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Année 2009
THESE
Pour l’obtention du grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS
Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées
(Diplôme National – Arrêté du 25 avril 2002)
ECOLE DOCTORALE SCIENCES POUR L’INGENIEUR
Spécialité : Génie Mécanique, Productique, Transport
Présentée par :
Jérôme GEHANNIN
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Analyse théorique des amortisseurs à film fluide fonctionnant à des
nombres de Reynolds élevés
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Directeur de Thèse : Mihaï ARGHIR
Co-Directeur de Thèse : Olivier BONNEAU
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Soutenue le 09 Décembre 2009
Devant la commission d’examen
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
JURY
M. ARGHIR
Professeur, Université de Poitiers
Examinateur
O. BONNEAU
Professeur, Université de Poitiers
Examinateur
J. P. BONNET
Professeur, Université de Poitiers
Examinateur
C. MAGRET
Ingénieur, Snecma, Groupe Safran
Examinateur
D. NELIAS
Professeur, INSA de Lyon
Rapporteur
F. THOUVEREZ
Professeur, Ecole Centrale de Lyon
Rapporteur
Résumé
Analyse théorique des amortisseurs à film fluide fonctionnant à des nombres de
Reynolds élevés.
L’amortisseur à film fluide (Squeeze Film Damper ou SFD) est un composant couramment
utilisé dans l’industrie aéronautique permettant d’apporter de l’amortissement aux arbres en
rotation supportés par des roulements et fonctionnant en régime surcritique. Le mouvement de
l’arbre dû à son excitation extérieure est alors amorti par un film mince confiné entre le
roulement et le carter. Une modélisation du comportement fluide du film mince est nécessaire
à une bonne estimation des efforts générés par le mouvement de l’arbre. Pour des conditions
de fonctionnement industrielles, le SFD est muni de systèmes d’alimentation et d’étanchéité
devant être pris en compte dans la modélisation. De plus, les dépressions importantes
engendrées dans le film entrainent la vaporisation du fluide, qui doit aussi être modélisée.
Cependant, pour des configurations de fonctionnement réelles, l’écoulement est inertiel, ce
qui ne permet plus une modélisation simple basée sur l’équation de Reynolds. Le modèle doit
alors être basé sur un système d’équations similaire aux équations Navier Stokes de la
Mécanique des Fluides.
Theoretical analysis of squeeze film damper operating at high Reynolds numbers.
The Squeeze Film Damper (SFD) is a component used in the aeronautical industry for
damping aircraft engines rotors guided by roller bearings and working at supercritical
regimes. The vibration of the rotor entrained by an external excitation is then damped by a
thin film confined between the roller bearing and the engine casing. A modelling of the thin
fluid film is then necessary for a good estimation of the forces engendered by the vibrations of
the rotor. For industrial working conditions, the SFD is provided with feeding and sealing
systems that must be taken into account in the theoretical model. Moreover, low pressures
engendered in the film entrain the vaporisation of the fluid that must be also taken into
account. Meanwhile, for real working conditions the flow is dominated by inertia effects and
a simple model based on Reynolds equation is not appropriate any more. The model must be
then based on a system of equations similar to Navier Stokes equations.
3
4
Avant Propos
Cette étude a été effectuée au Laboratoire de Mécanique des Solides de l’Université de
Poitiers (UMR 6610) dont je remercie son directeur, Monsieur le Professeur O. Bonneau,
pour m’avoir accepté pour ces travaux de doctorat.
Je tiens bien évidemment à remercier particulièrement mon directeur de thèse Monsieur le
Professeur Arghir M. pour sa confiance et ses conseils qui m’ont permis de réaliser ce travail
de thèse.
Je remercie sincèrement Monsieur Thouverez F., Professeur de l’Ecole Centrale de Lyon et
Monsieur Nelias D., Professeur à l’INSA de Lyon pour avoir accepté d’être les rapporteurs de
mes travaux auprès de l’université de Poitiers.
Je suis aussi très reconnaissant envers Monsieur Bonnet P., Directeur de recherche au
Laboratoire d’Etude Aérodynamique, pour sa disponibilité lui permettant d’apporter son
expertise dans le domaine de la Mécanique des Fluides.
Ce projet de recherche s’appuie sur un partenariat industriel établi lors du précédent contrat de
thèse et qui a été reconduit dans le but d’élargir la validité du modèle numérique. Un suivi
régulier de l’avancement des travaux, rythmé par des réunions semestrielles, a été mis en
place. Je tiens ainsi à remercier nos partenaires industriels représentés principalement par les
ingénieures Magret C., Quenardel A. et Gastineau O. pour leur accueil toujours très cordial et
avec qui les échanges durant nos réunions semestrielles ont souvent été très constructifs.
Avant de terminer, je souhaiterais remercier amicalement l’ensemble des membres du
laboratoire : les chercheurs, les secrétaires, les techniciens, mais plus particulièrement les
doctorants de la salle informatique (Fabien, Touf, Mihai Bogdan Dobrica, Hung, Dédé, Seb)
avec qui l’entraide a été souvent très utile. Je remercie très sincèrement les informaticiens,
Franck et Mathieu, dont les conseils m’ont été très souvent bénéfiques.
Pour terminer d’une manière plus personnelle, je voudrais remercier très chaleureusement ma
famille et plus particulièrement mon épouse qui m’a soutenu tout au long de mon travail.
5
Table des matières
Résumé ....................................................................................................................................... 3
Avant Propos .............................................................................................................................. 5
Notations .................................................................................................................................... 9
Chapitre I.
1.
2.
3.
3.1.
3.2.
4.
5.
5.1.
5.2.
5.3.
6.
Modélisation en Lubrification.................................................................................. 15
Problématique générale du Squeeze Film Damper (SFD) ....................................... 17
Le phénomène de cavitation en Lubrification.......................................................... 19
La rupture du film ............................................................................................ 19
Les régimes de cavitation dans les SFD........................................................... 22
Les effets d’inertie dans les SFD.............................................................................. 26
Alimentation et étanchéité........................................................................................ 34
Systèmes d’étanchéité ...................................................................................... 34
Rainure d’alimentation circonférentielle.......................................................... 36
Orifices d’alimentation..................................................................................... 38
Résumé, conclusion et objectifs ............................................................................... 39
Chapitre II.
1.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
5.
Cavitation.................................................................................................... 43
Introduction .............................................................................................................. 43
Théorie générale de la cavitation ............................................................................. 47
Problématique de la théorie des bulles ............................................................. 47
Condition aux limites cinématiques à l’interface............................................. 49
Condition aux limites dynamiques à l’interface............................................... 54
Équation de Rayleigh-Plesset (RP) .................................................................. 56
Collapse des bulles, endommagement des surfaces dû à la cavitation............. 57
Conclusion........................................................................................................ 59
Modèle de cavitation dans les mélanges homogènes basé sur l’équation de RP ..... 59
Fraction volumique, densité et pression de la bulle ......................................... 60
Modèles de viscosité ........................................................................................ 65
Modèle de Diaz ................................................................................................ 67
Modèle de Someya ........................................................................................... 69
Conclusion et synthèse du modèle de cavitation de vapeur ............................. 69
Applications numériques.......................................................................................... 70
Équation de RP sans termes d’inertie, bulle transportée .................................. 70
Résultats numériques et comparaison avec des résultats expérimentaux ........ 73
Équation de RP complète, bulle non transportée ............................................. 79
Influence des différents termes sur le champ de pression ................................ 80
Conclusion................................................................................................................ 81
Chapitre III.
1.
2.
Introduction et bibliographie ........................................................................ 15
Equations du ‘Bulk Flow’ .......................................................................... 83
Introduction .............................................................................................................. 83
Bases théoriques ....................................................................................................... 85
2.1.
Démonstration des équations du ‘Bulk Flow’.................................................. 86
7
2.2.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
4.
5.
6.
Lois de frottement, contraintes tangentielles.................................................... 90
Résolution numérique .............................................................................................. 94
Discrétisation des équations du ‘Bulk Flow’ ................................................... 94
Résolution du système couplé pression - vitesse ............................................. 98
Conditions aux limites.................................................................................... 103
Organigramme de l’algorithme global de résolution ..................................... 106
Validation par comparaison avec des résultats CFD.............................................. 106
Inertie et cavitation................................................................................................. 110
Conclusion.............................................................................................................. 114
Chapitre IV.
1.
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
3.
3.1.
3.2.
3.3.
4.
Configuration industrielle ....................................................................... 117
Introduction ............................................................................................................ 117
Procédure de modélisation ..................................................................................... 120
Écoulement à travers une surface de discontinuité ........................................ 120
Écoulement à travers un orifice...................................................................... 125
Ecoulement à travers une encoche ................................................................. 128
Effets thermiques............................................................................................ 129
Résultats numériques.............................................................................................. 134
Écoulement traversant une discontinuité causée par une rainure................... 134
Système d’alimentation, injection directe ou rainure d’alimentation ............ 137
Système d’étanchéité, segment à encoches ................................................... 146
Conclusion.............................................................................................................. 148
Chapitre V.
Forces, débit de fuite et température...................................................... 151
1.
Introduction et remarques préliminaires ................................................................ 151
Présentation des configurations...................................................................... 151
Segments utilisés dans les essais.................................................................... 154
Modèle de cavitation simplifié, modèle Gümbel ........................................... 155
Problèmes de stabilité numérique, influence de la viscosité de dilatation ..... 156
2.
Comparaison des résultats numériques avec les données expérimentales ............. 160
2.1.
Rainure d’alimentation circonférentielle centrée ........................................... 160
2.2.
Rainure d’alimentation circonférentielle excentrée ....................................... 166
3.
Influence de la pression d’alimentation ................................................................. 172
4.
Conclusion et bilan des résultats ............................................................................ 177
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Chapitre VI.
Conclusion générale et perspectives ....................................................... 179
ANNEXE A.
ANNEXE B.
ANNEXE C.
ANNEXE D.
ANNEXE E.
PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE ................................... 183
DISCONTINUITES A LA RAINURE ...................................................... 191
ORIFICES D’ALIMENTATION .............................................................. 197
ENCOCHES D’ÉVACUATION ............................................................... 203
SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE... 205
Bibliographie.......................................................................................................................... 221
Table des figures .................................................................................................................... 229
Table des tableaux .................................................................................................................. 237
8
Notations
a
Coefficient du système linéaire pour les vitesses [ Kg .s −1 ]
b
Coefficient du système linéaire pour la pression [ Kg .s −1 ]
A
Aire de la bulle [ m 2 ]
Amo , Bmo , Cmo , Dmo
Coefficients de Moody
B
Module de compressibilité [ Pa ]
C
Jeu radial [ m ]
C f = µω (R / C ) L
Coefficient d’adimensionnement pour les forces [ N ]
CQ
Coefficient de débit de fuite [ m 5 .s −1 .N −1 ]
3
C P = µω (R / C )
2
Coefficient d’adimensionnement pour la pression [ Pa ]
cP
Capacité calorifique massique à pression constante [ L2 .T −2 .K −1 ]
cS
Concentration de saturation en gaz du le liquide [ mol.m −3 ]
d
Coefficient du système linéaire pour le rayon de bulles [ m 3 .s −1 ]
D
Tenseur taux de déformation [ s −1 ]
DELTA
Pas axial de référence à l’interface de la rainure [ m ]
Dh
Diamètre hydraulique [ m ]
Dorif
Diamètre de l’orifice [ m ]
Dz
Largeur axiale de maille à l’orifice [ m ]
e
Rayon de l’orbite [ m ]
eb
r
ei
Amplitude du balourd [ m ]
f
r
f
Coefficient de frottement
f enc
Coefficient de frottement à l’encoche
fG
Fraction massique de gaz
fP
Fréquence propre de vibration de la bulle [ Hz ]
Fr
Force radiale [ N ]
Ft
Force tangentielle [ N ]
r r r
Vecteur de la base cartésienne ( e x , e y , e z )
Vecteur des forces volumiques [ N .m −3 ]
9
g rug
Coefficient de rugosité moyenne
H
Epaisseur du film [ m ]
Hr
Constante de Henry [ Pa.m 3 .mol −1 ]
H enc
Epaisseur de l’encoche [ m ]
I
Tenseur identité
L
Longueur du SFD [ m ]
m
Masse [ Kg ]
m&
Débit massique [ Kg .s −1 ]
M&
Débit massique global [ Kg .s −1 ]
n
Nombre de bulles par unité de volume [ m −3 ]
N
Nombre de bulles par volume matériel
n1 , n2
Coefficient de Blasius
OR
Centre du rotor
OS
Centre du stator
P
Pression relative [ Pa ]
Pl
Pression à la frontière [ Pa ]
q
Ratio de maillage
Q
Débit volumique [ m 3 .s −1 ]
r
Coordonnée radiale [ m ]
rair
Constante de l’air [ m 2 .s −2 .K −1 ]
rV
Facteur de sous relaxation pour les vitesses
rP
Facteur de sous relaxation pour la pression
R
Rayon du SFD [ m ]
RB
Rayon de la bulle [ m ]
Rs
Rayon du stator [ m ]
Rr
Rayon du rotor [ m ]
S
Tension de surface de bulles [ N .m −1 ]
S orif
Section de l’orifice [ m 2 ]
t
Temps [ s ]
10
T
Température [ K ]
u
Vitesse radiale en coordonnées sphériques [ m.s −1 ]
U
Vitesse moyenne circonférentielle [ m.s −1 ]
V
Volume [ m 3 ]
Vc
Vitesse d’écoulement dans une conduite [ m.s −1 ]
Venc
Vitesse moyenne d’écoulement à l’encoche [ m.s −1 ]
Vorif
Vitesse moyenne de l’écoulement à l’orifice [ m.s −1 ]
VP = U 2 + W 2
Norme de la vitesse moyenne [ m.s −1 ]
W
Vitesse moyenne axiale [ m.s −1 ]
uL
Vitesse radiale du liquide à l’interface de la bulle [ m.s −1 ]
uV
r
V
Vitesse radiale de la vapeur à l’interface de la bulle [ m.s −1 ]
Vx , V y , Vz
r
x
Vitesse circonférentielle, radiale, axiale [ m.s −1 ]
Z
Coordonnée axiale [ m ]
α
Fraction volumique
αD
Fraction de puissance dissipée
β = ωt
Position angulaire du rotor [ rad ]
βD
Coefficient de dilatation isobare [ K −1 ]
δ ij
Symbole de Kronecker
δt
Pas de temps [ s ]
δx
Pas dans la direction circonférentielle [ m ]
δxenc
Largeur de l’encoche [ m ]
δy
Longueur de zone d’écoulement unidirectionnel à l’orifice [ m ]
δz
Pas dans la direction axiale [ m ]
γi
Dimension de l’arête i [ m ]
κ
Viscosité de dilatation de surface [ N .s.m −1 ]
λ
Viscosité volumique [ Pa.s ]
µ
Viscosité dynamique [ Pa.s ]
Vecteur vitesse [ m.s −1 ]
Vecteur position
11
ΠF
Puissance dissipée [ Kg .m 2 .s −3 ]
θ
Coordonnée circonférentielle par rapport à l’épaisseur maximale
[ rad ]
ϑ = δxδz
Surface de cellule [ m 2 ]
ρ
Densité du lubrifiant [ Kg .m −3 ]
σr
Contrainte radiale à l’interface de la bulle [ Pa ]
ς
Coefficient de perte de charge singulière généralisé
τ
Tenseur de cisaillement [ Pa ]
τ enc
Cisaillement à l’encoche [ Pa ]
τ Sx, z
Cisaillement circonférentiel, axial du liquide sur le stator [ Pa ]
τ Rx, z
Cisaillement circonférentiel, axial du liquide sur le rotor [ Pa ]
ω
Vitesse de précession du rotor [ rad .s −1 ]
ξ
Coefficient de perte de charge singulière
Nombres sans dimension :
Re H =
ρVP H
µ
Nombre de Reynolds local
Re t =
ρ *ω*C ²
µ*
Nombre de Reynolds temporel
Re x =
ρ *V x*C
µ*
Nombre de Reynolds circonférentiel
Re z =
ρ *V z*C
µ*
Nombre de Reynolds axial
Re * =
ρ *ωC ²
µ*
Nombre de Reynolds modifié
Re D =
ρVc Dh
µ
Nombre de Reynolds pour l’écoulement dans une conduite
ε = e/C
Rayon orbite relatif
Opérateurs :
D
Dt
Dérivée particulaire
12
∂
∂t
r
∇
r
∇.
Dérivée partielle temporelle
Gradient
Divergence
∆
Variation
⊗
Produit tensoriel
.
Produit scalaire
Indices :
*
Valeur caractéristique
∞
Grandeur à l’infini
12
Elargissement brusque
21
Rétrécissement brusque
a
Référence
alim
Alimentation
B
Bulle
entrée
Face d’entrée
ext
Face de conduite coté extérieure
film
Face de conduite coté film
G
Gaz
L
Liquide
sortie
Face de sortie
T
Grandeur totale sur le volume matériel
V
Vapeur
{n, s, e, w, h}
Face de la cellule
{P, N , S , E,W , H }
Centre de cellule
Exposants :
*
Prédiction
‘
Correction
~
Valeur adimensionnée
(−1)
Itération numérique antérieure
0
Grandeur extérieure au domaine
13
enc
Encoche
n
Itération temporelle antérieure
n +1
Itération temporelle courante
orif
Orifice
t
Transposée
Combinaisons (indice et exposant) :
i
i
I
Moyenne sur la face i
Valeur sur la face i de la cellule I
Sigles :
RP
Rayleigh-Plesset
SFD
Amortisseur à film fluide (Squeeze Film Damper)
14
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Chapitre I. Introduction et bibliographie
1.
Modélisation en Lubrification
L’émergence de l’informatique au cours de ces dernières décennies a ouvert la voie à de
nouvelles manières d’aborder et de résoudre les problèmes scientifiques. Les méthodes
numériques se sont considérablement développées et les équations jusqu’alors non résolubles
sont devenues exploitables sans nécessiter d’approximations. La Mécanique des Fluides est
l’un des domaines scientifiques qui a très largement profitée de cet avènement de
l’informatique. Les écoulements sont décrits par des équations du mouvement non linéaires
pour lesquelles des solutions analytiques n’existent que pour quelques configurations
particulières. Le caractère non linéaire de ces équations est induit par les termes d’inertie qui
rendent impossibles la résolution analytique directe dans les cas les plus généraux. Le
caractère inertiel ou non inertiel de l’écoulement est représenté par le nombre de Reynolds
introduit en 1883 par Osborne Reynolds. La modélisation numérique des écoulements
inertiels et du couplage pression - vitesse a été ainsi l’un des principaux objectifs de recherche
associé à la modélisation en Mécanique des Fluides. La méthode des éléments finis apparue
dans les années 50, conçue au départ pour la modélisation des structures, a été utilisée pour la
modélisation des écoulements. En parallèle de la méthode des éléments finis, est apparue une
autre méthode nommée volumes finis basée sur un concept de conservation mieux adapté à la
Mécanique des Fluides. Au départ, cette méthode a néanmoins eu quelques difficultés à
s’imposer du fait de restrictions dues au maillage. En effet, il a été observé que les vitesses et
les pressions devaient être discrétisées sur des maillages décalés distincts. Dans le cas
contraire, il apparaît des oscillations non physiques sur le champ de pression dont l’origine
vient de la non-unicité de la solution. Cette situation ne permet pas l’utilisation de maillage
non structurés généraux, d’où une perte d’intérêt de la méthode. Dans les années 80, une
procédure d’interpolation spéciale, introduite au départ par Rhie et Chow [1], revue et
améliorée par la suite par Majumdar [2] et ensuite par Choi [3], a permis de palier à ces
15
Chapitre I. Introduction et bibliographie
limitations de maillages. Tous les régimes d’écoulements (laminaire, turbulent ou transitoire)
ont pu ainsi être traités avec plus ou moins d’approximations1. Les écoulements
multiphasiques occupent aussi une part importante en Mécanique des Fluides. Ce type
d’écoulement peut être provoqué par le changement de phase du liquide en vapeur, appelé
vaporisation ou par la présence d’un autre gaz sous forme condensée dans le liquide. Plusieurs
situations sont modélisées : surfaces libres, mélanges, particules en suspension. Un modèle de
surface libre a pour objectif de déterminer la position de l’interface entre les constituants de
l’écoulement. La théorie des mélanges diphasiques est basée sur l’hypothèse que l’une des
phases, en général la phase gazeuse, est dispersée dans la phase liquide sous forme de
particules ou de bulles. Le mélange est dit homogène si ces particules sont transportées par
l’écoulement global sans vitesse relative par rapport à l’autre phase. L’objectif d’un modèle
de mélange est alors de définir la concentration locale de chaque constituant. Un modèle de
particules en suspension va, lui, s’intéresser d’avantage à l’interaction entre le liquide et les
particules.
La Lubrification a été longtemps épargnée par la turbulence et les écoulements inertiels. Les
écoulements en espaces confinés des systèmes lubrifiés industriels sont restés longtemps
laminaires et non inertiels, simplifiant fortement la modélisation. Dans cette situation,
l’équation de Reynolds est suffisante pour déterminer le champ de pression développée dans
le film mince. La résolution de cette équation ne nécessite pas l’utilisation d’outils
numériques avancés, les différences finies sont tout à fait suffisantes. Néanmoins, la
Lubrification n’a pas échappée à la cavitation qui a été une des problématiques de recherche
dans les années 30. Des méthodes simplifiées sont apparues, directement implémentables sur
l’équation de Reynolds et ne nécessitant pas une modélisation fine multiphasique du
phénomène.
Les progrès scientifiques et technologiques repoussant constamment les limites de
fonctionnement ont contribué à générer des situations dans lesquelles les effets d’inertie et/ou
1
La turbulence est un phénomène qui se manifeste pour de forts nombres de Reynolds et se caractérise par des
comportements désordonnés non stationnaires et tridimensionnels dont le caractère instable est lié à la nonunicité des équations du mouvement.
16
Chapitre I. Introduction et bibliographie
de turbulence sont devenus non négligeables. Il est alors nécessaire d’affiner ou de
reconsidérer les modèles numériques pour les rendre exploitables au niveau industriel.
2.
Problématique générale du Squeeze Film Damper
(SFD)
L’amortisseur a film fluide, ou squeeze film damper (SFD), est un composant utilisé avec
prédilection en aéronautique pour apporter de l’amortissement aux arbres flexibles
fonctionnant à régime surcritique et supportés par des roulements (Figure I.1).
Le film mince, situé entre la bague extérieure du roulement et le bâti, n’est pas cisaillé,
contrairement à un palier hydrodynamique classique. Cette absence de cisaillement a pour
conséquence de limiter l’échauffement du lubrifiant et d’éliminer les instabilités sous
synchrones observées avec les paliers hydrodynamiques. Le rôle du composant est d’amortir
les vibrations de l’arbre causées par sa rotation et par le déséquilibre de son chargement
mécanique, le balourd par exemple. La bague extérieure du roulement est retenue par un
dispositif de cage d’écureuil relié au bâti et se comportant comme une raideur additionnelle
ayant pour un effet le recentrage de la bague (Figure I.2). La cinématique de la bague
extérieure du roulement est représentée sur la Figure I.3.
Blocage
en rotation
Arbre
Bague extérieure
du roulement
Roulement
Lubrifiant
Bâti
Figure I.1 : Description du système SFD
17
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Figure I.2 : SFD avec dispositif de cage d'écureuil
Bague
Intérieure du SFD
= Rotor
Bague
Extérieure du SFD
= Stator
Y
X
Figure I.3 : Mouvement de précession circulaire centré
18
Chapitre I. Introduction et bibliographie
La modélisation du comportement fluide dans un SFD de moteur peut s’avérer
particulièrement difficile. En effet, l’une des problématiques largement exposée dans la
littérature est la prise en compte des effets d’inertie dans l’écoulement pouvant devenir
prépondérants par rapport aux effets visqueux. Dans cette situation, l’équation de Reynolds
classique n’est plus valable et il est nécessaire de considérer un système d’équations plus
général. La cavitation est aussi un phénomène bien présent dans la littérature associée aux
systèmes lubrifiés. Des modèles de cavitation sont utilisés en Lubrification pour modéliser la
rupture du film dans les paliers hydrodynamiques ouverts. Ces modèles ont pu s’appliquer par
la suite pour modéliser la cavitation de vapeur ou la cavitation gazeuse. Mais, ces modèles
très appropriés à l’équation de Reynolds peuvent s’avérer incompatibles avec un système
d’équations plus général, de type Navier-Stokes, utilisé lorsque les effets d’inertie deviennent
prépondérants. De ce fait, aucune étude ne traite du couplage inertie et cavitation dans les
SFD, ce qui constitue l’un des principaux objectifs de cette étude.
Une modélisation complète du composant nécessite aussi de considérer les dispositifs
d’alimentation et d’étanchéité qui influent sur son comportement. Dans cette étude, le SFD est
alimenté par des orifices qui injectent le lubrifiant, soit directement dans le film, soit dans une
rainure d’alimentation circonférentielle. Le SFD sera muni de segments d’étanchéité avec des
embrèvements pour permettre l’évacuation du lubrifiant. Ce type d’alimentation et
d’étanchéité est très courant et une modélisation fine de leur influence est nécessaire.
3.
Le phénomène de cavitation en Lubrification
La cavitation dans les systèmes lubrifiés est un phénomène qui a été et est encore très
largement étudié. Sous le terme de cavitation se cache un ensemble de phénomènes dont les
origines physiques peuvent être tout à fait différentes.
3.1. La rupture du film
Historiquement, le premier phénomène considéré comme de la cavitation est la rupture de
film observée dans les paliers hydrodynamiques ouverts à l’air ambiant. Dans ce cas, l’air est
aspirée dans la zone de basse pression du film et fini par traverser le palier de part en part,
c’est la rupture du film fluide (Figure I.4). La zone de film rompue est alors à la pression
atmosphérique. Les premières modélisations de la rupture du film sont apparues au début du
siècle. Ces modèles s’apparentent à une modélisation très simplifiée de la surface libre, c'està-dire de l’interface liquide – air et se différencient par les conditions aux limites à l’interface
utilisées [5] (Figure I.4).
19
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Conditions de Sommerfeld :
A l’interface, la pression et sa dérivée sont considérées continues, ce qui revient à ignorer le
phénomène. Le modèle basé sur ces conditions est communément appelé ‘2 π - film’ ou ‘fullfilm’ faisant référence au caractère non rompu du film. Ce modèle est valable si la pression
d’alimentation est suffisamment forte pour éviter la rupture du film.
Conditions de Gümbel ( P ≥ 0 ) :
A l’interface, la pression est continue mais sa dérivée est discontinue. La pression à l’interface
est égale à la pression ambiante. Le liquide (pur) occupe la zone de haute pression et le gaz, la
zone de basse pression considérée égale à la pression ambiante. Le modèle basé sur ces
conditions est communément appelé ‘ π - film’, car, en l’absence d’effet d’inertie, le champ de
pression est symétrique et la zone occupée par le fluide occupe la moitié du domaine.
Conditions de Reynolds ( P ≥ 0 et ∂P / ∂n = 0 ) :
A l’interface, la pression et sa dérivée sont continues mais la pression à l’interface est égale à
la pression ambiante et la dérivée de pression à l’interface est nulle. Ces conditions aux
limites ont été introduites par Swift [6] en 1932 et par Stieber [7] en 1933. Comme
précédemment, la zone de basse pression occupée par le gaz est uniformément à pression
ambiante.
20
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Figure I.4 : Les conditions de rupture du film
Les modèles basés sur ces théories (Figure I.4) sont des modèles de rupture. Seule la pression
dans le liquide est considérée variable, ainsi les conditions aux limites à l’interface évoquées
précédemment ne pourront s’appliquer qu’à la rupture du film et non à la zone de reformation.
De plus, les modèles basés sur ces conditions ne garantissent pas la continuité. Elles ont
néanmoins le mérite d’être très faciles d’implémentation dans l’équation de Reynolds. Les
conditions de Sommerfeld ne nécessitent aucune modification. La prise en compte des
conditions de Gümbel est très simple, puisqu’il suffit d’éliminer les pressions inférieures à la
pression ambiante après avoir calculé le champ de pression. La condition de Reynolds semble
plus complexe. Cependant, Christopherson en 1941 [8], a établit une méthode très simple
pour prendre en compte cette condition dans un processus itératif. La méthode consiste à
négliger les pressions sous-ambiantes au cœur même du processus itératif, contrairement au
modèle Gümbel où cette procédure s’applique après la résolution complète. La validité de
cette méthode a été démontrée mathématiquement par Cryer en 1971 [9].
En résumé, les modèles basés sur ces conditions aux limites sont non conservatifs, modélisent
la rupture du film et s’appliquent aux paliers sous chargement statique.
21
Chapitre I. Introduction et bibliographie
En 1957, Jacobson et Floberg [10] utilisent la continuité comme condition aux limites sur la
zone de reformation et la condition de Reynolds sur la zone de rupture, obtenant ainsi un
modèle conservatif. Ce modèle est basé sur des observations expérimentales montrant que la
zone de cavitation est formée de stries étirées par le cisaillement de l’arbre pouvant être
traversée par l’écoulement et permettant ainsi de considérer le débit massique, Figure I.5. La
zone de reformation peut alors être définie explicitement.
Le modèle est généralisé en 1974 par Olsson [11] aux cas de chargements dynamiques, et
connu sous le nom de modèle JFO. Ce modèle s’avère néanmoins difficile d’application car il
est basé sur une détermination explicite de la position de la zone de reformation. Une
reformulation de l’algorithme a été proposée en 1981 par Elrod [12] ne nécessitant pas de
déterminer explicitement la position de cette surface libre. L’algorithme d’Elrod a été testé
par Brewe en 1986 [13] pour des cas de chargements dynamiques. Certaines modifications,
améliorations numériques ou extensions du modèle ont été apportées par la suite, par exemple
par Vijayaraghavan et Keith en 1989 [14] ou par Payvar et Salant en 1992 [15], ou encore par
Mistry en 1997 [16] qui prit en compte la tension de surface. L’algorithme d’Elrod reste la
référence en termes de modèle de rupture de film conservatif.
rupture
reformation
Figure I.5 : Stries dans la zone de cavitation selon Floberg
3.2. Les régimes de cavitation dans les SFD
En 1984, Parkins et May-Miller [17] ont étudié l’apparition de la cavitation dans un film
compris entre deux plaques oscillantes. Ils distinguèrent ainsi deux types de cavitation
22
Chapitre I. Introduction et bibliographie
pouvant exister dans les SFD. Le premier est la cavitation de vapeur liée à la vaporisation du
lubrifiant, c'est-à-dire au changement d’état de la phase liquide en phase vapeur. Le deuxième
est la cavitation gazeuse liée à la formation de bulles de gaz dans le lubrifiant.
En 1990, Zeidan et Vance [4] ont mis en évidence expérimentalement 5 régimes de cavitation
dans les SFD, permettant de bien distinguer la cavitation de vapeur de la cavitation gazeuse et
surtout les conditions favorisant l’apparition de l’une ou l’autre (Figure I.6). Dans leurs
travaux, le SFD est pressurisé et le rotor effectue un mouvement de précession. Les trois
premiers régimes présentés sur la Figure I.7 décrivent l’apparition de la cavitation gazeuse qui
a lieu lorsque le SFD est faiblement étanche.
Cavitation
de vapeur
Cavitation
gazeuse
Epaisseur du film
Figure I.6 : Mesure de pression expérimentale mettant en évidence la cavitation de vapeur et la cavitation
gazeuse [4]
23
Régime III
Régime II
Régime I
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Figure I.7 : Influence de la cavitation gazeuse sur l’amplitude de pression
Régime I : Film complet, absence de cavitation
Le rayon de l’orbite et la fréquence de précession sont bas, la pression dans le SFD reste
supérieure à la pression ambiante. Aucune quantité d’air n’est ingérée dans le lubrifiant.
Régime II : Cavitation gazeuse émergente
La fréquence de précession et le rayon de l’orbite augmentent. La pression dans le film
devient alors inférieure à la pression ambiante et une petite quantité d’air est aspirée dans le
film donnant lieu à l’apparition de petites bulles d’air présentent uniquement dans la zone de
basse pression.
Régime III : Cavitation gazeuse
La fréquence de précession et le rayon de l’orbite deviennent maintenant suffisamment
importants pour permettre une aspiration conséquente d’air dans le lubrifiant conduisant à un
mélange biphasique liquide-air. Dans la zone de haute pression, les bulles sont comprimées
mais persistent néanmoins pour former un mélange de petites bulles dont le nombre et la taille
dépendront de la pression et de la vitesse de précession. Dans la zone de basse pression, il y a
la formation d’importantes cavités à pression ambiante. Cette situation se traduit par une forte
baisse de l’amplitude du champ de pression à la fois dans les zones de haute et de basse
24
Chapitre I. Introduction et bibliographie
pression. De plus, il apparaît un palier à pression constante correspondant environ à la
pression ambiante.
Régime IV : Cavitation de vapeur
Le quatrième régime a lieu quand le SFD est très fortement étanche et ne permet pas
l’ingestion d’air. La fréquence de précession et le rayon de l’orbite sont suffisamment
importants pour générer des pressions inférieures à la pression de vaporisation. Le liquide
change alors de phase et des bulles de vapeur apparaissent dans la zone de basse pression.
Cette situation se traduit par l’apparition d’un palier à pression constante correspondant
environ à la pression de saturation proche du zéro absolu.
Régime V : Cavitations de vapeur et gazeuse
Le dernier régime a lieu quand le SFD est partiellement étanche permettant ainsi une
ingestion d’air mais qui reste limitée. La fréquence de précession et le rayon de l’orbite sont
suffisamment importants et le système d’étanchéité est suffisamment fort pour générer des
pressions inférieures à la pression de vaporisation. Néanmoins, l’air est aussi aspirée dans le
film via le système d’étanchéité partielle, et dans ce cas, les cavitations de vapeur et gazeuse
coexistent. Une telle situation se traduit par la présence de deux paliers de pression, l’un à la
pression de saturation et l’autre à la pression ambiante. Cette situation est très bien
représentée sur les mesures de pression des essais expérimentaux effectués par Adiletta et
Pietra en 2006 [18] (Figure I.8).
Si l’ingestion d’air devient importante, l’amplitude du champ de pression diminuera jusqu’à
disparition de la cavitation de vapeur. Ainsi, l’apparition d’un régime ou d’un autre va
dépendre des conditions de fonctionnement. La cavitation gazeuse est favorisée par l’absence
d’étanchéités alors que la cavitation de vapeur est, elle, favorisée par de fortes étanchéités. Il
est important de retenir que Zeidan a observé que l’ingestion de l’air était nécessaire à la
présence des bulles d’air dans le lubrifiant.
Ces différents régimes de cavitation nécessitent des traitements distincts. Pour modéliser la
cavitation de vapeur, les modèles de rupture du film sont couramment utilisés en considérant
néanmoins la pression de la zone de cavitation égale à la pression de saturation au lieu de la
pression ambiante. Cette procédure a été considérée suite aux analyses des mesures de
pressions d’Etsion et Ludwig en 1982 [19]. La cavitation gazeuse ne peut malheureusement
25
Chapitre I. Introduction et bibliographie
pas être modélisée de la même manière, même en considérant le palier à la pression ambiante,
car, le palier de cavitation gazeuse, s’étend de la zone de basse pression à la zone de haute
pression alors que le palier de vapeur est localisé exclusivement dans la zone de basse
pression. En 1999, Diaz [20] a proposé, durant ces travaux de doctorat, une première
approche pour la modélisation de la cavitation gazeuse en s’appuyant sur des essais
expérimentaux. Suite à ses observations expérimentales, Diaz a proposé un modèle numérique
pour représenter l’ingestion d’air [21]. Diaz a observé que l’ingestion de l’air dans le
lubrifiant avait pour conséquence la formation d’un écoulement à bulles et a ainsi basé son
modèle numérique sur la théorie des bulles, mais sans parvenir à modéliser le palier de
cavitation gazeuse précédemment discuté. Une description et une discussion de son modèle
vont être proposées dans le Chapitre II.
Zone de
cavitation
gazeuse
Zone de
cavitation
De vapeur
Figure I.8 : Mesure de pression mettant en évidence simultanément la cavitation de vapeur et la cavitation
gazeuse [18]
4.
Les effets d’inertie dans les SFD
Les équations générales du mouvement pour un écoulement non stationnaire de fluide
compressible et non isovisqueux s’écrivent de la manière suivante :
- équation de continuité (conservation de masse) :
26
Chapitre I. Introduction et bibliographie
( )
∂ρ r r
+ ∇. ρV = 0
∂t
(I.1)
- équation de conservation de quantité de mouvement :
( ) ((
))
r
r
r
r
r r
DV
ρ
= ρf − ∇P + 2∇. µ D + ∇. λ ∇.V I
Dt
(I.2)
où D est le tenseur taux de déformation et s’exprime de la manière suivante :
D=
t
1
∇V + ∇ V
2
(I.3)
et I est le tenseur identité.
Le terme de gauche de l’équation du mouvement est le terme d’accélération portant les effets
d’inertie qui s’écrit :
r
r
rr r
∂V
DV
ρ
=ρ
+ ρ V .∇ V
Dt
∂t
( )
(I.4)
Ceci est la forme convective du terme d’accélération. Cependant, en utilisant la conservation
de la masse, il est possible d’écrire ce terme sous la forme conservative suivante2 :
r
r
DV ∂ρV r r r
ρ
=
+ ∇. ρV ⊗ V
Dt
∂t
(
)
(I.5)
L’utilisation de la forme conservative plutôt que la forme convective du terme d’accélération
facilitera beaucoup les calculs par la suite.
Les deux derniers termes de l’équation des moments s’écrivent de la manière suivante :
( ) ( )
t
∂ ∂Vi
2∇. µ D = ∇. µ ∇V + ∇. µ ∇V =
µ
∂x j ∂x j
((
))
r
r
∂ ∂Vk
∂
λ
∇. λ ∇.V I =
δ ij ei =
∂x j ∂x k
∂xi
∂Vk
λ
∂x k
r
ei + ∂
∂x j
∂V j
µ
∂xi
r
ei
r
ei
(I.6)
(I.7)
Soit les variables sans dimension définies de la manière suivante :
~
~
x = x/R, ~
y = y /C , ~
z = z / L et t = tω*
2
Le symbole ⊗ est le produit tensoriel.
27
Chapitre I. Introduction et bibliographie
~
~
~
V x = V x / V x* , V z = V z / V z* , V y = V y / V y *
(I.8)
~
ρ~ = ρ / ρ * , µ~ = µ / µ * , λ = λ / λ*
où C = Rs − Rr est le jeu et est égal à la différence des rayons du stator Rs et du rotor Rr . Le
jeu C étant très petit par rapport à ces deux rayons, il vient Rs ≈ Rr ≈ R où R est défini
r
comme le rayon du SFD et est une longueur caractéristique / e x . ω* est une pulsation
caractéristique pour les mouvements non stationnaires ou transitoires, V x* est une vitesse
r
r
caractéristique / e x , V z* est une vitesse caractéristique / ez , L est la longueur du SFD et est
r
r
une longueur caractéristique / ez , C est une longueur caractéristique / e y (direction radiale).
Pour l’équation de continuité il vient la relation suivante :
~
~
~~
∂ρ~ V x* ∂ρ~V x V y* ∂ρ V y V z* ∂ρ~V z
ω* ~ +
+
+
=0
∂t
R ∂~
x
C ∂~
y
L ∂~
z
(I.9)
et d’après le principe de moindre dégénérescence, il vient :
V y* =
R
L
C
C
~
= Vy
V x* et V y* = V z* , ce qui donne : V y = V y
R
L
CV x*
CV z*
(I.10)
Avec ces relations, les équations du mouvement sont écrites sous forme adimensionnées dans
les trois directions.
r
- équation du mouvement dans la direction e x :
~
~
~~
~
~~ ~
∂ρ~V x
C ∂ρ~V x2 ∂ρ V xV y ∂ρ~V xV z
C ² ∂P ∂ ~ ∂V x
µ
+
+
=
−
+
Re t ~ + Re x
µ * RV x* ∂~x ∂~y ∂~y
∂t
R ∂~
x
∂~
y
∂~
z
~
~
~
~
~
2
2
C ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z C ∂ ~ ∂V x
+ ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~
R ∂x ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x L ∂z ∂z
~
~
~
2
C λ* ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z
+
~ λ ~ + ~ λ ~ + ~ λ
z
R µ * ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂~
(I.11)
r
- équation du mouvement dans la direction e y :
28
Chapitre I. Introduction et bibliographie
~
~~ ~
~ ~2
~~ ~
∂ρ~V y
C ∂ρ V yV x ∂ρ V y ∂ρ V yV z
Re t ~ + Re x
+ ~ +
∂t
R ∂~
x
∂y
∂~
z
~
2
C ∂ ~ ∂V y
+ ~ µ ~
R ∂y ∂y
~
~
4
2
2
C ∂ ~ ∂V y C C ∂ ~ ∂V y
+ ~ µ ~ + ~ µ ~
R ∂x ∂x R L ∂z ∂z
~
~
~
2
C ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z
+ ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~
R ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y
~
~
~
2
C λ* ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z
~ λ ~ + ~ λ ~ + ~ λ ~
+
R µ * ∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z
C
R
2
= − C ² ∂P
µ * RV x* ∂~y
(I.12)
r
- équation du mouvement dans la direction e z :
~~
~
~
~
~~ ~
∂ρ~V z
C ∂ρ~V zV x ∂ρ V zV y ∂ρ~V z2
C ² ∂P ∂ ~ ∂V z
µ
+
+
=
−
+
Re t ~ + Re z
∂t
L ∂~
x
∂~
y
∂~
z
µ * LV z* ∂~z ∂~y ∂~y
~
~
~
~
~
2
2
C ∂ ~ ∂V z ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z C ∂ ~ ∂V z
+ ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~ + ~ µ ~
L ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂z R ∂x ∂x
~
~
~
2
C λ* ∂ ~ ∂V x ∂ ~ ∂V y ∂ ~ ∂V z
+
λ ~ + ~ λ ~ + ~ λ ~
z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z
L µ * ∂~
(I.13)
Dans le cadre de la Lubrification des films minces, les rapports C / L ou C / R sont
généralement compris entre 0.01 et 0.001. Cette remarque permet de négliger les termes de
l’ordre (C R ) , (C L ) ou supérieurs. Ceci conduit au système de deux équations suivant :
2
2
~~
~
~
∂ρ~V~x2 ∂ρ~V xV y ∂ρ~V~xV~z
∂ρ~V x
C
C ² ∂P ∂ ~ ∂V x
Re t ~ + Re x
µ
+
+
=−
+
µ * RV x* ∂~x ∂~y ∂~y
∂t
R ∂~
x
∂~
y
∂~z
C ² ∂P
0 = −
µ * RV x* ∂~y
~
~~ ~
~~
~ ~2
~~ ~
Re ∂ρ V z + Re C ∂ρ V zV x + ∂ρ V zV y + ∂ρ V z = − C ² ∂P + ∂ µ~ ∂V z
z
t ∂~
t
L ∂~
x
∂~y
∂~z
µ * LV z* ∂~z ∂~y ∂~y
(I.14)
r
L’équation du mouvement suivant la direction e y , se résume à considérer la pression
r
indépendante de e y . La pression est donc considérée constante suivant l’épaisseur du film. Il
apparaît les nombres de Reynolds suivant :
29
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Re t =
ρV C
ρ *ω*C ²
ρV C
, Re x = * x* et Re z = * z*
µ*
µ*
µ*
(I.15)
Re t est le nombre de Reynolds représentant le rapport entre les effets d’inertie temporelle et
les effets de viscosité. Re x C / R et Re z C / L sont les nombres de Reynolds représentant le
r
rapport entre les effets d’inertie d’advection et les effets de viscosité dans la direction e x et
r
e y respectivement.
