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PARTIE 4
RÉGIMES VARIABLES
GB
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Expression de e en fonction de ΦB
et : positions initiale et finale de C soumis à l’influence de B
Variation du flux de B à travers la surface balayée Σ : dΦ =
Circuit déplacé de dl' à la vitesse v pendant dt : dl' = v dt
(
∫∫ B dS
•
Σ
)
dS
⇒ dS = dl'∧dl = v ∧ dl dt
⇒ dΦ =
∫∫
(
)
[règle du produit mixte :V1 •
∫
⇒ dΦ = − E L • dl dt ⇒ −
C
dl
∫( )
(V ∧ V ) = (V ∧ V ) V ]
B • v ∧ dl dt = − v ∧ B • dl dt
Σ
Σ
dl'
C
C
2
3
dΦ
d
=−
dt
dt
1
2
•
3
∫∫
B• dS= e
B
Σ
Signe ‘-’ : tendance du courant induit à s’opposer à la variation du flux de B
Remarque 1 : Unité de ΦB : le Weber (Wb) 1V = 1Wb/1s
Remarque 2 : se généralise au circuit filiforme fermé que l’on déplace ou que l’on
déforme dans une induction qui peut être non uniforme
•/•
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(ii) Circuit ‘fermé’
et : positions initiale et finale du circuit fermé C soumis à l’influence du champ B
Flux de B à travers le volume délimité ≡ 0 car B est un vecteur à flux conservatif ( divB = 0)
∫∫ B
Σ1
•
dS'1 + ∫∫ B • dS2 + ∫∫ B • dSL = 0
Σ2
ΣL
(
)
(
) (
)
Or dS'1 = − dS1 et B • dSL = B • dl ∧ dl ' = B • dl ∧ v dt = v ∧ B • dl dt
(
) (
)
[règle du produit mixte :V1 • V 2 ∧ V3 = V1 ∧ V 2 • V3 ]
(
)
⇒ ∫∫ B • dS2 − ∫∫ B • dS1 = − ∫∫ v ∧ B • dl dt
Σ2
Σ1
ΣL
C
dS'1
Σ1
ΣL
Σ2
dS 2
dS1
dl'
Φ1 = ∫∫ B • dS1 : Flux de B à travers C dans sa position initiale
dl
Σ1
dS L
Φ 2 = ∫∫ B • dS2 : Flux de B à travers C dans sa position finale
B
Σ2
Intégrale sur ΣL circulation du champ de Lorentz E L = v ∧ B le long de C
⇒ Φ 2 − Φ1 = dΦ = − ∫ E L • dl dt = −e dt
C
⇒e=−
dΦ
d
=−
dt
dt
∫∫ B dS
•
Σ
Circulation du champ induit le long d’un contour fermé ≠ 0 (à la différence du champ E e )
•/•
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b – Cas de l’action d’une induction magnétique variable dans un conducteur immobile
Faraday a montré expérimentalement cet effet, mais c’est Lenz qui l’a formulé
Circuit C fermé fixe ⇒ seule la variation de B contribue à la variation de flux
⇒ Apparaît une ddp d’induction e = −
dΦ
(Φ : flux d’induction traversant toute
d t surface s’appuyant sur C)
Porteurs libres entraînés autour de C ⇒ courant induit
⇒ une force leur est appliquée produite par un champ induit E em appelé
champ magnéto-induit ou champ électromoteur
La ddp induite est la circulation de E em le long de C : e =
∫
E em • dl = −
∫∫
Σ
C
∂B
• dS
∂t
E em est à distinguer du champ de Lorentz E L : e ne résulte plus de l’action de la force
magnétique sur les porteurs car ici la vitesse du circuit est nulle
• Il y a quand même similitude entre e =
∫E
C
em
•
dl et e =
∫E
L
•
dl
C
•/•
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c – Généralisation
Champ E ind créé par les phénomènes d’induction ( E em ou E L ) défini
de manière générale par e =
∫
E ind • dl = −
Σ
C
Théorème du rotationnel ⇒
∫∫
∫∫
∂B
• dS
∂t
rot E ind • dS = −
Σ
∫∫
Σ
∂B
• dS
∂t
⇒ rot E ind = −
∂B
∂t
Remarque importante :
Le conducteur se comporte ici uniquement comme un réservoir de charges mobiles servant à
révéler l’existence des champs induits : on peut définir le champ électromoteur dans l’espace
d – Expression de Eind en fonction du potentiel-vecteur A
On a toujours divB( t ) = 0 ⇒ B( t ) = rot A( t )
rot Eind = −
et
(
( )
∂B
∂
∂A
⇒ rot Eind = −
rot A = −rot
∂t
∂t
∂t
)
∂
divA = divE ind = 0
∂t
⇒ E ind = −
∂A
∂t
(Jauge de Coulomb)
•/•
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e – Effet d’induction dans un conducteur
Conducteur dans un champ magnétique uniforme
∂B
En régime variable ⇒ champ électrique induit E ind tel que : rot E ind = −
∂t
⇒ Existence de courants induits ou courants de Foucault : j ind = γ E ind
(γ : conductivité du milieu conducteur)
Cas simple du conducteur cylindrique très long (rayon a, portion h)
plongé dans B uniforme suivant son axe : B = B(t ) u z
Invariance par rotation θ et par translation z ⇒ j ind = γ E ind (ρ, t )
z
Tout plan (u ρ , u z ) contient B ⇒ plan d’antisymétrie : j ind = γE ind (ρ, t ) u θ
uz
uθ
⇒ Lignes de courant : cercles concentriques dans des plans z = cste
uρ
⇒ fem d’induction : e =
ρ
y
O
C
θ
x
∫
E ind • dl = −
donc : 2πρE ind = −
Puissance dissipée par effet Joule :
dB 2
πρ
dt
dP
= j ind • E ind
dτ
d
dt
∫∫ B dS
•
Σ
γ dB
⇒ j ind = − ρ
uθ
2
dt
2
j ind
π 4  dB  2
=
⇒P = a h γ

