DS4 version centrale Mines corrigé - MP*1

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Centrale MP-2016
I- Confinement d’une particule dans un champ magnétique
I-A- Aurores polaires terrestres
I-A-1) Lors d’aurores polaires, des particules chargées et accélérées de la magnétosphère
arrivent dans l’atmosphère et rentre en collision avec les molécules de l’atmosphère. Elles ont
une énergie suffisante pour exciter des électrons des couches externes de ces molécules
d’atmosphère (surtout le diazote). Ces électrons, en revenant sur le niveau stable, émettent des
photons dans le visible.
I-A-2) Les lignes de champ de la magnétosphère plongent dans l’’atmosphère dans les régions
polaires. Lors d’orage magnétique, les particules chargées peuvent atteindre chacun des deux
pôles d’où la coexistence simultanée d’une aurore boréale et d’une aurore australe.
I-A-3) Proches de la Terre, les lignes de champ sont très voisines de celles d’un dipôle
magnétique. En revanche elles se déforment et ne sont plus symétriques par rapport à l’axe
porté par le dipôle quand on s’éloigne de la Terre.
I-B- Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniforme
⃗⃗𝑜 ), expression dont la norme peut être
I-B-1) La force magnétique vaut 𝐹⃗𝑚 = −𝑒(𝑣⃗ ∧ 𝐵
⃗⃗𝑜 ‖. Si on suppose que l’électron a une vitesse de l’ordre de
majorée par : ‖𝐹⃗𝑚 ‖ = 𝑒‖𝑣⃗‖. ‖𝐵
105 𝑚. 𝑠 −1 et en prenant un champ magnétique de 5. 10−5 𝑇, on obtient ‖𝐹⃗𝑚 ‖~10−18 𝑁
L’ordre de grandeur de la force gravitationnelle de la Terre est majoré. par la force
gravitationnelle au niveau du sol : ‖𝐹⃗𝑔 ‖ = 𝑚𝑒 𝑔 ce qui donne ‖𝐹⃗𝑔 ‖~10−29 𝑁.
On peut effectivement négliger l’interaction gravitationnelle de la Terre devant la force
magnétique.
I-B-2) On applique le principe fondamental de la mécanique à l’électron. A un instant t, sa
vitesse est 𝑣⃗ = 𝑥̇ 𝑢
⃗⃗𝑥 + 𝑦̇ 𝑢
⃗⃗𝑦 + 𝑧̇ 𝑢
⃗⃗𝑧 ce qui donne comme expression de la force magnétique :
𝐹⃗𝑚 = −𝑒𝐵𝑜 𝑦̇ 𝑢
⃗⃗𝑥 + 𝑒𝐵𝑜 𝑥̇ 𝑢
⃗⃗𝑦
On a 𝑚𝑎⃗ = 𝐹⃗𝑚 soit :
𝑚𝑥̈ = −𝑒𝐵𝑜 𝑦̇
𝑚𝑦̈ = +𝑒𝐵𝑜 𝑥̇
𝑚𝑧̈ = 0
Comme à 𝑡 = 0, la particule est en O avec une vitesse initiale 𝑣⃗𝑜 = 𝑣𝑜 𝑢
⃗⃗𝑧 , on en déduit des
trois équations différentielles précédentes que 𝑣⃗(𝑡) = 𝑣𝑜 𝑢
⃗⃗𝑧 . L’électron a un mouvement
rectiligne suivant 𝑢
⃗⃗𝑧 .
Il se déplace donc le long des lignes de champ.
I-B-3-a) On a toujours les mêmes équations différentielles :
𝑚𝑥̈ (𝑡) = −𝑒𝐵𝑜 𝑦̇ (𝑡) (1)
𝑚𝑦̈ (𝑡) = +𝑒𝐵𝑜 𝑥̇ (𝑡) (2)
2
𝑚𝑧̈ = 0
(3)
L’équation (3) donne 𝑧(𝑡) = 0 . On peut intégrer l’équation (2) ce qui donne :
𝑚(𝑦̇ (𝑡) − 𝑦̇ (0)) = 𝑒𝐵𝑜 (𝑥(𝑡) − 𝑥(0)).