Il est introduit un autre nombre de Reynolds appelé nombre de Reynolds modifié et noté Re *
tel que :
Re * =
ρ *ωC ²
µ*
(I.16)
où ω est la vitesse de précession.
Dans le cas d’un arbre animé uniquement par un mouvement de précession, comme avec un
SFD, la pulsation caractéristique ω* est la pulsation de précession ω ( ω* = ω ). Ainsi, pour
un SFD, il vient :
Re * = Re t =
ρ *ωC ²
µ*
(I.17)
De plus, la vitesse radiale V y* est de l’ordre de la variation temporelle de l’épaisseur du film,
V y* ≈ ∂H / ∂t . Ainsi avec la relation H = C + e cos(ωt ) , il vient, V y* ≈ eω . Ce qui donne avec
ε = e/C :
V x* ≈ εωR et V z* ≈ εωL .
Il apparaît ainsi, que pour de très faibles amplitudes d’orbite ε < 10% , les effets d’inertie
d’advection deviennent négligeables devant les effets d’inertie temporelle et peuvent être
négligées.
Dans le cas d’orbite modéré à grand, ε > 10% les nombres de Reynolds s’écrivent comme
suit ( ε ≈ 1 ) :
Re * = Re t = Re x
C
C ρ ωC ²
= Re z = *
R
L
µ*
(I.18)
30
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Ainsi, pour des rayons d’orbite modérés à grands, les effets d’inertie d’advection sont du
même ordre de grandeur que les effets d’inertie temporelle et ne peuvent pas être négligés. Le
nombre de Reynolds modifié, Re * =
ρ *ωC ²
, permet à lui seul de quantifier ces effets
µ*
d’inertie.
Dans le cas général, le système d’équations à résoudre s’écrit sous forme dimensionnelle de la
manière suivante :
∂ρV x ∂ρV x2 ∂ρV xV y ∂ρV xV z
∂P ∂ ∂V x
=−
+
+
+
+ µ
∂y
∂z
∂x ∂y ∂y
∂x
∂t
2
∂P ∂ ∂V z
∂ρV z ∂ρV zV x ∂ρV zV y ∂ρV z
+
+
+
=−
+ µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
t
x
y
z
z
y
y
∂ρ ∂ρV
∂ρV y ∂ρV z
x
+
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂t
(I.19)
L’équation suivant la direction y n’apparaît plus explicitement dans le système, mais son effet
est pris en compte en considérant la pression P constante suivant l’épaisseur du film. Ce
système d’équations peut être résolu numériquement, mais, il est nécessaire de définir un
maillage 3D déformable et les conditions aux limites du problème. Aux extrémités axiales
r
(selon la direction e z ) du domaine, des conditions aux limites liées à l’étanchéité sont prises
r
en considération. Aux extrémités circonférentielles (selon la direction e x ) du domaine, des
conditions de périodicité sont considérées. Aux extrémités radiales du domaine (suivant la
r
direction e y ), le traitement classique consisterait à prendre en compte les conditions
d’adhérences en imposant les vitesses axiale et circonférentielle nulles.
Ce système d’équations peut être réécrit dans le repère tournant pour obtenir un problème
stationnaire ne nécessitant pas l’utilisation d’un maillage déformable. En 1988, San Andrés
[22] considère ce système d’équations stationnaire, dans une configuration 2D (pas
d’écoulement axiale) et en régime laminaire. Les équations sont discrétisées conformément à
la méthode des volumes finis et résolues par un schéma numérique général proposé en 1980
par Patankar [23]. En 1985, Tichy et Bourgin [24] proposent une méthode alternative basée
sur les travaux de Tuck et Bentwich [25] de 1983. Cette procédure consiste en une
linéarisation basée sur une perturbation des vitesses et de la pression. Une transformation
31
Chapitre I. Introduction et bibliographie
particulière est ensuite effectuée pouvant s’interpréter comme un changement de repère
suivant approximativement les particules fluides et permettant d’éliminer les non-linéarités
des termes d’inertie d’advection. En théorie, cette méthode n’est valide que lorsque les effets
d’inertie sont de l’ordre des effets visqueux. Il a été cependant montré, en pratique, la
possibilité d’étendre cette méthode à de forts nombres de Reynolds. Par exemple, San Andrés
a comparé les résultats de son modèle 2D de 1988, discuté précédemment, avec ceux obtenus
par la méthode de Tuck et Bentwich, montrant ainsi une bonne concordance des résultats sur
le champ de pression. Ces modèles ont aussi permis de visualiser l’influence des effets
d’inertie sur le profil de vitesse. Il est courant de considérer que le profil de vitesse n’est pas
affecté par les forces d’inertie pour Re * ≤ 20 .
Pour être exploitables à des cas industriels, ces méthodes doivent être généralisées à trois
dimensions augmentant ainsi significativement le nombre de mailles et donc le temps de
calcul. La résolution du système d’équation (I.19) via un maillage 3D, déformable ou non, est
analogue à un calcul CFD classique et risque d’être très coûteuse en terme de temps de
calculs. Un maillage 3D d’une géométrie de film mince nécessite un important nombre de
cellules pour pouvoir représenter équitablement les trois directions de l’écoulement. Une telle
procédure peut s’avérer trop générale d’autant qu’il a été montré que la vitesse radiale
(suivant l’épaisseur du film) était très faible devant les autres vitesses et que le gradient de
pression pouvait être considéré constant suivant l’épaisseur du film. De plus, cette démarche
ne profite pas réellement des précédentes études qui ont montrées une faible influence des
effets d’inertie sur le profil de vitesse (pour Re * ≤ 20 ).
Une démarche plus appropriée consiste à intégrer ces équations selon l’épaisseur du film. En
supposant le profil de vitesses non affecté par les effets d’inertie, cela permet d’obtenir un
système d’équations en fonction des vitesses moyennes axiale et circonférentielle et de la
pression3.
Pour de faible rayon d’orbite ( ε < 10% ) les effets d’inertie d’advection peuvent être négligés,
facilitant ainsi la résolution. En 1982, Tichy [26] propose ainsi une expression analytique de
la pression dans le cas d’un SFD court, valable pour Re * ≤ 20 . En 1987, San Andrés et Vance
[27] proposent aussi une solution analytique pour un SFD de longueur finie. Une méthode
3
Une procédure d’intégration similaire est utilisée pour obtenir l’équation de Reynolds à partir de l’équation de
continuité, mais aucune hypothèse sur le profil des vitesses n’est nécessaire.
32
Chapitre I. Introduction et bibliographie
numérique est proposée par Szeri en 1983 [28] qui inclut un terme source dans l’équation de
Reynolds représentant l’inertie temporelle.
Dans le cas plus général de rayons d’orbite modérés à grands ( ε > 10% ), les traitements
précédents ne sont plus valables et donnent des résultats erronés. La résolution devient
beaucoup plus compliquée et d’autres méthodes que celles citées précédemment doivent alors
être utilisées.
San Andrés et Vance en 1986 [29] et Tichy en 1987 [30] proposent une forme stationnaire de
ce système (écrite dans le repère tournant) en considérant un profil de vitesse parabolique. La
résolution est basée sur une méthode de perturbation introduite par Reinhardt et Lund en 1975
[31]. Cette procédure utilise une décomposition de la pression et des vitesses comme série de
puissance de Re * , qui, au premier ordre, est de la forme, P = P1 + Re * P2 où P1 est la
pression de l’écoulement purement visqueux et P2 est la correction incluant les effets
d’inertie. En théorie, la solution au premier ordre n’est exacte que pour de faibles Re * . Les
résultats obtenus par San Andrés et Vance et par Tichy ont cependant montré que la méthode
au premier ordre pouvait être utilisée jusqu’à Re * ≈ 25 , comme discuté par Pietra et Adiletta
en 2002 [32]. Il faut ajouter de plus que San Andrés et Vance ayant observé l’influence des
effets d’inertie sur le cisaillement, ont aussi considéré le terme de cisaillement comme série de
puissance de Re * . C’est aussi à travers ce terme de cisaillement que la turbulence a été
considérée via des coefficients empiriques.
Par la suite, ces équations obtenues après intégration selon l’épaisseur du film seront
nommées équations du ‘Bulk Flow’ [33] et feront l’objet d’une étude approfondie présentée
dans le Chapitre III.
Une démarche parallèle aux méthodes précédentes qui sont basées sur la forme moyennée des
équations a été proposée par Crandall et El-Shafei en 1993 [34]. Cette approche est basée sur
une méthode énergétique via l’équation de Lagrange et permet d’obtenir les forces générées
dans le film. L’inconvénient de cette méthode est que les forces sont déterminées directement,
sans calcul de pression, rendant impossible une analyse plus précise du phénomène.
33
Chapitre I. Introduction et bibliographie
5.
Alimentation et étanchéité
Une prise en compte correcte des effets d’inertie et de cavitation ne constitue pas la seule
difficulté associée à une modélisation complète de SFD. Le SFD doit être alimenté en huile et
est souvent muni d’un dispositif d’étanchéité visant à améliorer ses capacités
d’amortissement. Les systèmes d’alimentation et d’étanchéité (Figure I.9) auront une
influence certaine sur le comportement du SFD et doivent donc être modélisés de manière
aussi réaliste que possible tout en limitant les efforts de calculs.
Segments
Orifices
a)
Rainure d’alimentation
b)
Figure I.9 : Système d’alimentation et d’étanchéité d’un SFD, a-Alimentation directe, b-Alimentation par
rainure circonférentielle
En 1987, Walton II et al [35] ont visualisé l’influence de la rainure et des orifices sur la zone
de cavitation dans un SFD. Ils ont observé notamment que la zone de cavitation était
perturbée par les orifices et qu’elle était ainsi caractérisée par une évolution non stationnaire.
Ils ont alors souligné la nécessité d’une modélisation plus fine du phénomène de cavitation.
5.1. Systèmes d’étanchéité
Différents systèmes existent pour assurer l’étanchéité du SFD et accroître ainsi la capacité
d’amortissement du composant. Les trois principaux dispositifs représentés sur la Figure I.10
sont les joints toriques, les segments et les plaques.
Dans l’industrie aéronautique, l’utilisation des segments est préférée. En théorie le segment
peut assurer une étanchéité totale en particulier s’il est muni d’une coupe baïonnette.
Cependant, cette situation n’est pas acceptable car la chaleur générée par le frottement aux
parois doit pouvoir s’évacuer pour éviter une perte de viscosité causée par l’échauffement du
34
Chapitre I. Introduction et bibliographie
lubrifiant. Ainsi, dans la pratique, des ouvertures sont présentes aux segments pour permettre
l’évacuation du lubrifiant. L’étanchéité est donc partielle et peut ainsi avoir une influence
directe sur le champ de pression ou indirecte par l’échauffement occasionné. Une bonne
estimation du débit de fuite est alors nécessaire.
Figure I.10 : Système d’étanchéité, a-Joint torique, b-Segment, c-Plaque
Coupe baïonnette
Embrèvements
Figure I.11 : Segment à coupe baïonnette muni d’embrèvements
En 1978, Marmol et Vance [36] ont proposé une méthode simple pour prendre en compte
numériquement un système d’étanchéité partielle avec un débit de fuite répartie uniformément
sur toute la circonférence. Le débit volumique de fuite axial Qsortie est directement
proportionnel à la différence de pression locale faisant ainsi intervenir un coefficient de
proportionnalité noté C Q et devant être déterminé expérimentalement.
(
Qsortie = C Q Pl (θ ) − P 0
)
(I.20)
35
Chapitre I. Introduction et bibliographie
où Pl (θ ) est la pression locale à la frontière du SFD et P 0 la pression extérieure. Ce type de
relation a été utilisé par la suite par San Andrés [37] et par Tichy en 1987 [30] montrant que
le débit de fuite réduisait l’amplitude de pression générée dans le SFD.
Une autre expression est proposée par Childs [38] en 1989 qui considère le joint comme une
contraction de l’écoulement pouvant être décrite par l’équation de Bernoulli. Il exprime alors
le débit de fuite proportionnellement à la racine carrée de la différence de pression locale.
Qsortie = C Q Pl (θ ) − P 0
(I.21)
En 1991, Jung et San Andrés [39] ont réalisé des essais expérimentaux dans le but de
visualiser et d’estimer le débit de fuite d’un SFD muni de segments. Avec des segments
conventionnels et sans embrèvement, aucun débit de fuite n’a été observé. Ils ont alors réalisé
d’autres segments munis de 72 embrèvements, uniformément répartis sur la circonférence,
pour permettre un débit de fuite uniforme et ainsi comparer avec les résultats numériques cités
ci-dessus. De ces essais, le débit de fuite d’un système d’étanchéité assuré par des segments
semble localisé aux embrèvements.
Finalement, pour un système d’étanchéité assuré par des plaques, Chen et Hahn [40] ont
montré en 2000, par un modèle CFD et un maillage fin de la zone d’étanchéité, la présence
d’un débit de fuite à travers le jeu axial (espace entre la plaque et le rotor).
5.2. Rainure d’alimentation circonférentielle
L’objectif d’une rainure d’alimentation circonférentielle est de jouer un rôle de réservoir
répartit sur toute la circonférence. En théorie, la rainure a été considérée au départ comme une
zone à pression constante égale à la pression d’alimentation. Cette hypothèse s’est révélée par
la suite être trop simplifiée et une modélisation plus fine de la rainure est devenue nécessaire
[41].
Plusieurs travaux ont été effectués pour prendre en compte l’influence d’une rainure
d’alimentation. Un certain nombre de ces études se sont intéressées essentiellement à
l’influence de la rainure sur le comportement dynamique global du SFD en considérant
généralement de petites perturbations.
36
Chapitre I. Introduction et bibliographie
En 1987, San Andrés et Vance [37] proposent de considérer la présence de la rainure sans y
modéliser explicitement l’écoulement. Seul l’écoulement dans le film est modélisé par les
équations du ‘Bulk Flow’. Le rayon de l’orbite n’est pas considéré faible, les effets d’inertie
temporelle et d’advection sont pris en compte. L’interface rainure - film est considérée
comme frontière du domaine. Le débit à l’interface est ainsi déterminé en fonction de la
différence de pression via un coefficient de proportionnalité devant être déterminé
expérimentalement [42]. L’inconvénient de cette méthode est la nécessité d’essais
expérimentaux pour déterminer le coefficient de proportionnalité à l’interface de la rainure.
En 1992, San Andrés [43] étudie le comportement dynamique d’un SFD avec rainure centrale
pour de petites perturbations du rayon de l’orbite. Le SFD étant supposé court et ouvert,
l’écoulement est purement axial et est modélisé dans le film par une forme 1D des équations
du ‘Bulk Flow’ sans inertie d’advection (faible amplitude). L’écoulement dans la rainure n’est
pas considéré explicitement. L’interface rainure-film est traitée comme une frontière du
domaine et le débit à travers cette frontière est donné par un bilan de masse dans la rainure.
L’éventuelle alimentation par des orifices est considérée par une source de masse dans la
rainure. Cette source de masse est considéré constante et sans effet sur l’aspect dynamique et
n’est donc pas d’avantage analysée.
En 1994, Arauz et San Andrés [44], modélisent l’écoulement axial et circonférentiel dans la
rainure par les équations du ‘Bulk Flow’. Le débit à l’interface est alors déterminé et la
résolution dans le film est analogue à celle proposée par San Andrés en 1992 pour un SFD
court et ouvert. Le mouvement est toujours supposé de faible amplitude. Ils observent ainsi
numériquement que l’amplitude de pression dans la rainure diminue avec l’augmentation de
la profondeur de la rainure. En 1996, les même auteurs réalisent des essais expérimentaux
[45] sur un SFD muni d’étanchéités et mesurent le champ de pression circonférentielle dans
une rainure d’alimentation de profondeur 5 fois supérieure au jeu radial. Ils constatent une
amplitude de pression dans la rainure de l’ordre de celle mesurée dans le film. La cavitation
de vapeur est alors observée à la fois dans le film et dans la rainure. Des analyses similaires
sont apportées en 2006 par Defaye et al [46].
En 1996, Zhang et Roberts [47] reprennent les travaux de San Andrés de 1992 mais incluent
explicitement la source de masse par des capillaires. Le débit des capillaires est déterminé par
37
Chapitre I. Introduction et bibliographie
la loi de Poiseuille reliant ainsi la pression dans la rainure à la pression d’alimentation du
capillaire.
En 2003, Lund, Myllerup et Hartmann [48] modélisent l’écoulement circonférentiel dans la
rainure par les équations du ‘Bulk Flow’ sans termes d’inertie d’advection (faible rayon
d’orbite). Ils comparent leurs résultats avec des données expérimentales et observent une
bonne concordance, validant ainsi l’utilisation des équations ‘Bulk Flow’ dans la rainure.
En 2005, Kim et Lee [49] reprennent aussi les travaux de San Andrés de 1992 sans considérer
explicitement la source de masse mais incluant l’effet de l’étanchéité. Ils montrent que l’effet
réservoir de la rainure est plus conséquent pour les plus fortes étanchéités.
En 2004, Defaye et al [50] proposent une modélisation plus fine en considérant la
discontinuité de l’écoulement axial engendré à l’interface de la rainure. La pression dans la
rainure est déterminée explicitement par l’équation de Reynolds, les effets d’inertie étant
négligés. La démarche proposée pour traiter la discontinuité est une adaptation des travaux de
Arghir, Alsayed et Nicolas de 2002 [51] qui ont été repris plus tard par Arghir et Frêne en
2004 dans le cas de joints annulaires rainurés [52]. La rainure est, de plus, alimentée par des
orifices d’alimentation qui sont pris en compte dans la modélisation.
5.3. Orifices d’alimentation
Relativement peu de travaux traitent de la modélisation des orifices d’alimentation. Bien que
certains modèles proposent des approches plus ou moins détaillées du phénomène, elles
restent néanmoins assez similaires dans la démarche générale de résolution.
En 1978, Marmol et Vance [36] ont pris en compte l’injection par des orifices en adaptant
tout d’abord le maillage à la position de l’orifice. La pression dans le film est déterminée par
l’équation de Reynolds écrite sous la forme stationnaire et le débit dans l’orifice est déterminé
par une loi de Poiseuille en fonction de pression d’alimentation. La pression dans la maille
contenant l’orifice est alors déterminée par un bilan massique en tenant compte du débit de
l’orifice. D’un point de vue modélisation, la maille contenant l’orifice est traitée comme une
maille à pression imposée et les pressions dans le reste du domaine sont déterminées en
fonction de la pression dans ces mailles.
38
Chapitre I. Introduction et bibliographie
En 1994, Chen et Hahn [53] proposent un modèle mathématique basé sur une écriture de la
pression sous forme d’une série de fonctions, via l’équation de Reynolds. De plus, ils
introduisent l’aspect non stationnaire induit par les orifices d’alimentation. En effet, le
traitement des orifices proposé antérieurement par Marmol et Vance [36] est basé sur une
forme stationnaire de l’équation de Reynolds c'est-à-dire écrite dans le repère tournant. Or,
dans le repère tournant, l’orifice est en rotation puisqu’il est solidaire du stator.
En 2004, Rodrigues, Thouverez et Jezequel [54] modélisent tout le système d’alimentation.
Par un bilan d’énergie, ils considèrent la puissance de la pompe et les pertes de charges
régulière et singulière. Ce modèle est basé sur l’équation de Reynolds comme les précédents.
Bien que très réaliste, cette procédure nécessite de connaître toutes les caractéristiques et les
dimensions du système d’alimentation.
Les travaux de Defaye en 2004, déjà évoqués précédemment, ont aussi traité les orifices
d’alimentation. La démarche est analogue à celle proposée par Marmol et Vance en 1978.
Cependant, Defaye a considéré le couplage entre les orifices et la rainure d’alimentation. En
effet, les orifices peuvent injecter le lubrifiant, soit directement dans le film, soit dans la
rainure d’alimentation. L’alimentation par l’orifice s’effectue par un réservoir considéré à
pression constante, sans tenir compte de l’interaction avec le système d’alimentation comme
considéré par Rodrigues et al [54].
Dans toutes les approches ci-dessus, la modélisation de l’orifice a été abordée via l’équation
de Reynolds.
6.
Résumé, conclusion et objectifs
L’inertie et la cavitation sont deux phénomènes liés à l’écoulement du lubrifiant. De
nombreuses études théoriques et expérimentales ont traitées ces aspects du comportement
fluide en espace confiné. Historiquement, la cavitation a été traitée dans les années 30, bien
avant les effets d’inertie, et plus particulièrement appliquée à la rupture du film des paliers
hydrodynamiques ouverts. Ces modèles appliqués exclusivement à l’équation de Reynolds
ont été adaptés plus tard pour modéliser la cavitation de vapeur dans les SFD. Les différentes
études expérimentales réalisées par la suite ont contribuées à une meilleure compréhension du
phénomène et à la validation ou à l’amélioration des modèles. Le modèle conservatif introduit
par Elrod en 1981 reste la référence en termes de modèle de cavitation.
39
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Les effets d’inertie du lubrifiant dans les SFD ont été abordés bien plus tard. Dans les années
70, plusieurs approches de modélisation sont apparues. En considérant de faibles rayons
d’orbite ( ε < 10% ), les effets d’inertie temporelle peuvent être pris en compte par l’équation
de Reynolds via un terme source supplémentaire portant les effets d’inertie temporelle. Dans
le cas plus général de rayons d’orbite modérés à grands, une procédure similaire n’est plus
possible et il est nécessaire de considérer le système d’équations complet associé aux
écoulements en espace confiné. Une première approche consiste à résoudre ce système
d’équations de manière analogue à un calcul CFD via un maillage tridimensionnel. Une autre
méthode, moins couteuse en temps de calcul est basée sur un concept d’écoulement moyen
obtenu par intégration des équations suivant l’épaisseur du film. Cette méthode a été
développée suite à des observations numériques antérieures montrant une faible influence des
effets d’inertie sur le profil de vitesse. Les équations ainsi obtenues sont appelées équations
du ‘Bulk Flow’ et seront exposées en détail au Chapitre III. Avec ces équations, les modèles
de cavitations classiques présentés dans ce chapitre ne sont plus adaptés. Seul le modèle
Gümbel de par sa simplicité pourrait éventuellement être utilisé. Cependant, ce modèle reste
très grossier et ne garantit pas la continuité. Ainsi, dans l’étude suivante, une modélisation
plus générale de la cavitation va être proposée et exposée de manière détaillée au Chapitre II.
Plus récemment, des études théoriques se sont intéressées aux systèmes d’alimentation et
d’étanchéité en vue de leur modélisation numérique. Des essais expérimentaux ont montré
que l’hypothèse de pression constante dans la rainure n’était pas valable et qu’une
modélisation plus fine était nécessaire. La modélisation de l’injection directe du lubrifiant
dans le film par des orifices d’alimentation a été assez peu traitée dans la littérature et encore
moins la modélisation de l’ensemble orifices et rainure, c’est à dire l’injection du lubrifiant
dans la rainure. De plus, les quelques méthodes proposées ont uniquement été appliquées à
l’équation de Reynolds.
L’étanchéité a jusqu’à présent été modélisée par un débit de fuite réparti uniformément sur la
circonférence et considéré proportionnel à la différence de pression locale à la frontière du
domaine. Cette procédure fait intervenir un facteur de proportionnalité devant être déterminé
expérimentalement, ce qui est une contrainte importante de cette démarche. Une modélisation
plus fine des systèmes d’alimentation et d’étanchéité est nécessaire et va être proposée dans le
Chapitre IV en tenant compte de l’inertie du lubrifiant.
40
Chapitre I. Introduction et bibliographie
Pour finir, l’étude sera conclue par des comparaisons avec des résultats expérimentaux et
numériques obtenus par Defaye en 2006 [55] à partir d’une modélisation basée sur l’équation
de Reynolds. Ces comparaisons porteront sur les forces et le débit de fuite.
41
Chapitre II. Cavitation
Chapitre II. Cavitation
1.
Introduction
Dans un écoulement, l’apparition de bulles est souvent affectée du terme cavitation bien que
la cause physique du phénomène soit parfois tout à fait différente selon les situations. Il est
alors nécessaire de préciser les phénomènes en termes de vocabulaire. La vaporisation est la
transformation du liquide en vapeur. Au sens physique du terme, la cavitation est la
vaporisation du liquide causée par une baisse de pression à température constante. La
vaporisation causée par une augmentation de température à pression constante est l’ébullition.
De la vaporisation résulte un écoulement à bulles diphasique liquide-vapeur. Cependant, la
vaporisation n’est pas nécessaire pour générer un écoulement diphasique. L’écoulement peut
être constitué de bulles contenant du gaz au lieu de contenir la phase vapeur du liquide. Ce
type d’écoulement diphasique liquide-gaz est différent de l’écoulement diphasique liquidevapeur. L’écoulement diphasique liquide-vapeur résulte d’un transfert de masse par le
phénomène de vaporisation. L’écoulement diphasique liquide-gaz peut aussi être conséquent
à un transfert de masse par diffusion gazeuse ou bien par ingestion directe du gaz au sein du
liquide. L’ensemble de ces phénomènes est couramment affecté par le même terme de
cavitation. Ce vocabulaire est précisé dans différents ouvrages destinés à l’étude la cavitation
[56], [57].
En Lubrification, le phénomène se traduisant par un écoulement diphasique liquide-vapeur est
appelé cavitation de vapeur. Celui se traduisant par un écoulement diphasique liquide-gaz est
lui appelé cavitation gazeuse. Le phénomène de cavitation a été largement étudié et observé
par de nombreuses études expérimentales permettant de bien distinguer les différents types de
cavitation. Par exemple, dans les SFD, Zeidan et Vance [4] ont bien distingué les deux types
de cavitation et ont observé expérimentalement que la cavitation gazeuse résultait d’une
ingestion d’air dans le lubrifiant conséquente à une faible étanchéité du SFD.
43
Chapitre II. Cavitation
Les SFD étudiés par la suite seront munis d’une étanchéité forte permettant de négliger
l’ingestion d’air et donc la cavitation gazeuse. Le modèle de cavitation qui va être développé
dans la suite sera donc exclusivement un modèle de cavitation de vapeur. De plus, comme
expliqué plus haut, la vaporisation peut être engendrée par des effets mécaniques (cavitation)
ou thermiques (ébullition). L’échauffement du lubrifiant dans un SFD pour des conditions
courantes de fonctionnement est généralement faible parce qu’il n’y a pas de cisaillement fort
aux parois comme pour un palier hydrodynamique. De plus, le lubrifiant utilisé est de l’huile
industrielle caractérisée par une bonne résistance à la température. Ces remarques permettent
de négliger l’effet d’ébullition. Pour les systèmes lubrifiés à l’eau ou avec des liquides
cryogéniques, la prise en compte de l’ébullition est nécessaire et est parfois affectée du terme
‘cavitation thermique’ [58].
En résumé, le modèle de cavitation devra prendre en compte la vaporisation due à la baisse de
pression, c'est-à-dire, en employant les termes rigoureux, le modèle sera un modèle de
cavitation pure.
Les différents modèles de cavitation associés à la Tribologie ont été présentés dans le
Chapitre I. Les modèles de cavitation de vapeur sont construits à partir d’une hypothèse
simple, la pression locale du lubrifiant ne peut être inférieure à une pression seuil appelée
pression de saturation ou pression de vapeur saturante. Cette hypothèse est bien souvent
suffisante pour prendre en compte l’influence de la cavitation dans la majorité des situations
industrielles mais occulte toute la physique du phénomène en se basant uniquement sur ses
conséquences4. Ces modèles qui s’appliquent très bien à l’équation de Reynolds de la
Lubrification, ne sont pas adaptés sur des équations plus générales type ‘Navier Stokes’ ou
‘Bulk Flow’.
La vaporisation dans un écoulement peut être abordée par la théorie de la thermodynamique
des systèmes fermés. Un système fermé est un système qui n’échange pas de matière avec
l’extérieur, donc de masse constante. La vaporisation est associée à la transformation de l’état
liquide à l’état gazeux, l’inverse étant appelé la liquéfaction. A l’état de saturation, une
certaine quantité d’énergie doit être fournie de l’extérieur pour provoquer la vaporisation.
4
La conséquence principale de la cavitation est la présence d’un palier à pression constante égale à la pression
de saturation dans la zone de basse pression.
44
Chapitre II. Cavitation
Comme discuté plus haut, si la quantité d’énergie est fournie sous forme de chaleur ou de
travail mécanique, la transformation associée est respectivement l’ébullition ou la cavitation.
Pour l’ébullition, la quantité de chaleur nécessaire pour vaporiser est appelée chaleur latente
de vaporisation. Si la quantité d’énergie fournie pour vaporiser est suffisante, le système aura
intégralement changé de phase. Dans le cas contraire, le système est en état d’équilibre
liquide-vapeur. La quantité relative de chaque phase est proportionnelle à la quantité
d’énergie fournie au système par rapport à la quantité d’énergie nécessaire pour sa complète
vaporisation.
La Mécanique des Fluides fait référence à la notion de volume matériel. De part le postulat
fondamental de la conservation de la masse, et du postulat de l’état local, ce volume matériel
peut être directement assimilé au système fermé introduit en thermodynamique. La
vaporisation engendre un écoulement diphasique. Différentes méthodes existent pour traiter
ce type d’écoulement et le choix de la méthode dépend de la situation physique rencontrée.
Une méthode couramment utilisée est de considérer l’écoulement comme un mélange
homogène. Avec cette hypothèse, les équations générales de la Mécanique des Fluides restent
valables. La quantité d’énergie fournie au volume matériel sous forme de travail ou de
quantité de chaleur (système thermodynamique fermé) peut être déterminée à partir d’une
équation de l’énergie appropriée à la situation. En connaissant cette quantité d’énergie et en
utilisant les propriétés thermodynamiques liées au fluide considéré, il est possible de
déterminer la proportion de chaque phase constituant le volume à saturation. La densité du
volume peut alors être recalculée conformément à la conservation de la masse. Différents
modèles existent pour déterminer la viscosité en fonction de la proportion de chaque
constituant.
Cette démarche de résolution peut être utilisée à condition de connaître l’ensemble des
propriétés thermodynamiques du fluide considéré. Pour l’eau par exemple, cette procédure
serait tout à fait exploitable. Cependant, pour les huiles industrielles, il est beaucoup plus
difficile de se procurer ces informations. Ce n’est cependant pas la seule raison pour laquelle
ces modèles sont critiquables. En effet, à travers des méthodes basées sur des concepts
énergétiques, ces modèles dissimulent la réalité physique du phénomène c'est-à-dire
l’apparition de bulles. Ils ne tiennent par compte, par exemple, du simple fait qu’une bulle
aura beaucoup plus de difficulté à croître dans un liquide très visqueux par la réaction propre
45
Chapitre II. Cavitation
du liquide. De même, la tension de surface s’exerçant à la surface de la bulle n’est pas prise
en compte.
Au 19ième siècle, plusieurs expériences en laboratoire ont montré qu’un liquide au repos
pouvait soutenir des pressions négatives, appelées tensions, sans vaporiser. En 1850,
Berthelot a mis en place un dispositif expérimental connu sous le nom de tube de Berthelot
montrant que les liquides pouvaient soutenir une tension très importante. Il fut la première
personne à observer le phénomène de cavitation. Des phénomènes de tension similaire ont été
observés par la suite par Reynolds en 1882. Pour l’eau, ces expériences ont montré des
tensions jusqu’à plusieurs dizaines de bar. Plus récemment, en 1950, Briggs a mesuré, dans
l’eau, des tensions de 277 bars. Ces expériences ont été réalisées en laboratoire pour des
conditions de fonctionnement particulières (parois lisses sans impureté), et avec des liquides
préalablement traités (dégazage ou longue pressurisation). Dans les configurations
industrielles, les tensions observées restent de l’ordre de quelques bars. Les différences
observées suivant les configurations traitées s’expliquent par la présence de germes de
cavitation, appelés communément ‘nuclei’. Ces germes de cavitation sont comparables à des
microbulles. La taille de ces germes a été définie entre quelques micromètres et quelques
centaines de micromètres et dépend des conditions de fonctionnement. L’origine de ces
germes peut être attribuée à divers phénomènes dont certains dépassent largement le cadre de
l’étude (rayon cosmique, champ électrique haute tension). Plus simplement, les rugosités, les
gaz dissous ou les particules en suspension, présents dans le liquide peuvent aussi être à
l’origine de ces germes de cavitation.
Ainsi, de part les remarques précédentes, une théorie parallèle à la thermodynamique
classique existe et à pour but d’aborder la cavitation de manière plus complexe et plus réaliste
pouvant tenir compte d’un ensemble de phénomènes physiques occultés par les approches
classiques. Cette théorie est la théorie dynamique des bulles. Etablie au départ en 1914 par
Lord Rayleigh pour étudier les dommages dus à la cavitation, elle est ensuite retravaillée en
1949 par Plesset qui considéra la tension de surface ainsi que les effets de viscosité et a été le
premier à étudier le comportement de bulles dans un écoulement.
La première partie de l’exposé traite de la théorie générale de la cavitation par l’approche
Rayleigh-Plesset. L’application de cette théorie au cas de mélange homogène est présentée
ensuite. La dernière partie de l’exposé est consacrée au traitement numérique et à la
comparaison avec des résultats expérimentaux issus de la littérature.
46
Chapitre II. Cavitation
2.
Théorie générale de la cavitation
Cette première partie a pour but de présenter tout d’abord les fondements de la théorie des
bulles et de mettre en avant les principaux phénomènes physiques, parfois très complexes,
considérés avec cette approche5. A la suite de ces analyses théoriques, l’équation de RayleighPlesset permettant d’obtenir le rayon de la bulle en fonction de la pression locale va être
introduite. Les considérations théoriques préalables vont mettre en évidence les hypothèses et
approximations permettant d’obtenir cette équation.
2.1. Problématique de la théorie des bulles
La problématique principale est de définir le comportement dynamique d’une bulle soumise à
son environnement (pression, température). Pour cela, certaines hypothèses qui seront
discutées par la suite doivent être considérées.
Tout d’abord, la bulle est considérée rester sphérique au cours de l’évolution, son rayon est
noté RB (t ) . Cette bulle est supposée entourée par un fluide incompressible, isovisqueux et
infini (pas d’effet de bord). La pression et la température dans le liquide (loin de la bulle) sont
notées respectivement P∞ (t ) et T∞ (t ) et sont supposées uniformes. La densité et la viscosité
dynamique du liquide sont notées ρ L et µ L . La pression et la température internes à la bulle
sont uniformes et notées PB (t ) et TB (t ) .
En admettant dans un premier temps ces hypothèses, la situation peut être représentée par la
Figure II.1. Les données du problème sont la pression et la température à l’infini, P∞ (t ) et
T∞ (t ) .
5
L’ensemble des explications de cette partie est issu principalement de deux ouvrages traitant les aspects
fondamentaux de la cavitation [56], [57].
47
Chapitre II. Cavitation
Conditions à l’infini
P∞ (t ) T∞ (t )
Surface de la bulle
u(r,t)
P(r,t)
T(r,t)
TB(t)
PB(t)
RB(t)
Figure II.1 : Représentation de la bulle dans son environnement
La procédure consiste à traiter le problème comme un écoulement purement radial de fluide
r
incompressible. Par la conservation de la masse, ∇. u = 0 écrite en coordonnées sphériques, il
vient :
u (r , t ) =
F (t )
r2
(II.1)
où F (t ) est une constante d’intégration. L’équation du mouvement dans la direction radiale
s’écrit de la manière suivante :
−
1 ∂ 2 ∂u (r , t ) 2u (r , t )
1 ∂P(r , t ) ∂u (r , t )
∂u (r , t )
=
+ u (r , t )
−υL 2
r
−
ρ L ∂r
∂t
∂r
∂r
r 2
r ∂r
(II.2)
En combinant ces relations, et en intégrant entre r = R B et l’infini il vient la première
équation du problème (exprimée en r = R B ) :
P( RB , t ) = ρ L RB
∂u ( R B , t )
dRB
1
+ 2ρ L
u ( RB , t ) − ρ L u ( RB , t ) 2 + P∞ (t )
∂t
dt
2
(II.3)
Le terme de viscosité s’est annulé mais son effet réapparaîtra par la suite. Ainsi, les équations
du mouvement et de continuité fournissent une équation reliant vitesse et pression à
l’interface (rayon de la bulle) et la pression à l’infini qui est une donnée du problème.
48
Chapitre II. Cavitation
A ce stade du raisonnement, les équations générales que sont la conservation de la masse et la
conservation de quantité de mouvement ne fournissent qu’une équation (II.3) pour les quatre
inconnues, P( RB , t ) , u ( RB , t ) , PB (t ) et RB (t ) . La température de la bulle est liée uniquement
à la pression de la bulle et est calculée par un bilan thermique à l’interface.
Pour obtenir une unique relation, il est nécessaire de fournir deux autres équations, soit un
système de trois équations pour quatre inconnues. La première est une condition aux limites
cinématiques à l’interface qui permet de relier la vitesse à l’interface avec le rayon de la bulle.
La deuxième est une condition aux limites dynamiques à l’interface qui permet d’exprimer la
pression P( RB , t ) dans le liquide en fonction de la pression PB (t ) dans la bulle. Les effets de
la tension de surface et de viscosité seront introduits dans cette relation.
2.2. Condition aux limites cinématiques à l’interface
2.2.1.
Transfert de masse par vaporisation
Les différents effets sur la variation du rayon de la bulle peuvent être d’origine mécanique,
thermique ou de transfert massique. Pour illustrer les effets mécaniques il suffit de considérer
une bulle d’air de masse constante initialement en équilibre et entourée par un fluide au repos.
La variation de la pression du fluide entraînera un déséquilibre mécanique provoquant la
variation du rayon de la bulle. De manière analogue, les effets thermiques peuvent être
illustrés en considérant une bulle d’air de masse constante, initialement en équilibre et
entourée par un liquide au repos. Une variation de la température du liquide entraînera un
déséquilibre thermique provoquant la variation du rayon de la bulle.
L’effet de transfert de masse est plus complexe et est lié au processus de changement de
phase. Durant ce processus, il y a un transfert de masse entre la bulle et le liquide. Si ce
transfert de masse a lieu du liquide vers la bulle, il s’agit de vaporisation (l’inverse est la
liquéfaction). Il y a deux mécanismes de vaporisation : la cavitation et l’ébullition. La
cavitation est la vaporisation de liquide par diminution de pression à température constante.
Autrement dit, l’énergie fournie au liquide par travail mécanique va être consommée pour
vaporiser. L’ébullition est la vaporisation de liquide par augmentation de température à
pression constante. Dans ce cas, l’énergie fournie au liquide sous forme de chaleur va être
consommée pour vaporiser.
Le processus de vaporisation a lieu lorsque le liquide est dit ‘à saturation’. L’état de saturation
est défini pour une pression donnée appelée pression de saturation qui est fonction de la
température. Ainsi, la vaporisation est prise en compte en assimilant directement la pression
49
Chapitre II. Cavitation
de la vapeur dans la bulle à la pression de saturation. Une loi thermodynamique reliant la
pression de saturation avec la température permettrait de prendre en compte l’ébullition. Ce
type de loi n’est pas disponible pour les huiles industrielles. Cependant, et pour les raisons
déjà évoquées en introduction, l’ébullition peut être négligée pour ces huiles industrielles
prévues pour résister à de fortes températures. La pression de saturation est alors considérée
constante.
En conclusion, la pression de vapeur de la bulle est directement assimilée à la pression de
saturation. Cette pression est considérée indépendante de la température, donc constante. Une
pression de vapeur différente ne peut exister qu’en l’absence totale de liquide, situation
impossible dans cette étude. Dans la suite de l’exposé, aucune distinction ne sera faite entre
pression de vapeur et pression de saturation.
2.2.2.
Équilibre de la bulle, loi de Laplace
L’équilibre d’une bulle dans un liquide au repos est gouverné par la loi de Laplace qui
introduit l’effet de tension superficielle agissant à la surface de la bulle. D’un point de vue
physique, l’origine de cette tension superficielle ou tension de surface vient de l’attraction
moléculaire des particules fluides. Cette tension est une force linéique s’exerçant à la surface
de la bulle et qui, d’un point de vue mécanique, peut s’interpréter comme une élasticité de
l’interface. En notant S la tension de surface, l’équation de Laplace s’écrit de la manière
suivante :
PB (t ) = P( RB , t ) +
2S
RB (t )
(II.4)
L’hypothèse de départ du modèle de cavitation est basée sur l’existence de germes de
cavitation présents sous forme de microbulles dispersées dans le liquide. Ces germes sont
présents dans le liquide dès l’alimentation qui peut être considérée comme un état de
référence. A cet état de référence, la loi de Laplace peut s’écrire comme suit6 :
PBa = Pa +
6
2S
RBa
(II.5)
L’indice ‘a’ correspond aux grandeurs à un état de référence, par exemple à l’alimentation.
50
Chapitre II. Cavitation
En supposant que ces bulles contiennent uniquement de la vapeur PBa = PV , il vient la relation
suivante :
RBa =
2S
PV − Pa
(II.6)
Ainsi, d’après la loi de Laplace, le rayon initial de la bulle est négatif. Cette incohérence peut
être résolue de deux manières : soit en négligeant la tension de surface et en permettant un
rayon initial nul, soit en considérant que la bulle contient un mélange de gaz (air) et de
vapeur7.
Négliger la tension de surface n’est évidemment pas une solution physique même si elle peut
s’avérer intéressante du point de vue mathématique. La bulle est donc considérée contenir un
mélange de gaz (air) et de vapeur. La pression de la bulle est alors la somme des pressions
partielles de l’air et de la vapeur8. Il vient ainsi :
PB (t ) = PV + PG (t )
(II.7)
La loi de Laplace se réécrit finalement :
PG (t ) = P( RB , t ) +
2.2.3.
2S
− PV
RB (t )
(II.8)
Transfert de masse par diffusion gazeuse
Le processus de diffusion gazeuse est tout à fait différent du processus de vaporisation. Ce
transfert de masse intervient entre le gaz présent dans la bulle (air) et le liquide.
A l’équilibre, le liquide est dit à saturation, sa concentration de gaz dissous est alors notée c S
et est appelée concentration de saturation. D’après la loi de Henry, cette valeur est
proportionnelle à la pression partielle pG (t ) du même gaz présent à la surface du liquide,
pG (t ) = H r c S où H r est la constante de Henry (fonction du gaz, du liquide et de la
température). La pression partielle du gaz à la surface du liquide est la pression partielle de ce
7
Le modèle de cavitation de Singhal [59] utilisé dans différents codes de calcul commerciaux (Fluent par
exemple), néglige la tension de surface et peut ainsi considérer des bulles constituées uniquement de vapeur.
8
La pression partielle d’un constituant d’un mélange de gaz parfait est la pression qu’il aurait s’il occupait à lui
seul tout le volume du domaine (volume de la bulle).
51
Chapitre II. Cavitation
gaz dans la bulle. A l’équilibre cette pression partielle peut s’exprimer par la loi de Laplace.
Sous la forme suivante :
PG (t ) = P(t ) +
2S
− PV
RB (t )
(II.9)
Ainsi, si la pression P(t ) du liquide augmente, la pression partielle du gaz PG (t ) dans la bulle
augmente et le système est en déséquilibre, le liquide est dit insaturé, la concentration de gaz
dans le liquide doit augmenter pour le retour à l’équilibre du système. A l’inverse, si la
pression à l’interface diminue, la pression partielle du gaz diminue, le liquide est en
sursaturation, la concentration de gaz dans le liquide doit alors diminuer pour retrouver un
état saturé. Ceci donne donc lieu a un échange de masse par diffusion entre la bulle et le
liquide.
