Simulation numrique des trajectoires des particules mtalliques

Volume 47, Number 1, 2006 19
Simulation Numérique des Trajectoires
des Particules Métalliques dans le
Séparateur Couronne-Electrostatique à
Tambour
Mohamed YOUNES, Amar TILMATINE, Karim MEDLES,
Mostéfa RAHLI, Adrian SAMUILA and Lucian DASCALESCU
Résumé - Le travail consiste à déterminer par simulation la trajectoire des granules conducteurs dans le
séparateur électrostatique, en prenant en compte l’annulation de la tension qui se produit à chaque
étincelle entre l’électrode couronne et l’électrode cylindrique tournante. L’élaboration d’un programme
Fortran a permis d’effectuer le calcul de la trajectoire sur un ensemble de plus de 2500 points, et de
montrer qu’elle change entre autres, en fonction du moment d’apparition de l’étincelle durant la chute de
la particule.
1. Introduction
La séparation électrostatiques des
particules est considérée comme une
technologie efficace pour le recouvrement
des matériaux métalliques et isolants à partir
des déchets industriels [1, 2, 3]. Les
particules à trier sont déposées par une
goulotte oscillante sur une électrode
cylindrique rotative liée à la terre, qui les
transfert dans une zone de champ électrique
intense crée par une ou plusieurs électrodes à
haute tension. L’une de ces électrodes crée
une décharge couronne, qui a comme effet la
charge par bombardement ionique de toutes
les particules qui se trouvent à la surface du
tambour rotatif. Les granules isolants
adhèrent à la surface du tambour sous l’action
de la force d’image électrique, tandis que les
particules conductrices se chargent par
induction électrostatique et sont projetées en
direction de l’électrode de signe opposé [4, 5,
6, 7, 8].
La trajectoire des particules métalliques
dans le séparateur électrostatique à tambour
tournant revêt un intérêt particulier car elle
influe de manière sensible sur les rendements
ainsi que la pureté des produits séparés [9,
10]. L’analyse par simulation permet de
mieux comprendre le changement de
trajectoire qui survient suite aux étincelles
qui se produisent entre l’électrode couronne
et le cylindre tournant, ainsi qu’après
l’impact des granules conducteurs sur
l’électrode statique.
2. Analyse numérique du champ
électrique
Vu la configuration complexe des
électrodes du séparateur électrostatique, nous
sommes contraints de recourir à des
méthodes numériques de calcul [11, 12]. Un
logiciel (TRICOMP) basé sur la méthode des
éléments finis [13] nous a permis d’effectuer
le calcul du champ électrique selon la
configuration des électrodes du domaine
étudié, montrée sur la figure1.
Les lignes équipotentielles déterminées
par le logiciel TRICOMP sont représentées
sur la figure 2.

ACTA ELECTROTEHNICA 20
Le logiciel TRICOMP, offre la
possibilité de créer un fichier DATA où sont
calculées les valeurs du champ électrique
dans le domaine. Le fichier DATA donné par
TRICOMP (30000 points utilisés comme
base de donnée) est amélioré par l’association
d’un programme basé sur la méthode des
différences finies, afin de déterminer la
valeur du champ électrique en n’importe quel
point du domaine.
La variation du champ électrique sur la
périphérie active du tambour en fonction de
l’angle α est montrée sur la figure 3. Dans la
figure 4 est représentée l’allure du champ
électrique suivant un segment AB de droite.
3. Angle de décollement
La détermination de l’angle de
décollement des particules conductrices de la
surface du tambour est le premier pas pour la
Figure 2 : Equipotentielles déterminées par le
logiciel TRICOMP.
00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
O1 (380 ; 400)
O2 (250 ; 480)
O3 (150 ; 300)
α=30°
β=55°
d=30
h=20
R
β
α
a
b
2
3
d h
4 1
1 Electrode statique (a=96 ; b=180)
2 Electrode couronne (rayon=10)
3 Tambour (R=150)
4 Fil fin (un point)
Y(m)
X(m)
Figure 1: Domaine de calcul représentant une coupe
transversale du séparateur électrostatique.
(Toutes les données sont en mm)
0 20 40 60
14 x
105
12
10
8
6
4
80
2
α
Champ électrique (V/m)
α(°)
Figure 3 : Variation du champ électrique sur le quart
de périphérie du tambour, en fonction de l’angle(α).
00.05 0.1 0.15 0.2
0
0.5
1
1.5
2x 10 6
A
B
Le long du segment AB
Figure 4 : Variation du champ électrique le long
d’un segment de droite AB traversant la zone active
A(100 ; 600), B(380 ; 300)
Champ électrique (V/m)

