3. Le potentiel électrique

Chapitre 3 OSPH Le potentiel électrique 18
3. Le potentiel électrique
Le mouvement d'une particule de charge positive qdans un champ électrique uniforme est
analogue au mouvement d'une particule de masse m dans un champ gravitationnel uniforme près
de la surface de la Terre. Un travail fourni par un agent extérieur, l'expérimentateur par exemple,
est nécessaire pour déplacer une particule contre le champ. Si la force extérieure est égale et
opposée à la force due au champ, l'énergie cinétique de la particule ne change pas. Dans ce cas, la
totalité du travail externe est emmagasinée sous forme d'énergie potentielle dans le système, c'est-
à-dire:
)()( iEfEEW pppEXT 
où )( fEpet )(iEpsont les énergies potentielles finale et initiale.
La fonction de l'énergie potentielle gravitationnelle près de la
surface de la Terre est mgyEp. On peut obtenir une fonction
indépendante de men définissant le potentiel gravitationnel comme
étant l'énergie potentielle par unité de masse: gymEV pg  .
L'unité SI de g Vest le J/kg. Le potentiel gravitationnel en un point
correspond au travail extérieur nécessaire pour soulever une unité
de masse du niveau de potentiel zéro (y=0) jusqu'à une hauteur donnée sans variation de vitesse.
Une caractéristique utile de la fonction potentiel est qu'elle ne dépend que de la source du champ
(la Terre) représentée par la valeur du champ gravitationnel g, et non de la valeur de la masse
d'essai m.
Lorsqu'une charge q se déplace entre deux points dans un champ électrostatique, la variation de
potentiel électrique V est définie comme étant la variation d'énergie potentielle électrique par
unité de charge:
q
E
Vp
L'unité SI de potentiel électrique est le volt (V), appelée ainsi en hommage à Alessandro Volta,
inventeur de la pile voltaïque (la première pile électrique).
Notons que 1 V = 1 J/C
La quantité V dépend uniquement du champ créé par les charges sources, et non de la charge
d'essai. Lorsqu'on connaît la différence de potentiel entre deux points, on peut déterminer à partir
de l'équation précédente, le travail extérieur nécessaire pour déplacer une charge q sans variation
de vitesse:
ifEXT VVqVqW 
Le signe de ce travail dépend du signe de q et des valeurs relatives de Viet Vf.
Si WEXT>0, c'est l'agent extérieur qui effectue un travail sur la charge.
Si WEXT<0, le travail est effectué par le champ sur l'agent extérieur. Dans ce dernier cas, pour
maintenir la vitesse constante, la force extérieure agit en sens contraire du déplacement de la
charge.
L'équation nous permet de constater que ce sont les variations de potentiel qui ont de
l'importance, et non les valeurs de Viet Vf. On peut donc choisir comme point de référence, de
potentiel nul, un point commode, à l'infini par exemple. Dans les circuits électroniques, on

Chapitre 3 OSPH Le potentiel électrique 19
convient de considérer la prise de terre comme point de potentiel nul. Si Vi=0, on peut écrire
qWV EXTf:
Le potentiel en un point quelconque est le travail extérieur nécessaire pour déplacer une unité de
charge positive, à vitesse constante, du point de potentiel nul jusqu'au point considéré.
Le potentiel électrique, qui se mesure en J/C, est analogue au potentiel gravitationnel, qui se
mesure en J/kg. Lorsque la hauteur d'une particule augmente, son énergie potentielle
gravitationnelle augmente. De même, lorsqu'une charge positive se déplace vers un point de
potentiel plus élevé, son énergie potentielle électrostatique augmente. Si on les laisse libres de se
déplacer, les charges positives ont tendance à se diriger vers les potentiels décroissants, tout
comme les masses. Par contre, les charges négatives ont tendance à aller vers les potentiels
croissants. Ainsi, dans un champ électrique extérieur, toutes les charges, positives et négatives,
ont tendance à subir une diminution d'énergie potentielle électrostatique.
Bien que la notion de travail fourni par un agent extérieur soit commode pour introduire celle
d'énergie potentielle, il est préférable d'examiner les forces conservatives agissant à l'intérieur d'un
système de particules en interaction. L'énergie potentielle en fonction du travail accompli par la
force conservative s'écrit cp WE  ,. Le signe négatif nous indique qu'un travail positif de la
force conservative correspond à une diminution d'énergie potentielle. Dans un champ
électrostatique, la force (conservative) agissant sur une charge d'essai qest EqFc . Par
conséquent, la variation d'énergie potentielle, cp dWdE  , associée à un déplacement
infinitésimal sd , est
sdEqsdFdE cp
La variation infinitésimale de potentiel associée au déplacement sd est donc
sdE
q
dE
dV p
La variation finie de potentiel entre le point A et le point B est égale à la somme (l'intégrale) de
ces variations infinitésimales, c'est-à-dire:
B
A
AB sdEVV 
Comme le champ électrostatique est conservatif, la valeur de cette intégrale linéaire dépend
uniquement des points de départ et d'arrivée A et B, et non du trajet suivi. Le signe de l'intégrale
est déterminé (1) par les signes des composantes de
E
, et (2) par le sens du chemin emprunté,
qui est indiqué par les limites.
3.1. Le potentiel et l’énergie potentielle dans un champ uniforme
Dans un champ uniforme,
E
est constant et l'intégrale précédente peut donc s'écrire :
sEV  équation 3.6
La figure représente un champ uniforme. Essayons de déterminer la variation de potentiel du
point A au point B, les deux points étant séparés par une distance d le long des lignes de champ.
Puisque le champ électrique a seulement une composante en x, l'équation 3.6 se réduit à
xEV x . En remplaçant Ex, par Eet x par +x, on obtient