En 1992, Sun et Brewe [60] ont analysé les temps caractéristiques de la vaporisation et de la
diffusion gazeuse. Ils ont estimé, de l’ordre de la seconde, le temps nécessaire pour générer
une bulle de 100 µm par diffusion gazeuse et de l’ordre de 10 −6 s celui nécessaire pour
générer la même taille de bulle par vaporisation. L’échelle de temps évalué par Sun et Brewe
pour la vaporisation est directement proportionnelle au rayon de la bulle et est proportionnel
au carré du rayon de la bulle pour la diffusion gazeuse.
En 1950, Epstein et Plesset ont estimé le temps de diffusion gazeuse de l’ordre de la seconde
pour obtenir une bulle de seulement 10 µm de rayon et ont aussi exprimé ce temps
proportionnellement au carré du rayon de la bulle.
En conclusion, la prise en compte de la diffusion gazeuse dépend de l’échelle de temps
cractéristique du système considéré. Pour un SFD aéronautique, la fréquence d’excitation est
généralement inférieure ou égale à 500 Hz. A cette fréquence, le rotor se déplace d’un degré
en environ 5 10 −6 s. Ce temps est de l’ordre du temps de vaporisation nécessaire pour obtenir
une bulle de 100 µm de rayon, c'est-à-dire une bulle de rayon de l’ordre du jeu. Le temps
caractéristique de diffusion est beaucoup trop long par rapport à l’échelle de temps du
système pour avoir une influence. La diffusion gazeuse est ainsi considérée négligeable et ne
sera pas prise en compte dans la suite. Sun et Brewe [60] ont conclu que la cavitation dite
‘gazeuse’ se traduisant par un écoulement à bulles de gaz était la conséquence d’une ingestion
d’air et non d’une diffusion gazeuse. Ces analyses sont en accords avec les observations
52
Chapitre II. Cavitation
effectuées par Zeidan [61] en 1989 qui visualisa clairement l’apparition de bulles de gaz due à
une ingestion d’air dans le film.
2.2.4.
Bilan des vitesses à l’interface
D’après les analyses précédentes, la bulle contient un mélange d’air et de vapeur, le transfert
de masse entre la vapeur et le liquide est pris en compte en imposant la pression de vapeur
constante et le transfert de masse entre l’air et le liquide (diffusion gazeuse) est négligé.
Sur la Figure II.2, u L est la vitesse du volume de liquide coïncidant avec l’interface à l’instant
t. Avec ou sans transfert de masse, cette vitesse est directement assimilée à la vitesse
u ( RB , t ) :
u L = u ( RB , t )
(II.10)
En l’absence de transfert de masse il vient directement :
u ( RB , t ) =
dRB
dt
(II.11)
Cependant un transfert de masse existe entre la vapeur et le liquide. Pour prendre en compte
ce transfert de masse, il faut aussi considérer le volume de vapeur coïncidant avec l’interface
à l’instant t.
uL
uV
dRB/dt
Figure II.2 : Vitesses à l'interface
53
Chapitre II. Cavitation
Les débits massiques de liquide et de vapeur m& L et m& V à l’interface s’expriment de la
manière suivante :
dRB
m& L = ρ L A u L − dt
m& = − ρ A u − dRB
V
V
V
dt
(II.12)
où A est la surface de la bulle. Lors de la vaporisation, les vitesses u L et uV sont toutes les
deux inférieures à la vitesse de la paroi dRB / dt .
La conservation de la masse impose m& L + m& V = 0 , ce qui permet d’écrire la relation suivante :
uL =
dRB ρ V
dR
+
uV − B
dt
dt
ρL
(II.13)
Loin de la température critique9, il y a ρ V / ρ L << 1 . Ainsi, dans cette situation, l’effet du
transfert de masse sur la condition aux limites cinématiques peut être négligé et la relation
(II.11) peut être utilisée. Pour des conditions de fonctionnement normales d’un SFD lubrifié
avec de l’huile, cette hypothèse est à priori vérifiée. La condition aux limites cinématiques
utilisée par la suite est alors simplement donnée par la relation (II.11).
Ceci ne veut en aucun cas dire que le transfert de masse entre le liquide et la vapeur est
négligé. Il est implicitement considéré par le fait d’imposer une pression de vapeur constante
mais son effet sur la vitesse à l’interface est négligeable.
2.3. Condition aux limites dynamiques à l’interface
2.3.1.
Viscosité de dilatation de surface
La viscosité de dilatation est un coefficient supplémentaire introduit en 1960 par Scriven [62]
pour représenter un phénomène additionnel agissant à la surface de la bulle. Pour rappel, la
tension de surface de la bulle est une force linéique qui intervient de manière statique,
comparable à une raideur élastique. L’effet de viscosité de dilatation de surface va être une
9
La température critique est la température à partir de laquelle le système ne peut exister que sous sa forme
gazeuse.
54
Chapitre II. Cavitation
force linéique intervenant de manière dynamique, comparable à un amortissement. Cette force
linéique notée ∆S par analogie avec la tension de surface s’exprime comme suit :
∆S = κ
1 dA
A dt
(II.14)
Où A = 4πRB2 est l’aire de la surface de la bulle, et κ la viscosité de dilatation de surface.
En introduisant le rayon de la bulle, cette variation s’écrit :
∆S = κ
2 dRB
RB dt
(II.15)
Ainsi, de manière analogue à l’effet de la tension de surface, la force surfacique (radiale)
résultante s’écrit :
2∆S 4κ dRB
= 2
RB
R B dt
2.3.2.
(II.16)
Bilan des forces à l’interface
Une condition aux limites dynamique à l’interface s’obtient par un bilan des forces agissant
sur la surface de la bulle. A l’équilibre, une condition aux limites statique est obtenue à partir
de la loi de Laplace qui relie la pression de la bulle, la tension de surface et la pression
extérieure. Pour tenir compte du mouvement de l’interface pour le cas dynamique, il faut
considérer, à la place de la pression extérieure seule, la réaction du liquide sur l’interface et
prendre en compte la viscosité de dilatation. Ceci va permettre de réintroduire l’effet de
viscosité du fluide dans les équations.
σr
4κ dRB
RB2 dt
PB
2S/RB
Figure II.3 : Ensemble des efforts agissant à l’interface de la bulle
55
Chapitre II. Cavitation
La condition aux limites dynamique se traduit par l’équilibre des contraintes radiales agissant
à l’interface représentées sur la Figure II.3. σ r est la réaction du liquide à l’interface, 2 S / R
représente l’effet de la tension de surface (interaction moléculaire), PB la réaction du contenu
de la bulle et
4κ dRB
est l’effet de la viscosité de dilatation. La condition aux limites
RB2 dt
dynamique s’écrit :
σ r + PB −
2S 4κ dRB
−
=0
RB RB2 dt
(II.17)
En utilisant la relation (II.1), la contrainte radiale σ r = − P( RB , t ) + 2 µ L
∂u
∂r
s’exprime de
r = RB
la manière suivante :
σ r = − P( RB , t ) − 4µ L
u ( RB , t )
RB
(II.18)
Ainsi, la condition aux limites dynamiques s’écrit finalement :
P( RB , t ) = PB −
u ( RB , t )
2S 4κ dR B
− 2
− 4µ L
RB RB dt
RB
(II.19)
2.4. Équation de Rayleigh-Plesset (RP)
Avec les conditions aux limites cinématiques et dynamiques, le système d’équation est
maintenant constitué des trois équations (II.3), (II.11) et (II.19) rappelées ci-dessous :
∂u ( R B , t )
dRB
1
+ 2ρ L
u ( RB , t ) − ρ L u ( RB , t ) 2 + P∞ (t )
P( RB , t ) = ρ L RB
∂t
dt
2
dR
B
u ( RB , t ) =
dt
u ( RB , t )
2 S 4κ dRB
P( RB , t ) = PB − R − R 2 dt − 4 µ L R
B
B
B
(II.20)
La combinaison de ces trois équations donne, après quelques calculs, l’équation de RayleighPlesset (II.21) :
P (t ) − P∞ (t ) −
1B 42
4 43
4
Différence de pression
4 µ L dRB
RB dt
14
24
3
Amortissement visqueux
−
2S
RB
{
Tension de surface
−
4κ dRB
RB2 dt
1
424
3
Amortissement de dilatation
2
d ² RB
3 dR
= ρ L RB
+ ρL B
dt ²
2 dt
14444
4244444
3
Inertie à l 'in terface
56
Chapitre II. Cavitation
Le rayon de la bulle s’exprime donc en fonction des autres données du problème. Pour
déterminer la pression dans la bulle il faut déterminer au préalable la température dans la bulle
par une étude thermique classique.
Il est à noter que le terme d’amortissement de dilatation ne figure pas dans les équations de
Rayleigh-Plesset d’origine. Cet effet a été réintroduit en 2003 par Someya [63] dans un
modèle d’écoulement à bulles (bulles contenant exclusivement de l’air).
2.5. Collapse des bulles, endommagement des surfaces dû à la
cavitation
La cavitation est bien connue comme étant une cause très importante de détérioration des
surfaces. L’origine physique de cette détérioration a été largement étudiée par la théorie des
bulles et a été liée à la phase de collapse appelée aussi parfois implosion de bulle. Le but de ce
paragraphe n’est pas de faire une étude approfondie des phénomènes physiques apparaissant
durant le collapse des bulles, mais de simplement nommer les effets qui ont été considérés
comme responsable de l’endommagement de parois.
La phase de collapse de la bulle est un processus très rapide durant laquelle le gaz dans la
bulle se comporte comme un système adiabatique. La vitesse élevée mise en jeu va engendrer
une inertie importante à l’interface qui va contribuer à une très forte compression de la bulle.
La bulle atteint un rayon minimal dans laquelle la pression et la température ont des valeurs
très importantes. Ainsi, à la suite de cette phase, la forte différence de pression à l’interface
entraine une phase de rebond très brutale qui donne lieu à une onde de choc dans le liquide.
La prise en compte de cette onde de choc nécessite de considérer la compressibilité du
liquide. Les études ont montré que les effets de compressibilité n’avaient pas de réelle
influence sur l’aspect purement dynamique de la bulle mais étaient indispensables au
développement des ondes de choc. Ainsi, de nombreux travaux ont été consacrés à la prise en
compte de la compressibilité dans l’équation de RP. En 1964, Hickling et Plesset [56] ont été
les premiers à modéliser numériquement cette onde de choc. Ils ont démontré que le pic de
pression transmis dans le liquide avait une amplitude de l’ordre de 100 P∞ RBa / r . Dans cette
relation, P∞ et RBa sont la pression extérieure et le rayon de la bulle avant le collapse, r est la
coordonnée radiale par rapport au centre de la bulle. Ce pic s’atténue en s’éloignant de la
bulle. Au départ, la présence de gaz dans la phase était considérée comme une condition
57
Chapitre II. Cavitation
nécessaire pour l’existence de la phase de rebond. Cependant, il a été observé par la suite que
la phase de collapse pouvait être si rapide que la vapeur n’avait pas le temps de condenser et
se comportait ainsi comme un gaz.
Dans le processus conduisant à cette onde de choc, la bulle a toujours été considérée
sphérique. Cependant, un autre phénomène a été observé dans les années 60, quand la phase
de collapse de la bulle intervient proche d’une paroi. Dans cette situation, il y a une
dissymétrie causée par la présence de la paroi. La vitesse à l’interface de la bulle proche à la
paroi devient plus faible qu’à l’interface opposée à la paroi. Il a été observé
expérimentalement par des caméras rapides, la formation d’un jet réentrant dans la bulle,
orienté vers la paroi et traversant la bulle. En 1971, Plesset et Chapman [64] ont modélisé
numériquement cette situation et ont estimé la vitesse du jet réentrant sur la paroi. Pour une
bulle de vapeur de rayon initial de 1 mm, initialement tangente à la paroi, soumise à la
pression atmosphérique, le vitesse du jet réentrant a été estimée à 128 m/s. De ces résultats, et
d’autres travaux expérimentaux et numériques effectués par la suite, ce processus a été aussi
considéré comme une cause de l’endommagement des parois.
Bien que la bulle ne reste pas sphérique, la contraction brutale de son volume va malgré tout
permettre le développement d’ondes de choc comme discuté précédemment. L’origine de
l’endommagement de la cavitation causée soit par l’onde de choc ou par le jet réentrant a été
débattue pendant plusieurs années. Des études plus récentes, réalisées dans les années 80 par
Kimoto [56], ont mis en avant la possibilité d’une combinaison des deux phénomènes. Le jet
réentrant aurait pour effet de diviser les bulles pour former un nuage de bulles plus petites qui
continueraient à évoluer en phase de collapse pour générer un nuage d’ondes de choc.
L’impact même du jet réentrant a été estimé non négligeable mais cependant moins néfaste
que l’onde de choc. Il contribue néanmoins à la formation d’un nuage de bulle et à la
multiplication de l’endommagement par ondes de choc.
Pour conclure ce paragraphe, il apparaît que l’endommagement dû à la cavitation, a été
observé comme étant causé par deux phénomènes, l’onde de choc et le jet réentrant. La
modélisation de l’onde de choc nécessite la prise en compte de la compressibilité. La prise en
compte du jet réentrant nécessite une modélisation fine de l’interface de la bulle sans
considérer la bulle sphérique. Ces phénomènes se traduisent par des pics de pression localisés
qui ne peuvent pas être modélisés par l’équation de RP utilisée dans cette étude. En effet, ni
les ondes de choc, ni le jet réentrant ne peuvent être modélisés, avec les hypothèses
d’incompressibilité du fluide et de symétrie sphérique faites au départ.
58
Chapitre II. Cavitation
Le modèle de cavitation qui va être développé sera utilisé pour estimer la fraction volumique
locale de chaque phase. Pour cette utilisation, les hypothèses d’incompressibilité de la phase
liquide et de symétrie sphérique sont acceptables.
2.6. Conclusion
D’après l’étude théorique, un modèle basé sur les équations de RP est tout à fait adapté pour
modéliser la cavitation de vapeur à condition que la bulle contienne de la vapeur à pression de
saturation. Les microbulles d’air présentes initialement dans le lubrifiant vont jouer le rôle de
germes de cavitation, dans lesquelles le liquide va vaporiser [57]. La présence d’air dans les
bulles va permettre d’éviter leur destruction dans les zones de hautes pressions.
Un modèle analogue développé par Singhal [59], basé sur l’équation de RP, est déjà utilisé
dans plusieurs logiciels de calcul CFD commerciaux pour modéliser la vaporisation.
Cependant, beaucoup de termes de l’équation de RP sont négligés et notamment la viscosité
de dilatation qui s’avèrera par la suite avoir une réelle influence d’un point de vue à la fois
physique et numérique.
De plus, il a été vu que la diffusion gazeuse était négligeable de part son temps caractéristique
très long devant les échelles de temps de la dynamique des SFD. Ainsi, conformément aux
observations expérimentales de Zeidan, la cavitation gazeuse, assimilée à un écoulement à
bulles d’air, ne peut apparaître que due à une ingestion d’air dans le film. Bien que l’ingestion
d’air soit négligée, ceci n’est pas incohérent avec l’hypothèse de microbulles d’air présentes
dans le lubrifiant à l’alimentation. En effet, leur origine peut être liée au brassage initial des
huiles ou aux cavités d’air enfermées dans les rugosités des parois.
3.
Modèle
de
cavitation
dans
les
mélanges
homogènes basé sur l’équation de RP
Initialement, le lubrifiant est supposé contaminé par des microbulles de rayon de l’ordre du
dixième du jeu radial, contenant un mélange d’air et de vapeur. Ces bulles sont supposées
dispersées de manière homogène dans le lubrifiant. L’interaction entre les bulles ou avec les
parois n’est pas prise en compte. Le mélange est supposé homogène, ce qui signifie que la
vitesse relative entre les deux phases (lubrifiant et bulle) est nulle. Avec ces considérations,
les équations générales de la Mécanique des Fluides restent valables. L’objectif du modèle de
59
Chapitre II. Cavitation
cavitation appliqué aux mélanges homogènes est de déterminer les propriétés du mélange
(densité et viscosité) en chaque point et en chaque instant.
Le mélange est supposé isotherme, c'est-à-dire qu’il n’y a pas de gradient thermique entre
l’intérieur et l’extérieur de la bulle.
Les équations de RP ont été obtenues en considérant la bulle au repos entourée par un liquide
incompressible et infini. Pour tenir compte de son déplacement dans un écoulement
homogène, il suffit de remplacer les dérivées temporelles par des dérivées particulaires [20].
Cette transformation équivaut à se placer dans le repère lié à la bulle. La pression à l’infini est
maintenant directement assimilée à la pression locale. Ainsi, l’équation de RP (II.21) se
réécrit de la manière suivante :
4µ DRB 2S 4κ DRB
D ² RB
r
r
3 DRB
PB ( x , t ) − P( x , t ) − L
−
− 2
= ρ L RB
+ ρL
2 Dt
RB Dt
RB RB Dt
Dt ²
avec
2
( )
rr
DRB ∂RB
=
+ V .∇ R B
Dt
∂t
(II.22)
(II.23)
Le rayon des bulles est alors déterminé directement en fonction de la pression locale dans le
film. Chaque bulle est toujours considérée entourée par un liquide incompressible et infini, ce
qui signifie simplement que la compressibilité et les effets de parois ne seront pas pris en
compte dans la dynamique de la bulle. La problématique est maintenant de savoir comment
utiliser le rayon de la bulle pour déterminer les propriétés locales du mélange (lubrifiant).
3.1. Fraction volumique, densité et pression de la bulle
r
r
Soit VT ( x , t ) un volume matériel de lubrifiant à la position x et à l’instant t. Ce volume
matériel contient un certain nombre de bulles noté N. Le mélange étant homogène et n’ayant
pas de création ni de destruction de bulles, le nombre N est constant. La masse totale du
volume matériel est constante (conservation de la masse) et est égale à la somme des masses
de ses constituants. La pression partielle de vapeur est constante et la vaporisation se traduit
par un transfert de masse entre le liquide et la vapeur. La masse de liquide et la masse de
vapeur ne peuvent donc pas être considérées constantes. La fraction volumique est déterminée
en tenant compte de ce transfert de masse.
r
r
mT = mV ( x , t ) + mG + m L ( x , t )
(II.24)
r
r
mT est la masse totale du volume matériel. mV ( x , t ) , mG et m L ( x , t ) sont respectivement les
masses de vapeur, de gaz et de liquide.
60
Chapitre II. Cavitation
r
En divisant l’égalité précédente par le volume total VT ( x , t ) , il vient :
r
r
r
r
r
ρ ( x , t ) = ρ V α V ( x , t ) + ρ G ( x , t )α G ( x , t ) + ρ Lα L ( x , t )
(II.25)
ρ V , ρ G ( x, t ) et ρ L sont les densités de vapeur, du gaz dans la bulle et du liquide. Les
r
r
r
densités du liquide et de la vapeur sont considérées constantes. α V ( x , t ) , α G ( x , t ) et α L ( x , t )
sont les fractions volumiques des trois constituants du volume matériel tel que :
r
Vi ( x , t )
r
α i ( x, t ) =
r , i = {V , G, L}
VT ( x , t )
(II.26)
r
r
r
VV ( x , t ) , VG ( x , t ) et VL ( x , t ) sont les volumes occupés par les trois constituants du volume
r
matériel à la position x à l’instant t.
Le gaz et la vapeur sont considérés comme des gaz parfaits. La bulle contient donc un
mélange de gaz parfaits. Or, la caractéristique des gaz parfaits est que les molécules qui les
constituent évoluent indépendamment les unes des autres. Cette propriété est toujours vérifiée
dans le cas d’un mélange de gaz parfaits. Ainsi, pour chaque gaz du mélange, les molécules se
comportent comme si elles occupaient, à elles seules, le volume total de la bulle. Ainsi,
r
r
r
r
r
VB ( x , t ) = VG ( x , t ) = VV ( x , t ) où VB ( x , t ) = 4πRB3 / 3 est le volume de la bulle à la position x à
l’instant t. Les fractions volumiques de gaz et de vapeur sont donc égales et la fraction
r
volumique (gaz-vapeur) α ( x , t ) peut ainsi être définie de la manière suivante :
r
r
r
α V ( x, t ) = α G ( x, t ) = α ( x, t )
(II.27)
Il vient aussi :
r
r
r
r
r
VT ( x , t ) = VV ( x , t ) + VL ( x , t ) = VG ( x , t ) + VL ( x , t )
(II.28)
En divisant par le volume total, et en utilisant la relation (II.27) il vient :
αL = 1−α
(II.29)
Ainsi, en injectant les relations (II.27) et (II.29) dans la relation (II.25), la densité du mélange
s’écrit :
ρ ( x , t ) = α ( x , t )[ρ V + ρ G ( x , t )] + [1 − α ( x , t )]ρ L
r
r
r
r
(II.30)
61
Chapitre II. Cavitation
Les densités du liquide et de la vapeur ρV et ρ L sont des constantes connues. Ainsi, pour
r
déterminer la densité du volume matériel à la position x et à l’instant t, il faut maintenant
r
r
déterminer la densité du gaz ρ G ( x , t ) et la fraction volumique α ( x , t ) .
La diffusion gazeuse étant négligée, la masse de gaz dans la bulle reste constante10 :
r
4
1444324443
4
3 43
142
mG
mGa
r
ρ G ( x , t ) πRB ( x , t ) 3 = ρ Ga πRBa 3
(II.31)
Ce qui permet d’écrire :
RBa
r
ρ G ( x , t ) = ρ Ga
r
RB ( x , t )
3
(II.32)
r
RB ( x , t ) est le rayon de la bulle à la position x à l’instant t.
Le gaz contenu dans la bulle est de l’air. Ainsi en introduisant la constante de l’air, rair = 287
J.kg-1.K-1, la densité à l’état de référence du gaz dans la bulle s’exprime comme suit :
ρ Ga =
PGa
rair TBa
(II.33)
La pression partielle du gaz à l’état de référence est déterminée en utilisant la loi de
Laplace (II.8) :
PGa = Pa +
2S
− PV
RBa
(II.34)
Ainsi, en combinant les relations (II.32), (II.33) et (II.34) la densité du gaz s’écrit comme
suit :
R (P − P ) + 2 S RBa
r
ρ G ( x , t ) = Ba a V
r
rair TBa RBa
R
(
x
B ,t)
3
(II.35)
r
En introduisant le nombre de bulle N dans le volume matériel, la fraction volumique α ( x , t )
s’écrit :
10
L’indice ‘a’ correspond aux grandeurs à un état de référence, par exemple à l’alimentation.
62
Chapitre II. Cavitation
r
NVB ( x , t )
r
r
r
α ( x, t ) =
= n( x , t )VB ( x , t )
r
VT ( x , t )
(II.36)
r
Le nombre de bulles N est constant mais le volume total VT ( x , t ) n’est pas constant, donc
r
n = N / VT ( x , t ) n’est pas constant. Cependant, en utilisant le fait que la masse totale du
volume matériel reste constante, le rapport N / mT est constant. Ce qui donne :
n
N
N
n
= r
r = r =
mT ρ ( x , t )VT ( x , t ) ρ ( x , t ) ρ a
(II.37)
r
r
ρ ( x, t )
Il vient ainsi : n( x , t ) =
na
(II.38)
ρa
La fraction volumique de gaz α a à l’état de référence est une donnée d’entrée et peut
s’exprimer comme suit :
α a = naVBa
(II.39)
En combinant les relations (II.38) et (II.39), il vient :
r
ρ ( x , t )α a
r
n( x , t ) =
ρ aVBa
(II.40)
Les relations (II.36) et (II.40) permettent d’écrire la fraction volumique sous la forme
suivante :
r
r
r
ρ ( x , t )α a VB ( x , t ) ρ ( x , t )α a
r
=
α ( x, t ) =
ρa
ρa
VBa
3
r
RB ( x, t )
RBa
(II.41)
De plus, la densité à l’état de référence s’exprime comme suit :
ρ a = α a (ρ V + ρ Ga ) + (1 − α a )ρ L
(II.42)
Ainsi, en injectant l’expression de la densité (II.30), de la densité à l’état de référence (II.42)
et de la densité du gaz (II.35) dans la relation (II.41), il vient après quelques calculs :
αa
r
α ( x, t ) =
ρ L − ρ V RBa
+
r
R
(
x
ρ
L
B , t)
α a
3
α a ρV
+ (1 − α a )
ρL
(II.43)
63
Chapitre II. Cavitation
Tant que la température est supposée faible par rapport à la température critique, il vient
ρ V / ρ L ≈ 0 , revenant à écrire ρ V ≈ 0 . Dans ce cas la fraction volumique et la densité
peuvent s’écrire de la manière suivante [20], [63] :
αa
r
α ( x, t ) =
3
RBa
α a +
r (1 − α a )
R
x
(
B , t)
ρ ( x , t ) = α ( x , t ) ρ G ( x , t ) + [1 − α ( x , t )]ρ L
r
r
r
r
(II.44)
(II.45)
Les expressions de la fraction volumique et de la densité données par (II.44) et (II.45) sont
analogues à celles obtenues en considérant, au départ, une bulle d’air de masse constante.
L’approximation ρ V / ρ L ≈ 0 revient donc à négliger l’effet du transfert de masse entre le
liquide et la vapeur sur la fraction volumique.
D’après l’hypothèse de départ, il n’y a pas d’ingestion d’air dans le lubrifiant et l’huile est
contaminée par des microbulles. En toute cohérence avec la réalité physique, l’huile ne sera
que faiblement contaminée, ce qui se traduira par α a de l’ordre de 0.01. Le rayon des bulles à
l’état de référence RBa sera de l’ordre de C/10.
Il est à noter de plus, que le modèle obtenu est nécessairement conservatif car il découle
directement de la conservation de la masse. Pour terminer, il reste à déterminer la pression
dans la bulle. Le gaz présent dans la bulle étant assimilé à un gaz parfait, la loi d’état
PGVB = mG rair TB permet d’écrire :
3
r
R Ba TB ( x , t )
r
PG ( x , t ) = PGa
r
RB ( x , t ) TBa
(II.46)
Ainsi, en utilisant la relation (II.34), il vient :
r
2S
PG ( x , t ) = Pa +
− PV
RBa
3
r
RBa TB ( x , t )
r
RB ( x , t ) TBa
(II.47)
Comme vue précédemment, la pression de la bulle est la somme des pressions partielles de
r
r
chaque constituant, PB ( x , t ) = PV + PG ( x , t ) . De plus, le mélange étant supposé isotherme, la
64
Chapitre II. Cavitation
température de la bulle est directement assimilée à la température dans le liquide. Ainsi, avec
la relation (II.47), il vient finalement :
r
2S
PB ( x , t ) = PV + Pa +
− PV
RBa
3
r
RBa T ( x , t )
r
RB ( x , t ) Ta
(II.48)
A ces relations doit s’ajouter un modèle de viscosité.
3.2. Modèles de viscosité
Différents modèles existent dans la littérature pour prendre en compte l’influence de la
cavitation sur la viscosité. Voici les principaux modèles qui sont rappelés dans les travaux de
Diaz [20].
r
Owens : µ ( x , t ) = µ L
(II.49)
r
r
Hayward : µ ( x , t ) = µ L [1 + 1.5α ( x , t )]
(II.50)
r
r
r
Dukler : µ ( x , t ) = α ( x , t ) µ G + (1 − α ( x , t ) )µ L
(II.51)
r
r
f G ( x, t ) 1 − f G ( x, t )
1
Mac Adams : r =
+
µ ( x, t ) µ G
µL
(II.52)
r
r
r
Cicchitti : µ ( x , t ) = f G ( x , t ) µ G + (1 − f G ( x , t ) )µ L
(II.53)
µG et µ L sont les viscosités du gaz et du liquide et f G ( x , t ) = mG / (mG + m L ) est la fraction
r
massique de gaz.
Le modèle Owens est le plus simpliste, la viscosité est gardée constante et égale à la viscosité
du liquide. Le modèle Hayward est un modèle permettant d’estimer la viscosité d’un fluide
r
contenant des particules sphériques en suspension tel que α ( x , t ) < 0.03 . La validité restreinte
de ce modèle ne permet pas son utilisation pour l’étude en cours. Le modèle Dukler est une
analogie directe avec l’expression de la densité donnée en (II.45). Le modèle de Mac Adams
s’obtient lui par analogie avec l’expression (II.54), équivalente à la relation (II.45). Le modèle
de Cicchitti est une autre variante.
r
r
f G ( x, t ) 1 − f G ( x, t )
1
r =
r +
ρ ( x, t ) ρ G ( x, t )
ρL
(II.54)
65
Chapitre II. Cavitation
Il reste maintenant à faire le choix entre les modèles Owens, Dukler, Mac Adams ou Cicchiti.
La masse de la bulle étant constante, cela signifie que la fraction massique f est constante. Le
modèle Mac Adams et Cicchitti se traduisent donc par une viscosité constante. Dans ce cas,
seul le modèle de Dukler est à viscosité variable. C’est pour cette raison que Diaz a choisi ce
modèle parmi les quatre autres. Someya a, lui, utilisé une expression de la viscosité sous la
forme d’un polynôme d’ordre 5 en α
dont les coefficients ont été déterminés
expérimentalement.
Cependant, l’huile ne sera que faiblement contaminée par de petites bulles à l’alimentation et
il a été observé numériquement que dans ce cas, le modèle de viscosité utilisé n’aura pas
d’influence significative. En effet, dans les zones de hautes pressions, les bulles seront très
comprimées et la fraction volumique sera faible. Comme le décrit le modèle Dukler,
l’influence sur la viscosité est négligeable. Dans la zone de basse pression, c’est à dire dans la
zone de cavitation, les bulles auront un rayon plus important et la fraction volumique aura
augmenté. Il est donc cohérent que la présence de ces bulles ait un impacte sur la viscosité.
Cependant, dans le SFD, l’écoulement est généré par gradient de pression (Poiseuille pure).
Dans la zone de cavitation, la pression varie peu, la vitesse d’écoulement et le cisaillement
sont quasi nuls. C’est pour cela qu’il n’y a pas de réelle influence du modèle de viscosité
utilisé pour les cas où α a est relativement faible. Dans le cas contraire, pour une forte
contamination, le modèle de viscosité utilisé aura une réelle influence car la fraction
volumique aura une valeur non négligeable y compris dans les zones de hautes pressions. De
même, dans un palier hydrodynamique, le modèle de viscosité utilisé aura une influence à
cause du cisaillement (effet de Couette) engendré par la rotation de l’arbre.
D’un point de vue physique, ces modèles restent néanmoins critiquables car il ne considèrent
pas la bulle en tant que réel composant de l’écoulement. Un modèle réaliste de viscosité
prendrait en compte la bulle en considérant la tension de surface et l’ensemble des
phénomènes agissant à son interface comme la viscosité de dilatation de surface. Les modèles
précédents impliquent une baisse de viscosité quand la quantité de gaz augmente. Il a
cependant été observé expérimentalement par Hayward [65] en 1961 que, dans des paliers
hydrodynamiques, la présence de bulles dans le lubrifiant pouvait contribuer à une
augmentation de la viscosité. Ces observations ont été confirmées expérimentalement en 2007
par Goodwin, Dong, Yu et Nikolajsen [66]. En 1999, Nikolajsen [67] a ainsi proposé un
modèle prenant en compte l’effet de la tension de surface des bulles sur la viscosité. Son
66
Chapitre II. Cavitation
modèle prend en compte le cisaillement des bulles causé par la rotation de l’arbre d’un palier
hydrodynamique. Il introduit alors l’effet de la tension de surface par une force
proportionnelle à la variation de la surface de la bulle. Cette force aura pour effet une
augmentation de viscosité dont l’influence dépend du rayon des bulles et de la contamination
initiale. Bien que la démarche soit intéressante, cette procédure est sans effet pour un SFD car
l’arbre ne cisaille pas le lubrifiant.
En conclusion, les modèles de viscosité existant restent limités. Une modélisation complète de
l’interface de la bulle pourrait s’avérer nécessaire pour une estimation plus fine. Un tel
modèle n’est pas abordé dans cette étude mais l’intérêt de cette discussion est de mettre
l’accent sur la complexité réelle du phénomène.
Suite à toutes les remarques de cette partie, la viscosité sera considérée constante et égale à la
viscosité du liquide pure conformément au modèle Owens.
3.3. Modèle de Diaz
En 1999, Diaz [20] a réalisé des travaux expérimentaux sur des SFD pour mettre en évidence
l’influence de la présence d’air dans les lubrifiants. Les huiles utilisées par Diaz ont été
préalablement contaminées par de fortes quantités d’air, α a allant de 0.1 à 0.9, son objectif
étant de visualiser l’influence de ce paramètre pour de fortes contaminations.
Pour obtenir la relation (II.44), Diaz a considéré dès le départ qu’il n’y avait pas de transfert
de masse entre la bulle et le liquide. Son objectif n’était pas de fournir un modèle de
vaporisation mais plutôt un modèle d’écoulement à bulles d’air. Cependant Diaz a considéré
que les bulles contenaient de la vapeur à pression partielle constante. Or, d’après la théorie
exposée précédemment, cette considération implique que le modèle ainsi obtenu prendra en
compte la vaporisation (à condition de rester loin de la température critique). Il a été observé
que les résultats obtenus par le modèle dépendaient effectivement de la pression de vapeur.
Pour le modèle de Diaz, le rayon de la bulle est déterminé à partir d’une forme très simplifiée
de l’équation de RP qui se traduit par un simple équilibre entre pression intérieure et
extérieure à la bulle, PB = P . La température a été supposée constante. Avec ces hypothèses,
le rayon de la bulle s’exprime directement en fonction de la pression.
P
r
RB ( x , t ) = r Ga
P( x , t ) − PV
1/ 3
RBa
(II.55)
67
Chapitre II. Cavitation
Cette fonction d’inconnue P a une asymptote verticale en P = PV . Le rayon de la bulle tend
vers − ∞ à gauche de l’asymptote et vers + ∞ à droite de l’asymptote. Evidement, d’un point
de vue physique, le rayon de la bulle ne peut pas passer de + ∞ à − ∞ . En effet, avec ce
modèle, la pression locale (résultante d’un processus itératif de résolution) ne pourra pas être
inférieure à la pression de vapeur. Cependant, il est possible que cette pression soit inférieure
à la pression de vapeur au cours du processus itératif, ce qui engendrerait immédiatement une
erreur par l’obtention d’un rayon négatif ou égal à + ∞ . Pour cette situation, il faut appliquer
la procédure suivante dans le processus itératif.
r
IF : P( x , t ) ≤ PV
r
THEN : α ( x , t ) = 1
r
r
ELSE : calcul de RB ( x , t ) et de α ( x , t )
Avec cette procédure, le rayon n’est pas calculé quand la pression atteint la pression de
vapeur. Néanmoins, des problèmes numériques apparaissent quand la pression locale tend
vers la pression de vapeur. En effet, au voisinage de la pression de vapeur, une petite variation
de pression va impliquer une variation importante du rayon de la bulle et engendre donc une
variation importante de la densité. Des problèmes d’oscillations et de divergences numériques
ont été observés lors de l’utilisation de ce modèle pour les cas où l’amplitude du champ de
pression était trop importante.
En résumé, le modèle de Diaz est un modèle pouvant théoriquement modéliser la vaporisation
mais qui va se confronter à des problèmes d’ordre numérique. L’origine des problèmes
observés vient de la forme simplifiée de l’équation de RP utilisée. Tous les termes ayant pour
effet de s’opposer à l’accroissement de la bulle ont été éliminés de l’équation (viscosité du
fluide, viscosité de dilatation de surface, inertie à l’interface, tension de surface) conduisant à
l’explosion incontrôlée de la bulle quand la pression atteint la pression de vapeur. Cependant,
Diaz n’a pas mentionné ces soucis numériques et a utilisé le modèle dans des cas de forte
contamination en air à l’alimentation, α a allant de 0.1 à 0.9. Pour ces valeurs, la densité
(II.45)) et la viscosité (calculée avec le modèle Dukler) ont des valeurs très faibles et la
pression reste supérieure à la pression de vapeur, évitant ainsi les soucis numériques exposés
plus haut. Dans ces situations, l’accroissement des bulles est dû principalement à l’équilibre
mécanique entre la pression partielle de l’air dans la bulle et pression locale. Le phénomène
de vaporisation reste secondaire pour Diaz.
68
Chapitre II. Cavitation
3.4. Modèle de Someya
En 2003, Someya [63] a développé un modèle pour simuler l’influence de bulles d’air dans
les paliers hydrodynamiques. Le lubrifiant a été considéré comme un mélange homogène de
petites bulles dispersées contenant uniquement de l’air (pas de vapeur). Comme Diaz, Someya
utilise les relations (II.44) et (II.45) pour calculer la fraction volumique et la densité. Le
modèle de viscosité utilisé par Someya a été discuté dans le paragraphe 3.2 et est basé sur des
résultats expérimentaux. Contrairement à Diaz, Someya a négligé uniquement les termes
d’inertie de l’équation de RP pour déterminer le rayon de la bulle et a considéré une faible
contamination de l’huile à l’alimentation, α a ≈ 0.01 . Les termes d’amortissement, et en
particulier l’amortissement de dilatation de surface, éliminent les problèmes numériques
évoqués pour le modèle de Diaz.
A première vue, il semble que le modèle de Someya soit exclusivement un modèle
d’écoulement à bulles d’air (écoulement diphasique air-liquide). Cependant, les tests
numériques montrent l’apparition d’un palier à pression constante localisé à pression absolue
nulle qui s’apparente à un palier de vaporisation. Ceci est tout à fait cohérent avec les analyses
théoriques effectuées précédemment. Le modèle de Someya se comporte donc comme un
modèle prenant en compte la vaporisation avec une pression de vapeur nulle. Contrairement à
ce qui pourrait être pensé au départ, ce modèle n’est certainement pas un modèle de cavitation
gazeuse. La présence d’air n’est pas du tout un argument en soi pour parler de cavitation
gazeuse. Pour rappel, la cavitation gazeuse est soit une diffusion gazeuse (très peu probable
dans un SFD), soit une ingestion d’air. D’ailleurs, la cavitation gazeuse se traduit par un palier
de cavitation localisé à la pression atmosphérique et non à une pression absolue nulle [5], [4].
Pour considérer explicitement la vaporisation, il suffit de considérer la pression de la bulle
comme la somme des pressions partielles du gaz et de la vapeur et d’imposer la pression
constante de vapeur égale à la pression de saturation.
3.5. Conclusion et synthèse du modèle de cavitation de vapeur
Pour synthétiser l’ensemble des analyses précédentes, le modèle de cavitation de vapeur, est
donc constitué de l’ensemble des relations suivantes :
4 µ DRB 2 S 4κ DRB
D ² RB
r
r
3 DRB
PB ( x , t ) − P( x , t ) − L
−
− 2
= ρ L RB
+ ρL
RB Dt
RB RB Dt
Dt ²
2 Dt
144444244444
3
2
(II.56)
Inertie à l 'inertface
69
Chapitre II. Cavitation
( )
rr
DRB ∂RB
=
+ V .∇ RB
Dt
∂t
(II.57)
r
2S
PB ( x , t ) = PV + Pa +
− PV
RBa
αa
r
α ( x, t ) =
3
r
RBa T ( x , t )
r
RB ( x , t ) Ta
(II.59)
3
R Ba
α a +
r (1 − α a )
RB ( x, t )
ρ ( x , t ) = α ( x , t ) ρ G ( x , t ) + [1 − α ( x , t )]ρ L
r
r
r
r
R (P − P ) + 2 S RBa
r
ρ G ( x , t ) = Ba a V
r
rair TBa RBa
RB ( x , t )
(II.58)
(II.60)
3
r
µ ( x, t ) = µ L
(II.61)
(II.62)
Les paramètres d’entrée propres au modèle de cavitation sont le rayon de la bulle RBa , la
fraction volumique de gaz α a et la température Ta à l’état de référence (par exemple à
l’alimentation ou à la pression atmosphérique), puis, la pression de vapeur PV , la tension de
surface S à la bulle et la viscosité de dilatation κ .
r
r
La pression P( x , t ) et la température T ( x , t ) sont déterminées localement par l’équation du
mouvement (Reynolds ou ‘Bulk Flow’) et l’équation de l’énergie. Pour les écoulements de
film mince sans inertie, la pression est déterminée à partir de l’équation de Reynolds.
4.
Applications numériques
Quelques applications numériques vont maintenant être exposées et seront comparées avec
des résultats expérimentaux. Dans toute cette partie, le rayon de référence de bulle RBa est
fixé à C/10, la viscosité de dilatation est constante et égale à 0.78 10-3 N.s.m-1 conformément
à Someya [63] et la tension de surface S est fixée à 0.035 N.m-1. L’état de référence est
assimilé à l’alimentation.
4.1. Équation de RP sans termes d’inertie, bulle transportée
La résolution de l’équation complète de RP (II.56) pose des difficultés numériques
principalement causées par la dérivée particulaire qui intervient dans les termes d’inertie.
Someya et Diaz ont éliminé ces termes pour faciliter la résolution.
70
Chapitre II. Cavitation
Au sein du système, la bulle peut être comparée à un oscillateur en vibration forcée [56]. Elle
est soumise à un champ de pression oscillant entraînant une variation périodique de son
rayon. Brennen a considéré une solution linéarisée au premier ordre et en a déduit la
fréquence propre de vibration f P du rayon de la bulle sous la forme suivante :
fP =
1
2π
1
4S
(
)
3
P
−
P
+
moy
V
2
R Beq
ρ L RBeq
(II.63)
Pmoy est la valeur moyenne du champ de pression oscillant. Pour un SFD alimenté et étanche,
cette grandeur correspondrait à la pression d’alimentation et RBeq est le rayon de la bulle
correspondant à la pression Pmoy .
Ainsi, pour une pression d’alimentation de 1 bar, une pression de vapeur nulle, un rayon de
bulle à l’équilibre de 100 µm, une densité du liquide de 1000 Kg.m-3 et une tension de surface
de 0.035 N/m, la fréquence propre est de l’ordre de 27 000 Hz, c'est-à-dire largement
supérieure à une fréquence de fonctionnement normale (inférieure à 500 Hz). Ainsi, en
assimilant la bulle à un oscillateur linéaire, les effets d’inertie à l’interface peuvent être
négligés.
L’équation de RP (II.56) sans les termes d’inertie se réécrit de la manière suivante :
DRB
= SR
Dt
(II.64)
avec :
SR =
(PB − Pabs )RB3 − 2SRB2
4 RB (κ + RB µ L )
(II.65)
Pour l’intégration numérique, l’équation (II.64) se réécrit sous la forme conservative :
∂V y
∂V
∂RB ∂
∂V
∂
∂
+ (RBV x ) + (RBV y ) + (RBV z ) = S R + RB x + RB
+ RB z
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
(II.66)
Le rayon de la bulle est constant suivant l’épaisseur du film puisse qu’il ne dépend que de
grandeurs indépendantes de y. Les vitesses axiale et circonférentielle Vz et Vx sont
directement égales aux vitesses axiale et circonférentielle moyennes W et U car le profil de
71
Chapitre II. Cavitation
vitesse suivant l’épaisseur du film est supposé constant. Ainsi, en intégrant la relation
précédente suivant l’épaisseur du film et en utilisant la formule de Leibniz11, il vient :
∂
(R B H ) + ∂ (R B HU ) + ∂ (R B HW ) = S R H + R B ∂H + ∂ (UH ) + ∂ (WH )
∂t
∂x
∂z
∂z
∂t ∂x
(II.67)
Cette équation est obtenue directement après intégration selon l’épaisseur du film et
simplifications, sans utiliser de conditions aux limites.
