9.2 - 9.4 Champ magnétique

Résumé
Nous savons maintenant calculer un champ B avec la loi de BiotSavart e n prenant « Idl » ou avec le théorème d’Ampère, on prend
le courant « I » traversant la surface délimitée..
On peut faire des analogies avec le calcul du champ électrique
Calcul de E
dE α dq/r2
E
Résumé
des choix :
α
Q
Loi de Coulomb
1/r2
Théorème de Gauss
E résultant
Loi de Biot-Savart
1/r2
Calcul de B
dB
B
α
α
Idl/r2
Ι
Théorème d’Ampère, B résultant
1
9.4 Calcul de champ magnétique: résumé des deux méthodes
Loi de Biot-Savart
dB
I
dB
Différence
Théorème d’Ampère
dB
B
.
X
θ
r
d
s
B
I dl
I sort
Parcours fermé
µ Idl sin θ
dB =
4π
r
 
∫ B • ds = µo I
o
2
B = ∫ dB
µ0 I
B=
2πR
T
Pour un fil rectiligne
L ’orientation de B est donnée par la règle de la main droite
2
Calcul de champ magnétique au centre d’une boucle
 
∫ B • ds = µo I
Théorème d’Ampère
« Pas applicable à cette
situation »
B
I
Il faut un parcours fermé adapté,
sans courant alternatif et de
matériaux magnétiques.
R
B=
µ0 I
2R
T
Il faut recourir à la loi de
Biot-Savart
Nous y reviendrons au
laboratoire.
3
Exemple 1 : Détermination du champ magnétique résultant B au
sol sous une ligne de haute tension continue.
Situation
I1 = 500 A
I2 = 500 A
2m
10 m
sol
4
Exemple 1 : Détermination du champ magnétique résultant B au
sol sous une ligne de haute tension.
B1
Situation
I1 = 500 A
I2 = 500 A
2m
10 m
B1
sol
5
Exemple 1 : Détermination du champ magnétique B au sol sous
une ligne de haute tension.
Situation
I1 = 500 A
B2
I2 = 500 A
2m
10 m
B2
sol
6
Exemple 1 : Détermination du champ magnétique B sous une
ligne de haute tension.
Situation
I1 = 500 A
I2 = 500 A
2m
10 m
B1
B2
sol
7
Ligne haute tension
Problème : On cherche le champ résultant B au sol sous la ligne
Solution :
I1 = 500 A
I1
2,0 m
X
I2 = 500 A
10 m
B2
X
B1
 
∫ B • ds = µo I
 
∫ B • ds = ∫ Bds cosθ = µ0 I
I2
B1
Partant du théorème
d’Ampère :
B2
Bx = B2 - B1
B ∫ d s = B 2πR = µ o I
µ0 I
B=
2πR
T
8
Ligne haute tension continue
Problème On cherche le champ résultant B sous la ligne
Solution :
I1 = 500 A
I1
X
I2 = 500 A
I2
B1
B1
B2
B2
Bx = B2 − B1
µo I  1 1 
Bx =
 − 
2π  10 12 
Bx = 2 x10 −7 x500 x(1 / 60 )
Bx = 1,67 x10 −6 T


