Probabilité : conditionnement et indépendance I Probabilités

Probabilité : conditionnement et indépendance
I Probabilités conditionnelles
A partir d'un exemple :
Dans un lycée, 45% des élèves sont des garçons.
Dans le lycée chaque élève doit choisir une LV2, espagnol, allemand ou italien.
50% des filles ont choisi pour LV2 l'espagnol, 30% ont choisi pour LV2 l'allemand.
60% des garçons ont choisi pour LV2 l'espagnol, 15% l'italien.
On considère l'expérience aléatoire « interroger au
hasard un élève », l'univers est l'ensemble des élèves,
on a ainsi défini une loi équirépartie.
On s'intéresse à deux critères : le sexe et la LV2
choisie par l'élève.
On peut illustrer la situation à l'aide d'un graphique
appelé arbre pondéré.
On s'intéresse à la probabilité qu'une fille ait choisi l'italien.
Lorsque l'on suit l'arbre de l'origine à l'extrémité qui correspond à la situation que l'on veut étudier :
➢sur la première branche on lit 0,55 ce qui correspond à la probabilité que l'élève interrogé soit une fille,
on appelle p(F) cette probabilité
➢sur la deuxième branche on lit 0,20 ce qui correspond à la probabilité que la fille interrogée ait choisi
l'italien en LV2, on note
pFI
cette probabilité que l'on lit probabilité de I sachant F.
S'il y a N élèves dans ce lycée il y aura
N×0,55×0,20
filles qui auront choisi l'italien donc sachant que l'on
est dans le cas d'un loi équirépartie on a :
pF∩I= N×0,55×0,20
N
,
soit
pF∩I=0,55×0,20=pF× pFI
on en déduit que
pFI= pF∩I
pF
.
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Soit A et B deux événements avec
pA≠0
.
La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé (plus simplement appelé : probabilité de B sachant A)
est :
pAB= pA∩B
pA
. De cette égalité on déduit que
pA∩B= pAB× pA
.
Analyse de l'arbre pondéré
On parle d'arbre pondéré car sur chaque branche on indique une
probabilité.
Règle 1 : la somme des probabilités inscrites sur les branches
issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle 2 : la probabilité de l'événement représenté par un chemin
est le produit des probabilités inscrites sur le chemin.
Règle 3 : la probabilité de l'événement représenté par plusieurs
chemins est la somme des probabilités des événements représentés
par ces chemins.
II Formule des probabilités totales
Propriété
Si l'univers Ω d'une expérience aléatoire muni d'une loi de
probabilité p est la réunion d'événements incompatibles deux à
deux,
A1, A2,... , An
, alors pour tout événement B,
pB= pB∩A1 pB∩A2...pB∩An
avec pour tout entier i de 1 à n
pB∩Ai= pAi× pAiB
,
pAi≠0
pour tout i.
A partir de l'arbre pondéré :
La probabilité de l'événement B est la somme des probabilités
des événements représentés par les chemins qui aboutissent à B.

Exemple :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
III Probabilité et indépendance
Indépendance de deux événements
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Soit A et B deux événements tels que
p(A)≠0
et
p(B)≠0
.
Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si
p(A∩B)= p(A)× p(B)
.
Exemple :
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Propriété
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Si l'événement B est indépendant de l'événement A on a
pA(B)= p(B)
Justification :
On sait que
pA(B)= p(A∩B)
p(A)
, si B est indépendant de A on a
p(A∩B)= p(A)× p(B)
donc on obtient
pA(B)= p(A)× p(B)
p(A)=p(B)
.
Propriété
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Si l'événement A est indépendant de l'événement B alors
̄
A
est indépendant de B.
Démonstration :