Attrape-moi si tu peux

Année 2009
Attrape-moi si tu peux !
Prévoir la trajectoire d’une balle de tennis et deviner où elle va se
stabiliser, deux objectifs dans un article scientifique riche en
rebondissements.
CIBORSKI Antoine et LUCAS Adrian
Etudiants en Classe Préparatoire à l’Enseignement
supérieur
Ecoles des Pupilles de l’Air 749
BP33 38332 ST ISMIER

Le corps de notre étude repose sur la recherche des positions d’une balle de
tennis à l’issue de chaque rebond effectué sur un sol dont les variations de
hauteur sont données par une fonction. Pour ce faire nous considérerons la balle
dans un univers où l’absorption des chocs n’existe pas. Ainsi ces positions
successives seront déterminées avec une suite déduite de l’équation de la
trajectoire de la balle. Or cette suite s’exprime en fonction de deux autres suites
qui devront être déterminées en parallèle de la première, une faisant intervenir
les vitesses initiales successives de la balle et l’autre les angles d’inclinaison de
la balle lors de son lancement ou après un rebond. Une étude de ces suites sera
ainsi nécessaire afin de déterminer la ou les positions de stabilisation de la balle
à l’issue d’un nombre infini de rebonds.
The aim of our study is to search different positions of a tennis ball at the end
of each bounce: the ball bounces on a ground whose height is defined by a
function. We will consider this ball in a universe where impact absorption
doesn’t exist. Then, these successive positions will be determined thanks to a
sequence deduced from the equation of the ball trajectory. Now this sequence
expresses itself in terms of two other sequences which will have to be
determined too. The first sequence will have the initial speeds intervened. A
study of these sequences will be necessary to determine the stabilization
positions of the ball at the end of boundless number of bounces.
Mots Clés :
Principe fondamental de la dynamique
Projectile dans un champ de pesanteur
Théorème de l’énergie cinétique
Suites de positions, de vitesses, d’angles
Limites, suites

Imaginons une balle de tennis lancée sur un sol plat. Celle-ci rebondit puis
s’arrête. Ensuite prenons cette même balle et lançons-la sur une paroi prenant la
forme d’une parabole, un sol dont les variations de hauteur sont données par la
fonction carrée. La balle rebondit de part et d’autre de la paroi puis s’immobilise
au fond de la cavité. A présent imaginons un univers où la balle ne subit aucune
absorption. Comment la balle va-t-elle rebondir ? Au bout d’un nombre infini de
rebonds où sera la balle ? Sa trajectoire est-elle régie par une loi mathématique ?
Les réponses à ces questions seront mises en évidence par l’application de
principes et théorèmes de physique.
L’étude que nous allons réaliser nécessite de se placer dans un univers quelque
peu particulier. Cet univers ne comportera aucune force d’absorption qui
pourrait influer sur la trajectoire et la vitesse de notre balle. Cet univers ne
comportera pas non plus de force de frottement ni la poussée d’Archimède pour
la même raison. Nous choisissons donc un univers dans lequel le phénomène
recherché, la traduction d’un phénomène physique en suites mathématiques,
devient suffisamment simple pour pouvoir être étudié en profondeur.
Une fois cet univers choisi, définissons une configuration dans laquelle notre
balle pourra évoluer. Pour que l’on puisse passer d’un modèle physique à un
modèle mathématique nous devons définir le sol sur lequel rebondira la balle par
une fonction mathématique précise. Dans la suite de cet article nous choisirons
la fonction carrée définie par pour matérialiser le sol. Comme
d’habitude dans une étude physique nous considérerons que notre balle de tennis
est assimilable à un point. Afin de trouver la position ou la zone où la balle se
stabilisera à l’issue d’un très grand nombre de rebonds, nous devrons passer par
plusieurs étapes. Tout d’abord l’application d’une loi de la physique : le Principe
fondamental de la dynamique, qui nous amènera à trouver une équation de la
trajectoire de la balle en fonction des conditions initiales du lancement. De cette
équation de la trajectoire nous pourrons déduire les points d’impact successifs
de notre projectile et les intégrer dans différentes suites pour les étudier et
trouver une éventuelle limite.

Commençons donc notre étude en nous appuyant sur un principe universel de la
Physique de Newton, le Principe fondamental de la dynamique. Ce principe
nous dit que la somme des forces extérieures appliquées au mobile est égale à la
masse de celui-ci multiplié par son accélération :
Lors d’un mouvement balistique comme celui que nous étudions, une seule
force extérieure s’applique à la balle, le poids
Nous avons donc :
m× =m×
<=>
A présent exprimons les composantes du vecteur de gravité :
ǀ 0
ǀ -g
A l’aide de l’opérateur d’intégration, trouvons les composantes du vecteur
vitesse
ǀ
ǀ
Et de même trouvons les composantes du vecteur position :

On recherche alors l’expression de l’équation de la trajectoire du projectile
dans un repère orthonormé O, .
++h
Trajectoire de la balle à partir des conditions initiales