Volume 47, Number 1, 2006 21
simulation de la trajectoire. Une particule
entraînée par le tambour dans un champ
électrique est soumise à des forces
mécaniques et électriques (figure 5) [14, 15,
16]:
Fi: Force d'image électrique.
Fq: Force du champ électrique
Fg : Force de gravitation du granule
Fc : Force centrifuge
La condition de décollement d'une
particule conductrice s'exprime par l'équation
suivante [10]:
Fi+Fg cos (αd)-Fq -Fc =0 (1)
où αd: est l’angle de décollement.
Pour une particule de forme cylindrique
de rayon r et de longueur L posée
horizontalement sur l’électrode, la force
résultante Fel est [17]:
Fel = 4,49 εo r L.E2 (2)
La condition de décollement donnée par
l’expression (1) devient alors:
Fel +Fc -Fg cos (αd) =0 (3)
En remplaçant Fel (équation 5), Fg et Fc
par leurs expressions ci-dessous :
Fg = mg (4)
Fc = m v2 /R (5)
où:
m : masse du granule
v : vitesse périphérique du tambour
et en simplifiant par la longueur L de la
particule de forme cylindrique, l’équation (3),
devient :
4,49εorE2 +ρπr2 v2/R -ρπr2 g cos(αd) =0 (6)
L’angle de décollement αd dépend donc
de la vitesse, du rayon du granule et de la
tension appliquée. La figure 6 représente la
variation de αd en fonction de la vitesse pour
cinq valeurs différentes du rayon et une
tension appliquée de 50KV.
4. Méthodologie de détermination de la
trajectoires des particules
Après le décollage, la particule est
soumise à deux forces qui sont la force
électrique Fq et la force de pesanteur Fg. Le
mouvement est alors géré par l’expression
suivante [10] :
QE + mg = m γ (7)
où la charge Q est donnée par l’expression
[17]:
Q = 6,283 r L εo E (8)
La force QE peut être décomposée en
deux forces, Fqx suivant l’axe horizontal (Fx)
et Fqy suivant l’axe vertical (Fy) tel que :
Fqx = k L E Ex (9)
Fqy = k L E Ey (10)
où k=6,283 r εo.
La force Fg est constante, tandis que Fq
change à cause de la variation du champ dans
le domaine. Une simulation précise doit tenir
compte de cela, pour cette raison le
programme établi fait appel à la méthode des
différence finies afin de pouvoir connaître le
champ électrique en n’importe quel point du
domaine.
Soit le premier point de la trajectoire le
point de décollement (x0,y0), où les
accélérations, et les vitesses initiales prennent
les valeurs suivantes:
Fc
Fg
Fq
Fi
Figure 5 : Forces agissant sur une particule en contact
avec le tambour.
α
100
80
60
40
20
0 60 20 40 80
Vitesse de rotation (tr/min)
r1
r2
r3
r4
r5
Figure 6 : Angle de décollement en fonction de la vitesse de
rotation pour différents rayons de granule.
r1=0,12 mm
r2=0,2 mm
r3=0,5 mm
r4=0,8 mm
r5=2 mm
U=50KV
Angle de décollement (°)

ACTA ELECTROTEHNICA 22
γx(x0,y0) = k L E(x0,y0) Ex(x0,y0)/Lρπr2 (11)
γy(x0,y0) = (k L E(x0,y0) Ey(x0,y0))/Lρπr2)-g
(12)
vx(x0,y0) =v0 cos(αd) (13)
vy(x0,y0) = v0 sin(αd) (14)
x0 =R sin(αd) + 15 (15)
y0 =R cos(αd) + 30 (16)
où v0 représente la vitesse périphérique du
tambour.
Le point suivant de la trajectoire, de
cordonnées (x1,y1), est calculé à partir des
équations suivantes:
x1 = 0,5 γx(x0,y0) dt2 + vx (x0,y0)dt +x0 (17)
y1 = 0,5 γy(x0,y0) dt2 + vy (x0,y0)dt +y0 (18)
Pour la détermination du point (i+1),
ayant les coordonnées (xi+1,yi+1 ), on utilise
les équations ci-dessous :
xi+1 = 0,5 γx(xi,yi) dt2 + vx (xi,yi) dt +xi (19)
yi+1 = 0,5 γy(xi,yi) dt2 + vy (xi,yi) dt +yi (20)
tel que:
γx(xi,yi) = k L E(xi-1,yi-1) Ex(x i-1,y i-1)/ Lρπr2
(21)
γy(xi,yi) =(kLE(xi-1,yi-1).Ey(x i-1,y i-1))/Lρπr2)-g
(22)
vx(xi,y i) = γx(x i-1,y i-1) dt+vx(x i-1,y i-1) (23)
vy(x i,y i) = γy(x i-1,y i-1) dt+vy(x i-1,y i-1) (24)
Il est tout a fait clair d’après les
expressions 21 et 22, que la trajectoire du
granule supposé de forme cylindrique ne
dépend pas de sa longueur.
5. Calcul de la trajectoire
Le programme Fortran établi pour le
calcul de la trajectoire considère que toutes
les particules décollent de la surface du
tambour en dehors de la zone de charge
d’espace. En effet, avant de sortir de cette
zone les particules conductrices subissent des
rebondissements multiples. Sachant que la
largeur de la charge d'espace sur le tambour
n'excède pas la valeur s = d√3 [18], l'angle
minimal de décollement se calcule de la
façon suivante (figure.7):
αdmin = α+ Δα/2 (25)
avec : Δα=s/R
soit donc : αdmin=39°.
Tableau 1. L’angle de décollement, la portée
horizontale et la durée de chute pour différentes
valeurs de rayon du granule.
Rayon(mm) αd (°) Xc(m) Δtc (sec)
0,2 39 Impact 0,2490
0,3 39 0,5740429 0,2716
0,6 39 0,5064605 0,2558
2,0 46 0,4251493 0,2300
En utilisant les équations de
mouvement (11…24) et en tenant compte de
l’hypothèse simplificatrice donnée par
l’équation (25), le programme permet de
déterminer les coordonnées des points de la
trajectoire, le calcul étant fait pour un pas de
0,1 ms, soit pour environ 2500 points. Sur la
α
dmin
Figure 7 : Angle minimal de décollement.
s
α
Δ
α
d
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0.6
x(m)
U=50KV
n=60tr/mn
r1=0,2 mm
r2=0,3 mm
r3=0,6 mm
r4=2 mm
r4
r1
r3
r2
Figure 8: Trajectoires des granules pour différentes
valeurs de rayon du granule.
y (m)