γ
8
 dt 
Application : plaque à induction
•/•
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f – Aspect qualitatif du phénomène : Loi de Lenz (1834)
Règle simple qui donne le sens du courant magnéto-induit :
‘Le sens du courant magnéto-induit est tel qu’il s’oppose à la cause qui l’a produit’
Loi de modération : Φ B ( t ) → i induit → Binduit → Φ induit
qui s’oppose à la variation de Φ ( t )
B
Exemple :
Boucle formée d’une tige qui glisse sur deux rails conducteurs reliés
Placée dans un champ d’induction externe uniforme B
La tige passe de à ⇒ Surface délimitée par la boucle passe de S à S+∆S
Φ B augmente
iind
⊙ ∆S ⊙
⊙ ⊗S
⊗ ⊗B ⊗ ⊙
⊙
⊙
⊙ Bind⊗
Un courant induit circule dans la boucle dans un sens tel que l’induction induite B induit
s’oppose à l’augmentation de Φ B donc à B
•/•
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3/ Le couplage électromagnétique : champ magnétique électro-induit
Inversement un champ électrique variable induit des effets magnétiques
En effet :
∀ les circonstances le théorème de Gauss s’applique div E =
∂E 1 ∂ρ
−
⇒ en régime variable div 
=0
 ∂ t  εo ∂ t


∂ρ
+ principe de conservation de la charge div j +
=0
∂t
À j créé par les sources s’ajoute j D = εo
ρ
εo
 ∂E

⇒ div  ε o
+j=0
 ∂t



(En régime stationnaire div j = 0)
∂E
densité de courant de déplacement de Maxwell
∂t
⇒ densité totale de courant : j T = j + j D avec div jT = 0
Une induction électrique variable joue le même rôle qu’un déplacement de charges
•/•
GB
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- Régime stationnaire : les sources j créent B tel que rot B = µ o j (théorème d’Ampère)
- Régime variable et en l’absence de sources ( j = 0 ) ⇒ div jD = 0
∃ une induction magnétique électro-induite Bind définie par rot Bind = µ o jD = ε oµ o
(créée par tout champ électrique variable E(t ) )
∂E
∂t
•/•
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4/ Lois de l’induction
Les champs qui existent sont donc issus : - des sources (ρ, j )
- des phénomènes d’induction
Les seules observables sont les champs totaux
a – Champ électrique total
Champ électrique total E =
champ électrostatique E e créé par les sources
+ champ E ind créé par les phénomènes d’induction (champ magnéto-induit)
rot E e = 0
(i)
Propriétés de E e
(ii)
Propriétés de E ind : rot E ind = −
⇒ Champ total : rot E = −
:
∂B
∂t
Forme locale de la relation de
Maxwell - Faraday
∂B
rot
E
• dS = −
∫∫
∫∫ ∂ t • dS
Σ
Σ
ρ
εo
=0
et div E e =
∂B
et div E ind
∂t
ρ
εo
Forme locale de la relation de Maxwell - Gauss
De plus div E =
Théorème du rotationnel ⇒
∫
C
E • dl = −
∫∫
Σ
∂B
• dS
∂t
Forme intégrale de la relation de Maxwell-Faraday
•/•
GB
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b – Induction magnétique totale
Induction magnétique totale B =
induction magnétostatique Bm créée par les sources
+ induction Bind créée par les phénomènes d’induction (champ électro-induit)
: rot B m = µ o j
(i)
Propriétés de Bm
(ii)
Propriétés de Bind :
rot Bind = ε oµ o
⇒ Induction totale : rot B = µ o j + εoµ o
∂E
∂t
et div B m = 0
∂E
∂t
et div Bind = 0
Relation locale de Maxwell-Ampère
Théorème de Stokes :
∫
C
B • dl = µ o
∫∫
Σ
()