Chapitre 3 OSPH Le potentiel électrique 20
ExVxV )0()( équation 3.6b
Le potentiel décroît linéairement sur l'axe des x, comme le
montre le graphique de la figure. Soulignons que les lignes de
champ sont orientées des potentiels les plus élevés vers les
potentiels les moins élevés. Supposons maintenant que le trajet
réel de la figure soit remplacé par les deux étapes AC et CB.
E
étant perpendiculaire au déplacement le long de BC, le travail
effectué sur une charge d'essai le long de ce segment est nul. Le
seul travail est celui accompli le long du segment AC parallèle
aux lignes de champ. Comme la composante du déplacement
parallèle ou antiparallèle aux lignes de champ est la seule qui
importe, l'équation 3.6b s'écrit souvent sous la forme
(E uniforme) EdV
où d est la grandeur de la composante du déplacement parallèle ou antiparallèle au champ. Le
signe est positif lorsque le sens du déplacement est opposé au champ. D'après cette dernière
équation, on constate que le champ électrique peut aussi bien s'exprimer en V/m qu'en N/C:
1 V/m = 1 N/C
3.2. Les équipotentielles
Sur une carte topographique, on trace les courbes de niveau en joignant les points de même
altitude. En général, elles représentent des niveaux d'altitude équidistants, un intervalle de 100 m
par exemple. Les courbes sont rapprochées lorsque la pente est raide et elles sont plus éloignées
lorsque la pente est douce. Une équipotentielle est une surface qui joint les points de même
potentiel. Sur un tracé dans le plan, les surfaces apparaissent comme des courbes
équipotentielles. Les courbes de niveau représentent en fait les équipotentielles gravitationnelles;
de la même façon, on peut tracer des équipotentielles électriques.
Dans le champ uniforme de la figure précédente, à chaque valeur de x correspond une valeur
particulière de V. Les surfaces équipotentielles sont donc des plans. On remarque que les lignes
de champ électrique sont perpendiculaires aux équipotentielles et sont orientées des potentiels
élevés vers les potentiels plus faibles, c'est-à-dire dans le sens des potentiels décroissants. Le fait
que les lignes de champ soient perpendiculaires aux équipotentielles est un résultat général.
D'après l'équation 3.4, la variation de potentiel associée à un déplacement infinitésimal sd est
sdEdV  . Si le déplacement est parallèle à une équipotentielle, alors dV = 0 et 0 sdE ,
d'où l'on conclut que
E
est perpendiculaire à sd . Le déplacement d'une particule le long d'une
équipotentielle ne demande aucun travail.
3.3. Les charges en mouvement
Le mouvement d'une charge dans un champ électrique peut être étudié en fonction de la
conservation de l'énergie, 0 cp EE . Lorsqu'on parle de «l'énergie potentielle d'une
charge », il est sous-entendu que les autres charges sont fixes. En fonction du potentiel, la loi de
conservation de l'énergie peut s'écrire
VqEc équation 3.7
Le signe de p Edépend du signe de q et du signe de V . Par exemple, si q > 0 et si la charge se
déplace vers les potentiels décroissants ( 0 V), elle va gagner de l'énergie cinétique. Pour
mesurer l'énergie des particules élémentaires, comme les électrons et les protons, on utilise

