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RÉGIMES VARIABLES
PARTIE 4
147

Circuit déplacé de à la vitesse pendant dt :
'dl
v
dt v'd =ldS
ld
'dl
C
Σ
B
et : positions initiale et finale de Csoumis à l’influence de
B
Variation du flux de à travers la surface balayée Σ:
B
∫∫
Σ
•=Φ dSBd
ll d'ddS ∧=⇒
(
)
(
)
∫•• ∧−=∧=Φ⇒
∫∫
ΣC
dt d Bvtd dvBd ll
[règle du produit mixte : ]
(
)
(
)
321321
V VVVVV •• ∧=∧
∫
• −=Φ⇒
C
dt dEd
L
l
Remarque 2 : se généralise au circuit filiforme fermé que l’on déplace ou que l’on
déforme dans une induction qui peut être non uniforme
(
)
dt dv l∧=
edS B
t d
d
t d
d
=−=
Φ
−⇒
∫∫
Σ
•
B
Signe ‘-’ : tendance du courant induit à s’opposer à la variation du flux de
Expression de e en fonction de
B
Φ
Remarque 1 : Unité de : le Weber (Wb) 1V = 1Wb/1s
B
Φ
•/•
148 GB

C
Σ
1
Σ
2
Σ
L
L
dS
2
dS
1
'dS
1
dS
B
'dl
0dSBdSB'dSB
L21
L2
1
=++
∫∫∫∫∫∫
ΣΣΣ
•••
Or
11
dS 'dS −=
(
)
∫∫∫∫∫∫
ΣΣΣ
••• ∧−=−⇒
L12
dt dBvdSBdSB
12
l
Intégrale sur ΣLcirculation du champ de Lorentz le long de C
BvE
L
∧=
∫
•−=Φ=Φ−Φ⇒
C
dt dEd
L
12
l
∫∫
Σ
• −=
Φ
−=⇒dSB
t d
d
t d
d
e
et : positions initiale et finale du circuit fermé Csoumis à l’influence du champ
B
Flux de à travers le volume délimité ≡0 car est un vecteur à flux conservatif ( )
B
B
0Bdiv =
[règle du produit mixte : ]
(
)
(
)
321321
V VVVVV •• ∧=∧
(
)
(
)
(
)
dt dBvdt vdB ' ddBdSB
L
llll •••• ∧=∧=∧=
et
∫∫
Σ
• =Φ
1
1
1
dSB
: Flux de à travers Cdans sa position initiale
B
∫∫
Σ
• =Φ
2
2
2dSB
: Flux de à travers Cdans sa position finale
B
dt e
−
=
Circulation du champ induit le long d’un contour fermé ≠
≠≠
≠ 0 (à la différence du champ )
e
E
ld
(ii) Circuit ‘fermé’
•/•
149 GB

⇒Apparaît une ddp d’induction (Φ: flux d’induction traversant toute
surface s’appuyant sur C)
t
d
d
e
Φ
−=
La ddp induite est la circulation de le long de C:
em
E∫∫∫
Σ
•• ∂
∂
−== dS
t
B
dEe
em
C
l
est à distinguer du champ de Lorentz : e ne résulte plus de l’action de la force
magnétique sur les porteurs car ici la vitesse du circuit est nulle
em
EL
E
Faraday a montré expérimentalement cet effet, mais c’est Lenz qui l’a formulé
Circuit Cfermé fixe ⇒seule la variation de contribue à la variation de flux
B
Porteurs libres entraînés autour de C⇒courant induit
⇒une force leur est appliquée produite par un champ induit appelé
champ magnéto-induit ou champ électromoteur
em
E
∫
•=
C
l dEe
L
∫
•=
C
l dEe
em
•Il y a quand même similitude entre et
b – Cas de l’action d’une induction magnétique variable dans un conducteur immobile
•/•
150 GB

Champ créé par les phénomènes d’induction ( ou ) défini
de manière générale par
ind
E
∫∫∫ Σ
•• ∂
∂
−== dS
t
B
dEe
ind
C
l
L
E
em
E
t
B
E rot ind ∂
∂
−=⇒
∫∫∫∫
ΣΣ
•• ∂
∂
−= dS
t
B
dSE rot
ind
Théorème du rotationnel ⇒
Remarque importante :
Le conducteur se comporte ici uniquement comme un réservoir de charges mobiles servant à
révéler l’existence des champs induits : on peut définir le champ électromoteur dans l’espace
0)t(Bdiv =
)t(Arot)t(B =
On a toujours ⇒
t
A
E
ind
∂
∂
−=⇒
(
)
0EdivAdiv
t
et
ind
==
∂
∂
(Jauge de Coulomb)
t
B
E rot ind ∂
∂
−=
(
)
Arot
t
E rot
ind
∂
∂
−=⇒
t
A
rot ∂
∂
−=
d – Expression de Eind en fonction du potentiel-vecteur A
c – Généralisation
•/•
151 GB