1. Applications des lois de Newton

Partie 3 « Temps, mouvement et évolution »
Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
1. Applications des lois de Newton
1.1. A un mouvement dans le champ de pesanteur
Activité expérimentale 1.A p.156
1.1.1.
Vecteur accélération
En 1er lieu, pour toute étude de mouvement, il faut définir le système étudié et le référentiel d’étude, muni
d’un repère d’espace et d’un repère de temps, et faire le bilan des forces qui s’appliquent au système.
Etudions le cas d’un solide de masse m, lancé avec une vitesse initiale
du point O. Ce solide sera considéré comme le système étudié.
,
On choisit un repère (O, , , ) dans un référentiel terrestre supposé
galiléen.
On considère que les frottements et la poussée d’Archimède sont
négligeables. Donc la seule force qui s’applique au système est le poids.
Le référentiel étant galiléen, la seconde loi de Newton s’applique :
.
Or d’après la définition de la quantité de mouvement:
d’après la définition de l’accélération :
D’où
et
.
.
De plus, la seule force qui s’applique au système est le poids. D’où
On obtient donc :
soit
.
Or le vecteur champ de pesanteur a pour coordonnées :
.
.
.
Doù les coordonnées du vecteur accélération :
Bilan : Le vecteur accélération du centre d’inertie d’un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme et
soumis uniquement à son poids est constant et égal au vecteur champ de pesanteur.
1.1.2.
Comme
Vecteur vitesse
, pour obtenir les coordonnées du vecteur vitesse, il faut intégrer celles du vecteur accélération :
⇔
avec C1, C2 et C3 trois constantes à déterminer à partir des conditions initiales, c’est-à-dire des coordonnées du
vecteur vitesse à l’instant initial
.
Coordonnées du vecteur vitesse à l’instant initial
D’où
,
:
et
D’où les coordonnées du vecteur vitesse :
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et
.
Partie 3 « Temps, mouvement et évolution »
Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
Bilan : Le vecteur vitesse du centre d’inertie d’un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme et soumis
uniquement à son poids ne dépend pas de la masse de l’objet.
1.1.3.
Equations horaires
Les équations horaires du mouvement du centre d’inertie d’un objet traduisent l’évolution des coordonnées du
vecteur position en fonction du temps.
Comme
, pour obtenir les coordonnées du vecteur position, il faut intégrer celles du vecteur vitesse :
⇔
avec C4, C5 et C6 trois constantes à déterminer à partir des conditions initiales, c’est-à-dire des coordonnées du
vecteur position à l’instant initial.
Comme l’objet est lancé du point O, origine du repère, le vecteur position à l’instant initial est égal au vecteur nul.
Coordonnées du vecteur position à l’instant initial :
.
et
D’où
.
D’où les coordonnées du vecteur position :
Bilan : Le mouvement du centre d’inertie d’un objet lancé avec une vitesse initiale
non nulle, placé dans
un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids, s’effectue dans un plan formé par les
vecteurs
et .
1.1.4.
Equation de la trajectoire
Comme le mouvement a lieu dans le plan (xOz), la trajectoire du centre d’inertie de l’objet est donnée par la courbe
d’équation
.
On obtient cette équation en éliminant le temps t entre x(t) et z(t) :
.
(1)
En remplaçant dans (2), on obtient directement l’équation de la trajectoire :
.
Bilan : La trajectoire du centre d’inertie d’un objet lancé avec une vitesse initiale
un champ de pesanteur uniforme et soumis uniquement à son poids, est une parabole.
non nulle, placé dans
1.2. A un mouvement dans un champ électrostatique
Activité documentaire : Accélération d’électrons
Un canon à électrons est un dispositif qui se trouve dans les anciens téléviseurs et les oscilloscopes cathodiques. Un
dispositif similaire est utilisé dans les accélérateurs de particules modernes.
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Partie 3 « Temps, mouvement et évolution »
Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
Dans un canon à électrons (Fig. 1), des électrons sont
arrachés, avec une vitesse négligeable, d'un filament
électrique chauffé par effet Joule, situé au niveau d'une
électrode nommée cathode.
Ils sont accélérés entre la cathode C (borne négative) et
l'anode A (borne positive) par une tension U AC de valeur
comprise entre 0 V et environ 6 kV. Ce phénomène a lieu
dans une ampoule où règne un vide poussé.
