DS4 version centrale Mines corrigé - MP*1

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Centrale MP-2016
I- Confinement d’une particule dans un champ magnétique
I-A- Aurores polaires terrestres
I-A-1) Lors d’aurores polaires, des particules chargées et accélérées de la magnétosphère
arrivent dans l’atmosphère et rentre en collision avec les molécules de l’atmosphère. Elles ont
une énergie suffisante pour exciter des électrons des couches externes de ces molécules
d’atmosphère (surtout le diazote). Ces électrons, en revenant sur le niveau stable, émettent des
photons dans le visible.
I-A-2) Les lignes de champ de la magnétosphère plongent dans l’’atmosphère dans les régions
polaires. Lors d’orage magnétique, les particules chargées peuvent atteindre chacun des deux
pôles d’où la coexistence simultanée d’une aurore boréale et d’une aurore australe.
I-A-3) Proches de la Terre, les lignes de champ sont très voisines de celles d’un dipôle
magnétique. En revanche elles se déforment et ne sont plus symétriques par rapport à l’axe
porté par le dipôle quand on s’éloigne de la Terre.
I-B- Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme
I-B-1) La force magnétique vaut 
, expression dont la norme peut être
majorée par : 
. Si on suppose que l’électron a une vitesse de l’ordre de
 et en prenant un champ magnétique de , on obtient 
L’ordre de grandeur de la force gravitationnelle de la Terre est majoré. par la force
gravitationnelle au niveau du sol : 
 ce qui donne  .
On peut effectivement négliger l’interaction gravitationnelle de la Terre devant la force
magnétique.
I-B-2) On applique le principe fondamental de la mécanique à l’électron. A un instant t, sa
vitesse est 
 ce qui donne comme expression de la force magnétique :
On a  
 soit :
Comme à , la particule est en O avec une vitesse initiale 
, on en déduit des
trois équations différentielles précédentes que 
. L’électron a un mouvement
rectiligne suivant 
.
Il se déplace donc le long des lignes de champ.
I-B-3-a) On a toujours les mêmes équations différentielles :

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L’équation (3) donne On peut intégrer l’équation  ce qui donne :
.
Comme on nous donne  et , on obtient : .
En remplaçant  dans l’équation on a : 
, d’où l’équation
différentielle en  :
De même en intégrant l’équation différentielle (1) on obtient :
.
Comme on nous donne  et , on obtient :
En remplaçant  dans l’équation on a : 
, d’où
l’équation différentielle en  :
Les composantes suivant 
 et   de la vitesse ont un mouvement harmonique de pulsation
Un satellite géostationnaire est un satellite dont la période de rotation est celle de la Terre. Il a
une orbite de rayon  . L’énoncé nous donne la valeur du champ
magnétique à la surface de la Terre, soit , c’est-à-dire pour une distance au
dipôle  .
Le champ créé par un dipôle magnétique étant en , on peut écrire :
 ce qui donne comme pulsation :  .
I-B-3-a) On intègre les équations  et  :
 . On a  et  ce qui donne :
 . On a   et  ce qui
donne : 
On obtient l’équation cartésienne de la trajectoire de l’électron :
Il s’agit d’un cercle de rayon 
I-B-4-a) L’énoncé nous donne l’expression de la puissance rayonnée par un électron :