Comme on nous donne 𝑥(𝑡 = 0) = 0 et 𝑦̇ (𝑡 = 0) = 0, on obtient : 𝑚𝑦̇ (𝑡) = 𝑒𝐵𝑜 𝑥(𝑡).
En remplaçant 𝑦̇ (𝑡) dans l’équation (1) on a : 𝑚𝑥̈ (𝑡) = −
(𝑒𝐵𝑜 )2
𝑚
𝑥(𝑡), d’où l’équation
différentielle en 𝑥(𝑡) :
𝒙̈ (𝒕) + (
𝒆𝑩𝒐 𝟐
𝒎
) 𝒙(𝒕)
(4)
De même en intégrant l’équation différentielle (1) on obtient :
𝑚(𝑥̇ (𝑡) − 𝑥̇ (0)) = −𝑒𝐵𝑜 (𝑦(𝑡) − 𝑦(0)).
Comme on nous donne 𝑦(𝑡 = 0) = 0 et 𝑥̇ (𝑡 = 0) = 𝑣𝑜 , on obtient :
𝑚𝑥̇ (𝑡) = −𝑒𝐵𝑜 𝑦(𝑡) + 𝑚𝑣𝑜
En remplaçant 𝑥̇ (𝑡) dans l’équation (2) on a : 𝑚𝑦̈ (𝑡) = −
(𝑒𝐵𝑜 )2
𝑚
𝑦(𝑡) + 𝑒𝐵𝑜 𝑣𝑜 , d’où
l’équation différentielle en 𝑥(𝑡) :
𝒆𝑩𝒐 𝟐
𝒚̈ (𝒕) + (
𝒎
) 𝒚(𝒕) = +
𝒆𝑩𝒐 𝒗𝒐
(5)
𝒎
Les composantes suivant 𝑢
⃗⃗𝑥 et 𝑢
⃗⃗𝑦 de la vitesse ont un mouvement harmonique de pulsation
𝜔𝑐 =
𝑒𝐵𝑜
𝑚
Un satellite géostationnaire est un satellite dont la période de rotation est celle de la Terre. Il a
une orbite de rayon 𝑅𝑔 = 4,22. 104 𝑘𝑚 . L’énoncé nous donne la valeur du champ
magnétique à la surface de la Terre, soit 𝐵𝑜 = 5. 10−5 𝑇, c’est-à-dire pour une distance au
dipôle 𝑅𝑇 = 6,37. 103 𝑘𝑚 .
Le champ créé par un dipôle magnétique étant en 1/𝑟 3, on peut écrire :
𝑅
3
𝐵(𝑅𝑔 ) = 𝐵𝑜 (𝑅𝑇 ) = 1,7. 10−7 𝑇 ce qui donne comme pulsation : 𝜔𝑐 = 3. 104 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 .
𝑔
I-B-3-a) On intègre les équations (4) et (5) :
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡) . On a 𝑥(𝑡 = 0) = 0 et 𝑥̇ (𝑡 = 0) = 𝑣𝑜 ce qui donne :
𝑣
𝑚𝑣
𝑥(𝑡) = 𝜔𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡) = 𝑒𝐵 𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡)
𝑐
𝑜
′
′
𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) + 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡) +
donne : 𝑦(𝑡) = −
𝑒𝐵𝑜 𝑣𝑜
𝜔𝑐2
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) +
𝑒𝐵𝑜 𝑣𝑜
𝜔𝑐2
𝑒𝐵𝑜 𝑣𝑜
𝑚𝜔𝑐2
. On a 𝑦(𝑡 = 0) = 0 et 𝑦̇ (𝑡 = 0) = 0 ce qui
𝑚𝑣
= − 𝑒𝐵 𝑜 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) +
𝑜
𝑚𝑣𝑜
𝑒𝐵𝑜
On obtient l’équation cartésienne de la trajectoire de l’électron :
𝑥 2 + (𝑦 −
Il s’agit d’un cercle de rayon
𝑚𝑣𝑜 2
𝑒𝐵𝑜
2
𝑚𝑣
) = ( 𝑒𝐵 𝑜 )
𝑅𝑐 =
𝑚𝑣𝑜
𝑜
𝑒𝐵𝑜
I-B-4-a) L’énoncé nous donne l’expression de la puissance rayonnée par un électron :
1 2 𝛼 𝛽 𝑑𝑣⃗
𝑃=
𝑒 𝑐 ‖ ‖
4𝜋𝜀𝑜 3
𝑑𝑡
2
3
La dimension de la puissance est le Watt, c’est-à-dire le 𝐽. 𝑠 −1 soit en équation aux
dimensions : 𝑃 est en 𝑘𝑔. 𝑚2 𝑠 −3
𝑣 et 𝑐 sont en 𝑚. 𝑠 −1
𝑒 est en 𝐴. 𝑠
𝑞
𝜀𝑜 est homogène à 𝑟𝑉 et 𝑉 est homogène à
2 4
−3
𝐸𝑝
𝑞
𝑞2
ce qui donne 𝜀𝑜 est homogène à 𝑟𝐸 soit
𝑝
−1
𝜀𝑜 est en 𝐴 𝑠 𝑚 𝑘𝑔 .