Volume 47, Number 1, 2006 23
figure 8 sont représentées les trajectoires de
quatre granules de rayons différents, et dans
le tableau 1 sont reportés les résultats de
calcul concernant l’angle de décollement αd,
la portée xc (abscisse du point d’impact du
granule sur le plan y=0), et la durée de chute
Δtc. Faisons remarquer que certains granules
font impact avec la paroi latérale du
séparateur.
0.6
0.5
0.4
0.3
L’attraction exercée par les électrodes
haute tension est plus efficace pour les
particules de faible rayon, cela est justifié par
les équations 21 et 22 qui montrent que la
diminution du rayon fait croître γx au
détriment de γy.
0.2
0.1
6. Effet des étincelles entre électrodes
Lors de la séparation électrostatique des
mélanges granulaires, des étincelles se
produisent entre l’électrode couronne et le
tambour, chaque étincelle produisant une
annulation de la tension pendant une durée
allant de 0,25 s à 1,5 s. Comme la durée de la
chute d’un granule depuis le point de
décollement jusqu’à son arrivée au collecteur
(plan y=0) est de l’ordre 0,25 s (voir
tableau.1), il est tout à fait clair que certaines
particules ne seront pas soumises à l’action
du champ électrique pendant toute leur
projetée.
Comme l’étincelle peut se produire à
n’importe quel moment durant la chute de la
particule, nous avons déterminé les
trajectoires d’un granule de 0,2 mm de rayon
à différents instants d’apparition de l'étincelle
(ta), en considérant l'origine des temps à
l'instant de décollement du granule (figure 9).
Les résultats concernant la portées Xc, la
durée de chute Δtc et l’instant d’apparition de
l’étincelle ta sont également représentés dans
la tableau 2.
Les résultats montrent que si l’étincelle
se produit à l’instant ta >100ms, soit environ
à mi-temps (100/250) l’effet de l’étincelle est
peu perceptible sur la trajectoire. D’un autre
coté, la différence est très nette entre la
trajectoire ta1=0 (étincelle au moment du
décollement) et de la trajectoire sans étincelle
ta8. De ce fait, il ressort l’importance du
champ électrique généré par l’électrode
statique pour la récupération du produit
métallique.
Tableau 2 . Portée Xc et durée de chute Δtc en
fonction de l’instant d’apparition de l’étincelle.
* le granule fait impact avec la paroi latérale du
séparateur
Instant
d’apparition de
l’étincelle ta (ms)
Portée
Xc(m)
Duré de
chute
tc(ms)
0 0,4196 237,3
10 0,4439 244,8
20 0,4690 251,6
40 0,5229 263,2
60 0,5797 273,0
80 0,6000* 261,6
108 0,6000* 250,6
250 0,6000* 249,0
7. Impact des granules avec l’électrode
haute tension
Les particules de faible rayon pouvant
faire impact avec l’électrode haute tension,
acquièrent une charge de signe opposée au
tambour. Cela entraîne une force d’attraction
vers l’électrode cylindrique reliée à la terre.
L’effet de l’impact entre la particule et
l’électrode haute tension a été pris en
considération dans le programme de
simulation. Le calcul est basé sur l’hypothèse
d’un choc élastique entre la particule
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
U=50KV
n=60tr/mn
ta1 =0ms ta2=4ms ta3=20ms ta4=40ms
ta5=60ms ta6=80ms ta7=108ms ta8>tc
x(m)
ta1
ta8
ta3
ta2 ta4 ta5
ta6
ta7
Figure 9 : Trajectoires d’un granule de rayon 0,2mm,
à différents moments d’apparition de l’étincelle.
y(m)