 j + ε o ∂ E  • dS = µ o I + ε oµ o ∂ Φ Σ E

∂ t 
∂t

Relation intégrale de Maxwell-Ampère
De plus div B = 0
Conservation du flux d’induction magnétique
•/•
GB
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c - Expression du champ électrique en fonction des potentiels
E ind = −
∂A
∂t
avec toujours E e = −grad V
⇒ Pour le champ total : E = −grad V −
∂A
∂t
Le champ électrique total ne dérive pas d’un potentiel
5/ Équations de Maxwell
Maxwell-Gauss
Maxwell-Faraday
ρ
εo
∂B
rot E = −
∂t
ou div D = ρ
div E =
Maxwell-Ampère
rot B = µ o j + εoµ o
Conservation du flux magnétique
div B = 0
∂E
∂t
ou rot H = j +
∂D
∂t
•/•
GB
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6/ Exemples
Σ
a – Charge lente du condensateur
Charge I variable E( t ) localisé les armatures
C
Σ et Σ’ s’appuient sur le contour C qui entoure le conducteur
Flux du vecteur densité de courant j à travers Σ’
Σ’
j
I(t)
+
−
+
−
+ j D−
+
−
+
−
+
−
+E t −
+
−
()


 j + ε o ∂ E  • dS' = µ o I

∂ t 

C
Σ'
Flux de j à travers Σ est nul entre les armatures (pas de courant dans le condensateur)
Théorème de Maxwell-Ampère ⇒
∫
B • dl = µ o
∫∫


 j + ε o ∂ E  • dS = ε µ ∂
E • dS
o o


∂t 
∂t Σ

C
Σ
q
(
t
)
Or, théorème de Gauss ⇒ E • dS =
( q(t) : charge du condensateur)
∫∫
εo
Σ
Théorème de Maxwell-Ampère
⇒ ∫ B • dl = µ o
C
∂q
∂t
∫
Puisque I =
B • dl = µ o
∂q
⇒
∂t
∫∫
∫B
•
∫∫
dl = µ o I
C
⇒ densité de courant de conduction j dans le conducteur et
densité de courant de déplacement j D entre les armatures
Confirme le caractère général de la relation de Maxwell-Ampère rot B = µo( j + jD )
•/•
GB
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b – Sphère radioactive
Boule chargée avec une densité volumique ρ(t) lentement décroissante
Théorème de Gauss pour une sphère de rayon r (surface Σ, volume V) :
1
∂ ρ(t )
E • dS = 4πr 2 E =
ρ(t ) dτ ⇒ ∂ E = u r
dτ
εo
2
∂t 4πε r
∂t
Σ
o
V
V
∂ρ
∂E
ur
div j +
=0 ⇒
=−
div j dτ
2
∂t
∂t
4πε o r
V
j
j
∂E
ur
⇒
=−
j • dS = − u r = −
εo
εo
∂t
4π ε o r 2
Σ
(Charges éjectées de manière isotrope ⇒ j ⊥ dS)
∫∫
∫∫∫
∫∫∫
E
∫∫∫
∫∫

∂ E 
∂E

=0
+ j = 0 ⇒ rot B = µ o  j + ε o
⇒ εo

∂
t
∂t


j
Σ
r
ρ(t)
Règles de symétries
Tout plan passant par le centre de la boule est
plan de symétrie
B ⊥ à chacun de ces plans B = 0
⇒ Accord
•/•
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c – Courant de déplacement dans un conducteur
Conducteur homogène (conductivité γ, permittivité εo)
Hypothèse : champ sinusoidal E = E o sin ω t (ω pulsation)
Densité de courant de conduction – amplitude joc = γE o
Densité de courant de déplacement – amplitude joD = ε o ωE o
τD =
⇒
joD
= ωτ D
joc
εo
: temps de relaxation diélectrique
γ
( ε o ≈ 8,85 10 −12 F/m,
1
≈ 10 −8 SI pour Cu ⇒ τD ≈ 10-19 s)
γ
Approximation régime quasi stationnaire (ARQS) : T (période) grande ⇒ ω =
⇒
jD
≈0
jc
⇒ Courant de déplacement jD négligeable dans le conducteur
2π
<< 1 rd / s
T