Chapitre 1 : la mcanique de Newton

Chapitre 1 : La mécanique de Newton
Terminale S
Chapitre 1 : La mécanique de Newton.
Objectifs :
¾ Rappels
¾ Quels sont les vecteurs qui servent à décrire le mouvement ?
¾ Quelles sont les trois lois de Newton ?
I. Rappels
I.1. Système d’étude
¾ En mécanique on définit toujours dans un premier temps le système qu’on étudie. Ex : {bille} ou {mobile}..
I.2. Référentiels
¾ La seconde étape est la définition du référentiel d’étude. Un référentiel est un solide par rapport auquel on
étudie le mouvement du système.
rr r
A un référentiel donné, on associe un repère d’espace (O, i , j , k ) , le plus souvent orthonormé, et un repère
de temps (le début du mouvement coïncidera souvent avec la date t = 0 s).
On parle de référentiel galiléen si la première loi de Newton (ou principe d’inertie) est vérifiée dans ce
référentiel.
I.3. Bilan des forces
¾ Le plus souvent on sera amené à étudier le mouvement du centre d’inertie G du système (car le plus simple
à étudier). Le mouvement du centre d’inertie G ne dépend que des forces extérieures appliquées au système.
On terminera donc l’approche d’un problème de mécanique par la réalisation d’un bilan des forces
extérieures appliquées au système (sauf cas exceptionnel).
Exemple d’application : On veut réaliser l’étude du centre d’inertie G d’un mobile autoporteur accroché à un
point fixe O par une ficelle indéformable. Le mobile est lancé dans une direction perpendiculaire à celle de la
ficelle. Réaliser le bilan des forces qui s’exercent sur le mobile autoporteur.
Système d’étude : {le mobile autoporteur}
T
G
RN
Référentiel : terrestre supposé galiléen lié au laboratoire
P
Bilan des forces extérieures : poids du mobile P , réaction
normale du support R N et tension du fil T
II. Quels sont les vecteurs qui servent à décrire le mouvement ? TP N° 8 de Physique
II.1. Le vecteur position
¾ La position du centre d’inertie G change au cours du
temps et peut être repérée dans le repère d’espace
rr r
(O, i , j , k ) et le repère de temps du référentiel d’étude
choisi à l’aide du vecteur position OG .
k
¾ Le vecteur position s’exprimera à partir des coordonnés
cartésiennes x(t), y(t) et z(t) du point G, on a :
OG = x(t) i + y(t) j + z(t) k
G(t)
z(t)
i
O
x(t)
L’ensemble des positions occupées successivement par le
point G au cours du temps constitue sa trajectoire.
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Partie : Evolution temporelle des systèmes mécaniques
j
y(t)
Chapitre 1 : La mécanique de Newton
Terminale S
II.2. Le vecteur vitesse
¾ Le vecteur vitesse v G (t 2 ) à l’instant t2 est défini par la
relation suivante rencontrée en classe de Première :
v G (t 2 ) =
G(t1)
G 1G 3 G 1G 3
=
t 3 − t1
Δt
v G (t 2 ) =
ΔOG(t 2 )
OG 1
O
i
ΔOG (t 2 )
et de manière générale on a
Δt
ΔOG (t )
v G (t) =
.
Δt
v G (t 2 )
G(t3)
OG 3
k
Or G 1 G 3 = G 1O + OG 3 = OG 3 − OG 1 = ΔOG (t 2 ) et
ainsi on a :
G(t2)
j
Pour obtenir la vitesse instantanée il faut faire tendre l’intervalle de temps Δt vers 0.
Δ OG (t) d OG
=
Δt →0
Δt
dt
On a ainsi la définition du vecteur vitesse instantanée : v G (t) = lim
¾ Les coordonnées du vecteur vitesse dans le repère orthonormé seront v x (t) , v y (t) et v z (t) et on a :
v G (t) = v x (t) i + v y (t) j + v z (t) k =
d x(t)
d y(t)
d z(t)
i+
j+
k
dt
dt
dt
•
•
•
Remarque : on écrit aussi pour simplifier l’écriture : v G (t) = x(t) i + y (t) j + z(t) k
Chaque coordonnée du vecteur vitesse s’exprime en m.s – 1
La valeur du vecteur vitesse vG est v G = v 2x + v 2y + v 2z
II.3. Le vecteur accélération
G(t1)
¾ Le vecteur accélération a G (t 2 ) à l’instant t2
est défini par la relation suivante :
a G (t 2 ) =
Δv G 2
v G 3 − v G 1 Δv G 2
=
t 3 − t1
Δt
De manière générale on a a G (t) =
vG1
G(t2)
G(t3)
vG 3
k
Δ v G (t)
Δt
aG 2
i
O
j
Δv G 2
Pour obtenir l’accélération instantanée il faut
faire tendre l’intervalle de temps Δt vers 0.
vG 3
- vG1
On définit le vecteur accélération instantanée :
Δ v G (t) d v G d 2 OG
=
=
Le vecteur accélération a G est donc colinéaire au vecteur Δ v G
Δt →0
Δt
dt
dt2
a G (t) = lim
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Partie : Evolution temporelle des systèmes mécaniques
Chapitre 1 : La mécanique de Newton
Terminale S
¾ Les coordonnées du vecteur accélération dans le repère orthonormé seront a x (t) , a y (t) et a z (t) et on a :
a G (t) = a x (t) i + a y (t) j + a z (t) k =
d v y (t)
d v x (t)
d v z (t)
d 2 z(t)
d 2 y(t)
d 2 x(t)
+
+
k
j
i+
i
j+
k=
dt
dt
dt
dt2
dt2
dt2
••
••
••
Remarque : on écrit aussi pour simplifier l’écriture : a G (t) = x(t) i + y (t) j + z(t) k
Chaque coordonnée du vecteur accélération s’exprime en m.s – 2
La valeur du vecteur accélération aG est a G = a 2x + a 2y + a 2z
Exemple d’application :
Le centre d’inertie G d’un corps en mouvement possède les coordonnées suivantes dans un repère
⎧x(t) = 2t 2 + 6t + 2
rr r
⎪
orthonormé (O, i , j , k ) : OG ⎨y(t) = 3t
⎪z(t) = 2
⎩
Déterminer les coordonnées de v G (t) et de a G (t) en fonction du temps. Calculer leur valeur à t = 0 s.
