INCERTITUDES ET MESURES 1- Mesures expérimentales 2

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INCERTITUDES ET MESURES
Objectif : - lister les causes d’erreur sur une mesure
- évaluer les incertitudes ;
- savoir présenter un résultat.
1- Mesures expérimentales
1-1- Causes des erreurs expérimentales
Il existe deux catégories d’erreurs expérimentales :
Les erreurs systématiques qui peuvent être :
• instrumentales : appareil de mesure défectueux, mal étalonné, mal utilisé, ...
• environnementales : montage électronique erroné, fuite thermique, ...
• d’observation : erreur de parallaxe lors de la lecture de la température sur un thermomètre par exemple ;
• théorique : existence d’un phénomène négligé ou inconnu, protocole expérimental mal adapté.
Chacune de ces erreurs se fait toujours dans le même sens : c’est-à-dire toujours par excès (surévaluation de la
valeur réelle) ou par défaut (sous-évaluation de la valeur réelle).
Les erreurs aléatoires qui peuvent être :
• d’observation : erreur de lecture de la dernière division sur un vernier (pied à coulisse), dernière décimale
affichée par un appareil numérique (par exemple une balance ou un multimètre), limite de résolution
(précision de l’appareil), ...
• environnementale : fluctuations thermiques, fluctuations de la résistance des contacts électriques, variation
des tensions d’alimentation d’amplificateurs opérationnels, parasites, vibrations mécaniques, ...
Les erreurs aléatoires, contrairement aux erreurs systématiques, se font aléatoirement par excès ou par défaut. La
valeur moyenne des erreurs aléatoires est donc nulle.
1-2- Caractéristiques d’un appareil de mesure
La mesure expérimentale d’une grandeur passe par l’utilisation d’un appareil de mesure (Multimètre, Oscilloscope,
balace, pipette jaugée ou graduée…).
Voici quelques définitions permettant de préciser leurs caractéristiques :
calibre : c’est le maximum des valeurs mesurables avec un réglage donné.
classe : un pourcentage du calibre. Elle permet d’évaluer l’incertitude sur la mesure fournie par un appareil. Il faut
alors se référer à la notice de l’appareil.
fidélité ou répétabilité : caractérise l’aptitude de l’appareil de mesure à donner des mesures peu variables lors de
la mesure répétée dans les mêmes conditions expérimentales d’une même grandeur.
erreur de justesse : c’est l’erreur systématique de l’instrument. Par exemple un voltmètre qui indiquerait une
tension toujours inférieure de 0,2 mV par rapport à la valeur réelle. Cette erreur peut être réduite par un
étalonnage de l’appareil.
erreur de zéro : c’est l’erreur de l’instrument pour une valeur nulle de la grandeur à mesurer.
résolution : c’est la plus petite différence du dispositif afficheur perceptible. C’est la demi graduation pour un
appareil à graduation et le dernier chiffre affiché pour un appareil numérique.
temps de réponse : c’est le temps que met l’appareil de mesure à effectuer la mesure. Cela peut aller de la
nanoseconde pour une photodiode (capteur de lumière) à quelques secondes voire quelques minutes pour un
capteur de température.
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2- Evaluation statistique d’une incertitude (évaluation de type A)
On se place dans le cas, où seules sont présentes des erreurs aléatoires.
On appelle « population » des résistances d’une valeur donnée fabriquées par un constructeur donnée, l’ensemble
de toutes les résistances de la valeur donnée fabriquées par ce constructeur. Nous aimerions caractériser cette
population. Comme il inconcevable de mesurer toutes les résistances, nous prélevons un « échantillon », c’est-à-
dire un nombre n très petit devant le nombre total, mais tout de même suffisamment grand pour éviter l’influence
de mesures accidentellement trop grand grandes ou trop petites (analogie avec les sondages d’opinion).
 Choisir une boîte de résistances. Prélever de cette boîte 20 résistances. Les mesurer une à une avec le
multimètre. Reporter ces mesures dans un tableau sous Excel.
On observe que toutes les résistances ont des valeurs différentes et que très peu (voire aucune) possèdent la valeur
constructeur.
 Calculer une estimation de l’espérance mathématiques (ou valeur moyenne) de la population des résistances.
Il convient maintenant d’évaluer la distribution des valeurs des résistances autour de la valeur moyenne. On
introduit pour cela l’écart-type de la population, qui pour être calculée nécessite la connaissance de toutes les
résistances. On peut néanmoins l’estimer pour un petit échantillon par la relation :
2
1
1
1
( )
1
N
x N i
i
x x
N
σ σ
−
=
= = −
−∑
Estimer l’écart-type de la population à partir de votre échantillon de 20 résistances.
L’écart-type est une mesure de la dispersion des valeurs mesurées par rapport à la valeur moyenne. Plus l’écart-
type est petit, plus les mesures sont resserrées autour de la valeur moyenne
et inversement.
Exemple :
Sur les deux figures ci-dessus est représentée la distribution sous la forme d’un histogramme de deux échantillons
de 1000 résistances prélevées dans deux populations différentes.
En abscisses est représentée la valeur de la résistance (en Ω ), en ordonnées le nombre de résistances possédant
cette valeur. Les deux échantillons ont une valeur moyenne de 1000 Ω . En revanche, l’échantillon de gauche
possède un écart-type de 10 Ω et celui de droite de 30 Ω . On voit bien que les valeurs des résistances de
l’échantillon de gauche sont plus « resserrés » autour de la valeur moyenne que pour l’échantillon de droite.
