulons
de plus en plus vite. Notre vitesse augmente.
Nous pouvons faire les mêmes constatations que dans le cas d'un mouvement
uniformément accéléré sans vitesse initiale. La seule différence, c'est qu'au moment où
le mobile est soumis à une accélération (constante), il est déjà animé d'une certaine
vitesse.
Pour analyser ce type de mouvement, reprenons l'exemple de la voiture soumise à une
accélération constante de 1,5 m/s2 mais dont la vitesse, à l'instant initial, est de 7 m/s.
Formule
Vitesse finale
Vitesse initiale
Accélération
Temps
v
vo
a
t
m/s
m/s
m/s2
s
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
vo =
a=
t=
Loi des Vitesses
En respectant la définition de l'accélération, établissons la relation existant entre la
vitesse, l'accélération et le temps.
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 0 = 0 m/s
t= 1s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 1 = 8,5 m/s
t= 2s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 2 = 10 m/s
t= 3s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 3 = 11,5 m/s
t= 4s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 4 = 13 m/s
t= 5s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 5 = 14,5 m/s
t= 6s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 6 = 16 m/s
t= 7s
v = vo + a * t = 7 = 1,5 * 7 = 17,5 m/s
t= 8s
v = vo + a * t = 7 + 1,5 * 8 = 19 m/s
Théorie chapitre 2 – page 14
Représentons graphiquement la vitesse en reportant les valeurs obtenues par calcul pour
l'exemple considéré.
v (m/s)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
t (s)
Que constatons-nous en joignant les différents points obtenus par calcul ?
Nous constatons que le diagramme des vitesses du MRUA avec vitesse initiale est une
droite oblique par rapport aux deux axes et dont l'origine est un point de l'axe Ov
correspondant à la valeur de la vitesse initiale.
Loi des espaces
Reprenons le principe de deux mobiles parcourant un même espace en un temps égal. L'un
est animé d'un mouvement uniforme et l'autre est animé d'un mouvement uniformément
accéléré.
Théorie chapitre 2 – page 15
Le mobile animé d'un mouvement uniformément accéléré parcourt le même espace
pendant le même temps. Il a donc la même vitesse « moyenne » que le mobile animé d'un
mouvement uniforme.
La vitesse moyenne du mobile 2 (MRUA) est la moyenne arithmétique des vitesses
extrêmes car l'augmentation est constante.
v moyenne =
vo v
2
L'espace parcouru est égal au produit de la vitesse moyenne par le temps mis à le
parcourir.
e =v moyenne ×t
Espace
Vitesse initiale
Temps
e
vo
t
Accélération
a
m
m/s
s
m/s2
Théorie chapitre 2 – page 16
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
a=
. t = ? (équation du 2ème degré)
vo =
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
espaces.
à l'instant
L'espace parcouru est de :
t= 0s
e = vo * t + (a * t2)/2 = 7 * 0 + (1,5 * 02)/2 = 0 m
t= 1s
e = vo * t + (a * t)/2 = 7 * 1 + (1,5 * 12)/2 = 7,75 m
t= 2s
e = vo * t + (a * t)/2 = 7 * 2 + (1,5 * 22)/2 = 17 m
t= 3s
e = vo * t + (a * t)/2 = 7 * 3 + (1,5 * 32)/2 = 27,75 m
t= 4s
e = vo * t + (a * t)/2 = 7 * 4 + (1,5 * 42)/2 = 40 m
t= 5s
e = vo * t + (a * t)/2 = 7 * 5 + (1,5 * 52)/2 = 53,75 m
Représentons graphiquement l'espace parcouru par ce mobile seconde après seconde, en
reportant sur le diagramme les valeurs obtenues.
e (m)
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
Nous constatons que le diagramme des espaces d'un MRUA avec vitesse initiale est une :
courbe appelée parabole (plus précisément arc de parabole).
Théorie chapitre 2 – page 17
Exemple d'application
Une voiture roule à la vitesse de 14,5 m/s lorsqu'elle est soumise à une accélération
constante de 1,5 m/s2 pendant 12 s. Calculez la vitesse et l'espace parcouru pendant ce
temps. Représentez ensuite l'espace parcouru par cette voiture durant son MRUA
auquel elle est soumise (échelle pour e : 1 cm pour 25 m, échelle pour t : 1 cm pour 1 s).
Donnée(s)
vo = 14,5 m/s
a = 1,15 m/s2
t = 12 s
Inconnue(s)
Formule(s)
Solution
v = ? m/s
v = vo + a * t
v = 14,5 + 1,15 * 12 = 28,3 m/s
e=?m
e =vo * t + ( a * t2 )/2 e = 14,5 * 12 + (1,15 * 122 )/2 =
256,8 m
Théorie chapitre 2 – page 18
2.5 Applications
1.