⎧ d v x (t) d 2 x(t)
⎧ d x(t)
=
=4
= 4t + 6
⎪
⎪
dt
d t2
d
t
⎪
⎪
⎪⎪ d v y (t) d 2 y(t)
⎪ d y(t)
=
= 0 et à t = 0 s
=3
v G (t) ⎨
et a G (t) ⎨
d t2
⎪ dt
⎪ dt
⎪ d v (t) d 2 z(t)
⎪ d z(t)
=0
⎪
⎪ z =
=0
d
t
⎪⎩ d t
d t2
⎩
⎧⎪ v = 6 2 + 3 2 + 0 2 = 45 m ⋅ s −1
G
⎨
⎪⎩a G = 4 2 + 0 2 + 0 2 = 4 m ⋅ s − 2
II.4. Exemples de mouvement
¾ Un mouvement est qualifié de rectiligne uniforme si la vitesse est constante en direction, norme et sens
donc si son vecteur accélération est nul
¾ Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, seule la norme de la vitesse est constante et le vecteur
accélération est dirigé vers le centre de la trajectoire : les vecteurs vitesse et accélération sont
orthogonaux. Figure 6 p 179
Dans le cas des mouvements uniformes on a v ⋅ a = 0
¾ On dit qu’un mouvement est uniformément varié si le vecteur accélération est constant : a est constant.
Ex : Chute verticale d’une bille dans un liquide (cf chapitre 2)
¾ Un mouvement est accéléré si le vecteur accélération a une composante positive dans le sens et la direction
du mouvement, autrement dit si v ⋅ a > 0
¾ Dans le cas contraire il sera dit ralenti, autrement dit si v ⋅ a < 0
Voir Figure 7 p 179
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Partie : Evolution temporelle des systèmes mécaniques
Chapitre 1 : La mécanique de Newton
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III. Quelles sont les trois lois de Newton ?
III.1.
Première loi de Newton ou Principe d’inertie
r
¾ Dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse v G du centre d’inertie d’un système ne varie pas alors la
r
somme vectorielle des forces extérieures ∑ Fext qui s’exercent sur le système est nulle et réciproquement.
r
r
r
Soit : ∑ Fext = 0 ⇔ v G est un vecteur constant (même direction, même sens et même norme)
Dans ce cas le centre d’inertie du système sera donc animé soit d’un mouvement rectiligne uniforme
r
r
(MRU) ou sera immobile si v G = 0 .
¾ Un référentiel qui est en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen sera lui-même
galiléen.
Par contre s’il est en rotation ou qu’il est en mouvement rectiligne accéléré ou ralenti il ne sera plus
considéré comme galiléen et on ne pourra plus y appliquer les deux premières lois de Newton.
¾ Le référentiel terrestre n’est pas rigoureusement un référentiel galiléen à cause de la rotation de la Terre sur
elle-même mais pour des mouvements de courtes durées on pourra le considérer comme tel.
Le référentiel géocentrique n’est pas non plus rigoureusement galiléen à cause de la rotation de la Terre
autour du Soleil mais pour des mouvements de quelques heures on pourra le considérer comme tel.
Le référentiel héliocentrique est un référentiel galiléen.
III.2.
Deuxième loi de Newton ou Principe Fondamental de la dynamique (P.F.D.)
¾ Dans un référentiel galiléen, la somme des forces extérieures F = ∑ F ext appliquées à un système de masse
m en translation est liée à l’accélération a G du centre d’inertie G par la relation suivante :
F = ∑ F ext = m ⋅ a G
La valeur de la résultante des forces extérieures appliquées au système F est exprimée en Newton (N)
La valeur de la masse m doit être exprimée en kg
La valeur de l’accélération a G sera exprimée en m.s – 2.
Le vecteur accélération, a G , et le vecteur force résultante, F , sont colinéaires.
¾ La valeur F de la résultante des forces extérieures appliquées au solide est proportionnelle à la valeur de
l’accélération aG du centre d’inertie.
Pour une valeur de force donnée, la valeur de l’accélération est inversement proportionnelle à la masse.
¾ Le P.F.D. établit le lien entre les causes du mouvement (forces) et l’effet obtenu (accélération)
III.3.
Troisième loi de Newton ou Principe des actions réciproques
r
r
¾ Soit deux systèmes A et B en interaction. Si FA/B est la force exercée par A sur B et FB/A la force exercée
par B sur A alors quelque soit l’état de mouvement ou de repos des deux systèmes, les deux forces vérifient
r
r
toujours l’égalité vectorielle suivante : FA/B = −FB/A .
La troisième loi de Newton est vérifiée quelque soit le référentiel (galiléen ou non).
r
r
Ex : Force d’interaction gravitationnelle entre la Terre et la Lune : FT/L = −FL/T et Figure 8 p 180
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