Chapitre 3 OSPH Le potentiel électrique 21
souvent une unité appelée l'électronvolt (eV), qui n'est pas une unité SI. Lorsqu'une particule de
charge etraverse une différence de potentiel d'un volt, son énergie cinétique varie d'un
électronvolt. D'après l'équation 3.7,
)1()10602,1( 19 VCVeEc
Donc,
JeV 19 10602,11 
Exprimées dans cette unité, les énergies de liaison chimique sont de l'ordre de quelques
électronvolts. Dans un tube à rayons cathodiques, les électrons du faisceau ont une énergie de
104eV environ.
EXEMPLE: Un proton, de masse 27
1, 67 10
kg
, pénètre dans la région comprise entre deux
plaques parallèles distantes de 20 cm l'une de l'autre. Il existe un champ électrique uniforme de
3 x 105V/m entre les plaques. Si le proton a une vitesse initiale de 5 x 106m/s, quelle est sa vitesse
finale ?
EXERCICE. Soit une charge q (< 0) en mouvement dans champ électrique. Si elle se déplace
dans le sens des potentiels croissants, son énergie cinétique va-t-elle augmenter ou diminuer ?
3.4. Le potentiel et l’énergie potentielle de charges ponctuelles
Nous allons examiner maintenant comment le potentiel varie
au voisinage d'une charge ponctuelle Q. Le champ électrique
est de la forme
rrr u
r
kQ
uEE
2
E
étant radial (figure), seule la composante radiale du
déplacement sd contribue à sdE ; donc drEsdE r .
D'après l'équation 3.5, la variation de potentiel lors du
déplacement de A à B, quel que soit le trajet suivi, est
 AB
B
A
B
ArAB rr
kQ
r
kQ
drEVV 11 Si
l'on choisit V = 0 lorsque
r
, et en posant
A
ret B
r r
, le potentiel à la distance r de la
charge Qdevient
r
kQ
Véquation 3.9
Cette fonction potentiel, qui dépend uniquement de la charge
source Q, est représentée à la figure. Puisqu'à chaque valeur de
r correspond une seule et unique valeur de V, les
équipotentielles sont des surfaces sphériques centrées sur la
charge. Elles sont dessinées en cercles pointillés sur la figure.
Près de la charge, le potentiel varie rapidement selon la
distance, de sorte que les équipotentielles sont très
rapprochées. Les lignes de champ (en lignes continues) sont normales aux équipotentielles et

Chapitre 3 OSPH Le potentiel électrique 22
vont des potentiels élevés vers les potentiels plus faibles. Le champ est d'autant plus intense que
les équipotentielles sont plus rapprochées.
3.5. Le potentiel d'un système de charges ponctuelles
Nous avons vu au chapitre 2 que le champ électrique obéit au principe de superposition. Comme
la fonction potentiel découle du champ électrique (équation 3.5), elle obéit au même principe.
Dans le cas de plusieurs charges ponctuelles, le potentiel total en un point quelconque est égal à
la somme algébrique des potentiels créés par chacune des charges:
i
i
r
kQ
Véquation 3.10
Le potentiel étant un scalaire, nous ne devons tenir compte dans cette somme que des signes des
charges.
3.6. L'énergie potentielle de charges ponctuelles
Considérons une charge ponctuelle q située en un point où le potentiel est V. L'énergie potentielle
correspondant à l'interaction de cette charge unique avec les charges créant le potentiel Vest
qVEpéquation 3.11
Si la source de potentiel est une charge ponctuelle Q, l'énergie potentielle partagée par les deux
charges q et Q distantes de r est
r
kqQ
Epéquation 3.12
L'hypothèse 0
p
Epour
r
, implicite dans l'équation 2.12, permet l'interprétation suivante:
L'énergie potentielle du système formé par deux charges est le travail extérieur qu'il faut fournir
pour amener les charges de l'infini jusqu'à la distance rsans variation d'énergie cinétique.
Lorsque les deux charges sont de même signe, leur énergie potentielle est positive et il faut
fournir un travail positif pour réduire la distance qui les sépare et vaincre leur répulsion mutuelle.
Lorsque les charges sont de signes opposés, le travail extérieur est négatif. Dans ce cas, la force
extérieure doit empêcher les particules de prendre de la vitesse, ce qui signifie qu'elle est de sens
opposé au déplacement. Lorsque l'énergie potentielle est négative, il faut fournir un travail
extérieur pour séparer les charges.
EXEMPLE 1. Soit une charge ponctuelle Cq 2
1 en (- 2 m,0) et une charge Cq 3 2en
(4 m, 3 m). On donne le point A de coordonnées (0, 0) et le point B de coordonnées (4 m,0). (a)
Déterminez le potentiel total aux points A et B. (b) Quel travail doit-on fournir pour déplacer une
charge ponctuelle Cq 5
3de A à B à vitesse constante?
EXEMPLE 2. En 1913, Niels Bohr proposa un modèle de l'atome d'hydrogène dans lequel
l'électron est en orbite sur une trajectoire circulaire autour d'un proton immobile. Trouver l'énergie
mécanique totale de l'électron sachant que le rayon de l'orbite est égal à 0,53 x 10-11 m.
3.7. La détermination du champ à partir du potentiel
On peut déterminer une force conservative au moyen de la dérivée de la fonction d'énergie
potentielle correspondante, dxdEF px  . De même, lorsqu'on connaît la fonction du potentiel