Partant du repos, un train est soumis à une accélération de 0,425 m/s2 pendant
42 s. Calculez sa vitesse et l'espace qu'il a parcouru.
2.
Une bille roule sur un plan incliné en un mouvement uniformément accéléré. Depuis
son départ, elle a parcouru 3,6 m en 4 s. Calculez l'accélération et la vitesse
atteinte après ces 4 s.
3.
Animé depuis son départ d'un mouvement uniformément accéléré, un mobile a
parcouru 132 m en 8 s. Calculez l'accélération et la vitesse atteinte.
4.
Un train, partant du repos, est soumis à une accélération de 0,25 m/s2 et parcourt
ainsi 800 m. Calculez le temps et la vitesse atteinte.
5.
Abandonnée sur un plan incliné, une bille est animée d'un mouvement
uniformément accéléré. Elle parcourt 0,6 m pendant la première seconde. Calculez
l'accélération. Quel est le temps nécessaire pour parcourir 6 m ?
6.
Au démarrage, une voiture atteint une vitesse de 90 km/h en 13 s. Calculez
l'accélération.
7.
Au démarrage, une voiture est soumise à une accélération de 1,5 m/s 2. Calculez
l'espace parcouru après 3 s. En combien de temps aura-t-il parcouru 75 m ?
8.
Au départ d'une gare, un train est soumis à un mouvement uniformément accéléré
pendant 40 s pour atteindre une vitesse de 63 km/h. Calculez l'accélération et
l'espace parcouru.
9.
Depuis son départ, une voiture est soumise à un mouvement uniformément
accéléré. Elle parcourt 126 m et atteint ainsi une vitesse de 21 m/s. Calculez le
temps et l'accélération.
10.
Un obus sort de la bouche d'un canon avec une vitesse de 120 m/s. La longueur du
tube est de 4 m et on admet que le projectile parcourt cet espace d'un
mouvement uniformément accéléré. Calculez l'accélération et le temps.
Théorie chapitre 2 – page 19
11.
Un camion roule à 45,9 km/h lorsqu'il est soumis à une accélération de 1,1 m/s2
pendant 15 s. Calculez la vitesse atteinte et l'espace parcourut.
12.
Un cycliste roule à la vitesse de 6,25 m/s lorsqu'il aborde une descente de 7650m
de longueur. La pente provoque un mouvement uniformément accéléré. Il met 14
minutes pour effectuer la descente. Calculez l'accélération et la vitesse atteinte
au bas de la descente.
13.
On lance une balle au sommet d'une rue en pente de 250 m de longueur. Calculez
l'accélération si la vitesse initiale est de 2 m/s et le temps de descente de 12 s.
Calculez la vitesse au bas de la rue.
14.
Un cycliste roule à la vitesse de 6m/s. Il est alors soumis à une accélération et
parcourt ainsi 365 m en 28,2 s. Calculez l'accélération et la vitesse atteinte.
15.
Une voiture roule à 81 km/h lorsqu'elle est soumise, pendant 8 s, à une
accélération qui élève sa vitesse à 108 km/h. Calculez l'accélération et l'espace
parcouru.
16.
Une voiture roule à la vitesse de 54 km/h lorsqu'elle est soumise à une
accélération. La vitesse augmente alors uniformément pendant 8 s pour atteindre
90 km/h. Calculez l'accélération et l'espace parcouru.
17.
Combien de temps un véhicule doit-il rouler pour passer d'une vitesse de 10,8
km/h à une vitesse de 54 km/h s'il est soumis à une accélération de 0,75 m/s 2.
Calculez l'espace parcouru.
18.
Calculez l'accélération d'un mobile qui possède une vitesse initiale de 14,4 km/h
et qui, d'un mouvement uniformément accéléré, parcourt 1200 m en 80 s. Calculez
l'accélération et la vitesse atteinte.
19.
Une voiture roule à la vitesse constante de 72 km/h lorsqu'elle est soumise à un
mouvement uniformément accéléré et atteint ainsi une vitesse de 108 km/h en 8 s.
Calculez l'accélération et l'espace parcouru.
20. Un cyclomoteur roule à la vitesse de 11 m/s lorsqu'il est soumis à une accélération.
Il parcourt ainsi 75 m et atteint une vitesse de 17 m/s. Calculez l'accélération et
le temps.
Théorie chapitre 2 – page 20
3. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT DÉCÉLÉRÉ
Lorsque le conducteur d'une voiture freine, le véhicule ralentit. Ce ralentissement a pour
effet de faire rouler moins vite la voiture ou de l'arrêter.
Si la voiture s'est arrêtée ou a roulé moins vite, cela veut dire que sa vitesse a diminué.
Le mouvement considéré pendant cette période est dit décéléré ou retardé.
Cette diminution de vitesse peut être constante. Dans ce cas, la vitesse de la voiture
diminue d'une valeur identique pendant chaque seconde (unité de temps) qui s'écoule.