On doit avoir : 2 = 3 + 𝛽 + 2 ce qui donne 𝛽 = −3
−1 = −4 + 𝛼 − 2𝛽 − 2 ce qui donne 𝛼 = 2
1
I-B-4-b) L’énergie cinétique d’un électron à la vitesse 𝑣𝑜 vaut 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑣𝑜2 . On peut exprimer
cette énergie cinétique en fonction du rayon de la trajectoire de l’électron puisque 𝑅𝑐 =
c’est-à-dire 𝑣𝑜 =
𝑅𝑐 𝑒𝐵𝑜
𝑚
1 𝑅𝑐2 𝑒 2 𝐵𝑜2
. On a alors 𝐸𝑐 = 2
𝑚
𝑚𝑣𝑜
𝑒𝐵𝑜
.
Lorsque que le rayon 𝑅𝑐 varie de 𝑑𝑅𝑐 , l’énergie cinétique varie de 𝑑𝐸𝑐 avec
𝑒 2 𝐵𝑜2
𝑑𝐸𝑐 =
𝑅 𝑑𝑅
𝑚 𝑐 𝑐
Entre 𝑡 et 𝑡 + 𝑑𝑡, l’énergie cinétique a varié de 𝑑𝐸𝑐 car l’électron a perdu l’énergie 𝑃𝑑𝑡 par
rayonnement. On a donc : 𝑑𝐸𝑐 = −𝑃𝑑𝑡 soit
𝑒 2 𝐵𝑜2
𝑚
2𝑒 2
1
𝑅𝑐 𝑑𝑅𝑐 = −𝑃𝑑𝑡 = − 4𝜋𝜀
𝑜
⃗⃗ 2
𝑑𝑣
‖ ‖ 𝑑𝑡
3𝑐 3 𝑑𝑡
On a trouvé dans la question I-B-2 que les équations horaires de la trajectoire sont :
𝑚𝑣
𝑥(𝑡) = 𝑒𝐵 𝑜 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡) = 𝑅𝑐 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡)
𝑜
𝑦(𝑡) =
𝑚𝑣𝑜
𝑒𝐵𝑜
𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) −
𝑚𝑣𝑜
𝑒𝐵𝑜
= 𝑅𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡) − 𝑅𝑐
Ce qui donne pour le vecteur
⃗⃗ 2
𝑑𝑣
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
:
⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝜔𝑐2 𝑅𝑐 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑐 𝑡)𝑢
⃗⃗𝑥 −𝜔𝑐2 𝑅𝑐 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑐 𝑡)𝑢
⃗⃗𝑦
et ‖ 𝑑𝑡 ‖ = 𝜔𝑐4 𝑅𝑐2
On a donc :
𝑒 2 𝐵𝑜2
𝑚
En posant 𝜏 =
2𝑒 2
1
𝑅𝑐 𝑑𝑅𝑐 = − 4𝜋𝜀
𝐵𝑜 𝑐 3 6𝜋𝜀𝑜
𝑒𝜔𝑐3
𝑜
3𝑐 3
𝜔𝑐4 𝑅𝑐2 𝑑𝑡 soit en remplaçant
𝑒𝐵𝑜
𝑚
par 𝜔𝑐 :
𝑑𝑅𝑐
𝑒𝜔𝑐3
+
𝑅 =0
𝑑𝑡 𝐵𝑜 𝑐 3 6𝜋𝜀𝑜 𝑐
on a l’équation d’évolution du rayon de la trajectoire :
𝑑𝑅𝑐 𝑅𝑐
+
=0
𝑑𝑡
𝜏
Le rayon de la trajectoire de l’électron diminue du fait de son rayonnement, en conséquence,
la vitesse de l’électron diminue également.