La forme discrétisée de l’équation est obtenue en intégrant en temps et en espace dans les
directions axiale et circonférentielle. En utilisant, comme auparavant, la méthode d’Euler
implicite comme schéma temporel, l’équation discrétisée s’écrit :
(RB Hϑ )nP+1 − (RB Hϑ )nP + [(RB )e Qe − (RB )w Qw + (RB )n Qn − (RB )s Qs ]n+1 δ t
= (S R Hϑ ) δ t + (R
n +1
P
) (Qe − Qw + Qn − Qs )
n +1
B P
n +1
n +1
∂H
δ t − RB
ϑ Pδ t
∂t P
(II.68)
Qi est le débit volumique à travers la face i.
Le rayon de la bulle RB sur les faces est obtenu par un schéma décentré12.
n +1
(RB )e
n +1
(RB )w
(R )n +1
B s
(R )n +1
B n
(
(
)
(
) + (R )
) + (R )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 + SIGN Wen +1
2
n +1
n +1 1 − SIGN W w
= (R B ) P
2
n +1
n +1 1 − SIGN U s
= (R B ) P
2
n +1
n +1 1 + SIGN U n
= (R B ) P
2
= (R B ) P
n +1
1 − SIGN Wen +1
2
n +1
n +1 1 + SIGN W w
B W
2
n +1
n +1 1 + SIGN U s
+ (R B )S
2
n +1
n +1 1 − SIGN U n
+ (R B ) N
2
n +1
B E
(II.69)
En injectant ces expressions du rayon dans l’équation (II.68), il vient après calculs la relation
discrétisée suivante :
11
H(X )
∫
0
12
∂F ( X )
∂
dy =
∂X
∂X
H(X)
∂H
∫ F ( X )dy − F ( H ) ∂X
0
1 si x > 0
SIGN ( x) = − 1 si x < 0
0 si x = 0
72
Chapitre II. Cavitation
d p (R
d E
d W
d N
d
S
d P
)
n +1
B P
=
∑ d (R )
I
I ={N , S , E ,W }
n +1
B I
( )
SIGN We − 1
= Qe
2
( )
( )
( )
SIGN U s + 1
= Qs
2
=
∑d
I
I ={W , E , N , S }
+
(Hϑ )nP+1
δt
n +1
(II.70)
δt
SIGN We − 1
= We H e δx P
2
n +1
n +1
+
(RB Hϑ )nP
( )
n +1
SIGN Ww + 1
= Qw
2
SIGN U n − 1
= Qn
2
+ (S R Hϑ )
n +1
P
( )
n +1
SIGN Ww + 1
= Ww H wδx P
2
( )
SIGN U n − 1
= U n H n δz P
2
( )
SIGN U s + 1
= U s H s δz P
2
n +1
n +1
(II.71)
n +1
n +1
∂H
−
ϑP
∂t P
4.2. Résultats numériques et comparaison avec des résultats
expérimentaux
Les résultats numériques vont être comparés avec les résultats expérimentaux obtenus par
Pietra en 2000 [68] puis revus en 2006 par Adiletta et Pietra [18]. Il est supposé que des
microbulles d’air de rayon RBa sont dispersées de manière homogène dans le lubrifiant à
l’alimentation.
Entrée
Capteur
Sortie
{
Film mince
Figure II.4 : Configuration expérimentale des essais d’Adiletta et Pietra [18]
73
Chapitre II. Cavitation
Le SFD est alimenté par une rainure située à l’extrémité gauche. Une rainure de décharge est
située à l’extrémité droite fonctionnant comme un réservoir de lubrifiant à pression
atmosphérique. Le système ainsi conçu va limiter l’ingestion directe de l’air dans le film, en
fonctionnant comme un SFD alimenté à gauche et ouvert à droite13. La longueur du SFD est
de 30 mm, le diamètre de 140 mm et le jeu radial de 0.385 mm. L’arbre décrit un mouvement
orbital circulaire excentré. La distance entre le centre de l’orbite et le centre du stator est de
1.617 10-2 mm. Le rayon de l’orbite est de C/2.
La vitesse de précession de l’arbre est de 3000 tr/min, soit une fréquence de 50 Hz. La
viscosité du lubrifiant déterminée en fonction de la température mesurée est µ L = 0.066 Pa.s.
La température et la viscosité sont considérées constantes et uniformes. La densité du
lubrifiant pur est ρ L = 877 Kg.m-3. Avec ces paramètres, le nombre de Reynolds modifié est
d’environ 0.6, c'est-à-dire inférieur à 1. Les effets d’inertie peuvent donc être négligés et la
pression va pouvoir être calculée numériquement par l’équation de Reynolds. La pression
d’alimentation (section gauche du SFD) est de 0.02 MPa par rapport à la pression
atmosphérique.
Des mesures de pression sont réalisées par trois capteurs équidistants disposés dans le plan
médian du SFD. La Figure II.5 montre la position de ces trois capteurs ainsi que l’orbite
excentrée décrit par le SFD.
13
Pour mettre en évidence l’ingestion d’air se traduisant par l’apparition d’un palier à la pression atmosphérique,
les auteurs ont dû modifier la configuration du SFD.
74
Chapitre II. Cavitation
TP3
ω
OS
OR
O'
β
TP2
TP1
α1 ≈ 80°
Figure II.5 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d'Adiletta [18], configuration et
positionnement des capteurs
αa = 0.1
0.5
αa = 0.01
Capteur TP1
Pv = 0.0
αa = 0.001
Pression absolue [MPa]
0.4
Experimental
0.3
0.2
0.1
0
0
20
-0.1
β = ωτ [rad]
Figure II.6 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de la fraction
volumique de gaz à l’alimentation sur la pression mesurée au capteur TP1.
75
Chapitre II. Cavitation
La Figure II.6 montre l’influence de la fraction volumique de gaz à l’alimentation α a sur la
pression absolue mesurée par le capteur TP1. Les calculs numériques sont effectués avec une
pression de vapeur absolue PV = 0 et les résultats sont comparés avec les données
expérimentales. L’absence d’un palier de cavitation à la pression atmosphérique sur la courbe
expérimentale, montre une absence significative d’ingestion d’air. Le palier de cavitation
mesuré expérimentalement par Adiletta est plus bas que le zéro absolu, et ne peut
correspondre qu’à une vaporisation. Le fait que ce palier de pression soit aussi bas n’est pas
expliqué par Adiletta et Pietra qui n’excluent pas des imprécisions de mesures. Ce résultat
pourrait s’expliquer par une interaction entre la bulle et les parois mais de tels phénomènes ne
sont pas pris en compte dans le modèle actuel. Pour obtenir des résultats similaires il faudrait
multiplier environ par 100 la tension de surface, c'est-à-dire ajouter une action mécanique
s’opposant à la croissance de la bulle. Cette action mécanique peut éventuellement être
fournie par les parois quand la bulle est en contact avec celles-ci. D’un point de vue
numérique, l’étendue et la forme du palier de cavitation semblent conformes avec les résultats
expérimentaux. Le modèle permet de prédire le pic de tension14 souvent observé
expérimentalement [68], [18], [55]. L’amplitude de ce pic de tension dépend de la
contamination initiale du lubrifiant.
La Figure II.7 montre aussi l’influence de la contamination en air α a mais pour les mesures
effectuées au capteur TP2. Les observations précédentes sont toujours vérifiées, mise à part
une meilleure correspondance entre les résultats numériques et expérimentaux dans la zone de
haute pression. Des résultats obtenus avec le modèle de Diaz et α a = 0.01 sont aussi
présentés et montrent ainsi, conformément aux analyses faites précédemment, que le modèle
de Diaz permet de modéliser la vaporisation. Il apparaît néanmoins que le pic de tension n’est
pas obtenu avec le modèle de Diaz. De plus, des difficultés numériques sont apparues lors de
son utilisation dans cette configuration et les résultats numériques pour α a = 0.001 n’ont pu
être obtenus. Donc, finalement, le modèle de Diaz apporte une moins bonne prédiction et est
numériquement moins stable que le modèle plus complet donné par l’équation (II.64). Ces
aspects ont été discutés au paragraphe 3.3.
14
En théorie, la tension désigne la pression inférieure à la pression de vapeur. En pratique, la pression de vapeur,
en particulier pour les huiles, est souvent assimilée au zéro absolue. Ainsi, le terme ‘tension’ est couramment
utilisé pour qualifié le phénomène de pression négative.
76
Chapitre II. Cavitation
αa = 0.01
αa = 0.001
0.5
αa = 0.01 (Modèle de Diaz)
Experimental
Capteur TP2
Pv = 0.0
Pression absolue [MPa]
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
-0.1
β = ωτ [rad]
Figure II.7 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de fraction
volumique de gaz à l’alimentation sur la pression mesurée au capteur TP2.
Les mesures expérimentales de la pression effectuées au capteur TP3 et présentées sur la
Figure II.8, montrent un palier de cavitation à une position plus élevée que celle mesurée aux
capteurs TP1 et TP2. Cela signifierait que ce palier de tension mesuré expérimentalement
dépendrait de la configuration locale. Des calculs numériques ont été effectués pour
différentes pressions de vapeur. Le palier de cavitation obtenu correspond à la pression de
vapeur imposée, conformément à un modèle de type Swift-Stiber ou JFO utilisé en
Lubrification.
Pour finir, la Figure II.9 montre l’évolution du rayon de la bulle mesurée au capteur TP2. La
bulle reste de l’ordre de l’épaisseur locale du film.
77
Chapitre II. Cavitation
0.5
Pv = 0.0
Pv = 0.01 MPa
Pv = 0.04 MPa
0.4
Capteur TP3
αa= 0.01
Pv = 0.07 MPa
Pression absolue [MPa]
Experimental
0.3
0.2
0.1
0
0
20
-0.1
β = ωτ [rad]
Figure II.8 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de la pression de
vapeur sur la pression mesurée au capteur TP3.
Pabs [MPa]
0.6
RB / H
H*cste
Capteur TP2
Pv = 0.0
αa = 0.01
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
-0.1
β = ωτ [rad]
Figure II.9 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], variation du rayon de la bulle
au capteur TP2.
78
Chapitre II. Cavitation
4.3. Équation de RP complète, bulle non transportée
Les résultats numériques déterminés précédemment sont basés sur une équation de RP dans
laquelle les effets d’inertie à l’interface ont été négligés. Une explication physique, a été
introduite par Diaz [20] pour négliger ces effets en considérant la bulle comme un oscillateur
linéaire. Néanmoins, si l’amplitude de variation du rayon de la bulle est élevée, les effets
d’inertie à l’interface peuvent être important même à des fréquences modérées. La
justification utilisée pour négliger ces effets d’inertie à l’interface est donc critiquable et il
serait intéressant de pouvoir les prendre en compte pour illustrer leurs effets. Someya a lui
aussi négligé les effets d’inertie à l’interface pour des raisons de simplicité numérique.
Cependant le modèle proposé par Someya s’appliquait à un palier hydrodynamique avec
chargement statique. Le comportement du lubrifiant est tout à fait différent selon qu’il s’agit
d’un palier ou d’un SFD. Dans le palier, le lubrifiant est entraîné par cisaillement autour de
l’arbre à une vitesse circonférentielle de l’ordre de ωR / 2 . Le système est stationnaire, ce qui
signifie qu’en un point fixe du domaine, la pression reste constante. Une bulle immobile
garderait un rayon constant. La variation du rayon de la bulle est donc due à son entrainement
rr
à la vitesse de l’écoulement, effet pris en compte par le terme V .∇ RB de la dérivée
( )
particulaire. Il est donc indispensable pour Someya de garder ce terme (non linéraire) dans
l’équation. Cependant, c’est aussi ce terme qui constitue la principale difficulté numérique, en
particulier de par sa présence dans les termes d’inertie. Dans un SFD, l’écoulement est non
stationnaire (mouvement de précession) et la pression en un point fixe du domaine dépend du
temps. La variation du rayon de la bulle sera alors la contribution de deux effets : la variation
de pression instantanée et la variation de pression due au déplacement de la bulle. Dans la
configuration des essais d’Adiletta, le SFD est court, se traduisant par une faible vitesse
circonférentielle. Ainsi l’effet du déplacement circonférentiel peut être négligé sur la variation
du rayon de la bulle. L’effet du déplacement axial est aussi négligé sur la variation du rayon
de la bulle. Cette remarque est illustrée par la Figure II.10 qui représente séparément les
termes de la dérivée particulaire déterminés numériquement au capteur TP2. Il apparaît sur
rr
cette figure que le terme V .∇ RB a en effet une influence négligeable.
( )
En d’autres termes, il est supposé que la variation du rayon de la bulle est principalement due
à la variation de pression instantanée plutôt qu’à son déplacement. Avec cette hypothèse, la
dérivée particulaire peut être assimilée à une simple dérivée partielle temporelle. C'est-à-dire,
rr
V .∇ RB = 0 et DRB / DT ≡ ∂RB / ∂t .
( )
79
Chapitre II. Cavitation
0.08
∂RB / ∂t
Capteur TP2
Pv = 0.0
αa = 0.01
(V.∇) RB
DRB / Dt
RB * cste
0.04
0
-0.04
0
20
-0.08
β = ωτ [rad]
Figure II.10 : Dérivée particulaire exprimée au capteur TP2
En notant ∂RB / ∂t = R& B , l’équation de RP se réécrit de la manière suivante où tous les effets
sont pris en compte.:
PB ( x, t ) − P( x, t ) −
4µ L &
2S 4κ &
&& + ρ 3 (R& )2
RB −
− 2 RB = ρ L RB R
B
L
B
2
RB
RB RB
(II.72)
Cette équation peut maintenant être résolue numériquement comme une équation
différentielle ordinaire qui ne pose pas de problème particulier.
4.4. Influence des différents termes sur le champ de pression
A partir de l’équation de RP (II.72), la pression locale peut s’écrire de la manière suivante :
( )
&& + ρ 3 R& 2
P( x, t ) = ρ L RB R
B
L
B
1444242443
Inertie
4µ
− L R& B
RB
142
4
3
Visc osité fluide
2S
−
RB
{
4κ
− 2 R& B
RB
1
42
4
3
Tension de surface
Visc osité de dilatation
+ PB ( x, t )
(II.73)
Cette forme fait apparaitre l’influence de chaque terme sur la pression locale qui est
représentée (en absolue) sur la Figure II.11. Il apparait que, pour cette configuration de SFD,
la tension de surface, la viscosité du fluide et les effets d’inertie à l’interface ont un effet
négligeable. En revanche, la pression de la bulle et la viscosité de dilation ont un effet
80
Chapitre II. Cavitation
important sur le champ de pression. Il apparait ainsi que le palier de cavitation est causé par la
pression de la bulle et que la viscosité de dilatation est responsable du pic de tension.
0.04
Capteur TP2
Pv = 0.0
αa = 0.01
0.03
0.02
[MPa]
0.01
0
-0.01
Tension de surface
Viscosité fluide
Viscosité de dilatation
PB
Inertie
Pression (Reynolds)
-0.02
-0.03
-0.04
2
4
β = ωτ [rad]
6
8
Figure II.11 : Influence de tous les effets dynamiques des bulles sur le champ de pression
5.
Conclusion
Dans ce chapitre, le phénomène de cavitation a été étudié par une approche théorique générale
qui a permis de bien comprendre les principaux aspects physiques. Ainsi, la cavitation dite
‘gazeuse’ a bien été différenciée de la cavitation de vapeur. Cette approche a permis le
développement d’un modèle de cavitation de vapeur conservatif qui a été testé et comparé
avec des résultats expérimentaux. Conformément aux modèles de cavitation de vapeur
classiques de la Lubrification, un palier de pression apparaît à la pression de vapeur.
Néanmoins, et conformément aux résultats expérimentaux, la zone de cavitation ne se limite
pas à ce simple palier à pression constante et le modèle permet aussi de simuler le pic de
tension. Cependant, les expérimentations d’Adiletta ont montré que le palier de pression
n’était pas nécessairement à la pression de vapeur (supposé nulle) et pouvait apparaître bien
en dessous. Cet effet n’est pas dû à la pression de vapeur en elle-même mais peut être lié à un
effet non pris en compte, comme par exemple, l’influence des parois et le fait que la bulle
81
Chapitre II. Cavitation
évolue en espace confiné. Il est possible que, dans certains cas, la bulle atteigne les parois et
que la description de son évolution par l’équation de RP soit incomplète ou invalide. Cela dit,
les autres effets observés dans les expérimentations d’Adiletta semblent dépendre beaucoup
de la configuration du SFD et le modèle est tout à fait acceptable pour les conditions de
fonctionnement données. Tout ceci permet de souligner la complexité du phénomène de
cavitation en film mince.
En conclusion, le modèle développé et qui sera utilisé dans la suite est un modèle de
cavitation de vapeur basé sur la théorie des bulles et sur la théorie des mélanges homogènes.
La vaporisation par ébullition n’est pas considérée, seule la vaporisation par cavitation est
prise en compte. Le modèle est parfaitement conservatif et a été testé et validé sur l’équation
de Reynolds. Ce modèle sera implémenté facilement dans un système d’équations plus
générales type ‘Navier-Stokes’ ou ‘Bulk Flow’ abordé dans le prochain chapitre.
82
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Chapitre III.
1.
Equations du ‘Bulk Flow’
Introduction
Les équations générales du mouvement de la Mécanique des Fluides sont obtenues sous une
forme locale en appliquant le principe fondamental de la dynamique (conservation de quantité
de mouvement) à un volume matériel. Une autre équation fondamentale (équation de
continuité) est obtenue en considérant que la masse de ce volume matériel reste constante.
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à un volume déformable indique que la
variation de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces extérieures, à distance
ou de contact, agissant sur ce volume. D’une manière générale, les forces à distance sont
assimilées aux effets de pesanteur agissant comme une force globale sur le volume. Les forces
de contact s’exercent sur la surface du volume et s’expriment en fonction du tenseur des
contraintes par application du théorème de Cauchy. Ce tenseur des contraintes s’exprime
ensuite en fonction des grandeurs de l’écoulement par une loi de comportement associée. Les
fluides classiques, dis ‘newtoniens’, sont décris par une loi de comportement exprimant la
contrainte en fonction de la pression statique, de la viscosité, et de la compressibilité du
volume. Par cette loi de comportement, l’ensemble des forces surfaciques de contact
s’exerçant sur la surface du volume matériel est considéré. Ces forces de contact sont tout
d’abord engendrées par la pression statique locale dans le fluide qui impliquent une force
surfacique normale à la surface du volume. Des forces surfaciques de contact sont de plus
exercées par les volumes adjacents (effets visqueux) dans les directions normales et
tangentielles à la surface du volume.
Pour les films fluides minces, représentés par l’écoulement confiné entre deux plaques, la
géométrie particulière du domaine va permettre certaines approximations. Tout d’abord, la
vitesse dirigée suivant l’épaisseur du film est négligée et la pression suivant cette direction est
83
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
constante. De plus, les forces surfaciques de contact exercées par les volumes adjacents se
limitent aux frottements exercés parallèlement aux plaques15.
Dans ce chapitre, une analyse dimensionnelle est exposée de manière détaillée à partir des
équations générales (fluide compressible, non isovisqueux et écoulement non stationnaire)
mettant en évidence l’influence des différents termes et justifiant mathématiquement les
remarques précédentes.
La théorie du ‘Bulk Flow’ est, à l’origine, introduite par Hirs en 1973 [69] pour prendre en
compte la turbulence dans les films minces. Le terme ‘Bulk Flow’ peut se traduire
littéralement par ‘écoulement global’ ou ‘écoulement moyen’. Pour faire une analogie directe
avec la démarche de la Mécanique des Fluides présentée précédemment, cette méthode
revient à considérer un volume matériel tel que celui-ci occupe toute l’épaisseur du film. La
vitesse de ce volume est la vitesse moyenne suivant l’épaisseur. Les forces de contact
exercées sur ce volume se traduisent par le cisaillement aux parois. Hirs propose une
extension des travaux de Blasius (de 1913 prévus pour des écoulements de Poiseuille
turbulents dans une conduite), et de Davies et White (de 1928 prévus pour des écoulements de
Poiseuille turbulents entre deux plaques parallèles) pour exprimer ce cisaillement aux parois.
Celui-ci s’exprime alors directement en fonction de la vitesse moyenne via un coefficient de
frottement dont la valeur dépend du nombre de Reynolds local de l’écoulement. Ces lois ont
été établies pour le cas de parois lisses. Cette approche proposée par Hirs pour la prise en
compte des écoulements turbulents de films fluides minces est une alternative aux précédentes
modèles proposées par Constantinescu en 1962 [70], Ng et Pan en 1964 [71] ou Elrod et Ng
en 1967 [72] qui sont construites à partir de théories plus généralistes des écoulements
turbulents (de type longueur de mélange ou loi de parois). Le coefficient de frottement en
régime turbulent peut aussi être défini par la loi de Moody qui inclue l’effet de la rugosité.
Dans le SFD, l’écoulement sera généré par effet de Poiseuille mais ne sera pas nécessairement
turbulent. En régime laminaire, l’expression du coefficient de frottement peut être déterminée
analytiquement en fonction du nombre de Reynolds. Zirkelback et San Andrés [73] ont établi
une relation de ce coefficient de frottement pour le régime de transition en fonction du
nombre de Reynolds et de ces valeurs prises en régime laminaire et turbulent.
15
Ces hypothèses sont assez proches de celles utilisées pour la théorie de la couche limite.
84
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
La première partie de l’exposé présente les bases théoriques du modèle. Les équations du
‘Bulk Flow’ sont démontrées en partant des équations générales de la Mécanique des Fluides
et les lois de Hirs pour la prise en compte des contraintes tangentielles sont présentées.
Ensuite, les aspects numériques de la résolution (procédure de discrétisation des équations,
méthode de résolution basée sur l’algorithme ‘SIMPLE’) sont abordés.
2.
Bases théoriques
Dans un SFD, le lubrifiant est contenu entre la bague extérieure du roulement (le rotor) et le
coussinet (le stator). Le jeu radial C est défini comme la différence entre les rayons du stator
et du rotor. L’épaisseur du film H est de l’ordre du jeu C. Typiquement, le rapport entre le jeu
et le rayon R (rotor ou stator) est de l’ordre de 10-3. Les longueurs axiale et circonférentielle
du SFD sont de l’ordre du rayon. La dimension caractéristique radiale est donc très inférieure
aux autres dimensions du domaine. Cette spécificité géométrique du domaine permet de
négliger la courbure du domaine et de travailler directement dans le repère cartésien
(erx , ery , erz ) où (x, y, z ) sont associés respectivement aux directions circonférentielle, radiale et
axiale.
y
Vy
z
h(x,z,t)
x
Figure III.1 : Représentation développée du film mince
85
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Les éléments théoriques conduisant aux équations du ‘Bulk-Flow’ sont présentés dans cette
partie de manière détaillée. Les simplifications liées à la géométrie du domaine sont
démontrées mathématiquement par une analyse dimensionnelle.
2.1. Démonstration des équations du ‘Bulk Flow’
Les équations générales du mouvement et de la conservation de la masse dans une géométrie
de film mince sont données par le système suivant :
∂ρV x ∂ρV x2 ∂ρV xV y ∂ρV xV z
∂P ∂ ∂V x
=−
+
+
+
+ µ
∂y
∂z
∂x ∂y ∂y
∂x
∂t
2
∂P ∂ ∂V z
∂ρV z ∂ρV zV x ∂ρV zV y ∂ρV z
+
+
+
=−
+ µ
t
x
y
z
z
y
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ ∂ρV
∂ρV y ∂ρV z
x
+
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂t
(III.1)
Les effets d’inertie sont représentés par les membres de gauches des deux premières
équations. Dans le cadre de la théorie classique de la Lubrification des films minces, les
nombres de Reynolds sont faibles, les effets d’inertie à la fois temporelle et d’advection
peuvent être négligés. Dans ce cas, la pression étant indépendante de y, les vitesses
s’expriment directement en fonction du gradient de pression.
1
V x = − 2 µ
V = − 1
z
2µ
∂P 2
y − yH
∂x
∂P 2
y − yH
∂z
(
(
)
)
(III.2)
En injectant ces expressions des vitesses dans l’équation de continuité (troisième équation du
système), et en intégrant suivant l’épaisseur du film, il vient l’équation de Reynolds portant
uniquement sur la pression.
3
3
∂
(ρH ) = ∂ ρH ∂P + ∂ ρH ∂P
∂t
∂x 12µ ∂x ∂z 12µ ∂z
(III.3)
De plus, les vitesses moyennes axiale W et circonférentielle U sont définies par les relations
suivantes :
86
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
H ( x , z ,t )
1
V z dy
W =
H ∫0
H ( x , z ,t )
1
U = H ∫ V x dy
0
(III.4)
Elles se réécrivent ainsi directement en fonction de la pression par les relations suivantes :
U =−
H 2 ∂P
H 2 ∂P
;W = −
12µ ∂x
12µ ∂z
(III.5)
Le système d’équations dont les inconnues sont la pression est les vitesses est alors
parfaitement découplés.
Cependant, et d’après l’étude bibliographique du Chapitre I, les effets d’inertie ne sont pas
nécessairement négligeables et leurs effets doivent être pris en compte dans la modélisation.
L’intérêt du modèle ‘Bulk Flow’ est de ne plus négliger ces effets d’inertie.
Pour obtenir les équations du ‘Bulk Flow’, les trois équations du système (III.1) sont d’abord
intégrées suivant l’épaisseur du film.
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t ) ∂ρV x
∂ρV x2 ∂ρV xV y ∂ρV xV z
∂P
∂ ∂V x
dy = − ∫
µ
dy
dy + ∫
+
+
dy + ∫
∫
∂t
∂y
∂z
∂x
∂y ∂y
∂x
0
0
0
0
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
∂ρV zV x ∂ρV zV y ∂ρV z2
∂ρV z
∂P
∂ ∂V z
µ
dy
dy
dy
dy
+
+
+
=
−
+
∫
∫
∫
∫
∂x
t
y
z
z
y
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂
0
0
0
0
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
H ( x , z ,t )
∂ρV y
∂ρV x
∂ρV z
∂ρ
dy + ∫
dy + ∫
dy + ∫
dy = 0
∫
0 ∂t
∂x
∂y
∂z
0
0
0
La pression étant indépendante de y, la densité sera aussi indépendante de y. La viscosité est
aussi considérée constante suivant l’épaisseur.
Les vitesses axiale et circonférentielle associées à la méthode ‘Bulk Flow’ sont les vitesses
moyennes suivant l’épaisseur. Pour obtenir ces vitesses moyennes, il est nécessaire de faire
une hypothèse sur le profil de vitesse suivant l’épaisseur du film. En laminaire, le profil de
vitesse pour un écoulement de Poiseuille sans effets d’inertie est parabolique. Constantinescu
[33] a considéré que le profil de vitesse restait parabolique et n’était pas perturbé par les effets
d’inertie16. En régime turbulent le profil de vitesse pour un écoulement de Poiseuille peut être
16
Cette approximation est similaire à la méthode Karman Pohlhansen pour l’étude de la couche limite laminaire.
87
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
considéré constant. Ainsi, pour des raisons de simplicité et en supposant que cela n’a pas une
influence significative sur les résultats, le profil de vitesse sera considéré constant quelque
soit le régime de l’écoulement.
En considérant les vitesses constantes suivant l’épaisseur du film, il vient directement :
W = V z
U = V x
(III.6)
En considérant que le stator est en y = H et le rotor en y = 0, les frottements aux parois sont
définis par les relations suivantes :
∂V x
∂y
τ Sx = − µ
y=H
(III.7)
∂V
τ Rx = µ x
∂y y =0
∂V z
∂y
τ Sz = − µ
(III.8)
y=H
(III.9)
∂V
τ Rz = µ z
∂y y = 0
(III.10)
L’intégration des équations en considérant l’ensemble des remarques précédentes donne après
quelques calculs les relations suivantes17 :
17
Soit F(X) une fonction, la formule de Leibniz s’écrit:
H(X )
∫
0
∂F ( X )
∂
dy =
∂X
∂X
H(X)
∂H
∫ F ( X )dy − F ( H ) ∂X
0
88
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∂
DH
∂ρU ² H ∂ρUWH
+ ρ (V x ) y = H (V y )y = H −
∂t (ρUH ) + ∂x +
∂z
Dt
∂P
− ρ (V x ) y =0 (V y )y = 0 = − ∂x H − τ Sx − τ Rx
DH
∂ρW ² H ∂ρUWH
∂
+
+ ρ (V z ) y = H (V y )y = H −
(ρWH ) +
Dt
∂z
∂x
∂t
∂P
H − τ Sz − τ Rz
− ρ (V z ) y =0 (V y )y =0 = −
∂
z
∂
∂ρUH ∂ρWH
DH
+
+ ρ (V y )y = H −
− ρ (V y )y = 0 = 0
( ρH ) +
∂x
∂z
Dt
∂t
(III.11)
Pour aller plus loin, il faut prendre en compte les conditions aux limites portant sur la vitesse
radiale. Il est à remarquer que les éventuelles conditions aux limites cinématiques à la paroi
n’ont pas été utilisées dans la résolution.
Les conditions aux limites portant sur la vitesse radiale s’écrivent :
(V )
=0
(V )
=
Avec :
DH ∂H ∂H
=
+
(Vx ) y = H + ∂H (Vz ) y = H
Dt
∂t
∂x
∂z
y y =0
y y=H
DH
Dt
(III.12)
(III.13)
(III.14)
Ainsi, les équations du ‘Bulk Flow’ s’écrivent finalement :
∂ρU ² H ∂ρUWH
∂P
∂
=−
H − τ Sx − τ Rx
∂t (ρUH ) + ∂x +
∂z
∂x
∂ρW ² H ∂ρUWH
∂P
∂
+
=−
H − τ Sz − τ Rz
(ρWH ) +
∂z
∂x
∂z
∂t
∂ρUH ∂ρWH
∂
∂t (ρH ) + ∂x + ∂z = 0
(III.15)
Il est à remarquer que la présence éventuelle d’orifices apportant une source de masse dans le
film mince n’a pas été prise en compte dans cette démonstration. De plus, les éventuelles
conditions aux limites aux parois sur les vitesses axiale et circonférentielle, n’ont pas été
nécessaires à l’obtention des équations. Cela signifie que ces équations sont aussi valables
pour un rotor en rotation (cas du palier hydrodynamique) et dans un tel cas, l’effet de la
rotation serait pris en compte à travers le terme de cisaillement à la paroi [69].
89
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
2.2. Lois de frottement, contraintes tangentielles
Les contraintes aux parois sont déterminées à partir des travaux de Blasius de 1913 lesquels
ont été généralisés par la suite par Hirs en 1973 [69] pour les écoulements confinés entre deux
plaques. Blasius a formulé une loi permettant d’exprimer la contrainte aux parois en régime
turbulent. La loi de Blasius a été établie pour des écoulements de Poiseuille turbulents
unidirectionnels à travers une conduite de surface lisse. En laminaire, les contraintes aux
parois peuvent être déterminées de manière analytique.
En première partie de cette section, la loi de Blasius est exposée étant suivie d’une extension
de cette loi au cas d’un écoulement unidirectionnel entre deux plaques. Ensuite, la
généralisation proposée par Hirs pour les écoulements bidirectionnels est présentée. Puis, la
loi de Moody permettant la prise en compte des rugosités de surfaces en régime turbulent est
exposée. Pour finir, le régime de transition est traité.
2.2.1.
Écoulement unidirectionnel dans une conduite, loi de
Blasius
Blasius exprime la contrainte à la paroi en fonction de la vitesse moyenne Vc de l’écoulement
dans la conduite de la manière suivante :
τc = f
1
ρVc2
2
f = n1 (Re D ) 2 , avec Re D =
n
(III.16)
ρVc Dh
µ
(III.17)
Le coefficient de frottement noté f dépend directement du nombre de Reynolds de
l’écoulement dans la conduite et Dh est le diamètre hydraulique de la conduite.
Pour le régime turbulent et une conduite hydrauliquement lisse, les coefficients n1 et n2 ont
été déterminés expérimentalement par Blasius tel que, n1 = 0.079 et n2 = −0.25 .
Pour le régime laminaire, les coefficients n et m se déduisent analytiquement. En effet, pour le
cas d’un écoulement unidirectionnel stationnaire dans une conduite, les termes d’inertie
temporelle et d’advection sont nuls. Le débit volumique Q de l’écoulement dans une conduite
de rayon Rc , de longueur Lc et induit par un gradient de pression ∆P peut s’exprimer
comme suit :
90
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Q=−
π ∆P 4
Rc
8µ Lc
(III.18)
De plus le bilan des forces s’exerçant sur le volume obtenu à partir de l’équation du
mouvement peut s’exprimer comme suit (pas d’effet d’inertie) :
πRc2 ∆P = −2πRc Lcτ c
(III.19)
Le débit volumique s’exprime aussi directement en fonction de la vitesse moyenne comme
suit :
Q = Vc πRc2
(III.20)
Ainsi, en combinant les relations (III.16) - (III.20), il vient n1 = 16 et n2 = −1.0 pour le cas
d’un écoulement laminaire dans une conduite.
2.2.2.
Écoulement unidirectionnel entre deux plaques
Un raisonnement tout à fait analogue au précédent peut être fait en considérant un écoulement
laminaire unidirectionnel entre deux plaques de longueur LP de largeur l P et séparée par une
épaisseur H. La contrainte τ P à la paroi s’exprime alors en fonction de la vitesse de
l’écoulement VP comme suit :
τP = f
1
ρV P2
2
(III.21)
Le débit volumique Q s’écrit de la manière suivante :
Q=−
H 3 ∆P
lP
12 µ LP
(III.22)
Dans ce cas, le bilan des forces s’écrit comme suit :
l P H∆P = −2τ P LP l P
(III.23)
Le débit volumique en fonction de la vitesse moyenne devient :
Q = VP Hl P
(III.24)
Pour ce cas d’écoulement entre deux plaques, le coefficient de frottement est défini de la
manière suivante :
91
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
f = n1 (Re H ) 2 , avec Re H =
n
ρV P H
µ
(III.25)
Ainsi en combinant les relations (III.21) - (III.25), le coefficient de frottement pour le cas
d’un écoulement entre deux plaques en régime laminaire, Re H < 1000 , est donné par les
relations (III.25) avec : n1 = 12 et n2 = −1.0 .
Pour le régime turbulent, les valeurs des coefficients peuvent être déduites directement des
résultats de Blasius. En effet, dans le cas d’un écoulement entre deux plaques tel que H<<l, le
diamètre hydraulique est Dh ≈ 2 H . Ainsi, pour le régime turbulent, Re H > 3000 , le
coefficient de frottement pour un écoulement entre deux plaques est donné par les relations
(III.25) avec : n1 = 0.066 et n2 = −0.25 .
2.2.3.
Écoulement bidirectionnel entre deux plaques, loi de
Hirs
Les relations précédentes ont été établies pour des écoulements unidirectionnels. Hirs a
généralisé ces relations aux cas d’écoulements bidirectionnels entre deux plaques. Ainsi les
r
r
contraintes tangentielles aux parois rotor et stator dans les directions e x et e z définies dans
les relations (III.15) s’écrivent de la manière suivante :
1
τ Sz = τ Rz = f 2 ρV PW
τ = τ = f 1 ρV U
Rx
P
Sx
2
(III.26)
où V P = U 2 + W 2 est la résultante de la vitesse moyenne locale dans le film.
Le coefficient de frottement est inchangé par rapport au cas unidirectionnel et est donné par
les relations (III.25). La valeur des paramètres n1 et n2 en fonction du régime de
l’écoulement est donnée dans le précédent paragraphe.
Dans le cas de surface rugueuse, et en régime turbulent, une autre loi existe pour exprimer le
coefficient de frottement.
2.2.4.
Écoulement turbulent et surfaces rugueuses, loi de
Moody
Cette loi est valable pour les écoulements totalement turbulents, Re H > 3000 .
92
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
D
g rug C mo mo
f = Amo 1 + Bmo
+
H
Re H
(III.27)
Amo =1.375⋅10-3, Bmo =104, Cmo =5.105, Dmo = 1 2.65
Le coefficient g rug est la rugosité moyenne de surface.
Remarque:
La relation de Moody n’est qu’une approche linéaire de la loi de Colebrook qui, elle, a le
désavantage d’être exprimée par une relation non-linéaire. Les relations s’appliquent donc
avec une erreur de 5% pour 4 ⋅ 10 3 < Re H < 10 7 et g H < 0.01 . De plus, étant dérivée de la
loi de Colebrook, la relation de Moody n’est correcte que pour des surfaces rugueuses
commerciales (Schlichting, 1978).
Cette expression du coefficient de frottement est utilisée avec les lois de Hirs (III.26) par San
Andrés, Childs et Yang pour la modélisation de l’écoulement en régime totalement turbulent
dans un joint annulaire [74], [75] ou dans un palier hydrostatique [76]. Cependant, le régime
peut être ni totalement turbulent, ni totalement laminaire, c’est le régime de transition.
2.2.5.
Prise en compte du régime de transition
Dans le cas où 1000 < Re H < 3000 , l’écoulement n’est ni complètement laminaire ni
complètement turbulent. C’est le régime de transition. La plus simple approximation pour
prendre en compte cette transition est l’utilisation d’une interpolation polynômiale. En 1996,
Zirkelback et San Andrés [73] propose une écrite du coefficient de frottement sous la forme
suivante :
( f )lami , Re ≤ 0
2
3
2
3
f = ( f )lami 1 − 3Re + 2Re + ( f )turb 3Re − 2Re , 0 < Re < 1
( f ) , Re ≥ 1
turb
(
Re =
)
(
)
(III.28)
Re H − 1000
2000
( f )lami
et
( f )turb
sont les coefficients de frottement déterminés en régime laminaire et en
régime turbulent respectivement. Le désavantage de cette approximation est qu’elle ne fait pas
de distinction entre la transition dans un écoulement de Poiseuille et celle dans un écoulement
93
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
de Couette comme montré par Frêne et Constantinescu en 1975 [77]. Néanmoins, la relation
est simple et très facile d’utilisation dans le modèle ‘Bulk Flow’ de Hirs.
3.
Résolution numérique
La démarche de résolution des équations des films minces avec forces d’inertie a été
introduite par Launder et Leschziner pour des écoulements incompressibles [78]. Elle a été
adaptée par la suite par Arghir et Frêne pour la résolution des équations de films minces
compressibles [79] à partir d’une démarche proposée par Karki et Patankar [80].
Cette partie traite les aspects numériques de la résolution. Les équations du ‘Bulk Flow’ sont
tout d’abord discrétisées conformément à la méthode des volumes finis. L’algorithme de
résolution du système couplé pression-vitesse basé sur la méthode ‘SIMPLE’ est exposée par
la suite [23]. Pour finir, deux types de conditions aux limites sont traitées suivant que le SFD
soit ouvert ou totalement étanche.
3.1. Discrétisation des équations du ‘Bulk Flow’
Les équations générales du ‘Bulk Flow’ s’écrivent de la manière suivante :
( )
r
∂
(ρHΞ ) + ∇. JΞ = S Ξ
∂t
(III.29)
r
t
Avec J = (ρHU , ρHW )
Ξ
SΞ
Équation de continuité
1
0
r
Équation du mouvement / e x
U
−
∂P
H − τ Sx − τ Rx
∂x
r
Équation du mouvement / e z
W
−
∂P
H − τ Sz − τ Rz
∂z
Tableau 1 : Formulation générale des équations
Il faut maintenant intégrer à la fois en espace et en temps. L’intégration en espace est opérée
en tenant compte du maillage décrit Figure III.2.
94
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
δxN
PN
U
PN
NW
N
Un ,
U
nW
UW
δxP
Uw
WW
PW
δ zW
δxS
UP
U W
P P
Ww
Pw
n
Pn
PPP
P U
s
U ,W
s s
Ps
PUS
S
WS
PS
Ue
UE
We
Pe
WE
PE
δ zE
δ zP
Figure III.2 : maillage rectangulaire
L’intégration des équations du mouvement donne :
t +δ t
∫
t
∂
∫ϑ ∂t (ρHΞ )dϑdt +
t +δ t
t +δ t
r
∫ ∫ ∇. JΞ dϑdt = ∫ ∫ S Ξ dϑdt
t ϑ
( )
t ϑ
Les opérateurs d’intégration temporelle et spatiale peuvent être intervertis car le volume ϑ est
indépendant du temps18 et le premier terme s’écrit alors :
t +δ t
∂
∫ ϑ∫ ∂t (ρHΞ )dϑdt = (ρHΞ
n +1
p
− ρHΞ np )ϑ p
(III.30)
t
La relation pour le deuxième terme de l’équation s’écrit :
t +δ t
t +δ t
t +δ t
r
r r
∫ ∫ ∇. JΞ dϑdt = ∫ ∫ JΞ ⋅ ndγ dt = ∫ (m& e Ξ e − m& w Ξ w + m& n Ξ n − m& s Ξ s )dt
t ϑ
18
( )
t Γ
(III.31)
t
Ici, ϑ fait référence au volume de contrôle, ce qui est un abus de langage car ϑ p = δx p δz p n’a pas la
dimension d’un volume. Les équations du ‘Bulk Flow’ ont été obtenues après intégration selon l’épaisseur du
film, la dimension ‘y’ qui, elle, varie avec le temps n’est plus à prendre en considération.
95
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Où les expressions des débits massiques à travers les surfaces sont définis par :
m& i = ( J n γ )i = ρ iVni H i γ i , i = {w, s, e, n}
(III.32)
L’intégration temporelle est effectuée par le schéma Euler implicite et le terme source est
considéré constant dans le volume de contrôle. Ainsi, l’équation discrétisée s’écrit
finalement :
(ρHΞ
n +1
p
)
− ρHΞ np ϑ p + (m& e Ξ e − m& w Ξ w + m& n Ξ n − m& s Ξ s ) δ t = (S Ξ ) p ϑ p δ t
n +1
n +1
(III.33)
La variable Ξ sur les arêtes du volume de contrôle est déterminée en tenant compte du sens
de la vitesse normale. Une valeur à l’ordre un de précision est obtenue en considérant
directement la valeur dans le volume amont (schéma décentré)19 :
n +1
Ξ w
n +1
Ξ e
Ξ n +1
s
Ξ n +1
n
(
)+Ξ
(
)
(
)
(
)
1 − SIGN Wwn+1
2
n +1
n +1 1 + SIGN We
= ΞP
2
1 − SIGN U sn +1
= Ξ nP+1
2
n +1
n +1 1 + SIGN U n
= ΞP
2
= Ξ nP+1
(
)
(
)
(
)
(
)
1 + SIGN Wwn+1
2
n +1
n +1 1 − SIGN We
+ ΞE
2
1 + SIGN U sn+1
+ Ξ nS+1
2
n +1
n +1 1 − SIGN U n
+ ΞN
2
n +1
W
(III.34)
Après calculs, l’équation discrétisée s’écrit sous la forme :
aP Ξ
n +1
p
+ (m& n − m& s + m& e − m& w )
n +1
Ξ
n +1
p
=
∑a Ξ
I
I =W , S , E , N
n +1
I
+ (S Ξ ϑ )
n +1
p
+
(ρHΞϑ )np
δt
(III.35)
Avec :
19
1 si x > 0
SIGN ( x) = − 1 si x < 0
0 si x = 0
96
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
aW
a
E
a S
a N
SIGN (Ww ) + 1
= m& w
2
SIGN (Ww ) + 1
= ρ w H wWwδx P
2
n +1
SIGN (We ) − 1
= m& e
2
n +1
SIGN (We ) − 1
= ρ e H eWe δx P
2
n +1
SIGN (U s ) + 1
= m& s
2
n +1
SIGN (U s ) + 1
= ρ s H sU s δz P
2
n +1
SIGN (U n ) − 1
= m& n
2
aP =
∑a
I
I =W , S , E , N
+
n +1
SIGN (U n ) − 1
= ρ n H nU nδz P
2
(ρHϑ )np+1
n +1
(III.36)
n +1
(III.37)
δt
En intégrant l’équation de continuité, il vient la relation :
(m& n − m& s + m& e − m& w )n+1 = − 1 [(ρHϑ )np+1 − (ρHϑ )np ]
δt
(III.38)
L’équation discrétisée se réécrit de la manière suivante :
aP Ξ
n +1
p
=
∑a Ξ
I
I =W , S , E , N
Avec : a P =
n +1
I
∑a
I
I =W , S , E , N
+ (S Ξ ϑ )
+
n +1
p
+
(ρHϑ Ξ )np
δt
(ρHϑ )np
δt
(III.39)
(III.40)
L’équation (III.39) sera résolue de manière itérative pour déterminer les vitesses U et W. Dans
certains cas, la solution devra être sous relaxée pour améliorer la stabilité. Pour une équation
de la forme :
a pφ p = ∑ a I φ I + S 0
(III.41)
I
Si φ p* est le résultat de l’itération précédente, alors le résultat de l’itération courante avec un
facteur de sous relaxation 0 < χ < 1 s’écrit :
a pφ p = a pφ p* + χ ∑ a I φ I + S 0 − a pφ p*
I
(III.42)
Ce qui donne :
97
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
a pφ p
α
1 − χ
= ∑ a I φ I + S 0 + a pφ p*
I
χ
En posant rV =
1− χ
χ
(III.43)
, cette équation se réécrit :
(1 + rV )a pφ p = ∑ a I φ I
+ S 0 + a pφ P* rV
(III.44)
I
Ainsi la forme discrétisée de l’équation (III.39) avec sous relaxation s’écrit :
(1 + rV )a P Ξ
n +1
p
=
∑a Ξ
I
I =W , S , E , N
n +1
I
+ (S Ξϑ )
n +1
p
+
(ρHϑ Ξ )np
δt
+ a P rV Ξ np+1
(III.45)
La résolution du système linéaire obtenu se fera par la méthode de Gauss Seidel.
