Champ électrique du piège de Penning

Champ électrique du piège de Penning
Le piège de Penning permet, grâce à un champ électrique et un champ magnétique, de confiner des
électrons dans le vide dans un domaine restreint pour en étudier le comportement. On n'étudiera ici que le
champ électrique
E
de ce piège.
Des électrodes permettent d'établir dans la région considérée un potentiel dont l'expression en
coordonnées cylindriques r,  et z est :
V U r z
a
2 2
2
2
. Dans cette expression U est une tension constante
et a une distance constante.
1) Étude des équipotentielles
a) Quelles sont les symétries des électrodes chargées qui créent ce champ ?
b) Donner, en coupe par un plan défini par  = constante, l'équation z = f(r) et la forme
géométrique d'une équipotentielle.
c) Représenter les équipotentielles
VU 2
et
VU
2
dans ce plan, en utilisant les
coordonnées réduites
Rr
a
et
Zz
a
.
d) Les électrodes qui créent le champ sont des surfaces métalliques reliées aux pôles  et  d'un
générateur fournissant la tension constante U. L'une est portée au potentiel
U
2
et l'autre au potentiel
U
2
.
Donner une vue tridimensionnelle de l'appareil.
2) Étude du champ électrostatique
a) Exprimer les coordonnées Er, E et Ez du champ
E
.
b) Donner les équations des lignes de champ.
c) Exprimer la force électrostatique et l'énergie potentielle électrique pour un électron se
trouvant entre les électrodes.
d) Donner l'équation différentielle du mouvement d'un électron (de masse m) se déplaçant sur
l'axe Oz. Quelle est la nature de ce mouvement ?
e) Le point O est-il pour un électron une position d'équilibre ? Dans l'affirmative, s'agit-il d'une
position d'équilibre stable ou instable ?
Conclure sur la nécessité de superposer un champ magnétique convenable au champ électrique pour
piéger l'électron.