I-B-5) Le raisonnement de la question I-B-2) reste valable en considérant la composante 𝑣𝑜𝑧
de la vitesse et celui de la question I-B-3) reste valable en considérant la composante 𝑣𝑜𝑥 de la
vitesse.
On a donc un mouvement circulaire de pulsation 𝜔𝑐 =
𝑒𝐵𝑜
𝑚
et de rayon 𝑅𝑐 =
𝑚𝑣𝑜𝑥
𝑒𝐵𝑜
dans le plan
𝑥𝑂𝑦 et un mouvement de translation à la vitesse constante 𝑣𝑜𝑧 suivant l’axe des 𝑧. Le
4
mouvement est hélicoïdal, d’axe 𝑂𝑧. L’électron se déplace en s’enroulant le long des lignes
de champ.
I-C- Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme
I-C-1) Il existe deux démonstrations.
La première est basée sur le fait que le flux du champ magnétique à travers une surface
fermée est nul. On prend comme surface fermée Σ un cylindre d’axe 𝑧, de rayon 𝑟 et compris
entre les cotes 𝑧 et 𝑧 + 𝑑𝑧.
⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 0 = ∬ 𝐵
⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ + ∬
⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ + ∬
𝐵
∯Σ 𝐵
𝑧
𝑧+𝑑𝑧
𝑆
𝑙𝑎𝑡
⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ ce qui donne, en n’oubliant pas que
𝐵
la normale à une surface fermée est toujours la normale sortante :
⃗⃗ . 𝑑𝑆⃗ = 0 = − ∬ 𝐵𝑧 (𝑧). 𝑑𝑆 + ∬
𝐵(𝑧 + 𝑑𝑧). 𝑑𝑆 + ∬𝑆
∯Σ 𝐵
𝑧
𝑧+𝑑𝑧
𝑙𝑎𝑡
𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧). 𝑑𝑆
Ce qui donne : 0 = (𝐵(𝑧 + 𝑑𝑧) − 𝐵𝑧 (𝑧))𝜋𝑟 2 + 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧)2𝜋𝑟𝑑𝑧
Soit : 0 =
𝑑𝐵𝑧 (𝑧)
𝑑𝑧
𝜋𝑟 2 𝑑𝑧 + 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧)2𝜋𝑟𝑑𝑧
On en déduit la relation demandée : 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = −
𝑟 𝑑𝐵𝑧 (𝑧)
2
𝑑𝑧
⃗⃗ est 𝑑𝑖𝑣(𝐵
⃗⃗) = 0 soit
La deuxième est basée sur l’équation de Maxwell sur la divergence de 𝐵
1 𝜕(𝑟𝐵𝑟 )
𝑟
𝜕𝑟
+
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑧
=0
Au voisinage de l’axe, on peut faire un DL d’ordre 1 par rapport à 𝑟 du champ magnétique ce
qui donne :𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = 𝐵𝑟 (0, 𝑧) + 𝑟
𝜕𝐵𝑟
𝜕𝑟
et 𝐵𝑧 (𝑧) = 𝐵𝑧 (𝑧)
L’axe des 𝑧 est ici forcément un axe d’antisymétrie de la distribution de courant. Donc tout
plan contenant 𝑂𝑧 est un plan d’antisymétrie. Pour un point M de l’axe des 𝑧, 𝐵(𝑀) est
suivant 𝑂𝑧. Donc 𝐵𝑟 (0, 𝑧) = 0 et 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = 𝑟
𝜕𝐵𝑟
𝜕𝑟
.