3.2. Résolution du système couplé pression - vitesse
Le point central de l’algorithme est la résolution du couplage entre les vitesses et la pression.
De ce fait, les équations d’impulsion (équations des moments) et l’équation de continuité ont
un traitement qui fait la spécificité de la démarche. L’algorithme peut être décrit comme une
procédure itérative du type prédiction - correction20.
Il est supposé que les vitesses et la pression sont décomposées comme suit.
W = W * + W ' , U = U * + U ' , P = P* + P '
(III.46)
L’exposant * faisant référence à la prédiction, et l’exposant ‘ à la correction.
Cette décomposition s’applique aussi aux débits massiques.
m& = m& * + m& '
(III.47)
En introduisant ces décompositions pour W, U et P dans les équations d’impulsion linéaires, il
vient une étape de prédiction et une étape de correction.
3.2.1.
Étape de prédiction, équation d’impulsion
Pour un champ de pression donné (ou estimé), P * , les équations d’impulsion sont intégrées
selon la procédure générale pour les équations de transport.
20
Dans toute cette partie, pour des raisons d’allègement de notation, tout les exposant ‘n+1’ seront omis, sachant
que les seuls termes qui ne sont pas à l’exposant ‘n+1’ mais à l’exposant ‘n’ sont inclus soit dans
aP , soit dans
le terme source.
98
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∂P *
aI
+ aˆ WP
WI* − AP
I =W , S , E , N a P (1 + rV )
∂z P
(III.48)
∂P *
aI
*
+ aˆ UP
U = ∑
U I − AP
I =W , S , E , N a P (1 + rV )
∂x P
(III.49)
WP* =
∑
*
P
SW' Pϑ P + a P rV WP(−1)
a P (1 + rV )
(III.50)
S U' Pϑ P + a P rV U P(−1)
aˆ =
a P (1 + rV )
(III.51)
aˆ WP =
U
P
AP =
H Pϑ P
a P (1 + rV )
(III.52)
L’exposant (-1) fait référence à l’itération numérique antérieure. SW' ,U P sont les termes
sources sans le gradient de pression. Les gradients de pression sont exprimés par des
différences centrées.
PP*δz E ,W + PE*,W δz P
∂P*
Pe* − Pw*
*
=
, Pe , w =
δz P + δz E ,W
δz P
∂z P
(III.53)
PP*δx N , S + PN* , S δx P
∂P *
P * − Ps*
= n
, Pn*, s =
δx P
δx P + δx N , S
∂x P
(III.54)
Après la résolution des systèmes linéaires, les vitesses sont interpolées aux points
caractéristiques des arêtes intérieures et de périodicité selon une procédure spéciale proposée
au départ par Rhie et Chow en 1983 [1], revue par Majumdar en 1988 [2] pour éliminer
l’influence, observée sur la solution, du facteur de sous relaxation, puis modifiée à nouveau
par Choi en 1999 [3] pour l’adapter aux écoulements non stationnaires.
[
]
∂P * ∂P *
( −1)
r
−
+ V Wi ( −1) − Wi
Wi * = Wi * − Ai
∂z i ∂z i 1 + rV
, i = {w, e}
[
+ Bi Wi n − Wi
n
]
[
]
∂P * ∂P *
( −1)
r
−
+ V U i( −1) − U i
U = U i − Ai
∂x i ∂x i 1 + rV
, i = {s, n}
*
i
*
[
+ Bi U in − U i
n
]
(III.55)
(III.56)
99
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Wi* = Wi * , i = {s, n}
(III.57)
U i* = U i* , i = {w, e}
(III.58)
Avec : B P =
(ρHϑ )nP
(1 + r )a Pδ t
L’exposant ‘ n ’ fait référence à l’itération temporelle antérieure. L’avant dernier terme dans
les relations (III.55) et (III.56), introduit par Majumdar, contient des valeurs estimées à
l’itération numérique antérieure. Le dernier terme dans les relations, introduit par Choi,
contient des valeurs estimées à l’itération temporelle antérieure. Cette procédure
d’interpolation spéciale est exposée plus en détail en ANNEXE A.
Les grandeurs définies sur les faces sont explicitées par les relations suivantes :
∗s =
∗ P δx S + ∗ S δx P
∗ δx + ∗ N δx P
, ∗n = P N
δx P + δx S
δx P + δx N
(III.59)
∗e =
∗ P δz E + ∗ E δz P
∗ δz + ∗W δz P
, ∗w = P W
δz P + δz E
δz P + δzW
(III.60)
∂P*
PE* − PP*
=
,
∂z e (δzE + δz P ) 2
∂P*
PP* − PW*
=
∂z w (δz P + δzW ) 2
∂P *
PN* − PP*
=
,
∂x n (δx P + δx N ) / 2
3.2.2.
∂P *
PP* − PS*
=
∂x s (δx P + δx S ) / 2
(III.61)
(III.62)
Étape de correction, équation de continuité
Selon la décomposition et tenant compte de l’étape de prédiction, on peut écrire pour les
équations d’impulsion :
WP' =
∂P '
aI
'
W
−
A
∑
I
P
I =W , S , E , N a P (1 + rV )
∂z P
(III.63)
U P' =
∂P '
aI
'
U
−
A
∑
I
P
I =W , S , E , N a P (1 + rV )
∂x P
(III.64)
Par souci de cohérence avec les valeurs de prédiction, les gradients des corrections de
pression sont exprimés par des différences centrées.
100
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∂P '
Pe' − Pw'
=
δz P
∂z P
'
e, w
P
(III.65)
PP' δz E ,W + PE' ,W δzP
=
δz P + δz E ,W
(III.66)
∂P '
P ' − Ps'
= n
δx P
∂x P
'
n,s
P
=
(III.67)
PP' δx N , S + PN' , S δx P
(III.68)
δx P + δx N , S
L’équation de continuité discrétisée s’écrit :
∑ m&
i = w , s ,e , n
'
i
∑ m&
=−
i = w , s ,e , n
*
i
+ Sˆ Pcont .
[
1
n +1
n
Sˆ Pcont . = − (ρHϑ ) p − (ρHϑ ) p
δt
(III.69)
]
∑ m&
*
i
= ρ e We* H eδx P − ρ wWw* H wδx P + ρ nU n* H nδz P − ρ s U s* H s δz P
∑ m&
'
i
= ρ e We' H eδx P − ρ wWw' H wδx P + ρ n U n' H nδz P − ρ s*U s' H s δz P
i = w , s ,e , n
i = w , s ,e , n
(III.70)
Aucune hypothèse simplificatrice n’a été faite jusqu’ici. L’hypothèse de base de l’algorithme
‘SIMPLE’ est que les corrections des vitesses dépendent exclusivement du gradient de
correction de pression [23]. Il résulte :
∂P '
∂P '
, U P' = − AP
WP' = − AP
∂z P
∂x P
(III.71)
Ces relations sont valables aussi sur les arêtes :
∂P '
, i = {w, e}
Wi ' = − Ai
∂
z
i
(III.72)
∂P '
, i = {s, n}
U i' = − Ai
∂x i
(III.73)
Les gradients des corrections de pression sur les arêtes sont exprimés d’une manière
cohérente avec les valeurs de prédiction (III.61), (III.62) et s’exprime ainsi comme suit :
101
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∂P '
∂z
PP' − PW'
=
w (δz P + δzW ) 2
(III.74)
∂P '
PP' − PS'
=
∂x s (δx P + δx S ) / 2
(III.75)
∂P '
PE' − PP'
=
,
e (δz E + δz P ) 2 ∂z
∂P '
PN' − PP'
=
,
∂x n (δx P + δx N ) / 2
En remplaçant dans l’expression de la correction du flux de masse on obtient la relation
suivante :
∂P '
∂P '
∂P '
'
&
H nδz P
ρ
δ
ρ
δ
ρ
=
−
+
−
m
A
H
x
A
H
x
A
∑ i
e
e
w w
w
P
n n
e P
i = w , s ,e , n
∂z e
∂z w
∂x n
∂P '
H s δz P
+ ρ s As
∂x s
D’après l’équation de continuité et des expressions de ces différents termes définis
précédemment, il vient l’équation de correction des pressions suivante :
bP PP' =
∑b P
I
I =W , S , E , N
'
I
+ bˆP
(III.76)
bE =
ρ e Ae H eδx P
ρ A H δx
, bW = w w w P
(δz P + δz E ) 2
(δz P + δzW ) 2
(III.77)
bN =
ρ n An H nδz P
ρ A H δz
, bS = s s s P
(δx P + δx N ) / 2
(δx P + δx S ) / 2
(III.78)
bp =
∑b
(III.79)
I
I =W , S , E , N
bˆP = −
∑ m&
i = w , s ,e , n
*
i
+ Sˆ Pcont .ϑ P
(III.80)
Ce système linéaire peut être résolu par la méthode de Gauss Seidel comme pour les
équations d’impulsion. Cependant, la résolution de ce système demandera d’avantage d’effort
en temps de calcul pour arriver à la convergence. La méthode ‘SIP’ (Strong Implicit
Procedure) sera utilisée à la place de Gauss Seidel et permettra d’optimiser le temps de calcul
[81].
Après la résolution du système de correction de pression, les vitesses et la pression sont
corrigées dans les volumes :
102
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∂P '
P ' − Pw'
= WP* − AP e
WP = WP* − AP
δz P
∂z P
(III.81)
∂P '
Pn' − Ps'
*
U P = U − AP
= U P − AP δx
∂x P
P
(III.82)
PP = PP* + rp PP'
(III.83)
*
P
puis sur les arêtes intérieures :
Ww = Ww* − Aw
PP' − PW'
PE' − PP'
, We = We* − Ae
(δz P + δzW ) 2
(δz P + δz E ) 2
(III.84)
Wi = Wi* , i = {s, n}
U s = U s* − As
(III.85)
PP' − PS'
PN' − PP'
, U n = U n* − An
(δx P + δx S ) / 2
(δx P + δx N ) / 2
(III.86)
U i = U i* , i = {w, e}
(III.87)
3.3. Conditions aux limites
Deux types de conditions aux limites sont présentés dans la suite. Les conditions aux limites
d’un SFD ouvert sont de type pression imposée. Les conditions aux limites pour un SFD
totalement étanche sont de type vitesse imposée.
3.3.1.
Conditions aux limites pour un SFD ouvert
Dans le cas du SFD ouvert, les extrémités du domaine sont à pression imposée. La valeur de
la prédiction de vitesse axiale sur le bord sera déterminée par extrapolation des prédictions de
vitesse axiale de l’intérieure du domaine obtenues après la résolution du système linéaire. Par
( )
exemple, pour un SFD ouvert à droite, la quantité We*
n +1
de la face ‘est’ de la section de
sortie est déterminée par la relation suivante :
(W )
* n +1
e
(
*
= LFW ( z e ) WFW
)
n +1
( )
+ LW ( z e ) WW*
n +1
( )
+ LP ( z e ) WP*
n +1
(III.88)
103
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Li sont les coefficients issus du polynôme de Lagrange21.
FW
W
P
e
La pression étant imposée sur les bords du domaine, les corrections de pression y sont donc
nulles.
Pe' = 0 ⇒ m& e' = ρ e Ae H eδx
PP'
δz P 2
(III.89)
Ainsi pour les volumes à l’extrémité droite du SFD, il résulte :
bp =
∑b
I =W , S , N
I
+
ρ e Ae H eδx P
et bE = 0
δz P 2
(III.90)
Après la résolution du système, la vitesse axiale à l’extrémité droite est corrigée :
We = We* + Ae
(
PP'
, Pe' = 0
δz P 2
3.3.2.
)
(III.91)
Conditions aux limites pour un SFD totalement étanche
Pour un SFD totalement étanche, la vitesse axiale à ses extrémités est nulle. Seule l’étanchéité
totale sur le bord gauche est traitée dans cette partie. Le traitement sur le bord droit est
analogue. Dans le cas du SFD totalement étanche à l’extrémité gauche, l’unique changement à
effectuer sur l’étape de prédiction, est d’imposer la prédiction de vitesse axiale nulle sur le
bord gauche du domaine. Ainsi, Ww* = 0 sur le bord gauche du domaine.
Comme il a été vu précédemment l’étape de correction consiste à résoudre l’équation de
continuité :
∑ m&
i = w , s ,e , n
'
i
=−
∑ m&
i = w , s ,e , n
*
i
+ Sˆ Pcont .ϑ P
(III.92)
Avec :
21
LFW ( z ) =
(z − zW )(z − z P ) ,
(z FW − zW )(z FW − z P )
LW ( z ) =
(z − z FW )(z − z P ) ,
(zW − z FW )(zW − z P )
LP ( z ) =
(z − z FW )(z − zW )
(z P − z FW )(z P − zW )
104
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
∑ m&
*
i
= ρ e We* H eδx P − ρ wWw* H wδx P + ρ nU n* H nδz P − ρ s U s* H s δz P
(III.93)
∑ m&
'
i
= ρ e We' H eδx P − ρ wWw' H wδx P + ρ n U n' H nδz P − ρ s U s' H s δz P
(III.94)
i = w , s ,e , n
i = w , s ,e , n
Les vitesses axiales W = W * + W ′ sont nulles sur le bord totalement étanche. Les prédictions
étant aussi imposées nulles, cela signifie que les corrections de vitesses doivent elles aussi
s’annuler sur le bord gauche du domaine.
Ainsi, dans les volumes situés à l’extrémité gauche du domaine, les bilans des débits
s’écrivent :
∑ m&
*
i
= ρ e We* H eδx P + ρ nU n* H nδz P − ρ s U s* H s δz P
(III.95)
∑ m&
'
i
= ρ eWe' H eδx P + ρ nU n' H nδz P − ρ s U s' H s δz P
(III.96)
i = w , s ,e , n
i = w , s ,e , n
Ainsi, l’étanchéité totale à gauche se traduit numériquement par bW = 0 dans les volumes
situés à l’extrémité gauche du domaine. La correction de pression sur le bord gauche est
déterminée par extrapolation.
(P )
' n +1
w
( )
'
= LFE ( z w ) PFE
n +1
( )
+ LE ( z w ) PE'
n +1
( )
+ LP ( z w ) PP'
n +1
(III.97)
Li sont les coefficients issus du polynôme de Lagrange22.
w
22
LFE ( z ) =
P
(z − z E )(z − z P ) ,
(z FE − z E )(z FE − z P )
E
LE ( z ) =
(z − z FE )(z − z P ) ,
(z E − z FE )(z E − z P )
FE
LP ( z ) =
(z − z FE )(z − z E )
(z P − z FE )(z P − z E )
105
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
3.4. Organigramme de l’algorithme global de résolution
Algorithme prédiction correction
Initialisation de la géométrie du film
mince et des valeurs initiales
iter_solveur+1
iter_solveur
+1
Etape de prédiction:
Intégration des équations d’impulsion
Etape de correction:
Intégration de l’équation de continuité
Correction des vitesses et de la pression
Convergence en pression ?
NON
OUI
Résultats
Figure III.3 : Organigramme de l'algorithme global de résolution
4.
Validation par comparaison avec des résultats CFD
Afin de tester la validité des hypothèses et des approximations du modèle ‘Bulk Flow’, les
résultats sont comparés avec ceux obtenus avec un logiciel de calcul CFD (Fluent), c'est-àdire basé sur les équations complètes Navier-Stokes. L’objectif est de vérifier si le modèle du
‘Bulk Flow’ permet une bonne estimation des effets d’inertie. Le logiciel de calcul CFD
résout les équations du mouvement sans aucune approximation. Pour des raisons de
simplicité, les calculs CFD sont effectués sur une géométrie bidimensionnelle décrite sur la
Figure III.4.
106
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
r
et
Stator
θ
Rotor
r
Y
ω
OO
r
er = S R
OS OR
OS : Centre du stator
OR : Centre du rotor
r
X
Figure III.4 : Géométrie 2D des calculs CFD
Cette géométrie simplifiée correspond à un SFD complètement étanche. Le rotor est animé
d’un mouvement de précession circulaire centré. Précédemment, les équations du ‘Bulk
Flow’, non stationnaires, ont été écrites et résolues dans un repère fixe solidaire du stator. Une
démarche similaire est possible ici sur le modèle CFD en considérant un maillage déformable.
Cependant, une solution plus simple est envisagée. Les équations du modèle CFD sont
r r
résolues dans le système tournant (er , et ) . Dans ce repère les équations sont stationnaires et il
n’est pas nécessaire d’utiliser un maillage déformable.
Le champ de pression est exprimé en fonction de l’angle θ dont l’origine correspond à
chaque instant à l’épaisseur maximale du film.
Les résultats du modèle 2D CFD sont comparés avec des résultats donnés par la méthode
‘Bulk Flow’ pour un SFD avec étanchéité totale. Cependant, sans une condition
supplémentaire, il n’y a pas unicité de la solution, la solution est définie à une constante près.
En effet, l’absence de conditions aux limites de type Dirichlet en pression n’assure pas
l’unicité de la solution. Ainsi, la pression statique est alors imposée nulle à l’épaisseur de film
maximale. Cette condition supplémentaire va assurer l’unicité de la solution. Les calculs sont
effectués en régime laminaire et sans cavitation, l’objectif étant simplement de visualiser les
effets d’inertie.
La Figure III.5 présente le champ de pression statique en fonction de la coordonnée
circonférentielle obtenue par les deux modèles pour Re * = 10 et Re * = 20 . Le champ de
pression à été adimensionnée par C P = µω (R / C ) . Pour Re * = 10 , il y a une bonne
2
107
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
concordance entre le modèle ‘Bulk Flow’ et le calcul CFD, pour Re * = 20 le calcul CFD
donne des pressions minimales légèrement inférieures. La concordance des résultats permet
de valider l’implémentation du modèle ‘Bulk Flow’ ainsi que les hypothèses et
approximations de la méthode pour ces valeurs du nombre de Reynolds modifiés.
Sur la Figure III.6, des calculs similaires ont été effectués pour Re * = 50 . Des écarts
apparaissent principalement au niveau du pic de pression négatif entre les deux modèles. Des
résultats obtenus par un troisième modèle développé par San Andrés [22] et basé sur les
équations générales 2D du film mince ont été ajoutés et coïncident avec les résultats CFD.
10
CFD (modèle 2D)
Bulk Flow (totalement étanche)
Pression sans dimension (P/Cp)
5
0
Re* = 10
-5
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
-10
Re* = 20
-15
-20
0
2
θ [rad]
4
6
Figure III.5 : Comparaison des champs de pression obtenus par le modèle 2D SFD et le modèle ‘Bulk
Flow’ pour Re*=10 et Re*=20
108
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
10
CFD (modèle 2D)
Bulk Flow (totalement étanche)
San Andrés (modèle 2D)
5
Pression sans dimension (P/Cp)
0
-5
-10
-15
-20
-25
Re* = 50
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
-30
-35
-40
-45
-50
0
2
θ [rad]
4
6
Figure III.6 : Comparaison des champs de pression obtenus par le modèle 2D CFD, le modèle ‘Bulk Flow’
et un modèle 2D de San Andrés [22] pour Re*=50
Il ressort donc que le modèle ‘Bulk Flow’ semble être un bon modèle pour les Re * > 1 mais
des écarts peuvent apparaitre pour de fortes valeurs de Re * . Il est probable que les hypothèses
simplificatrices utilisées (profil de vitesse, loi de Hirs) ne sont plus valables. Ces mêmes
remarques sur la validité du modèle ont aussi été faites par San Andrés [37] expliquant que les
hypothèses sur le profil de vitesse pouvaient être à l’origine de ces écarts.
Les figures suivantes montrent néanmoins que ces écarts sur le champ de pression n’ont pas
une grande incidence sur les forces radiale et tangentielle calculées par intégration du champ
de pression :
L 2π
L 2π
0 0
0 0
Fr = ∫ ∫ P cos(θ ) dθ dz , Ft = ∫ ∫ P sin(θ ) dθ dz
(III.98)
Les forces dépendent de la longueur du SFD, mais elles sont adimensionnées par
C f = µω (R / C ) L , ce qui élimine la dépendance de la longueur.
3
109
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Forces sans dimension (Force/Cf)
8.0E-002
CFD (modèle 2D)
Bulk Flow (totalement étanche)
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
4.0E-002
Force radiale
0.0E+000
Force tangentielle
-4.0E-002
0
10
20
Re*
30
40
50
Figure III.7 : Comparaisons des forces en fonction du nombre de Reynolds obtenues par le modèle 2D
CFD et le modèle ‘Bulk Flow’ pour un C/R=0.001
Forces sans dimension (Force/Cf)
3.0E-004
CFD (modèle 2D)
Bulk Flow (totalement étanche)
2.0E-004
ε = 0.5
C/R ≅ 0.005
1.0E-004
Force radiale
0.0E+000
Force tangentielle
-1.0E-004
-2.0E-004
0
10
20
Re*
30
40
50
Figure III.8 : Comparaisons des forces en fonction du nombre de Reynolds obtenues par le modèle 2D
CFD et le modèle ‘Bulk Flow’ pour un C/R=0.005
5.
Inertie et cavitation
Le phénomène de cavitation basée sur la dynamique des bulles a été étudié et présenté de
manière approfondie dans le Chapitre II. L’écoulement est considéré comme un mélange
homogène diphasique. La démarche de résolution classique pour ce type d’écoulement est de
recalculer, à chaque itération, les propriétés locales du mélange en fonction de la pression
et/ou de la température. Dans le Chapitre II, le modèle de cavitation basé sur les équations de
110
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Rayleigh-Plesset était couplé avec un modèle non inertiel basé sur l’équation de Reynolds.
Dans ce chapitre, le modèle de cavitation va être couplé avec le modèle ‘Bulk Flow’.
L’algorithme ‘SIMPLE’ est un processus itératif basé sur une méthode de prédiction
correction. Le modèle de cavitation doit être implémenté au sein du processus de prédiction
correction. A l’issue du processus de correction, la pression et les vitesses sont connues au
centre de chaque volume de contrôle du domaine. A cette étape de la résolution, le modèle de
cavitation est intégré dans le processus afin de recalculer la densité du lubrifiant dans chaque
volume de contrôle. Sur les faces, la densité est déterminée par un schéma décentré.
Les calculs sont effectués pour un SFD ouvert de rayon 76 mm et de longueur 30 mm. Le jeu
radial est de 100 µm. L’arbre décrit un mouvement de précession circulaire centré. Le
lubrifiant considéré est de l’eau de densité 1000 Kg.m-3 et de viscosité 0.001 Pa.s. Les effets
thermiques n’étant pas considérés, la viscosité reste constante. Initialement à la pression
atmosphérique, le lubrifiant est supposé être contaminé par des microbulles d’air (germes de
cavitation). Le rayon initial de ces bulles est C/10 et elles sont supposées occuper 1% du
volume totale du mélange.
La Figure III.11 représente l’influence de la pression de vapeur sur la variation temporelle de
pression en fonction de l’angle β = ωt . La variation temporelle du rayon de la bulle divisée
par l’épaisseur locale du film est aussi représentée. Conformément à ce qu’il avait été observé
au Chapitre II, un palier de cavitation apparaît correspondant à la pression de vapeur. Mais un
pic de pression, qui n’avait pas été observé pour les écoulements non inertiels du Chapitre II,
apparaît au niveau de la phase de collapse de la bulle. Soit ce pic est d’origine numérique, soit
il est causé par le couplage entre inertie et cavitation car il apparaît sur la Figure III.12 que
son amplitude augmente avec les effets d’inertie. Un pic de pression, à la même position, a été
observé expérimentalement par Zeidan [4] (Figure III.9) ou par Adiletta et Pietra [18] (Figure
III.10) qui l’ont justifié par l’implosion de bulles de vapeur.
111
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Figure III.9 : Implosion de bulles mesurée par Zeidan [4]
Figure III.10 : Implosion de bulles mesurée par Adiletta et Pietra [18]
112
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Ce pic correspond en effet avec la phase de collapse de la bulle. Cependant, l’implosion de
bulles a déjà été discuté au Chapitre II et les deux mécanismes physiques distincts jugés
responsables de l’endommagement dû à la cavitation ont été exposés : l’un est lié à la
compressibilité du liquide entourant la bulle et l’autre à une dissymétrie sphérique de la bulle
au voisinage des parois. Le modèle de cavitation développé ici s’approche du premier
mécanisme cité (compressibilité du liquide) car le pic de pression est causé par une la
variation brusque de la densité du mélange. Néanmoins, le modèle d’écoulement utilisé ne
prend pas en compte le module de compressibilité du liquide, B = ρ (∂P / ∂ρ )T qui pourrait
justifier convenablement ce pic et donc l’implosion des bulles.
0.5
0.3
0.4
p v = 0.04 MPa
Pression absolue [MPa]
p v = 0.02 MPa
p v = 0.0 MPa
0.2
0.3
Rayon
relatif de
bulles
Pression
0.2
Re* = 7
ε = 0.5
0.1
Rayon de bulles / Epaisseur du film
Variation d'épaisseur du film
0.1
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
0
0
2
β = ωt [rad]
4
6
Figure III.11 : Cavitation et inertie, influence de la pression de vapeur sur le champ de pression cavité
113
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
0.5
0.4
Re* = 10
Re* = 7
Re* = 5
Pression absolue [MPa]
0.3
0.4
0.3
Rayon
relatif
de bulles
0.2
Pression
0.2
pv = 0.04 MPa
ε = 0.5
0.1
0.1
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
0
2
β = ωt [rad]
4
Rayon de bulles / Epaisseur du film
Variation d'épaisseur du film
0
6
Figure III.12 : Cavitation et inertie, influence des effets d’inertie sur le champ de pression cavité
6.
Conclusion
Dans ce chapitre, le modèle ‘Bulk Flow’, a été présentée de manière approfondie. Les
équations du mouvement en écoulements confinés ont été intégrées suivant l’épaisseur du
film pour obtenir les équations du ‘Bulk Flow’. Les inconnus de ces équations sont la pression
et les vitesses moyennes axiale et circonférentielle. Le système d’équations bidimensionnel
ainsi obtenu a été discrétisé sur un maillage plan rectangulaire conforme et structuré.
Les effets visqueux sont pris en compte par le cisaillement aux parois qui s’exprime en
fonction du coefficient de frottement avec les lois de Hirs. L’introduction de cette hypothèse
permet de prendre en compte aisément le régime de l’écoulement, laminaire, turbulent ou de
transition. Les termes de cisaillement apparaissent en terme source dans les équations,
nécessitant ainsi pour la convergence, que les effets d’inertie soient dominants. Pour de trop
faibles valeurs du nombre de reynolds modifié ( Re * < 1 ), le calcul numérique peut diverger.
Le système d’équations couplées pression-vitesses a été résolu par le schéma numérique
‘SIMPLE’ dont la démarche de résolution a été exposée en détail dans ce chapitre.
114
Chapitre III. Equations du ‘Bulk Flow’
Les résultats du modèle pour des SFD totalement étanches ont été comparés avec ceux
obtenus par un logiciel de calcul CFD. Les comparaisons ont montré des écarts sur le champ
de pression pour des nombres de Reynolds modifiés élevés ( Re * = 50 ) mais ces écarts
n’avaient pas une influence significative sur les forces. Le code de calcul est destiné à être
utilisé pour des configurations industrielles où Re * < 50 et 10 −3 < C / R < 5.10 −3 .
Pour finir, le modèle ‘Bulk Flow’ a été couplé avec le modèle de cavitation présenté au
Chapitre II, afin de visualiser le couplage inertie et cavitation. Un pic de pression est apparut
au niveau de la phase de collapse de la bulle.
Dans ce chapitre, la méthode ‘Bulk Flow’ a été présentée et implémentée sans tenir compte du
dispositif d’alimentation ou de l’éventuel système d’étanchéité partielle.
115
Chapitre IV. Configuration industrielle
Chapitre IV.
1.
Configuration industrielle
Introduction
L’objectif principal de cette étude est la prise en compte simultanée des effets d’inertie et de
cavitation présentée dans le Chapitre III. Néanmoins, le code de calcul est destiné à être utilisé
pour des configurations industrielles de SFD munis de systèmes d’étanchéité et
d’alimentation. Dans le Chapitre III, des calculs ont été effectués pour un SFD totalement
étanche sans système d’alimentation. Cette configuration a été utilisée pour la validation du
modèle ‘Bulk Flow’ par comparaison avec des résultats CFD mais ne représente pas une
configuration industrielle réaliste. En effet, le SFD doit tout d’abord être alimenté en
lubrifiant. Dans cette étude, le lubrifiant est injecté par des orifices d’alimentation, soit
directement dans le film, soit dans une rainure d’alimentation circonférentielle. Ainsi,
l’injection à travers les orifices doit être prise en compte dans la modélisation ainsi que la
présence éventuelle d’une rainure d’alimentation. Une telle configuration est représentée sur
la Figure IV.1.
segment
Rainure d’alimentation
Orifice d’alimentation
Figure IV.1 : Configuration industrielle
117
Chapitre IV. Configuration industrielle
Une méthode simple pour prendre en compte une rainure d’alimentation est de considérer la
rainure comme une zone à pression constante égale à la pression d’alimentation. Cependant,
cette méthode a été très largement critiquée dans la littérature [32] de par, notamment, les
travaux de Arauz et San Andrés en 1994 et 1996 [44] [45] qui ont mesuré des oscillations de
pression d’amplitude plus faible que dans le film mais pouvant néanmoins aller jusqu’à
cavitation. Ces remarques ont été confirmées par les essais expérimentaux de Defaye [50],
[46], [55] qui seront utilisés par la suite. En effet, la pression dans une rainure d’alimentation
de 3 mm de profondeur dépend de l’abscisse circonférentielle de la même manière que la
pression dans le film. Dans certains cas, l’amplitude du champ de pression est suffisamment
importante pour que la cavitation apparaisse dans la rainure. Ainsi une démarche différente
est proposée. L’hypothèse est de considérer que les équations du ‘Bulk Flow’ sont aussi
valables dans la rainure. Les équations sont obtenues à partir d’une analyse dimensionnelle
dans laquelle les termes en (C/R)² ont été éliminés. Dans le film le rapport C/R étant de l’ordre
de 10 −3 , il vient (C/R)² de l’ordre de 10 −6 , les approximations sont mathématiquement
justifiées. Dans la rainure, le rapport entre la profondeur de la rainure et le rayon est
généralement compris entre 10 −1 et 10 −2 , ce qui mène à un rapport (C/R)² compris entre 10 −2
et 10 −4 . Bien qu’il soit mathématiquement plus discutable d’éliminer les termes en (C/R)²
dans la rainure, leur influence reste a priori limitée. En admettant ainsi que les équations du
‘Bulk Flow’ restent valables dans la rainure, il faut néanmoins prendre en compte la
discontinuité d’épaisseur de film provoquée par la présence de la rainure. Cette démarche a
déjà été utilisée par Arghir et Frêne [52] pour les joints annulaires rainurés.
Concernant la prise en compte des orifices d’alimentation, une méthode simple consiste à
imposer la pression d’alimentation dans le volume contenant l’orifice comme pour les
rainures d’alimentation. Une méthode plus complète a été proposée par Rodriguez et al en
2004 [54] considérant tout le système d’alimentation. La pression dans les volumes contenant
un orifice est alors déterminée en combinant l’équation de Bernoulli et l’équation de
continuité. Cette méthode est implémentée sur l’équation de Reynolds. Elle ne traite que de
l’injection directe dans le film, la rainure n’est pas prise en compte.
Une autre méthode adaptée aux équations ‘Bulk Flow’ et basée sur la modélisation de l’orifice
comme une source de masse va être proposée dans cette étude.
118
Chapitre IV. Configuration industrielle
Le dispositif d’étanchéité, constitué de segments (Figure IV.2), doit aussi être modélisé de
manière réaliste, les débits de fuite devant être estimés aussi précisément que possible.
Marmol et Vance en 1978 [36] ont introduit une méthode pour déterminer le débit de fuite
considéré réparti sur toute la circonférence du segment. Ce débit de fuite a été considéré
directement proportionnel au gradient de pression local, faisant ainsi intervenir un coefficient
de proportionnalité qui doit être déterminé expérimentalement. Cette méthode a été utilisée
par San Andrés et Vance en 1987 [37] dans un modèle numérique basé sur les équations du
‘Bulk Flow’. Par la suite, en 1991, Jung et al [39] ont réalisé des essais expérimentaux avec
un SFD muni tout d’abord de segments conventionnels. Avec le segment conventionnel, sans
embrèvement, aucune fuite n’a été observée. Ils ont alors réalisé un autre segment muni de 72
embrèvements équidistants sur la circonférence pour permettre un débit de fuite
uniformément réparti et permettre ainsi une comparaison avec leur modèle numérique. De ces
expériences, il semble que le débit de fuite soit localisé aux embrèvements. Ainsi, dans les
travaux suivants, une autre approche est envisagée.
En réponse aux besoins exprimés au Chapitre I, deux types de segments sont à considérer : le
segment à coupe droite et le segment à coupe baïonnette muni d’embrèvements (Figure IV.2).
La coupe droite ou les embrèvements permettent l’évacuation du lubrifiant. Ces débits de
fuite devront être pris en compte dans la modélisation et permettront d’établir un bilan
thermique global pour une estimation de la température moyenne dans le film. Ainsi, dans les
travaux suivants, la fuite est considérée localisée uniquement au niveau de la coupe droite ou
des embrèvements qui seront tous les deux décris comme des encoches.
Figure IV.2 : Type de segment, a. Segment à coupe droite , b. Segment coupe à baïonnette avec
embrèvements
119
Chapitre IV. Configuration industrielle
Les bases théoriques vont tout d’abord être présentées. Puis, la deuxième partie du chapitre
sera consacrée à la présentation des résultats numériques toujours basés sur un maillage
rectangulaire simple. Pour pouvoir correctement s’adapter à la rainure et aux orifices, le
maillage devra être à pas variable. L’objectif n’est pas de raffiner le maillage aux orifices
pour déterminer avec précision le comportement local de l’écoulement autour de l’orifice. En
effet, la composante radiale de la vitesse à l’orifice ne peut pas être prise en compte par un
modèle basé sur les équations ‘Bulk Flow’ adapté aux écoulements plans. Une résolution
complète des équations Navier-Stokes 3D devrait être effectuée pour avoir une prédiction
précise de l’écoulement au voisinage de l’orifice mais cette approche nécessite un effort de
calcul qui sort du cadre fixé à ce travail. La démarche adoptée est de considérer une unique
maille correspondante avec l’orifice dont la surface devra, néanmoins, correspondre
approximativement à la section de l’orifice dans le but d’avoir une correcte représentation de
l’étendue de son effet.
2.
Procédure de modélisation
Cette première partie présente les bases théoriques de modélisation utilisées pour la prise en
compte des surfaces de discontinuité, des orifices d’alimentation, des encoches d’évacuation
et des effets thermiques.
2.1. Écoulement à travers une surface de discontinuité
Un écoulement de conduite traverse une surface de discontinuité quand la section de la
conduite varie de manière discontinue dans la direction de l’écoulement. Le passage du fluide
à travers une surface de discontinuité induit une composante radiale de l’écoulement que ne
peut prendre en compte le modèle ‘Bulk Flow’ basé sur une formulation 2D des équations du
mouvement. Cependant, les effets d’inertie d’advection et de perte de charge concentrés à la
surface de discontinuité peuvent être pris en compte par une équation de Bernoulli généralisée
stationnaire.
Deux types de discontinuité sont à considérer :
•
Les discontinuités aux frontières du domaine (entrée/sortie, orifices d’alimentation ou
encoches d’évacuation).
•
Les discontinuités intérieures au domaine (rainure d’alimentation).
Les discontinuités aux frontières sont les plus simples à traiter car leur implémentation
intervient uniquement au niveau des conditions aux limites du problème. Au contraire, les
120
Chapitre IV. Configuration industrielle
discontinuités intérieures au domaine font apparaître de nouvelles inconnues nécessitant une
reformulation des équations. Les deux situations sont présentées dans la suite.
2.1.1.
Discontinuité aux frontières entrée/sortie
La prise en compte de discontinuité aux frontières est explicitée sur les bords entrée/sortie du
domaine.
0
0
et Psortie
les pressions extérieures, Pentrée la pression sur la face d’entrée, Psortie la
Soient Pentrée
pression sur la face de sortie et W la vitesse axiale orthogonale à la surface de discontinuité.
Les effets d’inertie d’advection et de perte de charge concentrés à la frontière du domaine sont
pris en compte par la loi de Bernoulli généralisée suivante :
ρW ²
0
Pentrée = Pentrée + (1 + ξ entrée ) 2
ρW ²
P 0 = P
sortie + (1 − ξ sortie )
sortie
2
(IV.1)
ξ entrée et ξ sortie sont les coefficients de perte de charge.
pression
P0entrée
(1 + ξ entré e ) ρW
Pentrée
2
2
P0 sortie
(1 − ξ sortie ) ρW
2
2
Psortie
entrée
sortie
Figure IV.3 : Variation de pression à l’entrée et à la sortie du domaine
121
Chapitre IV. Configuration industrielle
Pour une frontière d’entrée il s’agit toujours d’une chute de pression et pour une frontière de
sortie d’une récupération de pression. Les coefficients de perte de charge respectifs sont à
préciser dans la plage de valeurs indiquée afin de respecter la réalité physique, ξ entrée ≥ 0 et
0 ≤ ξ sortie ≤ 1 .
Si ξ entrée = 0 , les pertes de charge sont négligées et il reste seulement les effets d’inertie
d’advection concentrés à l’entrée du domaine.23
D’un point de vue pratique, des manuels existent pour définir les pertes de charge en fonction
de la configuration considérée [82]. Ainsi, l’effet de récupération de pression à la sortie du
domaine, décrit par un coefficient 0 < ξ sortie < 1 est assez rare et apparaît seulement pour des
jeux très importants. Pour la section de sortie, la situation usuelle est ξ sortie = 1 et
0
Psortie = Psortie
. Pour la section d’entrée, la chute de pression due au rétrécissement brusque est
décrite par un coefficient ξ entree = 0.5 .
2.1.2.
Discontinuité causée par une rainure circonférentielle
Le maillage est conçu de telle manière que toute surface de discontinuité doit coïncider avec
la frontière des cellules de discrétisation. La discontinuité de l’épaisseur du film entraîne tout
d’abord une discontinuité de la vitesse axiale. De plus, les effets d’inertie d’advection et de
pertes de charge concentrés entraînent aussi une discontinuité du champ de pression. Des
valeurs distinctes de pression et de vitesses axiales doivent alors être utilisées de chaque coté
de la face qui porte la discontinuité. Cette situation fait apparaître de nouvelles inconnues
nécessitant l’introduction de nouvelles équations dans le problème.
La Figure IV.4 représente le maillage pour le cas où la frontière ‘est’ de la maille P coïncide
avec une surface de discontinuité.
23
Si
ξ entrée = −1 ,
les perte de charge sont égales et opposées aux effets d’inertie d’advection concentrés à
l’entrée du domaine. Cette situation revient à imposer directement la pression sur la frontière,
0
Pentrée = Pentrée
.
Cette situation est acceptable du point de vue mathématique mais peu justifiée du point de vue physique.
122
Chapitre IV. Configuration industrielle
δxN
PN
U
PN
N
WN
U
U n,
Wn
Pn
Uw
Ue
UP
U
w
P
e
P
WPe
WW
PWP P
PWw
e
Pw W w PPP
P U WPP
Pe
P
s
Ws
Ps
PUS
WS
PS
Ue
WEw
UW
δxP
PW
δ zW
δxS
w
E
P
UE
WE
PE
δ zE
δ zP
Figure IV.4 : Cellule de discrétisation en présence de discontinuité sur la face ‘est’
A cause de la discontinuité, la vitesse axiale WPe définie sur la face ‘est’ du volume P est
différente de la vitesse axiale WEw définie sur la face ‘ouest’ du volume E. Les pressions sur
les faces ‘est’ du volume P et ‘ouest’ du volume E ne peuvent plus être déterminées par la
moyenne des pressions aux volumes adjacents. De plus, les gradients de pression sur ces faces
ne peuvent plus être déterminés par la différence centrée et doivent être évalués de part et
d’autre de la discontinuité. La démarche mathématique étant complexe et fastidieuse, elle est
présentée en annexe pour une raison de lisibilité. Le raisonnement présent consiste
simplement à établir les équations nécessaires à la résolution. D’après la Figure IV.4, la face
de discontinuité est caractérisée par 5 inconnues (au lieu de 3 pour une face ne portant pas de
discontinuité). Deux équations supplémentaires sont alors nécessaires à la résolution.
La Figure IV.5 représente les quatre possibilités d’écoulement à travers la surface de
discontinuité.
123
Chapitre IV. Configuration industrielle
P = P + (ξ12 − 1)
e
P
w
E
ρ e (WPe )
2
P = P + (ξ12 − 1)
w
E
2
e
P
ρ e (WEw )
2
Cas B
Cas A
P
E
WEw
WPe
P
Zone 2
Zone 1
P = P + (1 + ξ 21 )
w
E
2
e
P
Zone 2
ρ e (WPe )
2
2
Zone 1
P = P + (1 + ξ 21 )
e
P
w
E
E
Zone 1
ρ e (WEw )
2
2
Cas D
Cas C
P
E
P
WPe
WEw
Zone 2
Zone 2
E
Zone 1
Figure IV.5 : Représentation des cas d’écoulement au travers la discontinuité24
La densité ρ e sur la face de discontinuité est déterminée par convection comme vue au
Chapitre III et reste continue à l’interface malgré la discontinuité de pression éventuelle. ξ 21
correspond à la perte de pression quand le liquide passe de la zone 2 à la zone 1 et ξ12
correspond à la récupération de pression lorsque le liquide passe de la zone 1 à la zone 2. Par
analogie avec les conditions aux limites d’entrée et de sortie, ξ 21 est assimilé à ξ entrée et ξ12 à
ξ sortie . Il vient ainsi, ξ 21 = 0.5 et ξ12 = 1 . Le formalisme peut être poussé au maximum en
24
1 si x > 0
SIGN ( x) = − 1 si x < 0
0 si x = 0
124
Chapitre IV. Configuration industrielle
exprimant les quatre relations de Bernoulli de la Figure IV.5 sous la forme d’une seule
équation comme suit25 :
ρ e (WPe )
2
P +ς
e
P
e
P
2
ς Pe = (1 + ξ 21 )
= P +ς
w
E
2
(IV.2)
1 − SIGN (We )
1 + SIGN (We )
− (ξ12 − 1)
⋅ (1 − ITYPEVOLCP )
2
2
(IV.3)
1 + SIGN (We )
1 − SIGN (We )
− (ξ12 − 1)
⋅ (1 − ITYPEVOLC E )
2
2
(IV.4)
ς Ew = (1 + ξ 21 )
ρ e (WEw )
2
w
E
We = (WPe + WEw ) 2 . 26
(IV.5)
Cette équation constitue donc la première des deux équations nécessaires pour la
détermination des deux nouvelles inconnues induites par la discontinuité.
