Probabilité : conditionnement et indépendance I Probabilités

Probabilité : conditionnement et indépendance
I Probabilités conditionnelles
A partir d'un exemple :
Dans un lycée, 45% des élèves sont des garçons.
Dans le lycée chaque élève doit choisir une LV2, espagnol, allemand ou italien.
50% des filles ont choisi pour LV2 l'espagnol, 30% ont choisi pour LV2 l'allemand.
60% des garçons ont choisi pour LV2 l'espagnol, 15% l'italien.
On considère l'expérience aléatoire « interroger au
hasard un élève », l'univers est l'ensemble des élèves,
on a ainsi défini une loi équirépartie.
On s'intéresse à deux critères : le sexe et la LV2
choisie par l'élève.
On peut illustrer la situation à l'aide d'un graphique
appelé arbre pondéré.
On s'intéresse à la probabilité qu'une fille ait choisi l'italien.
Lorsque l'on suit l'arbre de l'origine à l'extrémité qui correspond à la situation que l'on veut étudier :
➢ sur la première branche on lit 0,55 ce qui correspond à la probabilité que l'élève interrogé soit une fille,
on appelle p(F) cette probabilité
➢ sur la deuxième branche on lit 0,20 ce qui correspond à la probabilité que la fille interrogée ait choisi
l'italien en LV2, on note p F  I  cette probabilité que l'on lit probabilité de I sachant F.
S'il y a N élèves dans ce lycée il y aura N ×0,55×0,20 filles qui auront choisi l'italien donc sachant que l'on
N ×0,55×0,20
est dans le cas d'un loi équirépartie on a : p  F ∩I =
,
N
p  F ∩I 
soit p  F ∩I =0,55×0,20= p  F × p F  I  on en déduit que p F  I =
.
pF
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Soit A et B deux événements avec p  A≠0 .
La probabilité que B se réalise sachant que A est réalisé (plus simplement appelé : probabilité de B sachant A)
p  A∩B
p A  B=
est :
. De cette égalité on déduit que p  A∩ B= p A  B× p  A .
p  A
Analyse de l'arbre pondéré
On parle d'arbre pondéré car sur chaque branche on indique une
probabilité.
Règle 1 : la somme des probabilités inscrites sur les branches
issues d'un même nœud est égale à 1.
Règle 2 : la probabilité de l'événement représenté par un chemin
est le produit des probabilités inscrites sur le chemin.
Règle 3 : la probabilité de l'événement représenté par plusieurs
chemins est la somme des probabilités des événements représentés
par ces chemins.
II Formule des probabilités totales
Propriété
Si l'univers Ω d'une expérience aléatoire muni d'une loi de
probabilité p est la réunion d'événements incompatibles deux à
deux, A1, A2, ... , An , alors pour tout événement B,
p  B= p B∩ A1  p  B∩A2 ... p B∩ An
avec pour tout entier i de 1 à n
p  B∩Ai = p  Ai × p A  B ,
i
p  Ai ≠0 pour tout i.
A partir de l'arbre pondéré :
La probabilité de l'événement B est la somme des probabilités
des événements représentés par les chemins qui aboutissent à B.
Exemple :
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------III Probabilité et indépendance
Indépendance de deux événements
Définition
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Soit A et B deux événements tels que p ( A)≠0 et p (B)≠0 .
Les événements A et B sont indépendants si, et seulement si p ( A∩B)= p( A)× p( B) .
Exemple :
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Propriété
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Si l'événement B est indépendant de l'événement A on a p A (B)= p ( B)
Justification :
p( A∩B)
On sait que p A ( B)=
, si B est indépendant de A on a p ( A∩B)= p( A)× p( B) donc on obtient
p( A)
p( A)× p (B)
p A (B)=
= p (B) .
p ( A)
Propriété
Soit Ω l'univers d'une expérience aléatoire muni d'une loi de probabilité p.
Si l'événement A est indépendant de l'événement B alors ̄A est indépendant de B.
Démonstration :