Lorsque la tension UAC est nulle, aucun mouvement
d'électrons n'est détecté. Sa valeur est augmentée
progressivement de 0 V à 1,0 kV : les électrons sont mis en
mouvement rectiligne horizontal entre C et A.
1.
Montrer que le mouvement des électrons est cohérent avec le fait de négliger le poids de l'électron par
rapport à la force électrique qu'il subit à l'intérieur du canon.
Rappel : La force électrique subit par l’électron est définie par :
.
2. En utilisant la deuxième loi de Newton, montrer que le vecteur accélération
l'axe (Ox) et que sa coordonnée s'écrit:
d'un électron est porté par
où d est la distance entre C et A.
Qualifier un tel mouvement. (Aide 1)
3. Une fois sorti du canon, l'électron n'est plus soumis à aucune force. Quel est son mouvement ultérieur ?
Quelles modifications subit ce mouvement lorsque U AC est augmentée de 1,0 kV à 6,0 kV ?
4. Quelles sont les conditions initiales sur la position et la vitesse de l'électron ? Justifier à l'aide du texte
de présentation du dispositif.
5. En utilisant la question 2, en déduire l'expression de la vitesse vx(t) d'un électron puis de sa position x(t).
(Aide 2)
6. À l'aide de la question précédente, exprimer la date t A de passage de l'électron au niveau de l'électrode A.
7. En déduire enfin que la vitesse vA de l'électron au passage au travers de l'anode trouée A s'écrit :
. La calculer avec UAC = 1,0 kV, e = 1,6.10-19 C et m = 9,1.10-31 kg. (Aide 3)
Aide 1 : Prendre garde à l'orientation du champ électrique et au signe de la charge de l'électron.
Aide 2 : Ces étapes nécessitent une intégration par rapport au temps, suivie d'une prise en compte des conditions
initialles.
Aide 3 : Prendre garde aux unités et au nombre de chiffres significatifs du résultat.
Activité documentaire : Déviation d’un faisceau d’électrons
En 1897, ni la masse m, ni la charge -e de l'électron n'étaient connues ; son existence même n'était pas prouvée.
En utilisant un dispositif analogue à celui de la figure 2, Joseph John Thomson détermina le quotient
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.
Partie 3 « Temps, mouvement et évolution »
Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
A la sortie du canon à électrons décrit à la page
précédente, les électrons parviennent avec la v A entre
les deux plaques P et N, de longueur L = 8,5 cm,
distantes de d' = 5,0 cm et entre lesquelles est à
présent
imposée
une
tension
UPN = 750 V. (Fi.g.2)
Les lois de la mécanique permettent d'obtenir
l’équation de la trajectoire d'un électron dans le
champ électrostatique uniforme régnant mire les
plaques P et N :
La figure 2 a
vA = 2,18.107 m.s-1
été
obtenue
avec
une
vitesse
1. Calculer la valeur du champ électrostatique entre les deux plaques P et N. (Aide 1)
2. Reproduire la trajectoire des électrons puis tracer, avec des couleurs différentes, les vecteurs
accélération, force électrique et champ électrostatique, en un point quelconque de la trajectoire, sans souci
d'échelle.
3. Sur le schéma précédent, tracer la trajectoire des électrons qui serait obtenue si la polarité de P et N
était inversée.
Représenter également l'allure de la trajectoire obtenue avec UPN moitié moins grande.
4. En utilisant les coordonnées du point de sortie du champ électrostatique lues sur la figure 2, déterminer la
valeur du rapport
.
5. Calculer la valeur réelle de ce rapport et faire la liste des principales sources d'erreur d'une telle
détermination expérimentale.
Aide 1 : La valeur du champ électrostatique s'obtient en divisant la tension entre les plaques par la distance qui les
sépare.
Aide 2 : l'équation cartésienne de la trajectoire d'un électron est donnée. Il suffit de l'utiliser pour le point de
sortie, d'abscisse L (donnée dans l'énoncé) et d'ordonnée à mesurer sur la Fig. 2. Il ne reste qu'à extraire le
rapport
en fonction de ces paramètres connus.
Bilan : Le vecteur accélération du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ
électrostatique uniforme est dirigé selon le vecteur champ électrostatique.
Le mouvement du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme et
ayant une vitesse initiale
non nulle, s’effectue dans un plan formé par les vecteurs
et .
La trajectoire du centre d’inertie d’une particule chargée placée dans un champ électrostatique uniforme et
ayant une vitesse initiale
non nulle, est une parabole.