Cette diminution (constante) de vitesse est appelée « décélération » ou « accélération
négative ». C'est ce type de mouvement que nous allons étudier.
Dans tout mouvement uniformément décéléré, la décélération est une diminution
constante de vitesse par unité de temps.
La décélération est désignée par la lettre « a » (minuscule) et s'exprime en m/s2 (mètre
par seconde au carré). C'est en effet une diminution de m/s (vitesse) par s (unité de
temps).
3.1 Définition
Un mobile est animé d'un mouvement rectiligne uniformément décéléré lorsqu'il se
déplace suivant une droite et qu'il est soumis à une décélération constante.
3.2 Formules
Vitesse finale
Vitesse initiale
Accélération
Temps
v
vo
a
t
m/s
m/s
m/s2
s
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
vo =
a=
t=
Loi des vitesses
Pour examiner ce mouvement, prenons l'exemple d'une voiture dont la vitesse est de 18
m/s au moment où elle est soumise à une décélération constante de 1,5 m/s2.
En respectant la définition de la décélération, établissons la relation existant entre la
vitesse, l'accélération et le temps .
Théorie chapitre 2 – page 21
à l'instant
La vitesse est de :
t= 0s
v = vo - a * t = 18 - 1,5 * 0 = 18 m/s
t= 1s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 1 = 16,5 m/s
t= 2s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 2 = 15 m/s
t= 3s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 3 = 13,5 m/s
t= 4s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 4 = 12 m/s
t= 5s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 5 = 10,5 m/s
t= 6s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 6 = 9 m/s
t= 7s
v = vo - a * t = 18 = 1,5 * 7 = 7,5 m/s
t= 8s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 8 = 6 m/s
t= 9s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 9 = 4,5 m/s
t = 10 s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 10 = 3 m/s
t = 11 s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 11 = 1,5 m/s
t = 12 s
v = vo - a * t = 18 + 1,5 * 12 = 0 m/s
Nous comprenons aisément qu'il n'est pas possible de décélérer indéfiniment. En effet,
il vient un moment où le mobile s'immobilise. Dans ce cas, l'arrêt est obtenu. A l'instant
précis où l'on obtient l'arrêt, nous savons que la vitesse est nulle. La formule suivante
détermine le temps maximum nécessaire pour obtenir l'arrêt :
Représentons graphiquement la vitesse en reportant toutes les valeurs obtenues par
calcul pour l'exemple considéré.
v (m/s)
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
t (s)
Théorie chapitre 2 – page 22
Que constatons-nous en joignant les différents points obtenus par calcul ?
Nous constatons que le diagramme des vitesses du mouvement rectiligne uniformément
décéléré est une droite oblique par rapport aux deux axes, dont l'origine est un point de
l'axe des vitesses correspondant à la vitesse initiale et dont l'extrémité est un point de
l'axe des temps correspondant au temps nécessaire pour obtenir l'arrêt.
Loi des espaces
Le principe, qui consiste a faire parcourir un même espace « e » par deux mobiles dont
l'un est animé d'un mouvement uniforme et dont l'autre est animé d'un mouvement
uniformément décéléré, reste d'application.
Le mobile animé d'un mouvement rectiligne uniformément décéléré parcourt le même
espace pendant le temps. Il a donc la même vitesse « moyenne » que le mobile animé d'un
mouvement rectiligne uniforme.
La vitesse moyenne du mobile 2 (animé d'un MRUD) est la moyenne arithmétique des
vitesses extrêmes car la variation est constante.
v moyenne =
vo v
2
Théorie chapitre 2 – page 23
L'espace parcouru est égal au produit de la vitesse moyenne par le temps mis à le
parcourir.
e=v moyenne ×t
Cette formule peut prendre les formes suivantes :
vo =
a=
.t = ? (équation du 2ème degré)
Calculons l'espace parcouru après chaque seconde afin d'établir le diagramme des
espaces.
à l'instant La vitesse est de :
t= 0s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*0 - (1,5 * 02)/2 = 0 m
t= 1s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*1 - (1,5 * 12)/2 = 17,25 m
t= 2s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*2 - (1,5 * 22)/2 = 33 m
t= 3s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*3 - (1,5 * 32)/2 = 47,25 m
t= 4s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*4 - (1,5 * 42)/2 = 60 m
t= 5s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*5 - (1,5 * 52)/2 = 71,25 m
t= 6s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*6 - (1,5 * 62)/2 = 81m
t= 7s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*7 - (1,5 * 72)/2 = 89,25 m
t= 8s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*8 - (1,5 * 82)/2 = 96 m
t= 9s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*9 - (1,5 * 92)/2 = 101,25 m
t = 10 s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*10 - (1,5 * 102)/2 = 105 m
t = 11 s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*11 - (1,5 * 112)/2 = 107,25 m
t = 12 s
e = vo*t - (a * t2) / 2 = 18*12 - (1,5 * 122)/2 = 108 m
Théorie chapitre 2 – page 24
Représentons graphiquement l'espace parcouru par ce mobile en reportant les valeurs
obtenues par les calculs.
e (m)
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
t (s)
Que constatons-nous ?