Estimer l’incertitude u(R) sur la mesure de la résistance à partir de votre échantillon de 20 résistances.
Sous certaines hypothèses, que nous admettrons comme validées dans notre cas, on peut affirmer que 95 % des
résistances de la population (c’est-à-dire de toutes les résistances) se trouvent dans l’intervalle [R - 2 u(R),R + 2
u(R)]
Ceci veut dire que si l’on prend une résistance au hasard dans la boîte de résistances, il y a 95 chances sur 100 que
sa valeur se trouve dans l’intervalle [R - 2 u(R),R + 2 u(R)] (et bien entendu 5 chances sur 100 qu’elle soit en
dehors de cet intervalle).
Le constructeur indique par la présence d’une bague (dorée : 5 %, argentée : 10 %) la tolérance. Exemple : pour
une résistance de valeur constructeur 1 kΩ et de tolérance 5 %, le constructeur assure que la valeur réelle de cette

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résistance se situe dans l’intervalle [950 Ω,1050 Ω].
Donner l’incertitude élargie et présenter le résultat sous sa forme normalisée R = ...
±
... Ω.
Comparer votre intervalle de confiance à 95 % à l’intervalle de tolérance constructeur. Conclure.
3- Cas de la mesure unique : évaluation probabiliste d’une incertitude (évaluation de
type B)
À présent, on ne fait aucune hypothèse sur la nature des erreurs (aléatoires ou systématiques). Dans de nombreux
cas, il est impossible de répéter la même mesure de manière indépendante un grand nombre de fois faute de
temps, de matériel, ...
On se situe alors dans le cadre de la mesure unique.
3-1- Mesure directe
On se propose ici de déterminer la valeur de la résistance d’un conducteur ohmique par mesure directe à l’aide
d’un ohmmètre.
Mesurer une résistance de 470 Ω au multimètre.
Indiquer le calibre du multimètre puis l’incertitude constructeur sur cette mesure.
Donner enfin l’incertitude élargie et présenter le résultat sous sa forme normalisée R = ...
±
... Ω.
3-2- Mesure indirecte : propagation des incertitudes
Il existe, cependant, un grand nombre de cas où la grandeur à évaluer résulte d’un combinaison de plusieurs
mesures faites avec différents appareils.
Prenons l’exemple de la mesure d’une résistance par la loi d’Ohm.
Pour mesurer la valeur d’une résistance, on la fait parcourir par un courant d’intensité I mesurée à l’aide d’un
ampèremètre et on mesure la tension résultante U à ses bornes à l’aide d’un voltmètre.
D’après la loi d’Ohm, R =
U
I
Cette valeur constitue une estimatation de la valeur de la résistance.
Or, U et I ne sont connus qu’à des incertitudes σ
U
et σ
I
près que l’on peut évaluer grâce à la connaissance des
appareils de mesure. Ceci a pour conséquence que R ne sera connu qu’à une incertitude σ
R
près qu’il convient
d’évaluer.
A l’aide de la formulation de l’incertitude composée, déterminer l’incertitude –type σ
R
en fonction de σ
U
et σ
I
.
Choisir une résistance de valeur constructeur 1 kΩ et l’alimenter en courant continu sous une tension de l’ordre
de 1 V.
À l’aide d’un ampéremètre et d’un voltmètre, mesurer précisément, courant et tension aux bornes de la
résistance ainsi que les incertitudes σ
U
et σ
I
sur ces valeurs (en se référant à la notice).
En déduire l’incertitude sur la mesure de la résistance σ
R
.
Présenter le résultat sous sa forme normalisée R = ...
±
... Ω
4- Un autre exemple : détermination du volume d’une goutte d’eau délivréee par une
pipette (évaluations de types A et B conjuguées)
On se propose dans cet exemple de déterminer le volume d’une goutte de liquide.
On dispose d’une pipette jaugée de V
0
= 1 mL de classe A et d’une petite poire adaptée pour le pipetage.
On procède de la façon suivante :
• Relever la tolérance de la pipette
0
u
±
: c’est l’incertitude-type fournie par le constructeur
• Compter 18 fois (9 essais par membre du binôme) le nombre N de gouttes d’eau correspondant au volume
délivré parla pipette. Regrouper les résultats dans un tableau sous Excel.
Le volume d’une goutte est donc donné par la formule
0
g
V
v
N
=
• L’incertitude sur le nombre de gouttes N est estimée par une approche statistique (évaluation de type A) :
à l’aide de votre calculatrice, calculer, par binôme : la valeur moyenne <N>, l’écart-type d’échantillon σ
N
,
l’incertitude-type u
N
, l’incertitude élargie U
N
à 95%.
• L’incertitude sur le volume est estimée par une approche probabiliste (évaluation de type B) :
à partir de l’incertitude-type fournie par le constructeur, calculer l’incertitude élargie U
0
à 95%
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• En déduire l’incertitude sur le volume d’une goutte en utilisant la formule convenable de propagation des
incertitudes.
Quelle est la cause principale d’incertitude ?
• Exprimer finalement le volume d’une goutte sous sa forme normalisée v
g
=...
±
... mL