⃗⃗ ) = 0 = 1 𝜕(𝑟𝐵𝑟 ) + 𝜕𝐵𝑧 = 𝜕𝐵𝑟 + 𝐵𝑟 + 𝜕𝐵𝑧 mais on vient de montrer qu’au voisinage de
𝑑𝑖𝑣(𝐵
𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑧
𝜕𝑟
𝑟
𝜕𝑧
l’axe 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = 𝑟
𝜕𝐵𝑟
𝜕𝑟
donc 0 = 2
𝐵𝑟
𝑟
+
𝜕𝐵𝑧
𝜕𝑧
𝑟 𝑑𝐵𝑧 (𝑧)
d’où la relation demandée : 𝐵𝑟 (𝑟, 𝑧) = − 2
𝑑𝑧
I-C-2) La composante radiale du champ magnétique peut être considérée comme une
𝑟 𝑑𝐵𝑧 (𝑧)
perturbation si |2
𝑑𝑧
𝑟 𝐵𝑧 (𝑧)
on peut écrire : |2
𝐿
| ≪ |𝐵𝑧 (𝑧)|. Si 𝐿 est l’échelle caractéristique des variations de 𝐵𝑧 (𝑧)
| ≪ |𝐵𝑧 (𝑧)| ce qui donne comme condition : 𝑟 << 𝐿
I-C-3) Avec l’approximation ci-dessus, le mouvement perpendiculaire à Oz de l’électron est
peu modifiée. On peut reprendre l’expression de la question I-B-3) :
𝑚𝑣𝜃
𝑅(𝑧) =
𝑒𝐵𝑧 (𝑧)
I-C-4) On assimile l’électron à une boucle de courant décrivant un cercle de rayon 𝑅(𝑧) et de
surface 𝑆 = 𝜋𝑅 2 .
5
L’intensité du courant associée à ce mouvement de l’électron est donnée par la relation
𝐼=
𝑑𝑞
𝑑𝑡
𝑒
2𝜋
𝑐
𝑐
= − 𝑇 avec 𝑇𝑐 = 𝜔
On a remarqué que l électron tournait dans le sens trigonométrique ce qui donne 𝑛⃗⃗ = 𝑢
⃗⃗𝑧
⃗⃗⃗ = 𝑆𝐼𝑛⃗⃗ soit en
Le moment magnétique associé au mouvement de l’électron est : ⃗M
𝑒 2
remplaçant : M𝑧 = − 2 𝑅 (𝑧)𝜔𝑐
Le moment cinétique de l’électron projeté sur l’axe 𝑂𝑧 vaut :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗). 𝑢
L𝑧 = ⃗L⃗𝑜 . 𝑢
⃗⃗𝑧 = (𝑂𝑀
⃗⃗𝑧 = 𝑅(𝑧)𝑢
⃗⃗𝑟 ∧ 𝑚(𝑣𝑟 𝑢
⃗⃗𝑟 + 𝑣𝜃 𝑢
⃗⃗𝜃 + 𝑣𝑧 𝑢
⃗⃗𝑧 ). 𝑢
⃗⃗𝑧 ce qui donne :
2
L𝑧 = 𝑅(𝑧)𝑚𝑣𝜃 ; or 𝑣𝜃 = 𝜔𝑐 𝑅(𝑧) soit : L𝑧 = 𝑚𝑅 (𝑧)𝑣𝜃
On en déduit la relation demandée
𝑒
M𝑧 = −
L
2𝑚 𝑧
I-C-5) On applique le théorème du moment cinétique. Le dipôle magnétique subit de la part
⃗⃗ ce qui donne en applique le TMC :
⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
de champ magnétique un moment : Γ⃗ = ⃗M
⃗⃗
𝑑L
𝑑𝑡
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
=M
soit en projetant sur l’axe Oz :
𝑑L𝑧
𝑑𝑡
⃗⃗ ). 𝑢
⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐵
= (M
⃗⃗𝑧 ≈ 0
⃗⃗ ≈ 𝐵𝑧 𝑢
l’hypothèse que 𝐵
⃗⃗𝑧
On en déduit d’après la relation de la question I-C-4) que
𝑑M𝑧
𝑑𝑡
puisqu’on fait
= 0. La composante suivant Oz
du moment magnétique est une constante du mouvement.