La deuxième équation est la continuité du débit massique à l’interface de discontinuité qui
s’écrit de la manière suivante :
m& Pe = m& Ew ⇒ ρ e H Pe WPe = ρ e H EwWEw
(IV.6)
L’implémentation de ces nouvelles équations dans les équations ‘Bulk Flow’ et dans le
processus de prédiction correction est présentée en détail en ANNEXE B.
2.2. Écoulement à travers un orifice
L’alimentation est assurée par des orifices qui injectent le lubrifiant soit directement dans le
film, soit, plus généralement, dans une rainure d’alimentation circonférentielle. L’écoulement
à l’orifice est généré par un gradient de pression entre la zone d’alimentation et la zone de
film mince. Cet écoulement est représenté sur la Figure IV.6 et est décomposé en trois zones.
25
ITYPEVOLC=0 pour le film mince (Zone 1) et ITYPEVOLC=1 pour la gorge (Zone 2).
26
Ceci ne doit pas soulever de problème car même si WPe ≠ WEw , les deux vitesses ont le même signe.
125
Chapitre IV. Configuration industrielle
Alimentation Pal im
Ligne de
courant
Pext
δy
Pfilm
PP
y
Orifice
Film ou rainure
Zone d’écoulement libre
(Effets d’inertie d’advection)
Zone d’écoulement unidirectionnel
(Effets d’inertie temporelle)
Figure IV.6 : Ecoulement à travers un orifice
La première zone traversée par le lubrifiant, lors de son injection dans le film, est située entre
les pressions Pal im et Pext . L’écoulement subit alors un rétrécissement brusque avant d’arriver
à l’entrée de l’orifice où la pression est Pext . La face à pression Pext est donc une surface de
discontinuité qui engendre des effets d’inertie d’advection et de pertes de charge concentrés.
Ces effets sont pris en compte par une équation de Bernoulli similaire aux équations (IV.1).
(
) 12 ρV
(
)
orif
Pext = Pal im − 1 + ξ 21
P = P − 1 − ξ orif
al im
12
ext
2
orif
si Vorif ≤ 0
1
2
ρVorif
si Vorif > 0
2
(IV.7)
Vorif est la vitesse moyenne à l’orifice dirigée suivant y. L’écoulement traverse ensuite la zone
de l’orifice qui est comprise entre les pressions Pext et Pfilm . Dans cette zone, l’écoulement
étant considéré unidirectionnel, les effets d’inertie d’advection sont éliminés. De plus, le
rapport δy / Dorif étant généralement faible, les effets visqueux sont négligés27. Cependant, les
effets d’inertie temporels résultant du caractère non stationnaire de l’écoulement sont pris en
compte. Il résulte :
ρ
∂V y
∂t
=−
∂P
∂y
(IV.8)
Cette équation est intégrée sur le volume de contrôle de l’orifice :
27
δy
est la longueur de la zone d’écoulement unidirectionnel.
126
Chapitre IV. Configuration industrielle
ρ
∂Vorif
∂t
=
Pfilm − Pext
(IV.9)
δy
Finalement, l’écoulement sort de l’orifice pour déboucher dans le film mince en traversant
une autre surface de discontinuité. Cette dernière zone est comprise entre les pressions Pfilm et
P . Les effets d’inertie d’advection et de perte de charge concentrés à la surface de
discontinuité s’expriment par une autre équation de Bernoulli généralisée :
(
) 12 ρV
(
)
orif
Pfilm = PP − 1 − ξ12
P = P − 1 + ξ orif
P
21
film
2
orif
si Vorif ≤ 0
1
2
ρVorif
si Vorif > 0
2
(IV.10)
L’écoulement inverse, c'est-à-dire partant du film vers l’alimentation, est traité de manière
tout à fait analogue en utilisant les relations (IV.7) et (IV.10) dans le cas Vorif > 0 .
Cette démarche de découpage de l’écoulement en différentes zones permet de déterminer la
vitesse à l’orifice en tenant compte à la fois des effets d’inertie d’advection et de perte de
charge concentrée et des effets d’inertie temporelle induits par le caractère non stationnaire de
l’écoulement.
Les coefficients de perte de charge ξ 21orif et ξ12orif peuvent être directement assimilés à ξ entrée et
ξ sortie vus au paragraphe 2.1. Il vient ainsi, ξ 21orif = 0.5 et ξ12orif = 1 .
Il est à remarquer que l’effet de la turbulence n’est pas considéré pour l’écoulement dans
l’orifice. Sa prise en compte ne pourrait pas s’effectuer par le coefficient de frottement
puisqu’aucun frottement aux parois n’est considéré. Cependant, l’effet de la turbulence peut
être pris en compte par le coefficient de perte de charge ξ 21orif ( ξ12orif = 1 ). Charles et al en 2005
[83] ont déterminé ce coefficient expérimentalement et numériquement par un modèle CFD
avec un maillage très fin dans le cas d’un écoulement turbulent. La valeur ainsi déterminée
correspond a un coefficient de perte de charge ξ 21orif = 0.5 . Cette valeur est analogue à celle
utilisée pour un écoulement laminaire.
La démarche de modélisation pour prendre en compte cette source de masse dans les
équations ‘Bulk Flow’ et dans le processus de prédiction correction est présentée en détail en
ANNEXE C.
127
Chapitre IV. Configuration industrielle
2.3. Ecoulement à travers une encoche
Les segments d’étanchéité sont munis d’encoches permettant l’évacuation du lubrifiant.
L’encoche est modélisée comme une fente mince de section rectangulaire constante.
L’écoulement dans l’encoche est purement axial et l’épaisseur H enc à l’encoche est
généralement de l’ordre du jeu C. L’équation du mouvement dans l’encoche dans la direction
axiale s’écrit alors de la manière suivante :
ρ
∂ ²V z ∂ ²V z
∂V z
∂P
=−
+ µ
+
∂t
∂z
∂x ²
∂y ²
(IV.11)
L’équation précédente (IV.11) est intégrée sur le volume de l’encoche.
En négligeant le frottement sur les parois latérales de l’encoche : µ
∂ ²V z
≈ 0 , l’équation de la
∂x ²
vitesse moyenne dans l’encoche s’écrit alors :
ρ
∂Venc Pext − Pfilm 2τ enc
=
−
∂t
Lenc
H enc
(IV.12)
Venc est la vitesse moyenne de l’écoulement dans l’encoche et les grandeurs Lenc et δxenc sont
représentées sur la Figure IV.7 et où τ enc représente le frottement sur les faces supérieure et
inférieure de l’encoche. Ce frottement doit être pris en compte car le rapport H enc / Lenc est
généralement faible. Ce frottement est déterminé en utilisant les lois de Hirs définies au
Chapitre III.
τ enc = ρ f enc Venc Venc / 2
(IV.13)
Au passage par les interfaces ‘film - encoche’ ou ‘encoche - extérieur’, le fluide traverse une
surface de discontinuité. En utilisant les relations (IV.1) définies au paragraphe 2.1, les
pressions Pext et Pfilm sont exprimées en fonction de la pression extérieure P 0 et de la
pression P dans le domaine par les relations présentées dans le Tableau 2.
128
Chapitre IV. Configuration industrielle
y
Lenc
δxP
δxenc
P0
Pext
H enc
Pfilm
Encoche
Z
Pw
Film
X
Hw
Figure IV.7 : Encoche d’évacuation (bord gauche)
Sur bord gauche
Sur bord droit
1
0
2
Pext = P − (1 − ξ sortie ) 2 ρVenc si Venc ≤ 0
1
2
P = P 0 − 1 + ξ
ρVenc
si Venc > 0
entree
ext
2
1
0
2
Pext = P − (1 + ξ entree ) 2 ρVenc si Venc ≤ 0
1
2
P = P 0 − (1 − ξ
ρVenc
si Venc > 0
sortie )
ext
2
(
)
(
) 12 ρV
(
) 12 ρV
enc
Pfilm = Pw − 1 + ξ 21
P = P − 1 − ξ enc
w
12
film
2
enc
si Venc ≤ 0
2
enc
si Venc > 0
(
) 12 ρV
(
) 12 ρV
enc
Pfilm = Pe − 1 − ξ12
P = P − 1 + ξ enc
e
21
film
2
enc
2
enc
si Venc ≤ 0
si Venc > 0
Tableau 2 : Effet de perte de charge aux encoches
Les coefficients de perte de charge ξ 21enc et ξ12enc peuvent être directement assimilés à ξ entrée et
ξ sortie vus au paragraphe 2.1. Il vient ainsi, ξ 21enc = 0.5 et ξ12enc = 1 .
La démarche de modélisation est présentée en détail en ANNEXE D.
2.4. Effets thermiques
La modélisation des encoches d’évacuation sous forme de source de masse permet une
estimation précise du débit de fuite et ne pose pas de problèmes numériques particuliers. Ce
débit de fuite est nécessaire pour l’étude thermique. En effet, une partie de l’énergie fournie
129
Chapitre IV. Configuration industrielle
au lubrifiant par frottement visqueux s’évacue par le débit de fuite et par le flux de chaleur
aux parois. Le reste de cette énergie est dissipée par élévation de température du fluide.
En l’absence de flux thermique aux parois (parois adiabatiques), et de débit de fuite aux
encoches, la totalité de l’énergie se retrouve en élévation de température. L’énergie créée par
frottement visqueux et fournie au lubrifiant étant strictement positive, l’absence de flux
thermique aux parois et un débit de fuite nul entraînent une élévation continue et infinie de la
température. Sans débit de fuite mais avec un flux aux parois non nul, une partie de l’énergie
s’évacue par les parois et la température atteint une valeur finie mais vraisemblablement très
importante. L’échauffement du lubrifiant entraîne une perte significative de viscosité se
traduisant par une perte en capacité d’amortissement. Par exemple, pour l’huile Mobil Jet II
utilisée dans les essais expérimentaux de Defaye, une élévation de 10°C pour une huile
initialement à 120°C ou 80°C entraîne une perte en viscosité respectivement de l’ordre de
15% ou 20%. Un objectif du composant étant sa capacité d’amortissement, l’échauffement
du lubrifiant doit être contrôlé. Ainsi, la majeure partie de l’énergie devra s’évacuer par le
débit de fuite aux encoches. Le flux thermique aux parois sera négligé dans la suite de
l’analyse en considérant que son influence est faible devant celle du débit de fuite.
Un débit de fuite important va assurer une bonne évacuation de l’énergie mais va entraîner, en
contrepartie, une perte en capacité d’amortissement. Un SFD ouvert immergé dans un bain
d’huile a une capacité d’amortissement affaiblie par rapport à un SFD fortement étanche pour
la même viscosité de fonctionnement. Il y a donc un compromis à respecter entre le débit de
fuite et l’élévation de température pour optimiser le fonctionnement du composant.
Dans cette étude, l’équation de l’énergie, écrite pour la température, est exposée de manière
détaillée. Le terme source de chaleur sera mis en évidence et son expression sera déterminée
en tenant compte de la configuration de film mince. Dans tout ce qui suit, le flux thermique
aux parois n’est pas pris en compte.
2.4.1.
Bilan thermique local
L’équation de l’énergie pour des parois adiabatiques s’écrit28 :
28
Une forme similaire de cette relation est obtenue en Mécanique des Fluides classique, mais en considérant
dans le raisonnement que le tenseur des contraintes est symétrique. Cette hypothèse n’est pas utilisée pour
130
Chapitre IV. Configuration industrielle
cP
(
)
( )
r
r
∂ρT
dP r t r r r
+ c P ∇. ρTV − Tβ D
= ∇. τ V − V .∇.τ
∂t
dt
(IV.14)
Dans le cadre d’écoulements confinés de film mince, l’étude dimensionnelle réalisée
précédemment pour déduire les équations ‘Bulk Flow’ a permis de mettre en évidence
l’influence des différents termes du tenseur de cisaillement τ . En négligeant les termes de
l’ordre (C/R)², le tenseur de cisaillement se limite à l’expression suivante :
r
r
r
r
τ = τ xy e x ⊗ e y + τ zy e z ⊗ e y
(IV.15)
Avec : τ xy = µ ∂V x / ∂y et τ zy = µ ∂V z / ∂y
Le tenseur de cisaillement n’est donc pas symétrique. En injectant ces expressions dans
l’équation de l’énergie, celle-ci se réécrit de la manière suivante :
cP
(
)
r
r
∂ρT
dP ∂
∂
∂
+ c P ∇. ρTV − Tβ D
= (τ xyV x + τ zyV z ) − (τ xy )V x − (τ zy )V z
∂t
dt ∂y
∂y
∂y
(IV.16)
De la même manière que pour l’équation de Reynolds et les équations du ‘Bulk Flow’, la
résolution de cette équation, pour une configuration de film mince, est effectuée à partir d’un
maillage constitué d’une unique cellule suivant l’épaisseur du film. L’application de la
méthode des volumes finis non stationnaire consiste à intégrer cette équation en temps et en
espace sur un volume de contrôle. L’équation de l’énergie appliquée à la configuration de
films minces est obtenue après l’intégration suivant l’épaisseur du film. Cette procédure est
tout à fait analogue à celle utilisée pour obtenir l’équation de Reynolds ou les équations du
‘Bulk Flow’ et fait appel à la formule de Leibniz déjà utilisée au paragraphe 2.1 du Chapitre
III, page 86.
De la même manière que pour les équations du ‘Bulk Flow’, le profil des vitesses axiale et
circonférentielle est considéré constant, ce qui permet de poser directement :
W=
1
H
H ( x , z ,t )
∫ Vz dy = Vz et U =
0
1
H
H ( x , z ,t )
∫ V dy = V
x
x
(IV.17)
0
Avec ces hypothèses, l’équation de l’énergie intégrée suivant l’épaisseur du film s’écrit :
déterminer l’équation suivante car elle n’est pas conforme avec les hypothèses simplificatrices liées à la
géométrie de film mince.
131
Chapitre IV. Configuration industrielle
cP
∂ (ρTH )
∂ (ρTUH )
∂ (ρTWH )
∂P
∂P ∂P
+ cP
+ cP
− Tβ D H
+
U+
W
∂t
∂x
∂z
∂z
∂t ∂x
DH
+ ρ c P T (V y )y = H −
− ρ c P T (V y )y =0 = −U τ xy
Dt
H
0
− W τ zy
(IV.18)
H
0
Pour aller plus loin, il faut tenir compte des conditions aux limites portant sur la vitesse
radiale V y suivant que le volume considéré est alimenté ou non par un orifice. De plus, le
phénomène d’ébullition n’étant pas pris en compte, la variation de densité avec la température
à pression constante est nulle. Ceci se traduit par un coefficient de dilation isobare nul,
βD = 0 .
Pour un volume non alimenté par un orifice, l’équation de l’énergie s’écrit finalement :
cP
∂ (ρTH )
∂(ρTUH )
∂ (ρTWH )
+ cP
+ cP
= −U τ xy
∂t
∂x
∂z
H
0
− W τ zy
H
(IV.19)
0
Cette relation est tout à fait similaire à celle utilisée par San Andrés, Yang et Childs en 1993
[75]. Si le volume est alimenté par un orifice, l’équation de l’énergie s’écrit :
cP
∂ (ρTH )
∂ (ρTUH )
∂ (ρTWH )
orif
+ cP
+ cP
+ ρ c P T (V y )y = H = −U τ xy
∂t
∂x
∂z
H
0
− W τ zy
H
0
(IV.20)
Les détails concernant les conditions aux limites sur la vitesse radiale sont présentés en
ANNEXE C.
2.4.2.
Bilan thermique global
L’expérience a montré que l’utilisation de la forme locale de l’équation de l’énergie
nécessitait des temps de calcul très importants. Il faut en effet un grand nombre de périodes
avant que la température soit stabilisée à la température de fonctionnement. Pour palier à ce
problème, un modèle simplifié stationnaire est proposé. L’aspect non stationnaire du système
vient principalement des écoulements aux encoches d’évacuations et aux orifices
d’alimentation. La méthode globale consiste à considérer le système comme un unique
volume global traversé par l’écoulement. Dans la configuration des essais de Defaye, le débit
d’entrée dans ce volume correspond au débit de la pompe et le débit de sortie correspond au
débit de fuite aux encoches. La forme stationnaire de l’équation de l’énergie définie sur le
volume global, donc sans orifice, s’écrit comme suit :
132
Chapitre IV. Configuration industrielle
cP
∂ (ρTUH )
∂ (ρTWH )
+ cP
= −U τ xy
∂x
∂z
H
0
− W τ zy
H
0
(IV.21)
En intégrant cette équation sur le volume global et en considérant que le lubrifiant entre à la
température d’alimentation Ta lim et sort à la température de fonctionnement T , l’équation du
bilan thermique (instantanée) peut s’écrire de la manière suivante :
m& entrée c P Tal im − m& sortie c P T = Π F
(IV.22)
Où Π F est la puissance générée par frottement aux parois définie comme suit :
(
Π F = ∑ − U τ xy
i, j
H
0
− W τ zy
H
0
)δxδz )
i, j
(IV.23)
m& entrée et m& sortie sont les débits massiques instantanés entrants et sortants respectivement, tel
que :
orif
orif
m& entrée = m& entrée
− m& sortie
(IV.24)
enc
m& sortie = m& sortie
(IV.25)
orif
orif
enc
m& entrée
et m& sortie
sont les débits massiques instantanés entrants et sortants aux orifices. m& sortie
est le débit massique instantané sortant au niveau des encoches. Les débits massiques globaux
d’entrée et de sortie, calculés entre le moment initial t = 0 et l’instant courant t sont :
1 t
M& entrée = ∫ m& entrée dt
t 0
(IV.26)
1 t
M& sortie = ∫ m& sortie dt
t 0
(IV.27)
Cette définition du débit global permet d’effectuer le bilan thermique global à tout instant et
non pas après un nombre fini de périodes :
M& entrée c P Tal im − M& sortie c P T = Π F
(IV.28)
Le modèle global étant supposé stationnaire, M& entrée = M& sortie , ce qui donne finalement
l’expression de la température de la forme :
T = Tal im + α D
ΠF
M& sortie c P
(IV.29)
133
Chapitre IV. Configuration industrielle
Le coefficient α D ≤ 1 représente la fraction de puissance dissipée par élévation de
température ; α D <1 signifie que l’énergie générée n’est pas dissipée uniquement par
élévation de température mais peut être évacuée aussi par les parois. La viscosité est
recalculée en fonction de la température par une loi appropriée au lubrifiant utilisé.
3.
Résultats numériques
Dans cette partie quelques résultats numériques sont présentés pour illustrer les situations
exposées précédemment. Les effets de cavitation n’ont pas d’intérêt particulier, ils seront
négligés dans les tous les calculs de ce chapitre.
3.1. Écoulement traversant une discontinuité causée par une
rainure
La procédure mathématique pour considérer la présence d’une surface de discontinuité a été
exposée dans le paragraphe 2.1. Cette procédure ne serait pas nécessaire si l’écoulement était
purement circonférentiel mais il a été observé numériquement qu’un système d’alimentation
muni d’une rainure circonférentielle alimentée par des orifices engendrait un écoulement de
composante axiale non nulle. Ainsi, le lubrifiant entre et sort de la rainure en traversant une
surface où l’épaisseur du film est discontinue. La démarche mathématique proposée au
paragraphe 2.1.2 permet de prendre en compte les effets concentrés à l’interface. Ces effets
sont quantifiés à travers des coefficients de perte de charge et pourront engendrer une
discontinuité du champ de pression. Deux coefficients distincts sont introduits selon que le
lubrifiant entre ou sorte de la rainure.
Généralement, lors de l’entrée dans la rainure, les effets d’inertie d’advection et de perte de
charge localisés sont négligés et la pression est continue29. Cette situation correspond à
ξ12 = 1 . Lors de la sortie de la rainure, les effets d’inertie d’advection localisés sont
considérés par le coefficient ξ 21 .
29
Néanmoins, le gradient de pression et les vitesses axiales sur la face restent discontinus. Ce qui signifie que la
procédure du paragraphe 2.1.2 doit toujours être utilisée.
134
Chapitre IV. Configuration industrielle
Un SFD ouvert comportant une rainure circonférentielle, placée à mi longueur, de 5 mm de
largeur et 3 mm de profondeur est utilisé pour illustrer les effets d’inertie d’advection et de
perte de charge concentrés lors de la traversée de surfaces de discontinuité.
Pour prendre en compte la rainure circonférentielle, le maillage est à pas variable dans la
direction axiale et est séparé en deux zones dont la topologie est décrite par une progression
géométrique représentée sur la Figure IV.8. Dans la direction circonférentielle, le maillage est
à pas constant.
Une différence de pression de 0.2 MPa entre les deux extrémités du SFD est imposée pour
engendrer un écoulement axial. La rainure n’a pas ici vocation à alimenter le SFD mais
seulement à illustrer la traversée des surfaces de discontinuité.
Les effets d’inertie d’advection et de perte de charge d’entrée dans la rainure sont négligés
( ξ12 = 1 ). La longueur du SFD est de 30 mm, son diamètre est de 152 mm et le jeu est de 100
µm. Le lubrifiant est de l’eau avec ρ =1000 kg/m3 et µ =0.001 Pa.s. Le rotor décrit une orbite
circulaire centrée de rayon C/2 à ω =1000 rad/s, correspondant ainsi à un nombre de
Reynolds modifié égal à 10. Les effets thermiques ne sont pas pris en compte dans le calcul.
La Figure IV.9 présente la nappe de pression 3D obtenue dans cette configuration. Le champ
de pression dans la rainure n’est pas constant suivant la direction circonférentielle. Cependant,
l’amplitude du champ de pression dans la rainure reste plus faible que dans le film. De plus,
une variation de pression importante apparaît lorsque le lubrifiant sort de la rainure. La
Figure IV.10 présente le champ de pression en fonction de la coordonnée axiale mesurée dans
le plan où l’épaisseur de film est maximale (en θ = 0 ). Deux calculs sont effectués avec et
sans prise en compte des effets concentrés en sortie de la rainure correspondant
respectivement à ξ 21 = 0.5 et ξ 21 = −1 . La discontinuité de pression est bien représentée
pour le cas ξ 21 = 0.5 . Cependant, avec ou sans pression discontinue, une variation importante
de pression apparaît à la sortie de la rainure.
135
Chapitre IV. Configuration industrielle
y
z
Zone 2
Zone 1
Zone 1
(Film mince)
(Rainure)
(Film mince)
DELTA
Figure IV.8 : Maillage axial avec rainure circonférentielle, sans orifice
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur rainure = 5 mm
Profondeur rainure = 3 mm
θ [rad ]
Figure IV.9 : Écoulement traversant une surface de discontinuité, influence d’une rainure sur le champ de
pression 3D
136
Chapitre IV. Configuration industrielle
0.25
Zoom
ξ21 = -1
ξ21 = 0.5
(1 + ξ 21 ) 1 ρW 2
2
Pression [MPa]
0.2
0.15
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
ξ12 = 1.0
0.1
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur rainure = 5 mm
Profondeur rainure = 3 mm
0.05
Rainure
0
0
0.01
Ζ [m]
0.02
0.03
Figure IV.10 : Écoulement traversant une surface de discontinuité, influence d’une rainure sur le champ
de pression axial dans le plan
3.2. Système
θ =0
d’alimentation,
(épaisseur de film maximale)
injection
directe
ou
rainure
d’alimentation
Les SFD industriels sont alimentés par des orifices qui injectent le lubrifiant soit directement
dans le film soit dans une rainure d’alimentation.
Pour les essais numériques suivants, la longueur du SFD est de 30 mm, son diamètre est de
152 mm et le jeu est C = 100 µm. Le lubrifiant est de l’eau avec ρ =1000 kg/m3 et µ =0.001
Pa.s. Le rotor décrit une orbite circulaire centrée de rayon C/2 à ω =1000 rad/s, correspondant
ainsi à un nombre de Reynolds modifié égal à 10. Les effets thermiques ne sont pas pris en
compte dans le calcul.
3.2.1.
Injection directe dans le film
Le SFD est alimenté par 3 orifices de 2 mm de diamètre, équidistants ( θ = 90°, 210°, 330°),
qui injectent le lubrifiant directement dans le plan moyen du film. Le SFD est ouvert, les
pressions relatives aux extrémités sont nulles.
Pour cette situation, la technique de maillage choisie est de positionner la maille de manière
que le centre de celle-ci corresponde avec le centre de l’orifice.
137
orifice
Chapitre IV. Configuration industrielle
y
(Film mince)
z
Dz
Figure IV.11 : Maillage axial avec orifice sans rainure circonférentielle
Le pas δz du maillage dans la direction axiale suit une progression géométrique représentée
sur la Figure IV.11. Dz est la largeur de maille axiale à l’orifice.
Le maillage doit également s’adapter à l’orifice dans la direction circonférentielle. Le pas δx
du maillage dans la direction circonférentielle suit aussi une progression géométrique
représentée sur la Figure IV.12.
orifice nord
x
xq
}}
}
1.1
symétrie
Zone1
1.2
x
orifice sud
X
Z
Figure IV.12 : Maillage circonférentiel avec orifices d'alimentation
138
Chapitre IV. Configuration industrielle
Chaque zone à mailler est délimitée par deux orifices et il y a autant de zones qu’il y a
d’orifices.
La Figure IV.13 représente le champ de pression 3D obtenu après une période et correspond à
une pression d’alimentation de 0.2 MPa. La coordonnée circonférentielle est mesurée à partir
de l’épaisseur de film maximale et évolue dans le sens trigonométrique. Les trois pics de
pression localisés correspondent à la position des orifices. L’influence de la pression
d’alimentation sur le champ de pression mesuré dans le plan médian est représentée sur la
Figure IV.14. L’amplitude des pics de pression localisés au niveau des orifices est
approximativement égale à la pression d’alimentation. Pour cette configuration de SFD ouvert
(sans étanchéité), l’influence des orifices, débouchant dans le film, est très locale. Mise à part
au voisinage proche des orifices, le champ de pression ne semble pas être affecté par la
pression d’alimentation.
Figure IV.13 : Injection directe dans le film, champ de pression 3D, alimenté à 0.2 MPa
139
Chapitre IV. Configuration industrielle
0.3
0.2
0.1
Pression [MPa]
1
1
1
2
3
0
3
Palim = 0.2 MPa
Palim = 0.1 MPa
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
-0.1
Palim = 0.02 MPa
L = 30 mm
C = 100 µm
Sans Rainure
Dorif = 2 mm
-0.2
Orifices
-0.3
0
2
θ [rad]
4
6
Figure IV.14 : Injection directe dans le film, influence de la pression d’alimentation sur le champ de
pression circonférentielle en Z = L/2 (plan médian)
3.2.2.
Injection dans une rainure d’alimentation
Les orifices injectent maintenant le lubrifiant dans une rainure d’alimentation circonférentielle
de 5 mm de largeur, 3 mm de profondeur et placée dans le plan médian. Le positionnement et
le diamètre des orifices sont inchangés par rapport à la configuration précédente.
La technique de maillage choisie pour cette situation est de positionner la maille de manière à
ce que le centre de celle-ci corresponde avec le centre de l’orifice. Ainsi en présence
d’orifices et d’une rainure circonférentielle, le maillage dans la direction axiale est représenté
par la Figure IV.15.
Les mailles au centre de la rainure ont une taille axiale imposée et égale à Dz. La grandeur Dz
peut correspondre ou non avec le diamètre de l’orifice. Dans certaines configurations
industrielles, le diamètre des orifices est égal à la largeur de la rainure. Dans ces cas, si Dz est
le diamètre de l’orifice, la méthode de maillage présentée sur la figure ci-dessus ne peut pas
être utilisée. Une autre méthode consisterait à utiliser un maillage multi bloc. Cependant, le
fait de traiter les orifices comme source de masse permet d’imposer une valeur à Dz différente
du diamètre de l’orifice. La source de masse générée par l’orifice sera considérée sur une
140
Chapitre IV. Configuration industrielle
unique maille même si théoriquement l’orifice s’étend sur plusieurs mailles. Cette procédure
simplificatrice est néanmoins acceptable si Dz reste assez proche du diamètre de l’orifice.
Dans ce cas, malgré une erreur sur l’étendu de l’effet de l’orifice, le débit de masse n’en sera
que très peu affecté et l’influence de l’orifice ne dépendra pas significativement de la
grandeur Dz. L’influence de ce paramètre va être illustrée dans les calculs suivants.
En présence de rainure, l’influence de la pression d’alimentation apparaît sur toute la
circonférence (Figure IV.16 et Figure IV.17). La rainure circonférentielle fonctionne comme
un réservoir de pression. Cependant, la pression dans la rainure n’est pas constante à cause du
mouvement de précession de l’arbre. De plus, pour ce SFD ouvert, le champ de pression
n’oscille pas autour de la pression d’alimentation. L’effet réservoir de la rainure dépend des
dimensions propres de la rainure, du jeu ou de la viscosité. La diminution de l’épaisseur du
film ou l’augmentation de la viscosité contribuera à augmenter cet effet réservoir.
orifice
y
z
Zone 1
Zone 1
Zone 2
(Film mince)
DELTA
(Rainure)
(Film mince)
Dz
Figure IV.15 : Maillage axial avec rainure circonférentielle et avec orifice d’alimentation
141
Chapitre IV. Configuration industrielle
Figure IV.16 : Injection dans une rainure d’alimentation, champ de pression 3D, alimentation à 0.5 MPa
0.3
Palim = 0.5 MPa
Palim = 0.2 MPa
Palim = 0.1 MPa
Palim = 0.02 MPa
Pression [MPa]
0.2
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur de rainure = 5 mm
Profondeur de rainure = 3 mm
Dorif = 2 mm
0.1
0
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
-0.1
Orifices
- - - - Rainure - - - -0.2
0
2
θ [rad]
4
6
Figure IV.17 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la pression d’alimentation sur le
champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure d’alimentation)
142
Chapitre IV. Configuration industrielle
Il reste maintenant à vérifier que le choix du maillage à l’orifice n’a pas d’influence
significative. En effet, pour des raisons liées à la méthode de maillage, la largeur axiale de
maille Dz à l’orifice peut être imposée différente du diamètre de l’orifice. Pour tester
l’influence de ce paramètre et du diamètre de l’orifice, des essais numériques sont effectués
sur la configuration avec rainure. La Figure IV.18 représente le champ de pression
circonférentielle dans la rainure alimentée à 0.5 MPa pour différentes largeurs de maille Dz à
l’orifice et différents diamètres d’orifice. Il apparaît que pour un même diamètre d’orifice, la
largeur de maille Dz a une influence très peu significative malgré une influence très claire du
diamètre de l’orifice. Des remarques similaires peuvent être effectuées sur le débit massique
de l’orifice représenté sur la Figure IV.19. Lorsque le diamètre de l’orifice diminue, son débit
diminue et son effet est réduit. Il faut néanmoins rappeler que l’orifice est traité en négligeant
le frottement aux parois par l’hypothèse d’un diamètre suffisamment grand devant sa
longueur. Dans le cas contraire, ce serait un capillaire et les frottements devraient y être inclus
comme pour l’encoche. Ceci conduirait à diminuer davantage le débit.
Dz = Dorif = 2 mm
Dz = 1 mm, Dorif = 2 mm
Dz = Dorif = 1 mm
0.2
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur de rainure = 5 mm
Profondeur de rainure = 3 mm
Palim = 0.5 MPa
Pression [MPa]
0.1
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
-0.1
0
2
θ [rad]
4
6
Figure IV.18 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur axiale de maille Dz à
l’orifice sur le champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure d’alimentation)
143
Chapitre IV. Configuration industrielle
Débit massique instantané à l'orifice [Kg.m-3]
0.1
0.08
Dz = Dorif = 2 mm
Dz = 1 mm, Dorif = 2 mm
0.06
Dz = Dorif = 1 mm
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur de rainure = 5 mm
Profondeur de rainure = 3 mm
Palim = 0.5 MPa
0.04
0.02
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
0
4
8
12
β = ωt [rad]
16
20
Figure IV.19 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur axiale de maille Dz à
l’orifice sur le débit massique instantané de l’orifice situé à 90°
En conclusion, la largeur de maille Dz n’a pas d’influence significative. Ceci permet de lever
une contrainte relative au maillage et de pouvoir traiter facilement les cas où le diamètre de
l’orifice est égal à la largeur de la rainure. Cette largeur axiale de maille à l’orifice n’est
cependant pas le seul paramètre lié à l’orifice pour lequel il faut s’assurer avoir une faible
influence. En effet, la longueur de maille radiale δy a été introduite lors de la modélisation de
l’écoulement à l’orifice vue au paragraphe 2.2. Pour illustrer l’influence de ce paramètre les
calculs précédents sont repris pour différentes valeurs de δy . La Figure IV.20 représente
l’influence de la maille radiale δy sur le champ de pression circonférentielle dans la rainure.
Il apparait que pour δy compris entre 0.5 et 5 mm, ce paramètre n’a pas d’influence
significative ni sur le champ de pression ni sur le débit à l’orifice (Figure IV.21). Ces résultats
peuvent s’expliquer par le fait que le frottement aux parois a été négligé conformément à
l’hypothèse d’orifice (diamètre suffisamment grand devant la longueur). Ainsi, tous les
résultats obtenus lors de ces essais numériques permettent de valider la démarche utilisée pour
la modélisation des orifices d’alimentation.
144
Chapitre IV. Configuration industrielle
0.2
δy = 1 mm
δy = 5 mm
δy = 0.5 mm
Pression [MPa]
0.15
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur de rainure = 5 mm
Profondeur de rainure = 3 mm
Dorif = 2mm, Dz = 1 mm
Palim =0.5 MPa
0.1
0.05
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
-0.05
0
2
θ [rad]
4
6
Figure IV.20 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur radiale de maille δy à
l’orifice sur le champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure d’alimentation)
Débit massique instantané à l'orifice [Kg.m-3]
0.1
0.08
δy = 1 mm
δy = 5 mm
0.06
δy = 0.5 mm
0.04
L = 30 mm, C = 100 µm
Largeur de rainure = 5 mm
Profondeur de rainure = 3 mm
Palim = 0.5 MPa
0.02
Re* = 10
ε = 0.5
C/R ≅ 0.001
L/D ≅ 0.2
0
0
4
8
12
β = ωt [rad]
16
20
Figure IV.21 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur radiale de maille δy à
l’orifice sur le débit massique instantané de l’orifice situé à 90°
145
Chapitre IV. Configuration industrielle
3.3. Système d’étanchéité, segment à encoches
Des essais de calculs sont réalisés afin de montrer l’influence de la taille des encoches
d’évacuation sur le débit de fuite et sur la température de fonctionnement. L’étanchéité est
assurée à chaque extrémité par un segment de largeur Lenc = 2 mm comportant 7
embrèvements d’épaisseur H enc = 100 µm. Le SFD est alimenté par 3 orifices de diamètre 2
mm qui injectent le lubrifiant à 120°C avec une pression d’alimentation de 0.5 MPa dans une
rainure circonférentielle de largeur 3 mm, de profondeur 3 mm, située dans le plan médian.
Pour les essais numériques suivants, la longueur du SFD est de 35 mm, son diamètre est de
152 mm et le jeu C = 100 µm. Le rotor décrit une orbite circulaire centrée de rayon C/2 à une
fréquence de précession de 100 Hz. Le lubrifiant est de l’huile Hydro Jet II de densité ρ =938
kg/m3. Les effets thermiques sont pris en compte dans le calcul et la viscosité est définie en
fonction de la température par la relation suivante30 :
µ (T ) = 1.727 10 −11 e 5022.4 / T + 0.0161T
(IV.30)
La température étant de 120°C pour ces calculs, la viscosité dynamique du lubrifiant est alors
µ =3.474 10 −3 Pa.s, ce qui donne Re * ≈ 1.68 .
La Figure IV.22 représente l’évolution du débit (volumique) de fuite instantané en fonction de
la position angulaire du rotor pour différentes tailles d’embrèvements. Le caractère non
stationnaire de ce débit est bien représenté. Comme attendu, ce débit est d’autant plus
important que l’ouverture des embrèvements est importante. Des remarques similaires
peuvent être apportées sur le débit de fuite global calculé avec la relation (IV.27) et représenté
sur la Figure IV.23. Cependant, ce débit global a une variation très faible au cours du temps.
Ceci vérifie l’hypothèse de stationnarité sur le débit global faite dans le bilan thermique. La
température représentée sur la Figure IV.24 est alors déterminée en fonction de la position
angulaire du rotor. Des oscillations apparaissent mais restent d’amplitude non significative.
30
Dans cette loi la température est exprimée en Kelvin.
146
Chapitre IV. Configuration industrielle
Débit volumique de fuite instantané [l/h]
40
30
δxenc = 100 µm
δxenc = 200 µm
δxenc = 400 µm
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
β = ωt [rad]
14
16
18
20
Figure IV.22 : Segment d’étanchéité à encoches, influence de la taille des encoches sur le débit volumique
de fuite instantané
Débit volumique de fuite global [l/h]
40
30
δxenc = 100 µm
δxenc = 200 µm
δxenc = 400 µm
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
β = ωt [rad]
14
16
18
20
Figure IV.23 : Segment d’étanchéité à encoches, influence de la taille des encoches sur le débit volumique
de fuite global
147
Chapitre IV. Configuration industrielle
132
Température moyenne [°C]
130
128
δxenc = 100 µm
δxenc = 200 µm
δxenc = 400 µm
126
124
122
0
2
4
6
8
10
12
β = ωt [rad]
14
16
18
20
Figure IV.24 : Segment à d’étanchéité encoches, influence de la taille des encoches sur la température
moyenne dans le film
4.
Conclusion
Ce chapitre a été consacré à la présentation des compléments de modélisation apportés au
modèle numérique pour tenir compte des caractéristiques réelles d’un SFD industriel. Le
dispositif d’alimentation constitué d’orifices avec ou sans rainure circonférentielle a été
modélisé ainsi que le dispositif d’étanchéité constitué de segments comportant des encoches
d’évacuation. Il est à souligner que la modélisation adoptée représente un compromis entre
précision et temps de calcul. En effet, le modèle ‘Bulk Flow’, qui est basé sur une formulation
2D des équations du mouvement, ne permet pas une modélisation fine et précise de
l’écoulement au voisinage des orifices, des encoches et des discontinuités du film.
Néanmoins, leur influence est effectivement prise en compte dans la modélisation par des
sources de masse et par l’équation de Bernoulli. Une alternative, permettant une modélisation
précise de l’écoulement, aurait été un modèle basé sur les équations de Navier Stokes 3D
complètes. Cette solution a été écartée dès le départ car jugée comme une procédure non
économique.
148
Chapitre IV. Configuration industrielle
Des essais expérimentaux ont été réalisés par Defaye pour des SFD similaires lors de
précédents travaux [55]. Les forces et les débits de fuite ont été mesurés. L’objectif du
prochain chapitre est de présenter ces essais et de comparer les résultats expérimentaux de
Defaye avec ceux obtenus avec le modèle numérique incluant l’ensemble des effets abordés:
inertie, cavitation, étanchéité, thermique.
149
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Chapitre V.Forces, débit de fuite et température
1.
Introduction et remarques préliminaires31
Ce dernier chapitre est consacré à la validation et à l’évaluation du nouveau code de calcul
adapté aux écoulements inertiels. Les forces et les débits obtenus numériquement par le
nouveau modèle basé sur les équations du ‘Bulk Flow’ (BF) vont être comparés avec les
résultats expérimentaux mais aussi avec ceux obtenus par l’ancien modèle numérique basé sur
l’équation de Reynolds.
Dans ce chapitre, l’intérêt porte uniquement sur les forces et les débits. L’arbre est animé d’un
mouvement de précession centré imposé. La présence des orifices d’alimentation et des
encoches d’évacuation va contribuer à rendre l’écoulement non stationnaire y compris dans le
repère tournant. Les forces radiale et circonférentielle vont alors être dépendantes du temps.
Cependant, les forces obtenues expérimentalement ont été moyennées sur une période. Les
comparaisons entre les résultats numériques et expérimentaux porteront uniquement sur ces
forces moyennes et non sur leur évolution temporelle. Les calculs numériques ont été
effectués sur deux périodes et les forces ont alors été moyennées sur la deuxième période.
1.1. Présentation des configurations
Les essais expérimentaux conduits par Defaye et effectués à Eudille ont été réalisés pour des
SFD fonctionnant à des nombres de Reynolds modérés. Le nombre de Reynolds maximal de
31
Ce projet de recherche s’appuie sur un partenariat industriel établi antérieurement lors des travaux de thèse de
Defaye de 2006. Ce partenariat a donc été reconduit dans le but d’améliorer le code de calcul proposé par Defaye
pour la prédiction des efforts et des débits. En effet, ce code de calcul, basé sur l’équation de Reynolds et prenant
en compte la cavitation par le modèle Swift Stieber, a montré des insuffisances particulièrement pour les
configurations où l’écoulement est caractérisé par des effets d’inertie importants. Ces insuffisances ont été
soulignées en comparant les résultats numériques avec des résultats expérimentaux réalisés à partir de
configurations choisies avec les partenaires industriels.
151
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
ces essais est environ égal à 6. Cependant, des écarts importants sur la prédiction numérique
sont apparus, principalement sur la force radiale, même pour des nombres de Reynolds
relativement faibles Re * ≈ 1.6 . Les différentes configurations qui seront traitées dans ce
chapitre sont présentées par le tableau suivant :
Configuration
C10
C20
C8
C12
D [mm]
152.2
152.2
152.2
152.2
L1 [mm]
16
16
32
32
L2 [mm]
16
16
1
1
Lg [mm]
3
3
3
3
C [mm]
0.1
0.1
0.1
0.2
alimentation
GC
GC
GE
GE
étanchéité
FL
FC
FL
FL
huile
mobil jet II mobil jet II mobil jet II mobil jet II
Tableau 3 : Configurations
de SFD testés expérimentalement
D
:
Diamètre de la bague extérieure
L1
:
Longueur de film à gauche de la gorge d’alimentation
L2
:
Longueur de film à droite de la gorge d’alimentation
Lg
:
Largeur de la gorge d’alimentation
C
:
Jeu radial
GC
:
gorge d’alimentation centrée axialement
GE
:
gorge d’alimentation excentrée axialement
FL
:
segments à coupe droite
FC
:
segments à coupe baïonnette et à 7 embrèvements
Toutes les configurations ont été testées pour des orbites centrés et les conditions de
fonctionnement testées sont :
152
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
•
Rayon adimensionné de l’orbite : [0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9]
•
Vitesse de précession : [17, 58, 99] (Hz)
•
Pression d’alimentation : [3, 5, 10] (bars)
•
Température d’alimentation : [50, 80, 120] (°C)
La configuration avec injection directe dans le film (sans rainure) n’a pas été traitée
expérimentalement pour des situations inertielles, elle ne sera donc pas exposée. Par la suite,
lors de la présentation des résultats, une notation est adoptée pour spécifier la configuration et
les caractéristiques de fonctionnement considérées :
CxxPxxTxxx
Température d’alimentation [°C]
configuration
Pression d’alimentation [Bars]
L’huile Hydro Jet II est utilisée comme lubrifiant. Sa viscosité est (température en Kelvin) :
µ (T ) = 1.727 10 −11 e 5022.4 / T + 0.0161T
(V.1)
Tous les calculs présentés dans la suite sont effectués pour une température d’alimentation de
120°C qui est la température maximale utilisée dans les essais. Ceci qui correspond à une
viscosité µ =3.474 10 −3 Pa.s suffisamment faible pour rendre l’écoulement inertiel. La densité
du lubrifiant pure est de 938 Kg.m-3. Pour les configurations C10, C20 et C08 dont le jeu est
de 100 µm, il vient ainsi Re * = 1.68 . La configuration C12 a un jeu de 200 µm, ce qui donne
Re * = 6.72 .
a)
b)
Figure V.1 : Système d’alimentation testée, a-Rainure centrée, b-Rainure excentrée
153
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
1.2. Segments utilisés dans les essais
Pour les configurations C10, C08, C12, la coupe droite du segment d’étanchéité est alors une
encoche d’évacuation et est représentée par la Figure V.2.