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La dimension de la puissance est le Watt, c’est-à-dire le soit en équation aux
dimensions : est en
 et  sont en 
 est en 
 est homogène à 
 et  est homogène à   ce qui donne  est homogène à   soit
 est en .
On doit avoir :  ce qui donne  
 ce qui donne 
I-B-4-b) L’énergie cinétique d’un électron à la vitesse  vaut 
. On peut exprimer
cette énergie cinétique en fonction du rayon de la trajectoire de l’électron puisque 
c’est-à-dire 
. On a alors  .
Lorsque que le rayon  varie de , l’énergie cinétique varie de  avec
Entre  et , l’énergie cinétique a varié de  car l’électron a perdu l’énergie  par
rayonnement. On a donc :  soit 
On a trouvé dans la question I-B-2 que les équations horaires de la trajectoire sont :
Ce qui donne pour le vecteur 
 : 
et 
On a donc : 
 soit en remplaçant 
 par  :
En posant  
 on a l’équation d’évolution du rayon de la trajectoire :
Le rayon de la trajectoire de l’électron diminue du fait de son rayonnement, en conséquence,
la vitesse de l’électron diminue également.
I-B-5) Le raisonnement de la question I-B-2) reste valable en considérant la composante 
de la vitesse et celui de la question I-B-3) reste valable en considérant la composante  de la
vitesse.
On a donc un mouvement circulaire de pulsation 
 et de rayon   dans le plan
 et un mouvement de translation à la vitesse constante  suivant l’axe des . Le

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mouvement est hélicoïdal, d’axe . L’électron se déplace en s’enroulant le long des lignes
de champ.
I-C- Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme
I-C-1) Il existe deux démonstrations.
La première est basée sur le fait que le flux du champ magnétique à travers une surface
fermée est nul. On prend comme surface fermée  un cylindre d’axe , de rayon  et compris
entre les cotes  et .
 ce qui donne, en n’oubliant pas que
la normale à une surface fermée est toujours la normale sortante :
Ce qui donne : 
Soit : 
On en déduit la relation demandée : 
La deuxième est basée sur l’équation de Maxwell sur la divergence de  est   soit
Au voisinage de l’axe, on peut faire un DL d’ordre  par rapport à  du champ magnétique ce
qui donne :
 et 
L’axe des  est ici forcément un axe d’antisymétrie de la distribution de courant. Donc tout
plan contenant est un plan d’antisymétrie. Pour un point M de l’axe des est
suivant . Donc  et 
.
 mais on vient de montrer qu’au voisinage de
l’axe 
 donc   d’où la relation demandée : 
I-C-2) La composante radiale du champ magnétique peut être considérée comme une
perturbation si 
 . Si  est l’échelle caractéristique des variations de 
on peut écrire : 
 ce qui donne comme condition : 
I-C-3) Avec l’approximation ci-dessus, le mouvement perpendiculaire à Oz de l’électron est
peu modifiée. On peut reprendre l’expression de la question I-B-3) :
I-C-4) On assimile l’électron à une boucle de courant décrivant un cercle de rayon  et de
surface .

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L’intensité du courant associée à ce mouvement de l’électron est donnée par la relation
 avec 
On a remarqué que l électron tournait dans le sens trigonométrique ce qui donne 
Le moment magnétique associé au mouvement de l’électron est : M soit en
remplaçant : M
Le moment cinétique de l’électron projeté sur l’axe  vaut :
LL
 ce qui donne :
L ; or  soit : L
On en déduit la relation demandée
M 
L
I-C-5) On applique le théorème du moment cinétique. Le dipôle magnétique subit de la part
de champ magnétique un moment : 
M
ce qui donne en applique le TMC :
L
 M
soit en projetant sur l’axe Oz : L
 M
 puisqu’on fait
l’hypothèse que 
On en déduit d’après la relation de la question I-C-4) que M
 . La composante suivant Oz
du moment magnétique est une constante du mouvement.
L’électron s’enroule le long des lignes de champs en maintenant son moment magnétique
constant.
I-C-6-a) La force de Lorentz, appliquée à l’électron est  . Sa puissance
 . Donc par application du théorème de l’énergie cinétique, L’énergie cinétique
se conserve au cours de son mouvement.
On a donc 
On exprime le moment magnétique M en fonction de et de  :
On a vu que M
 avec   et    ce qui donne :
M 
 soit en remplaçant  par   : M  . Comme
on a démontré que M est une constante du mouvement, on en déduit donc que 
 est
également une constante du mouvement. En combinant ceci avec la conservation de la norme
de la vitesse on obtient : 
constante 
(en prenant la constante pour 
La composante  de la vitesse de l’électron vaut :