L’électron s’enroule le long des lignes de champs en maintenant son moment magnétique
constant.
⃗⃗ ). Sa puissance
I-C-6-a) La force de Lorentz, appliquée à l’électron est 𝐹⃗ = −𝑒(𝑣⃗ ∧ 𝐵
𝑃 = 𝐹⃗ . 𝑣⃗ = 0. Donc par application du théorème de l’énergie cinétique, L’énergie cinétique
se conserve au cours de son mouvement.
On a donc 𝑣 2 = 𝑣𝜃2 + 𝑣𝑧2 = 𝑣𝑜2
On exprime le moment magnétique M𝑧 en fonction de 𝑣𝜃 et de 𝐵𝑧 :
𝑒
On a vu que M𝑧 = − 2 𝑅 2 (𝑧)𝜔𝑐 avec 𝜔𝑐 =
M𝑧 = − 𝐵
1
𝑧 (𝑧)
𝑚𝑣𝜃2
2
𝑒𝐵𝑧 (𝑧)
𝑚
𝑚𝑣𝜃
et 𝑅(𝑧) = 𝑒𝐵
𝑧 (𝑧)
𝑧2
ce qui donne :
soit en remplaçant 𝐵𝑧 (𝑧) par 𝐵𝑜 (1 + 𝐿2 ) : M𝑧 = −
1
𝑧2
𝐵𝑜 (1+ 2 )
𝐿
𝑚𝑣𝜃2
2
on a démontré que M𝑧 est une constante du mouvement, on en déduit donc que
. Comme
𝑣𝜃2
𝑧2
(1+ 2 )
𝐿
est
également une constante du mouvement. En combinant ceci avec la conservation de la norme
de la vitesse on obtient :
𝑣𝑜2 −𝑣𝑧2
𝑧2
(1+ 2 )
𝐿
2
= constante = 𝑣𝑜2 −𝑣𝑜𝑧
(en prenant la constante pour 𝑧 = 0
La composante 𝑣𝑧 de la vitesse de l’électron vaut :
6
𝑧2
𝑧2
2 )
2
2 )
𝑣𝑧2 = 𝑣𝑜2 − (𝑣𝑜2 −𝑣𝑜𝑧
(1 + 𝐿2 ) = 𝑣𝑜𝑧
− (𝑣𝑜2 −𝑣𝑜𝑧
. La composante 𝑣𝑧 est une fonction
𝐿2
décroissante de 𝑧. Elle s’annule pour la valeur :
𝑧𝑚 = ±
𝑣𝑜𝑧 𝐿
2
√𝑣𝑜2 −𝑣𝑜𝑧
== ±
𝑣𝑜𝑧 𝐿
2
𝑣𝑜𝑥
. L’électron
« rebondit » dans ces plans et repart dans la direction opposée. On peut donc parler de miroirs
magnétiques.
1
1
1
1
I-C-6-b) La conservation de l’énergie cinétique s’écrit : 2 𝑚𝑣 2 = 2 𝑚𝑣𝑧2 + 2 𝑚𝑣𝜃2 = 2 𝑚𝑣𝑜2 et
on vient de montrer que
𝑣𝜃2
𝑧2
(1+ 2 )
𝐿
est également une constante du mouvement donc
𝑣𝜃2
𝑧2
(1+ 2 )
𝐿
=
𝑧2
2
2
𝑣𝜃2 (𝑧 = 0) = 𝑣𝑜𝑥
. On peut écrire : 𝑣𝜃2 = 𝑣𝑜𝑥
(1 + 𝐿2 ) ce qui donne pour l’énergie cinétique :
1
1
1
1
𝑧2
1
2
𝑚𝑣𝑜2 = 2 𝑚𝑣𝑧2 + 2 𝑚𝑣𝜃2 = 2 𝑚𝑣𝑧2 + 2 𝑚𝑣𝑜𝑥
(1 + 𝐿2 )
2
Cette relation peut se mettre sous la forme :
2
1 𝑚𝑣𝑜𝑥
1
𝑚𝑣𝑧2 + 2
2
conservation d’énergie d’un oscillateur de raideur 𝐾 =
2
𝑚𝑣𝑜𝑥
𝐿2
𝐾
𝐿2
𝑧 2 = 𝑐𝑡𝑒 et ressemble à une
.