Pour la configuration C20, les 7 embrèvements du segment d’étanchéité sont 7 encoches
d’évacuation répartie uniformément sur la circonférence du segment et représentées par la
Figure V.3.
Figure V.2 : Encoche de segment à coupe droite
Figure V.3 : Encoches de segment à coupe baïonnette
154
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Il est à remarquer que la forme en ‘T’ de la coupe droite (Figure V.2) n’est pas prise en
compte numériquement. L’ouverture est considérée comme un embrèvement rectangulaire de
largeur 0.7mm et de hauteur 0.1mm. Les encoches du segment à baïonnette sont elles prises
en compte conformément à la Figure V.3.
1.3. Modèle de cavitation simplifié, modèle Gümbel
Pour certains cas, en particulier pour les fortes excentricités, il a été observé des temps de
calcul assez longs (environ 10h par période), causés principalement par le modèle de
cavitation. Une alternative permettant une prédiction raisonnable du débit de fuite, des forces
et de la température de fonctionnement en limitant le temps de calcul est basée sur le modèle
de Gümbel. Selon ce modèle, la zone de cavitation est considérée comme une zone à pression
constante et égale à la pression de vapeur PV . L’application de ce modèle consiste à calculer
le champ de pression sans tenir compte de la cavitation puis à éliminer la zone inférieure à la
pression de vapeur en la remplaçant par une zone à pression constante PV . Ainsi, sans
calculer explicitement le champ de pression mais en le considérant de la forme donnée par le
modèle Gumbel, il est possible d’estimer l’influence de la cavitation sur les forces, les débits
et sur la température de fonctionnement.
Les équations du ‘Bulk Flow’ sont tout d’abord résolues sans tenir compte de la cavitation,
c'est-à-dire en considérant l’écoulement incompressible où la densité reste constante.
Les forces sont obtenues par intégration du champ de pression. L’influence de la cavitation
sur ces forces est prise en compte en considérant toutes les pressions dans la zone de
cavitation comme étant égales à la pression de vapeur.
Les débits aux orifices et aux encoches sont fonction de la pression locale dans le film. L’effet
de la cavitation sur ces débits est alors pris en compte en considérant cette pression locale
égale à la pression de vapeur dans la zone de cavitation.
Concernant les effets thermiques, la température de fonctionnement dépend directement de la
puissance générée dans le film qui est proportionnelle aux vitesses locales de l’écoulement.
L’écoulement dans le SFD étant générée principalement par effet de Poiseuille (gradient de
pression), la zone à pression constante est une zone à vitesses nulles. En conséquence, l’effet
de la cavitation sur la température de fonctionnement est alors pris en compte en annulant la
puissance dissipée dans la zone de cavitation.
155
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
1.4. Problèmes de stabilité numérique, influence de la viscosité
de dilatation
Pour les configurations avec rainure excentrée (C08, C12), des instabilités numériques dont
l’origine a été clairement liée à la cavitation sont apparues. D’après l’ensemble des résultats
numériques, il a été observé que l’amplitude du champ de pression circonférentielle
augmentait en s’éloignant de la rainure d’alimentation pour être au maximum près des
segments d’étanchéité, comme le montre la Figure V.4.
Pour les rainures excentrées, la distance entre la rainure et le segment étant environ deux fois
plus importante que pour les cas de rainure centré, l’amplitude de pression est alors plus forte
contribuant à un effet de cavitation plus prononcé. Ces instabilités se traduisent par des
oscillations sur la variation temporelle des pressions et donc des forces. Cependant, ces
oscillations n’ont pas été observées sur la variation temporelle du rayon des bulles signifiant
que ces instabilités sont générées par la cavitation en elle-même. La solution qui a été adoptée
pour palier à ces oscillations et éviter l’échec du calcul a été d’augmenter la viscosité de
dilatation de surface des bulles. Cette procédure a néanmoins pour conséquence de diminuer
l’effet de la cavitation. Il est alors intéressant de visualiser l’influence de ce paramètre. Par
défaut, ce paramètre est κ = 0.001 N.s/m conformément aux données de Someya [63]. Par la
suite, et pour les configurations à rainure excentrée, ce coefficient sera fixé à κ = 0.003
N.s/m. La Figure V.5 montre l’influence de ce paramètre sur la force radiale32. Les calculs ont
aussi été effectués sans prendre en compte la cavitation pour mieux visualiser son influence.
D’après la Figure V.5, il apparait clairement l’effet de l’inertie du lubrifiant contribuant à une
augmentation de la force radiale, suivie de l’effet de la cavitation qui se développe à partir
d’un certain rayon d’orbite et contribue, à l’inverse de l’inertie, à une diminution de la force
radiale. L’augmentation de la viscosité de dilatation κ tend à atténuer la cavitation. Les
résultats obtenus par le modèle Gümbel, qui a tendance à surestimer l’effet de la cavitation
[5], sont proches de ceux obtenus avec κ = 0.001 . La Figure V.6 montre que la cavitation et
la viscosité de dilatation n’ont pas beaucoup d’influence sur la force tangentielle. Cependant,
la force tangentielle obtenue avec le modèle Gümbel est plus faible.
32
BF = ‘Bulk Flow’
156
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Figure V.4 : Champ de pression 3D obtenue avec la configuration C10P05T120 et un rayon relatif de 0.5
C10P05T120
6000
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
5000
BF (RP, κ = 0.002 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
Force radiale [N]
4000
BF (Gümbel)
BF (Sans cavitation)
3000
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-1000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.5 : Influence de la viscosité de dilatation sur la force radiale
157
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C10P05T120
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-1000
Force tangentielle [N]
-2000
-3000
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.002 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
BF (Sans cavitation)
-4000
-5000
-6000
-7000
-8000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.6 : Influence de la viscosité de dilatation sur la force tangentielle
La Figure V.7 montre qu’il n’y a aucune influence significative de la cavitation sur le débit de
fuite. La Figure V.8 montre l’influence de la cavitation sur la température. Dans la zone de
cavitation, les vitesses sont faibles et la dissipation thermique par frottement est diminuée. La
température dans le film est alors moins importante. En conclusion, il n’y a pas d’influence
significative de la viscosité de dilatation sur la température. Cependant, comme observé sur
les forces, le modèle Gümbel semble accentuer l’effet de la cavitation.
En résumé, les effets d’inertie et de cavitation agissent principalement sur la force radiale.
Ainsi, la viscosité de dilatation n’a pas d’influence significative, mise à part sur la force
radiale. D’autre part, le modèle de Gümbel tend à accentuer l’effet de la cavitation. Les
remarques faites sur cette configuration peuvent être généralisées à l’ensemble des
configurations.
158
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C10P05T120
Débit volumique de fuite [l/h]
12
10
8
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.002 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
BF (Sans cavitation)
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.7 : Influence de la viscosité de dilatation sur le débit volumique de fuite
C10P05T120
160
Température moyenne [°C].
155
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.002 Ns/m)
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
BF (Sans cavitation)
150
145
140
135
130
125
120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.8 : Influence de la viscosité de dilatation sur la température
159
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
2.
Comparaison des résultats numériques avec les
données expérimentales
Le modèle Reynolds développé par Defaye [55] prend aussi en compte le système
d’alimentation et d’étanchéité. Cependant, ce modèle est basé sur une forme stationnaire de
l’équation de Reynolds écrite dans le repère tournant et suppose une position constante des
encoches et des orifices. Ceci signifie que les orifices et les encoches suivent le mouvement
de précession de l’arbre. Dans le modèle ‘Bulk Flow’, le système est non stationnaire, les
orifices et les encoches sont considérés fixes. Les hypothèses de modélisation sont donc
différentes dans les deux modèles. Les écarts sur les résultats ne sont donc pas liés
uniquement aux effets d’inertie.
Les configurations analysées sont groupées en deux catégories suivant que la rainure
circonférentielle d’alimentation soit centrée ou excentrée.
2.1. Rainure d’alimentation circonférentielle centrée
Pour les configurations C10 et C20, l’alimentation est composée d’orifices qui injectent le
lubrifiant dans une rainure d’alimentation circonférentielle centrée. Ces deux configurations
se différentient uniquement par leur système d’étanchéité. La configuration C10 est munie de
segments à coupe droite, c'est-à-dire ne comportant qu’une seule encoche d’évacuation. La
configuration C20 est elle munie de segments à coupe baïonnette et à 7 embrèvements qui
constituent les 7 encoches d’évacuation du segment. Ainsi, Pour les configurations C10 et
C20, il vient : Re * = 1.68 .
Les trois figures suivantes (Figure V.9, Figure V.10 et Figure V.11) comparent les résultats
expérimentaux de la configuration C10 avec les résultats numériques obtenus avec le modèle
‘Bulk Flow’ couplé soit avec le modèle de cavitation de Rayleigh-Plesset soit avec le modèle
de Gümbel. Les résultats numériques du précédent modèle développé par Defaye et basé sur
l’équation de Reynolds sont aussi présentés.
Sur la Figure V.9, il apparait clairement l’incapacité du modèle Reynolds pour représenter
l’influence de l’inertie sur la force radiale. La baisse de la force radiale due à la cavitation est
bien représentée numériquement mais il semble que le modèle ‘Bulk Flow’ sous estime l’effet
de la cavitation pour cette configuration même avec le modèle Gümbel qui en théorie est
majorant.
160
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Expérimental
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
C10P05T120
4000
2000
Force radiale [N]
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.9 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
C10P05T120
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6000
-7000
Expérimental
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
-8000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.10 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
161
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Sur la Figure V.10, la force tangentielle donnée par le modèle Reynolds est très proche de
celle obtenue expérimentalement jusqu’à ε ≈ 0.5 . Cependant quand ε augmente et dépasse
0.7, l’écart entre les résultats Reynolds et expérimentaux augmente assez nettement. Bien que
plus éloignée, l’allure générale de la courbe semble néanmoins mieux prédite par le modèle
‘Bulk Flow’.
Comme le montre la Figure V.11, le débit de fuite prédit numériquement est assez proche de
celui déterminé expérimentalement. Cependant, pour le modèle Reynolds, le débit de fuite est
une fonction strictement croissante de ε alors que le débit expérimental décroit avec ε . Les
calculs avec le modèle ‘Bulk Flow’ donnent un débit quasi constant jusqu’à ε = 0.5 puis
devient croissant mais avec une pente moins prononcée que celle prédite par le modèle
Reynolds.
Les températures déterminées numériquement par les modèles ‘Bulk Flow’ ou Reynolds sont
présentées sur la Figure V.12.
C10P05T120
20
Débit volumique de fuite [l/h]
18
16
14
12
10
8
Expérimental
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.11 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
162
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C10P05T120
Température moyenne [°C].
160
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
150
140
130
120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.12 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
C20P05T120
4000
2000
Force radiale [N]
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-2000
-4000
-6000
Expérimental
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
-8000
-10000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.13 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
163
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Pour la configuration C20 (Figure V.13-Figure V.16), le segment est maintenant muni de 7
encoches au lieu d’une seule pour la configuration C10. D’un point de vue numérique,
l’influence de ces encoches sur les forces est très faible et les résultats numériques sont
comparables avec ceux obtenus pour la première configuration. Cependant, comme le montre
la Figure V.13, la force radiale obtenue expérimentalement est plus importante dans la
configuration C20 que dans la C10 et est très proche de celle obtenue avec le modèle ‘Bulk
Flow’. Comme vu précédemment, le modèle Reynolds est dans l’incapacité de modéliser les
effets d’inertie.
La Figure V.14 représente la force tangentielle et il apparaît que sa valeur expérimentale soit
diminuée par rapport à celle obtenue avec la configuration C10. Les modèles Reynolds ou
‘Bulk Flow’ prédisent au contraire une force tangentielle légèrement plus importante que celle
obtenue avec la configuration C10. Ceci se justifie par la présence des 7 encoches de la
configuration C20 qui permettent une meilleure évacuation thermique et conduisent à une
viscosité plus importante.
La Figure V.15 montre que le débit de fuite obtenu expérimentalement et numériquement est
à peu près 4 fois supérieur à celui obtenu avec la configuration C10. Le modèle Reynolds
apporte une très bonne prédiction du débit de fuite jusqu’à ε = 0.7 . Celui prédit par le modèle
‘Bulk Flow’ reste néanmoins très correcte vis à vis des résultats expérimentaux. La
température déterminée numériquement est logiquement plus faible dans la configuration C20
que dans la C10 (Figure V.16). La température prédite par le modèle Reynolds est supérieure
à celle obtenue par le modèle ‘Bulk Flow’ à partir de ε = 0.7 .
164
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C20P05T120
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
Expérimental
-6000
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
Reynolds
-7000
BF (Gümbel)
-8000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.14 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
C20P05T120
Débit volumique de fuite [l/h]
60
50
40
30
Expérimental
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
20
10
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.15 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
165
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C20P05T120
BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
136
Température moyenne [°C].
134
132
130
128
126
124
122
120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.16 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
2.2. Rainure d’alimentation circonférentielle excentrée
Les calculs sont maintenant effectués pour les configurations C08 et C12 pour lesquelles
l’alimentation est assurée par une rainure excentrée. Ces configurations sont équipées du
même système d’étanchéité, c’est un segment ne comportant qu’une unique encoche. Ces
deux configurations se différentient par le jeu radial qui est de 100 µm pour la C08 et de 200
µm pour la C12. Ainsi les nombres de Reynolds sont différents, Re * = 1.68 pour la C08 et
Re * = 6.72 pour la C12.
Comme expliqué préalablement dans ce chapitre, des problèmes de stabilité numériques ont
été observés et ont été artificiellement résolus en augmentant la viscosité de dilatation de la
bulle. Ceci a néanmoins pour conséquence d’atténuer l’effet de la cavitation.
La Figure V.17 présente les résultats sur la force radiale pour la configuration C08.
Contrairement aux précédents résultats sur les configurations à rainure centrée, des écarts
entre la force radiale obtenue numériquement et expérimentalement sont présents dès les
faibles rayons d’orbite.
La Figure V.18 montre que la force tangentielle calculée par le modèle Reynolds est
largement surestimée par rapport aux résultats ‘Bulk Flow’ et expérimentaux.
166
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Comme le montre la Figure V.19, le débit de fuite déterminé par le modèle ‘Bulk Flow’ est
plus éloigné des résultats expérimentaux qu’il ne l’était pour les configurations à rainure
centré. Comme pour la configuration C10, le débit de fuite du modèle Reynolds est une
fonction croissante de ε . La variation du débit de fuite en fonction de ε déterminé par le
modèle ‘Bulk Flow’ semble être plus conforme avec les résultats expérimentaux. Il apparait
cependant une variation assez brusque du débit de fuite qui n’est pas observée
expérimentalement. Cette variation se répercute sur la température représentée sur la Figure
V.20.
Des analyses tout à fait similaires sur les forces (Figure V.21, Figure V.22) et sur le débit
(Figure V.23) peuvent être faites pour la configuration C12. Cependant, pour cette
configuration, la force tangentielle déterminée avec le modèle ‘Bulk Flow’ avec RP est plus
proche des résultats expérimentaux que ceux obtenus avec Gümbel (Figure V.22).
Le débit de fuite représenté sur la Figure V.23 déterminé avec le modèle ‘Bulk Flow’ reste
quasiment constant conformément au débit expérimental.
La Figure V.24 montre que la température est cette fois plus importante avec le modèle ‘Bulk
Flow’. Ceci s’explique car le débit de fuite déterminé par le ‘Bulk Flow’ est significativement
plus faible que celui déterminé par le modèle Reynolds.
167
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
C08P05T120
4000
2000
Force radiale [N]
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.17 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
C08P05T120
0
-2000
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-4000
-6000
-8000
-10000
-12000
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
-14000
-16000
-18000
-20000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.18 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
168
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
C08P05T120
Débit volumique de fuite [l/h]
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.19 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
C08P05T120
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
Température moyenne [°C].
210
195
180
165
150
135
120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.20 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
169
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C12P05T120
6000
4000
Force radiale [N]
2000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-2000
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
-4000
-6000
-8000
-10000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.21 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
C12P05T120
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
-12000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.22 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
170
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C12P05T120
Expérimental
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
45
Débit volumique de fuite [l/h]
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.23 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
C12P05T120
BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
BF (Gümbel)
Reynolds
Température moyenne [°C].
210
195
180
165
150
135
120
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.24 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
171
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
3.
Influence de la pression d’alimentation
Dans cette partie, l’influence de la pression d’alimentation est présentée pour les
configurations C10, C08 et C12. La configuration C20 a été testée expérimentalement pour
une unique pression d’alimentation, c’est pourquoi elle ne figure pas dans les résultats
suivants.
D’après la littérature, par exemple les mesures de Walton et al [35], l’augmentation de la
pression d’alimentation a pour effet d’atténuer la cavitation. La baisse de la force radiale due
à la cavitation intervient alors pour des rayons d’orbites plus importants.
Cette analyse n’est cependant pas complètement vérifiée par les résultats expérimentaux de la
configuration C10 présentés sur la Figure V.25. La force radiale déterminée numériquement
est conforme avec l’analyse de Walton, ce qui explique les écarts entre les résultats
numériques et expérimentaux observés sur la Figure V.25.
Pour les configurations C08 et C12 présentées sur la Figure V.26 et la Figure V.27, la force
radiale mesurée expérimentalement vérifie bien l’analyse de Walton et les résultats
numériques montre la même influence de la pression d’alimentation. Cependant, comme
discuté plus en amont, l’effet de la cavitation semble sous estimé par le modèle utilisant une
viscosité de dilatation de surface supérieure à la valeur par défaut.
La force tangentielle expérimentale présentée sur la Figure V.28, Figure V.29 et Figure V.30
semble diminuée avec la pression d’alimentation alors qu’il apparait néanmoins
numériquement que la pression d’alimentation a une faible influence.
L’influence de la pression d’alimentation sur le débit de fuite présenté sur les trois dernières
Figures (Figure V.31, Figure V.32 et Figure V.33), est en accord avec les résultats
expérimentaux, le débit de fuite augmente avec la pression d’alimentation.
172
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C10T120P_
4000
3000
Force radiale [N]
2000
1000
0
0.1
-1000
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
P03 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
-2000
-3000
-4000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.25 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration C10
C08T120P_
4000
3000
Force radiale [N]
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
-1000
-2000
-3000
-4000
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
-5000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.26 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration C08
173
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C12T120P_
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
7000
6000
Force radiale [N]
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1000
-2000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.27 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration C12
C10T120P_
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
P03 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
-6000
-7000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.28 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la configuration C10
174
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C08T120P_
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Force tangentielle [N]
-2000
-4000
-6000
-8000
-10000
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimentale
P05 Expérimentale
P10 Expérimentale
-12000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.29 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la configuration C08
C12T120P_
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Force tangentielle [N]
-1000
-2000
-3000
-4000
-5000
-6000
-7000
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
-8000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.30 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la configuration C12
175
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
P03 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.001 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
C10T120P_
20
Débit volumique de fuite [l/h]
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.31 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration C10
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
C08T120P_
Débit volumique de fuite [l/h]
25
20
15
10
5
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.32 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration C08
176
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
C12T120P_
P03 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P05 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P10 BF (RP, κ = 0.003 Ns/m)
P03 Expérimental
P05 Expérimental
P10 Expérimental
Débit volumique de fuite [l/h]
35
30
25
20
15
10
5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ε (Rayon orbite relatif)
Figure V.33 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration C12
4.
Conclusion et bilan des résultats
Ce dernier chapitre a été consacré à la validation du code de calcul en vue d’une utilisation
industrielle, l’objectif étant de déterminer les forces radiale et tangentielle ainsi que le débit de
fuite. Le modèle de cavitation basé sur l’équation de Rayleigh-Plesset a présenté des
phénomènes d’instabilités numériques, en particulier pour les configurations à rainure
excentrée. Ces instabilités se traduisant par des oscillations sur les forces ont été dépassées en
augmentant la viscosité de dilatation des bulles. Il faut bien préciser que ces oscillations n’ont
pas été observées sur la mesure temporelle du rayon des bulles et ne semblent pas être lié à
l’équation de RP en elle-même. L’utilisation du modèle RP a aussi impliqué d’important
temps de calcul pour les forts rayons d’orbite. Ces temps de calculs peuvent s’avérer être
incompatibles avec les objectifs industriels. Ainsi, un autre modèle très simplifié basé sur les
conditions de Gümbel a été proposé comme alternative. Avec ce modèle, les temps de calculs
restent tout à fait acceptable (inférieurs à 1 heure).
Les résultats obtenus avec le modèle ‘Bulk Flow’ ont été comparés avec ceux obtenus avec le
modèle Reynolds développé lors des précédents travaux effectués par Defaye en 2006 [55].
Les améliorations du nouveau modèle sont très nettes et sont effectives à la fois sur les forces
177
Chapitre V. Forces, débit de fuite et température
et le débit de fuite dans la quasi-totalité des configurations testées. L’influence de la pression
d’alimentation a aussi été observée sur les forces et le débit et les résultats numériques sont en
accord avec les résultats expérimentaux pour la force radiale et le débit de fuite.
En conclusion, le nouveau modèle basé sur les équations du ‘Bulk Flow’ donne clairement de
meilleurs résultats en comparaison avec les résultats expérimentaux que le précédent modèle
basé sur l’équation de Reynolds.
178
Chapitre VI. Conclusion générale et perspectives
Chapitre VI.
Conclusion
générale
et
perspectives
Le progrès technologique demande une évolution constante des problématiques scientifiques
et nécessite parfois une remise en cause des hypothèses de modélisations utilisées
habituellement. La Lubrification n’échappe pas à cette règle et de nombreuses situations
industrielles s’écartent de plus en plus des domaines de validité considérés jusqu’alors.
L’équation de Reynolds, couramment utilisée en Lubrification, n’est valable que pour les
écoulements purement visqueux. Les effets d’inertie de l’écoulement ont pu être longtemps
négligés dans le SFD, mais leur modélisation devient de plus en plus indispensable. Malgré
plusieurs tentatives, l’équation de Reynolds n’a pas pu être adaptée aux écoulements inertiels.
Les équations du ‘Bulk Flow’ sont une alternative au calcul CFD complet pour la prise en
compte des effets d’inertie. Du point de vue mathématique, ces équations sont très proches
des équations Navier Stokes et nécessitent des méthodes numériques de résolution similaires.
Cependant, avec ces équations, la prise en compte de la turbulence dans les films minces et
des effets non stationnaires est facilitée. En effet, l’utilisation des lois de Hirs permet
facilement d’inclure les effets de la turbulence sans passer par un modèle générale plus
complexe. De même, les effets non stationnaires sont inclus dans la variation temporelle de
l’épaisseur du film et un maillage déformable n’est alors pas nécessaire. La validité des
équations du ‘Bulk Flow’ est néanmoins basée sur certaines hypothèses simplificatrices dont
la principale est de supposer une influence négligeable des effets d’inertie sur le profil de
vitesse. Certains travaux ont considéré Re * ≈ 20 comme étant une limite de validité de cette
hypothèse. Dans les présents travaux, des comparaisons de champs de pression obtenus avec
le modèle ‘Bulk Flow’ et avec un calcul CFD ont effectivement assez bien représenté cette
limite de validité. Il a semblé cependant, qu’en termes de force, cette limite de validité
pouvait être repoussée d’avantage. Les écarts assez nettes observés sur le champ de pression à
Re * = 50 se sont avérés moins significatifs sur les efforts associés.
179
Chapitre VI. Conclusion générale et perspectives
La cavitation est une des problématiques très largement étudiées en Lubrification. Les
premiers modèles sont apparus dans les années 30 et ont été revus et améliorés par la suite.
Cependant, la majorité des modèles de cavitation utilisée en Lubrification sont basés sur une
approche mathématique occultant la physique réelle du phénomène. De plus, ces modèles ont
été conçus dès le départ pour être couplés à l’équation de Reynolds et ne sont pas adaptés aux
équations du ‘Bulk Flow’. De par son extrême simplicité, le modèle Gümbel peut néanmoins
être utilisé pour une estimation des forces et des débits sans tenir compte de la cavitation dans
la résolution numérique. Ce modèle est donc non conservatif et ne permet pas une
modélisation physique rigoureuse du couplage entre l’inertie et la cavitation. Une étude
théorique approfondie de la cavitation a ainsi été effectuée pour permettre une meilleure
compréhension du phénomène et le développement d’un modèle plus physique. Le modèle de
cavitation de vapeur ainsi obtenu est conservatif et permet de prendre en compte le
comportement dynamique des bulles représenté par l’équation de Rayleigh-Plesset. Ce
modèle a permis d’obtenir le pic de tension ( Pabs ≤ 0 ) observé expérimentalement dans les
SFD. De plus, un pic de pression situé au niveau de la phase de collapse des bulles de vapeur
a également été observé qui a été confirmé expérimentalement [4] et qui s’est avéré être lié au
couplage entre inertie et cavitation. L’équation de RP ne peut cependant être utilisée que sous
certaines hypothèses simplificatrices. Tout d’abord, l’écoulement est supposé homogène pour
ne permettre aucun mouvement relatif entre la bulle et le liquide. Chaque bulle est considérée
sphérique et entourée par un liquide infini et incompressible durant toute son évolution. Le
modèle n’est donc à priori plus valide lorsque le rayon de la bulle devient supérieur à
l’épaisseur locale du film. Dans ce cas, la bulle atteint les parois et une autre approche de
modélisation doit être envisagée.
Afin de permettre une utilisation industrielle du modèle, les systèmes d’alimentation et
d’étanchéité ont dû être pris en compte. Une modélisation assez précise de ces systèmes a été
proposée en tenant compte, en autre, de la discontinuité du film mince induit par la rainure, du
diamètre des orifices et de la taille des embrèvements des segments. Les forces et les débits
obtenus avec le nouveau modèle numérique ont ensuite été comparés avec des données
expérimentales. Les résultats se sont avérés beaucoup plus concluants que ceux obtenus avec
le précédent modèle basé sur l’équation de Reynolds [55].
En perspective, le modèle peut être amélioré par une prise en compte plus fine de la
dynamique de la bulle en incluant explicitement l’effet du confinement dans l’équation de RP.
180
Chapitre VI. Conclusion générale et perspectives
De plus, une prise en compte de l’ingestion d’air pour un SFD ouvert à partir d’une équation
de transport de la fraction volumique de gaz pourrait aussi être incluse.
181
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
Pour des raisons de clarté, une nouvelle notation indicielle est introduite. Tout d’abord, les
termes faisant référence à l’itération temporelle antérieure sont affectés de l’exposant ‘(n)’
(les parenthèses ont simplement pour objectif d’améliorer la lisibilité). De manière analogue
avec les notations déjà introduites au Chapitre III, les termes avec l’exposant (-1) font
référence à l’itération SIMPLE précédente.
Un changement d’indice supplémentaire est nécessaire car l’équation discrétisée devra être
transportée sur les volumes adjacents. Cette nouvelle notation est décrite par les exemples
suivants :
U NP est la vitesse au nord du volume P qui est égale à la vitesse en P du volume nord, notée
U PN .
a PP est le coefficient a P du volume P et a PN est le coefficient a P du volume nord tel que :
a PN = ∑ a iN avec i = {N , S , E ,W } ou i = {N , S , E ,W , H } (si présence d’orifices).
i
Alors que a NP est le coefficient nord du volume P, a PN ≠ a NP .
Les indices peuvent donc être permutés sauf pour les coefficients du système où le sens à une
réelle importance.
Avec ces notations, il vient les relations discrétisées suivantes :
1
U PP =
(1 + rV )a PP
U
N
P
1
=
(1 + rV )a PN
VPP
P
P
a
U
−
∑i i i (1 + r )a P
V
P
P
(SU ϑ ) p (ρHϑU ) p
rV U pP
∂P
+ P
+
+
P
(1 + rV )
∂x P (1 + rV )a P a P (1 + rV )δ t
P (n)
P
N
(SU ϑ ) p (ρHϑU ) p
rV U pN
VPN
∂P
−
+
+
+
(1 + rV )a PN ∂x P (1 + rV )a PN a PN (1 + rV )δ t (1 + rV )
N
∑a
N
i
U
i
N
i
( −1)
N (n)
(A.1)
( −1)
(A.2)
Avec :
(SU )PP
= −(τ Sx ) p − (τ Rx )P , (SU )P = −(τ Sx ) p − (τ Rx )P
P
P
N
N
N
(A.3)
Et :
V PP = H PP δx PP δz PP , V PN = H PN δx PN δz PN
(A.4)
183
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
Pour le moment, le maillage est considéré à pas constant. En introduisant :
~
U PP =
~
U PN =
rV U pP
(SU ϑ )PP (ρHϑU )PP
+
+
+
(1 + rV )a PP a PP (1 + rV )δ t (1 + rV )
( n)
1
(1 + rV )a PP
∑a
1
(1 + rV )a PN
∑a
P
i
U
P
i
i
( −1)
(A.5)
( −1)
(SU ϑ )PN (ρHϑU )PN
rV U PN
+
+
+
(1 + rV )a PN a PN (1 + rV )δ t (1 + rV )
(n)
N
i
i
U
N
i
(A.6)
Les équations précédentes se réécrivent :
~
U = U PP −
V PP
∂P
P
(1 + rV )a P ∂x P
(A.7)
~
= U PN −
V PN
∂P
N
(1 + rV )a P ∂x P
(A.8)
P
P
P
U
N
P
N
La vitesse sur la face nord du volume P s’écrit :
U nP =
(
1 P
U P + U PN
2
)
(A.9)
Ce qui donne :
VPP
~
U nP = U nP −
(1 + r )a P
V
P
P
∂P
∂x P n
(A.10)
Avec :
(
1 ~
~
~
U nP = U PP + U PN
2
)
(A.11)
Et :
VPP
(1 + r )a P
V
P
P
1 VPP
∂P
=
P
∂x P n 2 (1 + rV )a P
VPN
∂P
∂P
+
N
∂x P (1 + rV )a P ∂x P
P
N
(A.12)
Pour le moment, aucune modification n’a été effectuée. La relation (A.10) donne la vitesse sur
la face nord du volume P. Rhie et Chow donne une autre expression de cette vitesse. Pour
mieux comprendre le principe de Rhie et Chow, il faut s’inspirer d’un maillage décalé
représenté sur la Figure A. 1.
184
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
M2
P(M2)
n
w
P(M1)
e
s
M1
Figure A. 1 : Maillage décalé
Le maillage M2 est un maillage décalé par rapport au maillage M1 où est définie la pression.
Dans le maillage M2, la vitesse au centre du volume s’écrit de la manière suivante :
(U )
P M2
p
( )
~
= U pP
M2
P
V PP
∂P
−
(1 + r )a P ∂x P
V
P
M2
(A.13)
Or :
∂P P
∂x P
M2
VPP
P
(1 + rV )a P
∂P P
=
∂x n
M2
(U~ )
~
= U nP
(U )
= U nP
P M2
P
P M2
p
M1
(A.14)
VPN
1 VPP
=
+
2 (1 + rV )a PP (1 + rV )a PN
( )
M1
=
(
1 ~P ~N
UP +UP
2
M1
VPP
=
P
(1 + rV )a P
M1
n
)
M1
(A.15)
(A.16)
( )
M1
(A.17)
Donc en reprenant terme à terme l’équation (A.13) se réécrit comme suit :
(U )
P M1
n
( )
~
= U nP
M1
M1
VPP
−
P
(
1
+
r
)
a
V
P n
∂P P
∂x n
M1
(A.18)
185
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
Ainsi l’équation (A.10) défini sur le maillage M1 de la pression s’écrit de la manière
suivante :
VPP
~
U = U nP −
P
(1 + rV )a P
P
n
∂P
n ∂x n
P
(A.19)
Cette écriture est la nouvelle interpolation de la vitesse sur la face du volume introduite par
Rhie et Chow.
Dans le cas général où le maillage est à pas variable, les expressions sur les faces sont
déterminées de la manière suivante :
(
)
~
~
~
U nP = I nPU NP + 1 − I nP U PP
(A.20)
Avec :
(
)(
I nP = xnP − xPP / xNP − xPP
)
(A.21)
De manière générale, une quantité A définie sur la face nord du volume est déterminée de la
manière suivante :
(A )
P
P n
(
)
= I nP ANP + 1 − I nP APP
(A.22)
En injectant la relation (A.20) dans (A.19) il vient :
VPP
~
~
U = I U NP + 1 − I nP U PP −
P
(1 + rV )a P
P
n
(
P
n
)
∂P
n ∂x n
P
(A.23)
Or, d’après (A.7) et (A.8) il vient :
~
U pP = U pP +
VPP
∂P
P
(1 + rV )a P ∂x P
(A.24)
~
U PN = U PN +
VPN
∂P
N
(1 + rV )a P ∂x P
(A.25)
P
N
En injectant ces relations dans (A.23), il vient finalement après quelques calculs :
U =U
P
n
P
n
P
P
VPP
∂P VP
+
−
(1 + r )a P ∂x P (1 + r )a P
V
P
V
P
n
∂P
n ∂x n
P
(A.26)
En supposant de plus :
186
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
P
VPP
VPP
∂P
=
P
(1 + r )a P ∂x P
V
P
n (1 + rV )a P
P
∂P
n ∂x P n
(A.27)
L’interpolation de Rhie et Chow sur la face nord s’écrit finalement de la manière suivante :
U =U
P
n
V PP
−
P
(1 + rV )a P
P
n
P
∂P P
∂P
−
∂x
∂x P
n
n
n
(A.28)
La relation modifiée de Majumdar est obtenue en enlevant les termes de relaxations des
relations (A.5) et (A.6), ce qui donne les nouvelles relations suivantes :
1
~
U pP = P
aP
∑a
1
~
U PN = N
aP
∑a
P
i
U +
P
i
(SU ϑ )PP (ρHϑU )PP
N
i
U
N
i
+
i
+
a PP
i
(n)
(SU ϑ )PN (ρHϑU )PN
+
a PN
(A.29)
a PP δ t
(n)
(A.30)
a PN δ t
Avec les expressions des vitesses discrétisées générales (A.1) et (A.2), il vient les relations
suivantes :
V P ∂P
( −1)
~
U pP = (1 + rV )U pP + PP − rV U PP
a P ∂x P
(A.31)
V N ∂P
( −1)
~
U pN = (1 + rV )U pN + PN − rV U PN
a P ∂x P
(A.32)
P
N
L’interpolation de Rhie et Chow (A.19) est sous relaxée, ce qui donne l’interpolation de
Majumdar :
P
(1 + rV )U = U~nP − VPP ∂P + rV U nP ( −1)
a P n ∂x n
P
P
n
(A.33)
Ainsi en combinant les relations (A.20), (A.31) et (A.32) et en injectant dans (A.33), il vient :
P
VPN ∂P
P V P ∂P
(1 + rV )U = I U (1 + rV ) + 1 − I U (1 + rV ) + I N + 1 − I n P
a P ∂x P
a P ∂x P
P
n
P
n
(
N
P
− rV I U
P
n
N ( −1)
n
(
P
n
)
)
N
P
P
− 1 − I rV U
P
n
P
n
P ( −1)
n
V P
− PP
aP
(
)
P
∂P
( −1)
+ rV U nP
n ∂x n
P
187
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
Ce qui donne :
(
VPP ∂P P
− rV U PP ( −1)
U nP = U nP +
P
(1 + r )a ∂x P 1 + rV
P
n
) − (1 +Vr )a
n
∂P
r
( −1)
+ V U nP
n ∂x n 1 + rV
P
P
P
P
P
En réutilisant l’hypothèse (A.27), la modification de Majumdar de l’interpolation de Rhie et
Chow sur la face nord s’écrit ainsi :
U =U
P
n
V PP
−
P
(1 + r )a P
P
n
P
∂P P
∂P
r
− + V
n ∂x n ∂x P n 1 + rV
(
)
U P ( −1) − U P ( −1)
P
n
n
(A.34)
Pour obtenir la modification de Choi, la démarche à celle de Majumdar. Les termes de
relaxation et les termes non stationnaires sont enlevés des relations (A.5) et (A.6), ce qui
donne les relations suivantes :
1
~
U pP = P
aP
∑a
1
~
U PN = N
aP
∑a
P
i
U +
P
i
(SU ϑ )PP
i
N
i
U
N
i
+
i
(A.35)
a PP
(SU ϑ )PN
(A.36)
a PN
Avec les expressions des vitesses discrétisées générales (A.1) et (A.2), il vient les relations
suivantes :
VP
~
U pP = (1 + rV )U pP + PP
aP
( ρ Hϑ U ) P
∂P
P ( −1)
−
− rV U P
a PP δ t
∂x P
P
P (n)
(A.37)
( ρ Hϑ U ) P
V N ∂P
( −1)
~
U pN = (1 + rV )U pN + PN − rV U PN
−
a P ∂x P
a PN δ t
N
N (n)
(A.38)
L’interpolation de Majumdar (A.33) peut être écrite avec le terme non stationnaire, ce qui
donne l’interpolation de Choi :
(1 + rV )U
P
n
P
( ρ Hϑ ) P ( n )
~ P V PP ∂P
P ( −1)
P
= U n − P + rV U n
+
P
∂
x
a
a
δ
t
P
P n n
U P (n)
n
n
(A.39)
Ainsi en combinant les relations (A.20), (A.37) et (A.38) et en injectant dans (A.39), il vient :
188
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
(1 + rV )U
P
n
V N ∂P
V P ∂P
= I U (1 + rV ) + 1 − I U (1 + rV ) + I PN + 1 − I nP PP
a P ∂x P
a P ∂x P
P
n
(
N
P
− rV I U
P
n
−I
P
n
N ( −1)
n
(
P
n
− 1− I
(ρHϑU )Np
a PN δ t
(n)
P
n
)
N
P
P
)r U
V
(
− 1− I
P
n
P
n
P ( −1)
n
)
V P
− PP
aP
(ρHϑU )Pp
a PP δ t
(
)
P
∂P
( −1)
+ rV U nP
n ∂x n
P
(n)
(ρHϑ )P ( n )
P
+
a PP δ t
U P (n)
n
n
Ce qui donne :
U =U
P
n
P
n
VPP
+
(1 + r )a P
P
(
)
(
P
r
∂P
P ( −1)
− V UP
∂x P n 1 + rV
ρHϑU P P ( n )
P P
−
P
(1 + r )a P δ t
)
n
VPP
−
P
(1 + r )a P
∂P
r
( −1)
+ V U nP
n ∂x n 1 + rV
P
(ρHϑ )P ( n )
P
U P ( n)
+
P
(1 + r )a δ t n
P
n
n
En réutilisant l’hypothèse (A.27) et l’hypothèse suivante :
(
)
ρHϑU P P ( n )
P P
(1 + r )a P δ t
P
(ρHϑ )P ( n )
P
U P (n)
=
P
P
(1 + r )a P δ t
n
n
(
)
n
Ainsi la nouvelle interpolation de Rhie et Chow sur la face nord avec modification de
Majumdar et de Choi s’écrit finalement :
U =U
P
n
P
n
V PP
−
P
(1 + r )a P
P
∂P P
∂P
r
− + V
n ∂x n ∂x P n 1 + rV
(
(
)
U P ( −1) − U P ( −1)
P
n
n
)
( ρ Hϑ ) P ( n )
P
U P ( n ) − U P ( n )
+
P
n
P
(1 + r )a P δ t n
n
Cette relation peut être généralisée sur toutes les faces.
La procédure de Rhie et Chow est effectuée après l’étape de prédiction. En reprenant les
notations d’origine définies dans Chapitre III, les prédictions de vitesse interpolée sur les
faces s’écrivent ainsi comme suit :
189
ANNEXE A. PROCEDURE D’INTERPOLATION SPECIALE
[
∂P * ∂P *
( −1)
r
+ V U i( −1) − U i
−
U = U i − Ai
∂x i ∂x i 1 + rV
*
i
*
[
+ Bi U in − U i
n
]
]
[
∂P * ∂P *
( −1)
r
+ V Wi ( −1) − Wi
−
Wi = Wi − Ai
∂z i ∂z i 1 + rV
*
*
[
+ Bi Wi n − Wi
n
(A.40)
]
]
(A.41)
Avec :
(ρHϑ )n
Bi =
P
(
1
+
r
)
a
δ
t
V
P
i
(A.42)
190
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
La Figure B.1, montre une cellule de discrétisation prévue avec une structure de données
appropriée pour prendre en compte des discontinuités sur les faces ‘est’ et ‘west’ de la maille
P.
Le fluide sort du volume P à travers une face d’épaisseur H Pe , il rentre dans le volume E à
travers une face d’épaisseur H Ew . Les hauteurs H Pe et H Ew ne sont pas égales et leur
différence est égale à la profondeur de la gorge. D’un point de vue numérique, l’épaisseur de
film sur les faces d’un volume contenant une face de discontinuité devra être évaluée de
manière particulière. Par exemple, dans le cas représenté par la figure précédente, l’épaisseur
du film sur la face ‘Est’ du volume ‘P’ sera déterminée par extrapolation à partir des valeurs
de H sur les nœuds précédents. L’épaisseur du film sur la face ‘West’ du nœud ‘E’ sera
déterminée par interpolation des valeurs sur les nœuds suivants. L’utilisation d’une
extrapolation (cubique) a pour objectif de garder la possibilité de traiter des cas où l’axe rotor
n’est pas parfaitement aligné avec l’axe du stator.