Nous constatons que le diagramme des espaces d'un mouvement rectiligne uniformément
décéléré est une courbe appelée parabole (arc de parabole) dont l'extrémité correspond
à un point dont les coordonnées sont le temps et l'espace nécessaire pour obtenir
l'arrêt.
Théorie chapitre 2 – page 25
Il est entendu qu'au moment précis où le mobile s'arrête, la vitesse est nulle. L'espace
parcouru par le mobile au cours du mouvement décéléré est donc clairement défini (il
n'est plus question pour ce mobile de parcourir aucun espace).
Remplaçons « t » dans la formule de l'espace par la relation du temps maximum de
freinage (page 22) pour obtenir la formule de l'espace maximum parcouru.
Exemple d'application
Un cyclomoteur roule à la vitesse (initiale) de 45,36 km/h lorsqu'il est soumis à une
décélération constante de 1,4 m/s2.
Calculez :
– sa vitesse après 5 s de freinage,
– l'espace parcouru pendant les 5 s de décélération,
– le temps maximum de freinage,
– l'espace nécessaire pour obtenir l'arrêt.
Donnée(s)
Inconnue(s)
Formule(s)
vo = 45,36 km/h v = ? m/s
= 12,6 m/s
e=?m
2
a = 1,4 m/s
t=5s
tmaxi = ? s
v = vo - a * t
v = 0 m/s (arrêt) emaxi = ? m
emaxi = vo2/2*a
Solution
v = 12,56 - 1,4 * 5 = 5,6 m/s
e =vo * t - ( a * t2 )/2 e = 12,6 * 5 + (1,4 * 52 )/2
e = 45,5 m
tmaxi = vo / a
tmaxi = 12,6/1,4 = 9s
emaxi = 12,62/2*1,4 = 56,7 m
Théorie chapitre 2 – page 26
Représentez ensuite l'espace parcouru par ce cyclomoteur durant son MRUD auquel il
est soumis (échelle pour e : 1 cm pour 5 m, échelle pour t : 1 cm pour 1 s).
Théorie chapitre 2 – page 27
3.3 Applications
1. Un train roule à 84,6 km/h lorsque le mécanicien est amené à freiner, provoquant
une décélération de 0,675 m/s2 qui diminue sa vitesse à 36 km/h. Calculez le
temps de freinage et l'espace parcouru.
2. Une voiture roule à 93,6 km/h lorsque la signalisation indique un ralentissement à
45 km/h pour cause de travaux. A quelle distance du début des travaux doit se
trouver le panneau si l'on considère qu'un freinage normal provoque une
décélération de 2,25 m/s2?
3. A l'approche d'une gare, un train roule à la vitesse de 63 km/h lorsqu'il est
soumis à une décélération de 0,5 m/s2. Calculez le temps et l'espace nécessaires
pour obtenir l'arrêt.
4. Une voiture roule à la vitesse de 49,5 km/h lorsqu'elle est soumise à une
décélération de 1,375 m/s2. Calculez le temps et l'espace nécessaires pour obtenir
l'arrêt.
5. Une bille est lancée au bas d'un plan incliné de 56 m de longueur avec une vitesse
initiale de 27 m/s. Cette bille pourra-t-elle effectuer l'entièreté de la montée si
celle-ci provoque une décélération de 6 m/s2 ?
6. Calculez la vitesse initiale d'un mobile pour qu'il puisse parcourir 800 m avant de
s'arrêter s'il est soumis à une décélération de 0,8 m/s2.
7. On lance une balle sur une rue en pente, dans le sens de la montée. La vitesse
initiale est de 12,75 m/s. La décélération provoquée par la pente est de 1,6 m/s 2.
Quelle distance la balle va-t-elle parcourir ? Avec quelle vitesse faudrait-il la
lancer pour que l'espace parcouru soit double ?
8. Un train, roulant à la vitesse de 108 km/h, est soumis à une décélération de 0,75
m/s2. Calculez le temps et l'espace nécessaires pour obtenir l'arrêt.
9. Un camion roule à la vitesse de 70,2 km/h. Quelle décélération provoque l'arrêt
après 97,5 m ? En combien de temps l'arrêt est-il obtenu ?
10. On estime que le freinage d'une voiture sur terrain sec est tel que, roulant à 99
km/h, il permet l'arrêt après 58 m. Quelle décélération peut provoquer un tel
freinage ? Calculez le temps permettant l'arrêt.
Théorie chapitre 2 – page 28