On peut définir une pulsation caractéristique : 𝜔𝑚 = √𝑚 soit 𝜔𝑚 =
𝑣𝑜𝑥
𝐿
2𝐸
L’énergie de l’électron est de l’ordre du 𝑘𝑒𝑉 ce qui correspond à une vitesse 𝑣 = √ 𝑚 =
2.1,6.10−16
√
9.10−31
𝑣
𝜔𝑚 = 𝐿𝑜𝑥
~107 𝑚. 𝑠 −1 et 𝐿 = 2𝑅𝑔 ~12. 106 𝑚 ce qui donne en ordre de grandeur :
= 1 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 .
L’ordre de grandeur du temps pour un électron pour accomplir un aller-retour entre le
pôle Nord et le pôle Sud est 𝑇~1𝑠
I-D- Ceintures de Van Allen
2𝐸
Si l’électron a une énergie de 100 𝑀𝑒𝑉, cela correspond à une vitesse 𝑣 = √ 𝑚 =
2.1,6.10−11
√
9.10−31
~0,6. 1010 𝑚. 𝑠 −1 !!! Il s’agit donc d’un électron relativiste et toute l’étude est à
recommencer dans le cadre de la mécanique relativiste.
Mines-MP-2013
7
A propos des diodes
I-Diode à vide
1) on a l’équation de Poisson : ∆𝑽(𝒙) = −
𝝆(𝒙)
𝜺𝒐
.
2) Le poids des électrons vaut : 𝑃 = 𝑚𝑔 = 9,11. 10−31 . 9,81~81. 10−31 𝑁
Pour avoir un ordre de grandeur de 𝐸 on se sert des données plus loin : 𝑉𝐴 = 10,0 𝑉 et la
distance entre les armatures est 𝑑 = 3,00 𝑚𝑚, ce qui donne un champ électrique 𝐸 =
𝑉𝐴
𝑑
~3. 103 𝑉. 𝑚−1.
L’ordre
−19
de
3
grandeur
de
la
force
électrique
est
−15
𝐹 = 𝑒𝐸 = 1,6. 10 . 3. 10 ~10
𝑁.
On constate donc que la force électrique est bien plus importante que le poids ;
𝒆𝑬
𝒎𝒈
~𝟏𝟎𝟏𝟓 ≫ 𝟏.
3) Un charge ponctuelle placée dans un champ électrique 𝐸⃗⃗ subit une force 𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗.
Or 𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝑉 ce qui donne 𝐹⃗ = −𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑑(𝑞𝑉) = −𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑑𝐸𝑝 . On en déduit l’expression de
l’énergie potentielle de la charge ponctuelle : 𝑬𝒑 = 𝒒𝑽.
4) On applique le théorème de l’énergie cinétique entre 𝐶 et 𝑀 :
𝐸𝑐 (𝑀) − 𝐸𝑐 (𝐶) = 𝑊𝐶→𝑀 (𝐹⃗ ) = 𝐸𝑝 (𝐶) − 𝐸𝑝 (𝑀) soit, l’électron n’ayant pratiquement pas de
1
⃗⃗(𝒙) = √
vitesse en C : 2 𝑚𝑣 2 (𝑥) = 𝑒𝑉(𝑥) soit 𝒗
𝟐𝒆𝑽(𝒙)
𝒎
⃗⃗𝒙 .
𝒖
5) Le vecteur densité de courant est 𝑗⃗(𝑥) = 𝜌(𝑥)𝑣⃗(𝑥) ce qui donne pour l’intensité 𝐼(𝑥) :
𝑰(𝒙) = −𝝆(𝒙)𝒗(𝒙)𝑺 avec l’orientation de la surface de 𝐴 vers 𝐶, c’est-à-dire vers les 𝑥
négatif.