1.3. A un oscillateur mécanique
Activité expérimentale : étude des oscillations d’un pendule pesant.
Le pendule est constitué d’un fil attaché en O et sur lequel est fixé un
cylindre.
1.
Imaginer un protocole permettant de réaliser l’étude du
mouvement de ce pendule.
Matériel disponible : une webcam, un pendule, un ordinateur.
2. Après validation, réaliser-le. Conclure.
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Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
3. Quels sont les paramètres pouvant influencer ce mouvement ?
4. Imaginer un protocole permettant de répondre à cette question.
5. Après validation, réaliser-le. Conclure.
Bilan : La position du pendule est repérée par l'angle orienté  entre la verticale passant par O et la
direction du fil,  est l’élongation angulaire ; le pendule oscillant de part et d'autre de sa position de repos,
 prend des valeurs positives et négatives.
L'amplitude
du mouvement oscillatoire est l’élongation maximale, c’est-à-dire la valeur absolue de l’écart
angulaire extrémal.
Les oscillations d'un pendule simple (non amorti) sont périodiques ; la période est la durée d'une oscillation.
Lorsque l’amplitude des oscillations est inférieure à 15°, la période T est pratiquement indépendante de
. Dans ce cas, cette période porte le nom de période propre et se note T0.
est indépendant de m, varie dans le même sens que l, et en sens inverse de g.
Lorsqu’on ne peut plus négliger les forces de frottements, les oscillations sont amorties.
2. Application des lois de Kepler
Activité documentaire 2 p.158-159
2.1. Rappel : L'interaction gravitationnelle :
Deux corps sphériques et homogènes A (masse m A) et B (masse mB) dont les centres O1 et O2 sont distants de d
exercent l’un sur l’autre des forces attractives de même droite support (O1O2) et de même valeur :
avec
.
2.2. Mouvement circulaire
On se place dans le cadre de l’approximation des trajectoires circulaires.
Système : planète de centre P et de masse m, en rotation autour du soleil S,
de masse M. On note r lma distance Soleil-planète.
Référentiel : référentiel héliocentrique considéré comme galiléen.
Bilan des forces : force d’interaction gravitationnelle entre le soleil et la
planète,
D’après la 2
Or
.
nde
loi de Newton :
et
.
. D’où
Bilan : Une planète ou un satellite tournant autour de son astre attracteur a un vecteur accélération dirigé
vers le centre de sa trajectoire circulaire.
Comme
, son mouvement est circulaire uniforme.
Pour un mouvement circulaire uniforme, les valeurs de l’accélération et de la vitesse d’une planète sont
reliées par l’égalité :
Or
et
avec
. D’où
.
.
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Séquence 3.3 : Application des lois de Newton et des lois de Kepler (chap.6 du livre)
Bilan : La vitesse d’une planète ou d’un satellite (en m.s -1) sur une orbite circulaire autour d’un astre
.
attracteur est :
Elle ne dépend que de la masse M (en kg) de l’astre attracteur et du rayon r de l’orbite circulaire (en m).
2.3. Lois de Kepler
2.3.1.
1ère loi de Kepler
Bilan : Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre
d'une planète est une ellipse dont le centre du Soleil est l'un des
foyers.
2.3.2.
2nde loi de Kepler
Bilan : Le segment reliant le centre S du Soleil au centre P de la
planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
2.3.3.
3ème loi de Kepler
Bilan : Le rapport du carré de la période de révolution T d'une
planète autour du soleil au cube du demi-grand axe a de l'ellipse
est constant :
. La valeur de k est la même pour toutes les
planètes du système solaire.
La
constante
k
ne
dépend
que
de
l’astre
attracteur :
.
2.3.4.
Application de la 3ème loi de Kepler à un mouvement circulaire.
Dans le cas d’un mouvement circulaire :
-
avec
. D’où
.
. La 3ème loi de Kepler s’écrit alors :
.
CONNAISSANCES
Connaître et exploiter les trois lois de Newton ; les mettre en œuvre
pour étudier des mouvements dans des champs de pesanteur et
électrostatique uniformes.
Démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le
mouvement d’un satellite, d’une planète, est uniforme. Établir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la troisième dans le cas
d’un mouvement circulaire.
COMPETENCES ATTENDUES
Mettre en œuvre une démarche expérimentale pour étudier un
mouvement.
Pratiquer une démarche expérimentale pour mettre en évidence :
- les différents paramètres influençant la période d’un oscillateur
mécanique ;
- son amortissement.
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