δxN
PN
U
PN
N
WN
U
U n,
Wn
Uw
WWe
UW
δxP
PW
WW
e
W
P
Uw
w w
P W
P P
w
P
P
Pn
UP
U WP e
P P P
W w PPP
P U
P
s
e
W Pe
P
P
Ue
WEw
Ue
WPe
w
E
P
UE
WE
PE
Ws
Ps
δxS
PUS
δ zW
PS
WS
δ zE
δ zP
Figure B.1 : Cellule de discrétisation en présence de discontinuité
191
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
La continuité du débit massique à l’interface de discontinuité ‘est’ du volume P s’écrit :
m& Pe = m& Ew ⇒ ρ e H Pe WPe = ρ e H EwWEw
(B.1)
Avec cette modélisation, la conservation du débit définie précédemment donne finalement :
H Pe WPe = H EwWEw
(B.2)
En terme de prédiction correction, la continuité du débit sur la face de discontinuité s’exprime
comme suit :
′
′
*
H Pe WPe − H Ew WEw = − ∆(HW )e
(B.3)
∆ (HW )e = H Pe (WPe ) − H Ew (WEw )
(B.4)
( )
( )
*
*
*
Les valeurs de prédiction et de correction sont exprimées comme il suit :
( )
*
(W )
e
− PP*
1
e PP
ˆW
= EXTRAPOL
a
W
+
S
A
−
∑ I I I
P
δz P 2
a I (1 + rV ) I
I =W −1,W , P
(W )
*
w
1
w PE − PE
ˆW
a
W
S
A
= EXTRAPOL
+
−
∑ I I I
E
δz E 2
a I (1 + rV ) I
I = E , E +1, E + 2
e *
P
w *
E
′
( )
(W ) = − A
e
P
(B.5)
e
P
(P )′ − P′ , (W )′ = − A
δz 2
e
P
P
w
E
w
E
P
( )′
PE′ − PEw
δz E 2
APe = EXTRAPOL[ AI ]I =W −1,W , P , AEw = EXTRAPOL[ AI ]I = E ,E +1,E +2
*
(B.6)
(B.7)
(B.8)
Les valeurs de prédiction sur la face commune sont calculées en utilisant une procédure
d’interpolation spéciale. La fonction EXTRAPOL montre que seules des informations à
gauche ou à droite de la discontinuité sont utilisées pour le calcul des vitesses sur la face
commune. Le gradient de pression est exprimé différemment dans les deux cellules, en
utilisant des dérivées à gauche et à droite, respectivement. Cette procédure d’extrapolation
spéciale a l’avantage de préserver la décomposition en valeurs de prédiction et valeurs de
correction tout en évitant la dérivée de pression à travers la discontinuité.
La continuité du débit massique à travers la discontinuité s’écrit alors :
′
′
*
− c~Pe PPe + c~Pe PP′ = −c~Ew PE′ + c~Ew PEw − ∆ (HW )e
( )
( )
(B.9)
192
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
Ae H e
Aw H w
c~Pe = cPe H Pe = P P , c~Ew = cEw H Ew = E E
δz P 2
δz E 2
(B.10)
( )′ et (P )′ . Le but est de formuler une équation pour
Ceci est une première équation pour PPe
w
E
( )′
les corrections de pression. Pour ceci, il faut éliminer PPe
( )′
et PEw
en les exprimant en
fonction de PP′ et PE′ .
Une deuxième équation est obtenue à partir de l’équation de Bernoulli généralisée à travers la
face qui porte la discontinuité.
ρ e (WPe )
2
P +ς
e
P
e
P
ρ e (WEw )
2
= P +ς
w
E
2
w
E
(B.11)
2
Cette équation peut être écrite directement en utilisant les valeurs de prédiction et de
correction.
′
(P ) + (P ) + ς
e *
P
e
P
ρ Pe (WPe )
*2
e
P
2
+ ς Pe ρ Pe (W
′
′
) (W ) = (P ) + (P ) + ς
e *
P
e
P
w *
E
w
E
ρ Ew (WEw )
*2
w
E
2
*
′
+ ς Ew ρ Ew (WEw ) (WEw )
où :
(P )′ + ς
e
P
e
P
∆P = (P
*
) +ς
e *
P
*
e
′
ρ Pe (WPe )
*2
e
P
′
2
′
e
P
− (P
e
P
e
P
δz P 2
*
) −ς
w *
E
(P )′ − P′
( ) = −A
mais W
′
ρ Pe (WPe ) (WPe ) = (PEw ) + ς Ew ρ Ew (WEw ) (WEw ) − ∆Pe*
P
ρ Ew (WEw )
(B.12)
*2
w
E
′
( )
et W
w
E
(B.13)
2
′
PE′ − PEw
= −A
. Il résulte alors une deuxième
δz E 2
w
E
( )
équation linéaire :
(1 − d )(P )′ + d
e
P
e
P
′
P′ = (1 + d Ew )(PEw ) − d Ew PE′ − ∆Pe*
e
P P
(B.14)
où :
( ) δzA
d Pe = ς Pe ρ Pe WPe
*
e
P
P
( )
= ς Pe ρ Pe WPe cPe
*
2
(B.15)
193
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
( ) δzA
d Ew = ς Ew ρ Ew WEw
w
E
*
*
2
E
( )
= ς Ew ρ Ew WEw cEw
(B.16)
La solution du système linéaire (B.9) et (B.14) est:
(
)
(B.17)
(P )
ePe 1 − d Pe
*
= e P + 1 − e PE + e ∆P +
∆(HW )e
e
~
cP
(
)
(B.18)
eEw =
c~Ew
1 + d Ew c~Pe + 1 − d Pe c~Ew
(B.19)
c~Pe
1 + d Ew c~Pe + 1 − d Pe c~Ew
(B.20)
(P )′ = (1 − e )P ′ + e
e
P
w
E
w
E
′
ePe =
e
P P
′
(
(
ew 1 + d w
′
*
P − eEw ∆Pe* + E ~ w E ∆ (HW )e
cE
w
E E
P
(
e
P
)
)
(
)
′
e
P
*
e
)
(
)
Les corrections de pression sur la discontinuité sont maintenant exprimées en fonction des
corrections de pression définies aux centres des cellules. Ceci permet d’écrire les corrections
des vitesses et une nouvelle équation en corrections de pressions est obtenue. Quand la face
‘est’ de la cellule coïncide avec l’interface de la discontinuité le système linéaire est :
bˆP PP′ =
∑ bˆ P ′ + Sˆ
I
I = E ,W , N , S
I
cont .
P
~
1+ dw
*
SˆPcont . = S Pcont. − bˆE ∆Pe* + bˆE ~ w E ∆ (HW )e
cE
bˆP =
∑ bˆ
I
I = E ,W , N , S
où bˆI = bI pour I = W , N , S
(B.21)
(B.22)
(B.23)
e
cP
67
8
c~Pe
67
8
e
AP
w
e
e
w
e e
ˆ
bE = bE eE = ρ P
H δx ⋅ e = ρ P cP H Pe δxP ⋅ eEw
δz P 2 P P E
1442443
(B.24)
bE
La nouvelle équation de correction de pression est similaire à la précédente exceptant le terme
source et le terme b̂E qui correspond à la face de la cellule portant la discontinuité. Les
relations (B.23) montrent que les règles exprimant le caractère elliptique du champ de
194
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
pression ont été préservées. L’équation (B.21) préserve aussi son caractère de relation de
correction (les valeurs des corrections de pression tendent vers zéro avec la convergence) car
(
)
*
les termes source supplémentaires − bˆE ∆Pe* + bˆE 1 + d Ew c~eW ∆(HW )e introduits par la
discontinuité tendent vers zéro quand les vitesses des deux cotés de la face sont égales et
quand l’équation de Bernoullli est satisfaite.
Une procédure similaire est développée quand la face ‘west’ de la cellule P coïncide avec
l’interface de discontinuité.
bˆP PP′ =
∑ bˆ P ′ + Sˆ
I
I = E ,W , N , S
I
cont .
P
(B.25)
~
1− de
*
SˆPcont . = S Pcont . + bˆW ∆Pw* + bˆW ~ e W ∆ (HW )w
cW
bˆP =
∑ bˆ
I
I = E ,W , N , S
(B.26)
où bˆI = bI pour I = E , N , S
(B.27)
w
cP
67
8
c~Pw
67
8
w
A
bˆW = bW eWe = ρ Pw P H PwδxP ⋅ eWe = ρ Pw cPw H Pw δxP ⋅ eWe
δz P 2
144
2443
(B.28)
bE
où une permutation des indices est nécessaire. Par exemple :
Ae H e
c~We = cWe H We = W W
δzW 2
(B.29)
( ) δzA
dWe = ς We ρWe WWe
e
W
*
W
∆P = (P
) +ς
e *
W
*
w
( )
= ς We ρWe WWe cWe
*
2
ρWe (WWe )
*2
e
W
2
− (P
) −ς
w *
P
(B.30)
ρ Pw (WPw )
*2
w
P
2
(B.31)
∆ (HW )w = H We (WWe ) − H Pw (WPw )
(B.32)
c~We
e =
(1 + d Pw )c~We + (1 − dWe )c~Pw
(B.33)
*
e
W
*
*
195
ANNEXE B. DISCONTINUITES A LA RAINURE
Après avoir résolu l’équation de correction de pression modifiée, les étapes de correction sont
les mêmes que pour l’algorithme SIMPLE classique présenté dans le Chapitre III. La seule
exception est le fait que les vitesses sur les faces de la cellule qui coïncident avec les
discontinuités ne sont pas interpolées entre les valeurs nodales mais sont corrigées selon les
relations (B.7). Les pressions sur les faces qui portent des discontinuités sont sous-relaxées et
sont corrigées conformément aux relations (B.17) - (B.18).
196
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
Pour un volume de contrôle alimenté avec un orifice, les conditions aux limites sur la vitesse
radiale V y deviennent :
(V )
=0
(V )
=
Avec :
DH ∂H ∂H
=
+
(V x ) y = H + ∂H (V z ) y = H
∂t
∂x
Dt
∂z
y y =0
y y=H
(V )
orif
y y=H
(C.1)
DH
orif
+ (V y )y = H
Dt
(C.2)
(C.3)
est la vitesse d’écoulement à l’orifice définie sur la face supérieure du volume de
contrôle (comptée positivement dans le sens y).
De plus, la présence de l’orifice implique une absence de parois et ainsi une absence de
cisaillement au niveau de la paroi supérieure.
Les équations du ‘Bulk Flow’ ont été exposées de manière détaillée dans le Chapitre III pour
un volume de contrôle non alimenté par un orifice. Avec les remarques précédentes, les
équations ‘Bulk Flow’ pour un volume alimenté par un orifice s’écrivent de la manière
suivante :
∂ρU ² H ∂ρUWH
∂P
∂
orif
+ ρ (Vx )y = H (Vy )y = H = −
H − τ Rx
∂t (ρUH ) + ∂x +
∂z
∂x
∂ρW ² H ∂ρUWH
∂P
∂
orif
+
+ ρ (Vz )y = H (Vy )y = H = −
H − τ Rz
(ρWH ) +
∂z
∂x
∂z
∂t
∂ρUH ∂ρWH
∂
orif
∂t (ρH ) + ∂x + ∂z + ρ (Vy )y = H = 0
(C.4)
D’après le système d’équations (C.4), la forme discrétisée des équations des moments sur un
volume alimenté par un orifice est donnée par la relation suivante33, Ξ ∈ {U , W } :
[ρHΞ
33
n +1
p
]
− ρHΞ np ϑ p + [m& e Ξ e − m& w Ξ w + m& n Ξ n − m& s Ξ s + m& h Ξ h ] δ t = (S Ξ ) p ϑ p δ t
n +1
n +1
(C.5)
L’indice h fait référence à une grandeur définie sur la face supérieure du volume.
197
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
Avec :
orif
m& h = ρ ∫∫ (Vy )y = H dxdz
(C.6)
ϑ
m& h est le débit de masse à l’orifice.
La continuité du débit à l’interface orifice-film donne directement :
m& h = ρVorif S orif
(C.7)
La variable Ξ sur les arêtes qui intervient dans les termes de convection est déterminée en
tenant compte du sens de la vitesse normale. Une valeur à l’ordre 1 de précision est obtenue
en considérant directement la valeur dans le volume amont :
n +1
Ξ w
n +1
Ξ e
n +1
Ξ s
n +1
Ξ n
n +1
Ξ h
(
)+Ξ
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 − SIGN Wwn+1
2
n +1
n +1 1 + SIGN We
= ΞP
2
1 − SIGN U sn +1
= Ξ nP+1
2
n +1
n +1 1 + SIGN U n
= ΞP
2
n +1
1 + SIGN Vorif
= Ξ nP+1
2
= Ξ nP+1
1 + SIGN Wwn+1
2
n +1
n +1 1 − SIGN We
+ ΞE
2
1 + SIGN U sn+1
+ Ξ nS+1
2
n +1
n +1 1 − SIGN U n
+ ΞN
2
n +1
1 − SIGN Vorif
+ Ξ nH+1
2
n +1
W
(C.8)
Ainsi, après calculs l’équation discrétisée s’écrit sous la forme :
aP Ξ
n +1
p
+ (m& n − m& s + m& e − m& w + m& h )
n +1
Ξ
n +1
p
=
∑a Ξ
I
I =W , S , E , N , H
n +1
I
+ (S Ξ ϑ )
n +1
p
+
(ρHΞϑ )np
δt
(C.9)
Avec :
198
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
aW
a
E
a S
a N
a H
1 + SIGN (Ww )
= m& w
2
1 + SIGN (Ww )
= ρ w H wWwδx p
2
n +1
1 − SIGN (We )
= m& e
2
n +1
1 − SIGN (We )
= ρ e H eWe δx p
2
n +1
1 + SIGN (U s )
= m& s
2
n +1
1 + SIGN (U s )
= ρ s H sU s δz P
2
n +1
1 − SIGN (U n )
= m& n
2
n +1
1 − SIGN (Vorif )
= m& h
2
aP =
∑a
I
I =W , S , E , N , H
+
1 − SIGN (U n )
= ρ n H nU nδz P
2
n +1
n +1
(C.10)
n +1
1 − SIGN (Vorif )
= ρ PVorif S orif
2
n +1
(ρHϑ )np+1
(C.11)
δt
En intégrant l’équation de continuité, il vient la relation :
(m& n − m& s + m& e − m& w + m& h )n +1 = − 1 [(ρHϑ )np+1 − (ρHϑ )np ]
δt
(C.12)
L’équation discrétisée se réécrit de la manière suivante :
aP Ξ
n +1
p
aP =
=
∑a Ξ
I
I =W , S , E , N , H
∑a
I
I =W , S , E , N , H
+
n +1
I
+ (S Ξ ϑ )
n +1
p
+
(ρHϑ Ξ )np
δt
(ρHϑ )np
(C.13)
(C.14)
δt
En ajoutant le coefficient de sous relaxation, et en injectant les termes restant au second
membre dans le terme source, la forme discrétisée finale s’écrit :
(1 + rV )a P Ξ np+1 =
∑a Ξ
n +1
I
I
I =W , S , E , N , H
+ (S Ξ ϑ ) p
n +1
(C.15)
Le terme source est défini comme suit (sans cisaillement à la paroi supérieure) :
199
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
n +1
(S )
n +1
Ξ P
∂P
= −
H − τ RX i
∂
X
i P
( )
n +1
P
n
1 (ρHϑ Ξ ) p
+
+ a P rV Ξ np+1
ϑ p δ t
(C.16)
Pour la première équation des moments, Ξ = U , ce qui donne :
(S U )
n +1
P
n +1
1
∂P
n +1
= −
H − (τ Rx )P +
ϑp
∂x P
(ρHϑU )np
+ a P rV U pn +1
δt
(C.17)
Pour la deuxième équation des moments, Ξ = W , ce qui donne :
(S W )
n +1
P
n +1
1
∂P
n +1
= −
H − (τ Rz )P +
ϑp
∂z P
(ρHϑW )np
+ a P rV W pn +1
δt
(C.18)
Comme pour les volumes non alimentés par un orifice, la résolution du système linéaire
obtenue se fera par la méthode de Gauss Seidel. La convergence sera effective lorsque l’erreur
courante aura atteint un pourcentage imposé de l’erreur initiale.
L’influence de l’orifice doit maintenant être incluse dans le processus de prédiction
correction. L’équation de la vitesse à l’orifice est intégrée en temps en utilisant le schéma
d’Euler implicite, ce qui donne la forme discrétisée suivante :
n +1
Vorif
=
n +1
Pfilm
− Pextn +1
δ yρ
n +1
P
n
δt + Vorif
(C.19)
En introduisant la décomposition de la pression, P = P * + P ' , la relation discrétisée (C.19)
peut se réécrire de la manière suivante (uniquement Pfilm dépend de P) :
V
n +1
orif
(P )
=
n +1
*
film
− Pextn+1
δyρ Pn +1
δt + V
n
orif
(P )
+
n +1
'
film
δyρ Pn +1
δt
(C.20)
*
Les effets de perte de charge sur Pfilm sont pris en compte dans la prédiction Pfilm
avec les
vitesses corrigées de l’itération SIMPLE précédente. L’équation (C.20) peut alors se
réécrire comme suit :
200
ANNEXE C. ORIFICES D’ALIMENTATION
V
n +1
orif
(P )
=
n +1
*
film
− Pextn+1
δyρ Pn +1
n
δt + Vorif
+
(P )
' n +1
P
n +1
P
δyρ
δt
(C.21)
Il convient ainsi de poser :
(V
*
orif
(V
'
orif
) = (P )
n +1
*
film
n +1
− Pextn +1
δyρ Pn +1
) = δ(Pyρ)
' n +1
P
n +1
P
n +1
n
δt + Vorif
δt
(C.22)
(C.23)
Le volume étant alimenté par l’orifice, l’équation de continuité s’écrit de la manière suivante :
(m& n − m& s + m& e − m& w + m& h )n +1 = − 1 [(ρHϑ )np+1 − (ρHϑ )np ]
δt
(C.24)
Ainsi, pour l’étape de prédiction, la prédiction de vitesse à l’orifice est calculée par la relation
(C.22)
L’étape de correction est effectuée à partir de l’équation de continuité qui, pour un volume
alimenté par un orifice, s’écrit :
∑ m&
'
i
i = w , s ,e , n , h
=−
∑ m&
*
i
i = w, s , e , n , h
+ Sˆ Pcont .
(C.25)
Donc, pour le volume contenant l’orifice, le coefficient diagonal se réécrit :
bP =
∑b
I
I =W , S , E , N
+
δ tS orif
δy
(C.26)
Les bI , I = {N , S , E , W } , sont inchangés.
201
ANNEXE D. ENCOCHES D’ÉVACUATION
ANNEXE D. ENCOCHES D’ÉVACUATION
De manière générale, l’équation de la vitesse moyenne dans l’encoche s’écrit :
ρ
Pext − Pfilm 2τ enc
∂Venc
−
= B gd
Lenc
H enc
∂t
(D.1)
B gd = 1 si l’encoche est sur le bord gauche et B gd = −1 si l’encoche est sur le bord droit.
Cette équation est intégrée en temps en utilisant le schéma d’Euler implicite, ce qui donne la
forme discrétisée suivante :
n +1
Venc
= B gd
n +1
Pextn +1 − Pfilm
+1
Lenc ρ nfilm
n
δ t + Venc
−
n +1
2τ enc
δt
+1
H enc
ρ nfilm
(D.2)
La densité dans l’encoche est considérée égale à la densité sur la face du film quelque soit le
sens de l’écoulement.
La vitesse à l’encoche Venc peut être reliée à la vitesse axiale Wi sur la face i = {e, w} du film
mince par la continuité du débit massique à travers l’interface ‘encoche-film’. Il vient la
relation :
Venc S enc = Wi H i δx P
(D.3)
L’influence de l’encoche doit maintenant être incluse dans le processus de prédiction
correction.
En introduisant la décomposition de la pression, P = P * + P ' , cette relation peut se réécrire de
la manière suivante (uniquement Pfilm dépend de P) :
V
n +1
enc
= B gd
(
*
Pextn +1 − Pfilm
+1
Lenc ρ nfilm
)
n +1
δt + V
n
enc
(
)
n +1
'
δt
Pfilm
2τ n +1
− n +1 enc δ t − B gd
n +1
ρ film H enc
Lenc ρ film
(D.4)
*
Les effets de perte de charge de Pfilm sont prise en compte sur la prédiction Pfilm
avec les
vitesses corrigées de l’itération SIMPLE précédente. L’équation (D.4) peut alors se
réécrire comme suit :
203
ANNEXE D. ENCOCHES D’ÉVACUATION
V
n +1
enc
= B gd
(
*
Pextn +1 − Pfilm
)
n +1
+1
Lenc ρ nfilm
( )
n +1
n
δt + Venc
−
n +1
2τ enc
Pi ' δt
δ
t
−
B
gd
+1
+1
ρ nfilm
H enc
Lenc ρ nfilm
(D.5)
Il convient alors de poser :
(V )
* n +1
enc
(
*
Pextn +1 − Pfilm
= B gd
)
n +1
n
δt + Venc
−
+1
Lenc ρ nfilm
n +1
2τ enc
δt
+1
ρ nfilm
H enc
(D.6)
Le terme de frottement est aussi calculé avec les vitesses corrigées de l’itération précédente.
(V ) = − (LP )ρ δt
n +1
'
enc
' n +1
i
enc
(D.7)
n +1
film
( )
La prédiction de vitesse Wi*
n +1
est déterminée en utilisant les relations (D.3) et (D.6) :
(W ) = (VH ) δxS
* n +1
i
* n +1
enc
enc
n +1
i
P
(D.8)
La correction est effectuée en considérant les faces à encoches comme des faces à vitesse
( )
imposée. La correction de vitesse sur la face Wi '
n +1
est ainsi considérée nulle et la correction
de pression est déterminée de manière analogue à un bord totalement étanche (vu au Chapitre
III).
La vitesse à l’encoche est ensuite corrigée par la relation (D.7) pour en déduire la vitesse sur
la face par la relation suivante :
(W ) = (VH ) δxS
n +1
i
n +1
enc
n +1
i
enc
(D.9)
P
204
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION
POLYNOMIALE
L’objectif final d’une analyse industrielle est de déterminer le comportement dynamique d’un
rotor amortis par des SFD. La solution la plus physique serait le couplage entre un logiciel de
calcul CFD pouvant donner les efforts du fluide pour un mouvement quelconque et un logiciel
de dynamique donnant à chaque instant la nouvelle position de l’arbre. Cette solution
inconcevable pour des raisons évidentes de temps de calcul.
Le code de calcul mis au point permet de déterminer les efforts du fluide dus à un mouvement
imposé de l’arbre. En supposant que lorsque le régime ‘établi’ est atteint, la trajectoire de
l’arbre reste à peu près circulaire centrée, le code de calculs peut alors être utilisé pour
déterminer les efforts. Le code pourrait éventuellement être couplé avec le logiciel de calcul
dynamique de rotor pour recalculer les efforts à chaque instant mais une autre solution a été
préférée pour des raisons de facilité et de rapidité.
Le code de calcul ne sera pas directement couplé avec le logiciel de dynamique de rotor.
Seules les forces moyennes seront utilisées comme paramètre d’entrée et le caractère non
stationnaire des efforts ne sera pas considéré. Le mouvement de l’arbre étant considéré
circulaire centré, les forces moyennes dépendent alors uniquement de deux paramètres : le
rayon de l’orbite et la vitesse de précession. Ces forces sont alors représentées par des
surfaces de réponse. La procédure de résolution est donc bien découplée, les surfaces de
réponses sont d’abord déterminées par le code de calcul et seront utilisées ensuite par le
logiciel de dynamique de rotor. La Figure E.1 représente une surface de réponse pour la force
radiale déterminée à partir d’un ensemble de points de calcul par une procédure
d’interpolation linéaire. Les points de calculs ont été effectués pour 7 vitesses de précession,
ω [rad / s] = {0, 160, 314, 470, 622, 780, 940}
et
8
rayons
relatifs
d’orbite,
ε = {0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8, 0.85, 0.9} sur la configuration C12 alimentée à 5 bars. Pour une
vitesse de précession ou un rayon d’orbite nul la force est nulle. Ainsi cette surface de réponse
est obtenue à partir de 42 points de calculs effectifs.
Il apparait aussi sur la Figure E.1, qu’avec la méthode d’interpolation utilisée, le domaine
d’application reste compris dans l’intervalle des points calculés, aucun résultat n’est
disponible pour une vitesse de précession ou un rayon d’orbite supérieur à ceux calculés. Une
205
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
extrapolation permettrait d’étendre cet intervalle. Cependant, une autre méthode que la
triangulation avec interpolation linéaire peut aussi être envisagée.
Il est possible d’utiliser une méthode d’approximation polynômiale pour représenter la
surface de réponse. La force radiale peut alors s’écrire de la manière suivante :
m
n
Fr (ω , ε ) = ∑∑ Aij ω i ε
j
(E.1)
i =1 j =1
où m et n sont les degrés en ω et ε respectivement. Dans le cas de calcul présenté ci-dessus,
il y a 7 vitesses de précession et 8 rayons d’orbite, la meilleure approximation polynômiale est
obtenue34 avec m = 6 et n = 7. La Figure E.2 montre la surface de réponse de la force radiale
obtenue avec cette approximation polynômiale.
Figure E.1 : Surface de réponse de la force radiale déterminée par triangulation avec interpolation
linéaire
34
Ceci correspond en faite à une interpolation polynômiale.
206
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Figure E.2 : Surface de réponse de la force radiale déterminée approximation polynômiale
Le domaine d’application de l’approximation polynômiale (E.1) s’étend hors des limites des
points de calculs. Une exploitation de cette méthode d’approximation serait de limiter au
maximum le nombre de points pour gagner en temps de calcul mais sans perdre trop en
précision. Une nouvelle surface de réponse est déterminée en utilisant seulement 4 vitesses de
précession ω [rad / s ] = {0, 314, 622, 940} et 6 rayons d’orbite ε = {0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8}
soit 15 points de calculs effectif au lieu de 42. Le polynôme35 est imposé de degré 2 en ω et
de degré 5 en ε .
35
Le choix d’un polynôme de degré 2 en
ω
est délibéré. En effet, dans la littérature [32], les effets d’inertie sur
la force radiale ont été assimilés à l’effet d’une masse ajoutée pouvant être décrite par :
en
ε
Fr ≈ Mebω 2 . Le degré
est imposé par le nombre de rayon d’orbite donnée, soit un degré de 6-1=5.
207
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Les forces obtenues avec l’approximation polynômiale sont comparées avec la solution exacte
(obtenue avec l’ensemble des points de calcul). La Figure E.3 représente la force radiale en
fonction de ε avec ω = 314 rad/s obtenue par l’approximation et par un calcul exact point
par point. Les valeurs approchées sont très proches de celle obtenue par le calcul exact. Ceci
est aussi vérifié pour la force tangentielle représentée sur la Figure E.4. Ainsi, pour cette
vitesse de précession, il semble que le calcul des deux derniers rayons d’orbite
ε = {0.85, 0.90} ne soit pas nécessaire. Les calculs à ces rayons d’orbite élevés sont les plus
longs et ne pas les effectuer constitue un réel gain de temps.
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
2000
ω = 314 rad/s
Solution exacte
Approximation
Force radiale [N]
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-500
-1000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.3 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 314
rad/s
208
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
0
0.2
0.4
0.6
Force tangentielle [N]
-500
0.8
1
ω = 314 rad/s
Solution exacte
Approximation
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.4 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 314
rad/s
Les résultats obtenus avec les vitesses de précession ω = 622 rad/s et ω = 940 rad/s sont
présentés sur les figures : Figure E.5-Figure E.8. Comme pour la vitesse de précession
ω = 314 rad/s, les forces radiales et tangentielles déterminées par l’approximation
polynômiale sont très proches de celles obtenues par le calcul exact point par point.
Cependant ces trois vitesses de précessions ω [rad / s ] = {314, 622, 940} correspondent à
celles utilisées pour l’approximation. Il est alors intéressant de comparer aussi les résultats
avec
les
autres
vitesses
de
précession
intermédiaires,
c'est-à-dire :
ω [rad / s] = {160, 470, 780}. Ces comparaisons sont représentées sur les figures : Figure E.9Figure E.14. Pour les vitesses ω [rad / s ] = {470, 780}, les résultats sont très satisfaisants.
Cependant, pour le cas ω = 160 rad/s, représenté sur les figures : Figure E.9-Figure E.10,
des écarts relativement importants apparaissent entre le calcul approché et le calcul point par
point. A cette vitesse, la cavitation n’apparait pas autant qu’aux vitesses plus élevées qui ont
été considérée pour l’approximation. Ainsi, l’allure des forces à cette vitesse ne peut pas être
convenablement décrite. De meilleurs résultats seraient obtenus en prenant cette vitesse dans
l’approximation. Il faut néanmoins remarquer que les forces obtenues à cette vitesse restent
faibles. Il serait beaucoup plus gênant d’avoir ces écarts aux fortes vitesses.
209
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
4000
ω = 622 rad/s
3500
Solution exacte
3000
Force radiale [N]
Approximation
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-500
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.5 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 622
rad/s
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
0
0.2
0.4
0.6
Force tangentielle [N]
-1000
0.8
1
ω = 622 rad/s
Solution exacte
-2000
Approximation
-3000
-4000
-5000
-6000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.6 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 622
rad/s
210
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
7000
ω = 940 rad/s
Solution exacte
6000
Force radiale [N]
Approximation
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.7 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 940
rad/s
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
0
0.2
0.4
0.6
Force tangentielle [N]
-2000
0.8
1
ω = 940 rad/s
Solution exacte
-4000
Approximation
-6000
-8000
-10000
-12000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.8 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 940
rad/s
211
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
800
ω = 160 rad/s
Solution exacte
Approximation
600
Force radiale [N]
400
200
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-200
-400
-600
-800
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.9 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 160
rad/s
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
0
0.2
0.4
0.6
Force tangentielle [N]
-200
0.8
1
1.2
ω = 160 rad/s
-400
Solution exacte
-600
Approximation
-800
-1000
-1200
-1400
-1600
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.10 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 160
rad/s
212
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
3000
ω = 470 rad/s
2500
Solution exacte
Force radiale [N]
2000
Approximation
1500
1000
500
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-500
-1000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.11 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 470
rad/s
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
-500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω = 470 rad/s
Force tangentielle [N]
-1000
Solution exacte
-1500
Approximation
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
-4500
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.12 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 470
rad/s
213
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
6000
ω = 780 rad/s
Solution exacte
5000
Force radiale [N]
Approximation
4000
3000
2000
1000
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.13 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 780
rad/s
Approximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
-1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω = 780 rad/s
Force tangentielle [N]
-2000
Solution exacte
-3000
Approximation
-4000
-5000
-6000
-7000
-8000
-9000
ε (Rayon orbite relatif)
Figure E.14 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour
ω = 780
rad/s
214
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Les courbes précédentes ont montré la variation des forces en fonction du rayon de l’orbite
relatif pour des vitesses de précession fixées. Il est intéressant de visualiser aussi l’influence
de la vitesse de précession pour des orbites fixes. La série de figures suivante, Figure E.15Figure E.22 montre une très bonne concordance entre les résultats de l’approximation et du
calcul exact point par point. Ceci justifie le choix du degré 2 en ω .
En conclusion, pour cette configuration (C12), la méthode d’approximation polynômiale
s’avère être concluante et permet un important gain en terme de temps de calcul. La précision
de l’approximation pourrait encore être améliorée en considérant éventuellement des vitesses
supplémentaires mais il semble clairement qu’il n’est pas nécessaire d’effectuer les calculs
pour les orbites les plus élevés qui sont les plus longs et les plus difficiles à résoudre
numériquement. Le choix du nombre de points suivant ε n’est pas arbitraire. Il a été observé
que la meilleure approximation était obtenue en considérant tous les rayon d’orbite ε allant
de 0 jusqu’à celui entrainant la première baisse de la force radiale.
Ainsi, en résumé, 15 points ont été suffisant pour la configuration C12 pour obtenir des
résultats satisfaisants pour 0 < ε < 1 et 0 < ω [rad / s ] < 940 .
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
4500
ε = 0.3
4000
Force radiale [N]
3500
Solution exacte
Approximation
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/1000
Figure E.15 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .3
215
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-500
Force tangentielle [N]
1
ε = 0.3
Solution exacte
Approximation
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
ω/1000
Figure E.16 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .3
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
7000
ε = 0.5
6000
Solution exacte
Approximation
Force radiale [N]
5000
4000
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1000
ω/1000
Figure E.17 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0.5
216
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
-500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ε = 0.5
Force tangentielle [N]
-1000
-1500
Solution exacte
Approximation
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000
ω/1000
Figure E.18 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0.5
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
8000
ε = 0.7
7000
Solution exacte
Force radiale [N]
6000
Approximation
5000
4000
3000
2000
1000
0
-1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ω/1000
Figure E.19 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .7
217
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
-500 0
0.2
0.4
0.8
1
ε = 0.7
-1000
Force tangentielle [N]
0.6
Solution exacte
-1500
Approximation
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000
-5500
-6000
ω/1000
Figure E.20 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .7
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
7000
ε = 0.9
6000
Solution exacte
Force radiale [N]
5000
Approximation
4000
3000
2000
1000
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1000
ω/1000
Figure E.21 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .9
218
ANNEXE E. SURFACE DE REPONSE ET APPROXIMATION POLYNOMIALE
Aproximation polynômiale
degré/ε = 5, nombre de points/ε = 6 (ε = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.8)
degré/ω = 2, nombre de points/ω = 4 (ω = 0.0, 314, 622, 940)
0
-1000
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ε = 0.9
Force tangentielle [N]
-2000
Solution exacte
-3000
Approximation
-4000
-5000
-6000
-7000
-8000
-9000
-10000
ω/1000
Figure E.22 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour
ε = 0 .9
219
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228
Table des figures
Figure I.1 : Description du système SFD ................................................................................. 17
Figure I.2 : SFD avec dispositif de cage d'écureuil.................................................................. 18
Figure I.3 : Mouvement de précession circulaire centré .......................................................... 18
Figure I.4 : Les conditions de rupture du film.......................................................................... 21
Figure I.5 : Stries dans la zone de cavitation selon Floberg..................................................... 22
Figure I.6 : Mesure de pression expérimentale mettant en évidence la cavitation de vapeur et
la cavitation gazeuse [4]........................................................................................................... 23
Figure I.7 : Influence de la cavitation gazeuse sur l’amplitude de pression ............................ 24
Figure I.8 : Mesure de pression mettant en évidence simultanément la cavitation de vapeur et
la cavitation gazeuse [18]......................................................................................................... 26
Figure I.9 : Système d’alimentation et d’étanchéité d’un SFD, a-Alimentation directe, bAlimentation par rainure circonférentielle ............................................................................... 34
Figure I.10 : Système d’étanchéité, a-Joint torique, b-Segment, c-Plaque .............................. 35
Figure I.11 : Segment à coupe baïonnette muni d’embrèvements ........................................... 35
Figure II.1 : Représentation de la bulle dans son environnement ............................................ 48
Figure II.2 : Vitesses à l'interface............................................................................................. 53
Figure II.3 : Ensemble des efforts agissant à l’interface de la bulle ........................................ 55
Figure II.4 : Configuration expérimentale des essais d’Adiletta et Pietra [18]........................ 73
Figure II.5 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d'Adiletta [18], configuration et
positionnement des capteurs..................................................................................................... 75
Figure II.6 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de la
fraction volumique de gaz à l’alimentation sur la pression mesurée au capteur TP1. ............. 75
Figure II.7 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de
fraction volumique de gaz à l’alimentation sur la pression mesurée au capteur TP2. ............. 77
229
Figure II.8 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], influence de la
pression de vapeur sur la pression mesurée au capteur TP3. ................................................... 78
Figure II.9 : Comparaison avec les résultats expérimentaux d’Adiletta [18], variation du rayon
de la bulle au capteur TP2. ....................................................................................................... 78
Figure II.10 : Dérivée particulaire exprimée au capteur TP2................................................... 80
Figure II.11 : Influence de tous les effets dynamiques des bulles sur le champ de pression ... 81
Figure III.1 : Représentation développée du film mince.......................................................... 85
Figure III.2 : maillage rectangulaire......................................................................................... 95
Figure III.3 : Organigramme de l'algorithme global de résolution ........................................ 106
Figure III.4 : Géométrie 2D des calculs CFD ........................................................................ 107
Figure III.5 : Comparaison des champs de pression obtenus par le modèle 2D SFD et le
modèle ‘Bulk Flow’ pour Re*=10 et Re*=20 ........................................................................ 108
Figure III.6 : Comparaison des champs de pression obtenus par le modèle 2D CFD, le modèle
‘Bulk Flow’ et un modèle 2D de San Andrés [22] pour Re*=50 ........................................... 109
Figure III.7 : Comparaisons des forces en fonction du nombre de Reynolds obtenues par le
modèle 2D CFD et le modèle ‘Bulk Flow’ pour un C/R=0.001............................................. 110
Figure III.8 : Comparaisons des forces en fonction du nombre de Reynolds obtenues par le
modèle 2D CFD et le modèle ‘Bulk Flow’ pour un C/R=0.005............................................. 110
Figure III.9 : Implosion de bulles mesurée par Zeidan [4]..................................................... 112
Figure III.10 : Implosion de bulles mesurée par Adiletta et Pietra [18]................................. 112
Figure III.11 : Cavitation et inertie, influence de la pression de vapeur sur le champ de
pression cavité ........................................................................................................................ 113
Figure III.12 : Cavitation et inertie, influence des effets d’inertie sur le champ de pression
cavité ...................................................................................................................................... 114
Figure IV.1 : Configuration industrielle................................................................................. 117
230
Figure IV.2 : Type de segment, a. Segment à coupe droite , b. Segment coupe à baïonnette
avec embrèvements ................................................................................................................ 119
Figure IV.3 : Variation de pression à l’entrée et à la sortie du domaine................................ 121
Figure IV.4 : Cellule de discrétisation en présence de discontinuité sur la face ‘est’............ 123
Figure IV.5 : Représentation des cas d’écoulement au travers la discontinuité..................... 124
Figure IV.6 : Ecoulement à travers un orifice ........................................................................ 126
Figure IV.7 : Encoche d’évacuation (bord gauche) ............................................................... 129
Figure IV.8 : Maillage axial avec rainure circonférentielle, sans orifice ............................... 136
Figure IV.9 : Écoulement traversant une surface de discontinuité, influence d’une rainure sur
le champ de pression 3D ........................................................................................................ 136
Figure IV.10 : Écoulement traversant une surface de discontinuité, influence d’une rainure sur
le champ de pression axial dans le plan θ = 0 (épaisseur de film maximale)...................... 137
Figure IV.11 : Maillage axial avec orifice sans rainure circonférentielle .............................. 138
Figure IV.12 : Maillage circonférentiel avec orifices d'alimentation..................................... 138
Figure IV.13 : Injection directe dans le film, champ de pression 3D, alimenté à 0.2 MPa ... 139
Figure IV.14 : Injection directe dans le film, influence de la pression d’alimentation sur le
champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (plan médian).............................................. 140
Figure IV.15 : Maillage axial avec rainure circonférentielle et avec orifice d’alimentation . 141
Figure IV.16 : Injection dans une rainure d’alimentation, champ de pression 3D, alimentation
à 0.5 MPa................................................................................................................................ 142
Figure IV.17 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la pression
d’alimentation sur le champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure
d’alimentation) ....................................................................................................................... 142
231
Figure IV.18 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur axiale de
maille Dz à l’orifice sur le champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure
d’alimentation) ....................................................................................................................... 143
Figure IV.19 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur axiale de
maille Dz à l’orifice sur le débit massique instantané de l’orifice situé à 90°........................ 144
Figure IV.20 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur radiale de
maille δy à l’orifice sur le champ de pression circonférentielle en Z = L/2 (dans la rainure
d’alimentation) ....................................................................................................................... 145
Figure IV.21 : Injection dans une rainure d’alimentation, influence de la largeur radiale de
maille δy à l’orifice sur le débit massique instantané de l’orifice situé à 90°........................ 145
Figure IV.22 : Segment d’étanchéité à encoches, influence de la taille des encoches sur le
débit volumique de fuite instantané ....................................................................................... 147
Figure IV.23 : Segment d’étanchéité à encoches, influence de la taille des encoches sur le
débit volumique de fuite global.............................................................................................. 147
Figure IV.24 : Segment à d’étanchéité encoches, influence de la taille des encoches sur la
température moyenne dans le film ......................................................................................... 148
Figure V.1 : Système d’alimentation testée, a-Rainure centrée, b-Rainure excentrée........... 153
Figure V.2 : Encoche de segment à coupe droite................................................................... 154
Figure V.3 : Encoches de segment à coupe baïonnette .......................................................... 154
Figure V.4 : Champ de pression 3D obtenue avec la configuration C10P05T120 et un rayon
relatif de 0.5............................................................................................................................ 157
Figure V.5 : Influence de la viscosité de dilatation sur la force radiale ................................. 157
Figure V.6 : Influence de la viscosité de dilatation sur la force tangentielle ......................... 158
Figure V.7 : Influence de la viscosité de dilatation sur le débit volumique de fuite.............. 159
Figure V.8 : Influence de la viscosité de dilatation sur la température .................................. 159
232
Figure V.9 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
................................................................................................................................................ 161
Figure V.10 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration
C10 ......................................................................................................................................... 161
Figure V.11 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la
configuration C10................................................................................................................... 162
Figure V.12 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C10
................................................................................................................................................ 163
Figure V.13 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
................................................................................................................................................ 163
Figure V.14 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration
C20 ......................................................................................................................................... 165
Figure V.15 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la
configuration C20................................................................................................................... 165
Figure V.16 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C20
................................................................................................................................................ 166
Figure V.17 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
................................................................................................................................................ 168
Figure V.18 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration
C08 ......................................................................................................................................... 168
Figure V.19 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la
configuration C08................................................................................................................... 169
Figure V.20 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C08
................................................................................................................................................ 169
233
Figure V.21 : Force radiale en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
................................................................................................................................................ 170
Figure V.22 : Force tangentielle en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration
C12 ......................................................................................................................................... 170
Figure V.23 : Débit volumique de fuite en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la
configuration C12................................................................................................................... 171
Figure V.24 : Température en fonction du rayon de l’orbite relatif pour la configuration C12
................................................................................................................................................ 171
Figure V.25 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration
C10 ......................................................................................................................................... 173
Figure V.26 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration
C08 ......................................................................................................................................... 173
Figure V.27 : Influence de pression d’alimentation sur la force radiale pour la configuration
C12 ......................................................................................................................................... 174
Figure V.28 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la
configuration C10................................................................................................................... 174
Figure V.29 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la
configuration C08................................................................................................................... 175
Figure V.30 : Influence de pression d’alimentation sur la force tangentielle pour la
configuration C12................................................................................................................... 175
Figure V.31 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration
C10 ......................................................................................................................................... 176
Figure V.32 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration
C08 ......................................................................................................................................... 176
234
Figure V.33 : Influence de pression d’alimentation sur le débit de fuite pour la configuration
C12 ......................................................................................................................................... 177
ANNEXE :
Figure B.1 : Cellule de discrétisation en présence de discontinuité...................................... 191
Figure
E.1 : Surface de réponse de la force radiale déterminée par triangulation avec
interpolation linéaire .............................................................................................................. 206
Figure E.2 : Surface de réponse de la force radiale déterminée approximation polynômiale
................................................................................................................................................ 207
Figure E.3 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 314 rad/s ........... 208
Figure E.4 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 314 rad/s.... 209
Figure E.5 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 622 rad/s ........... 210
Figure E.6 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 622 rad/s ... 210
Figure E.7 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 940 rad/s ........... 211
Figure E.8 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 940 rad/s.... 211
Figure E.9 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 160 rad/s............ 212
Figure E.10 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 160 rad/s.. 212
Figure E.11 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 470 rad/s ......... 213
Figure E.12 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 470 rad/s . 213
Figure E.13 : Force radiale en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 780 rad/s ......... 214
Figure E.14 : Force tangentielle en fonction du rayon d’orbite relatif pour ω = 780 rad/s . 214
Figure E.15 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.3 ................ 215
Figure E.16 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.3 ........ 216
Figure E.17 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.5 ................ 216
Figure E.18 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.5 ........ 217
Figure E.19 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.7 ................ 217
235
Figure E.20 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.7 ........ 218
Figure E.21 : Force radiale en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.9 ................ 218
Figure E.22 : Force tangentielle en fonction de la vitesse de précession pour ε = 0.9 ........ 219
236
Table des tableaux
Tableau 1 : Formulation générale des équations ...................................................................... 94
Tableau 2 : Effet de perte de charge aux encoches ................................................................ 129
Tableau 3 : Configurations de SFD testés expérimentalement .............................................. 152
237