6) En régime permanent, le vecteur densité de courant est à flux conservatif, donc son flux à
travers une section 𝑥 = constante perpendiculaire aux lignes de courant sera le même. 𝐼 ne
dépend pas de 𝑥 : 𝑰 = −𝝆(𝒙)𝒗(𝒙)𝑺
7) En reprenant les résultats précédents : ∆𝑉(𝑥) =
2𝑒𝑉(𝑥)
𝑣(𝑥) = √
𝑚
𝐼
𝑚
soit 𝜌(𝑥) = − 𝑆 √2𝑒
d’où l’équation différentielle :
𝒅𝟐 𝑽(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
𝑑2 𝑉(𝑥)
𝑑𝑥 2
=−
𝜌(𝑥)
𝜀𝑜
𝐼
; de plus 𝜌(𝑥) = − 𝑆𝑣(𝑥) et
1
√𝑉(𝑥)
𝑰
𝒎
𝟏
− 𝑺𝜺 √𝟐𝒆
= 𝟎 ou bien :
√𝑽(𝒙)
𝒐
𝒅𝟐 𝑽(𝒙)
𝒅𝒙𝟐
−
𝒂
√𝑽(𝒙)
= 𝟎.
8) Comme l’indique l’énoncé, on commence par multiplier l’équation différentielle par
𝑑𝑉(𝑥) 𝑑2 𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥 2
=
𝑑𝑉(𝑥)
𝑎
𝑑𝑥
√𝑉(𝑥)
; soit
1 𝑑
𝑑𝑉(𝑥) 2
(
2 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
:
) = 𝑑𝑥 (2𝑎√𝑉(𝑥) ). On nous dit que 𝑉(𝑥 = 0) =
𝑑𝑉(𝑥)
0 et 𝐸(𝑥 = 0) = 0 or 𝐸(𝑥 = 0) = − (
𝑑
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
) (𝑥 = 0).
8
1
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑉(𝑥′) 2
On a :2 ∫0 𝑑𝑥 𝑑 (
𝑑𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
𝑉(𝑥)
) = ∫0
𝑑𝑥′
𝑑 (2𝑎√𝑉(𝑥′) ) ce qui donne:
1 𝑑𝑉(𝑥) 2
2
(
𝑑𝑥
) = 2𝑎√𝑉(𝑥) soit
3
4
= 2√𝑎(𝑉(𝑥))1/4 soit : (𝑉(𝑥))−1/4 𝑑𝑉(𝑥) = 2√𝑎𝑑𝑥 ce qui s’intègre par 𝑉 4 (𝑥) 3 =
𝟑
2√𝑎𝑥 soit : 𝑽(𝒙) = (𝟐 √𝒂𝒙)
𝟒/𝟑
.
3
4/3
9) Pour 𝑥 = 𝑑, on a 𝑉(𝑑) = 𝑉𝐴 soit 𝑉𝐴 = (2 √𝑎𝑑)
𝐼
𝒎 𝟏/𝟑
𝑚
par son expression : 𝑎 = 𝑆𝜀 √2𝑒 d’où : 𝑽𝑨 = 𝑰𝟐/𝟑 (𝟐𝒆)
𝑜
3
4/3
→ 𝑉𝐴 = 𝑎2/3 (2 𝑑)
𝟏
𝟐/𝟑 𝟑
(𝑺𝜺 )
𝒐
(𝟐 𝒅)
. On remplace 𝑎
𝟒/𝟑
.
𝟑/𝟐
On a la loi de Child et Langmuir : 𝑰 = 𝑲𝑽𝑨 .
10) Cette relation n’est vraie que si 𝑽𝑨 > 𝟎. Si 𝑉𝐴 < 0, les électrons n’atteignent pas l’anode
et 𝐼 = 0.
11) La courbe est la suivante :
L’application numérique donne pour 𝑉𝐴 =
10 𝑉, 𝑰 = 𝟐, 𝟒𝟔 𝒎𝑨. Ce résultat est trop faible.
Il faut diminuer la distance entre les deux
électrodes.
12) Quand on écrit l’équation de Laplace, on fait une physique nivelée qui prend en compte
les interactions des électrons. Mais quand on applique le théorème de l’énergie cinétique, on
ne tient pas compte du travail des actions entre les électrons.
Les interactions entre électrons ont été prises en compte mais de manière partielle.