−6
B = 1,67 x10 i T
X
Résultat probable : Le champ magnétique résultant B sous la
ligne est de 1,67 µT
Cette valeur est faible comparée au champ B de la Terre BT = 30 µT
9
9.2 Force entre deux conducteurs
Les travaux d’Ampère ont surtout porté sur la force magnétique
entre deux conducteurs. En effet, dès 1820, il observe l’apparition
d’ une force entre deux fils parcourus par des courants
Considérons la situation suivante :
I1
L
F12
d
F21
I2
L
Phénomène surprenant, Ampère constata une force
d’attraction entre les deux fils dans lesquels des courants
circulent dans le même sens.
Quels sont les facteurs qui influencent cette force ?
10
9.2 Force entre deux conducteurs
F12
I1
d
F21
I2
L
Le sens des courants
Il observa une force attractive lorsque les courants sont de
même sens et répulsive lorsqu’ils sont en sens contraire.
Ses expériences ont permis de découvrir que l’expression de la
force magnétique entre deux fils rectilignes est donnée par:
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= F21
2πd
11
9.2 Force entre deux conducteurs
Pour Ampère, c’est le fil d’en bas qui exerce une force sur
le fil d’en haut et vice-versa
Cette façon d’interpréter la force pose problème. Comment le fil d’en
bas peut-il exercer une force sur le fil d’en haut et vice-versa ?.
Quelle solution peut-on proposer ?
C’est Michaël Faraday vers 1830 qui apporta deux solutions aux
problèmes d’action à distance et d’action instantanée avec
l’introduction du concept de champ magnétique B.
Avec le champ, l’action exercée par le champ devient locale
et elle est transmise de proche en proche comme une onde
C’est bien sûr analogue à l’introduction du concept de champ
électrique puisque tout champ apporte une solution aux actions à
distance et instantanée.
12
Autres exemples de calcul de champ magnétique avec le
 
théorème d’Ampère.
Champ magnétique
∫ B • ds = µ I
o
(Hyperphysics)
Bobine toroïdale Exemple 9.8
Solénoïde, exemple 9.7
µ o NI
B=
2πR
T
B = µοnI
Représentation de l’action du champ
I1
B1 produit par I1
B1 entre
B1
X
B1
B1
B1
B1
C’est le champ magnétique B1 qui exerce une force F2 sur le fil
de longueur L parcouru par un courant I2
I1
F2
I2
B1 entre
B1
X
B1
B1
B1
B1
Action de B1 sur I2 ----------> F2
14
9.2 Force entre deux conducteurs
La force magnétique F2 correspond à l’action de B1 sur I2
F2
F2
F2
F2
F2
Loi de Simon
Laplace
I2
B1
X
B1 X
B1 X
B1
X
B1 X
Règle de la main droite
Loi de Laplace
F2
http://www.walterfendt.de/ph14f/lorentzforce_f.htm
B1
I2
15
9.2 Force entre deux conducteurs
I1
F21
F21
I2
B1
Loi d’Ampère
B1
B1
B1
B1
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= F21
2πd
où B1 = µ0 I/2πd
Selon la loi de Laplace : F2 = I2 L B1
La loi constitue une confirmation de la loi de Biot-Savart et du
théorème d’Ampère pour le calcul du champ magnétique autour
du fil.
µ0 I
B=
2πd
T
16
9.2 Force entre deux conducteurs
I1
F2
F2
1
1
B1
B1
B1
B1
Selon la loi de Laplace : F2 = I2 L B1
I2
B1
où B1 = µ0 I1/2πd
La force magnétique F21 correspond à l’action de B1 sur I2
C’est le champ magnétique qui applique la force: action locale et
transmise
Loi de Laplace
F
F
Nous y reviendrons au chapitre 8
F
F
F
I2
B1
X
B1 X
B1 X
B1
X
B1 X
17
Note importante :
Unité du courant : Un ampère
La formulation d’Ampère concernant la force magnétique permet de
définir l’unité du courant électrique : un ampère.
Lorsque deux longs fils parallèles parcourus par un même
courant sont distants de 1,0 m et que chaque longueur unitaire
de 1,0 m est soumise à une force de 2 x 10 -7 N , on pose alors
par définition que l’intensité du courant qui circule dans les fils
est de 1,0 A
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= 2 x10 − 7 N
2πd
I1
I2
Alors
I1 = I 2 = 1 A
La mesure précise de la force permet de définir l’intensité du
courant I
18
Unité : Un ampère
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= 2 x10 − 7 N
2πd
I1
I2
Avec cette valeur de force et la définition de I, on définit
également la valeur de la perméabilité µ0 qui est égale à
4 π x 10 -7 Tm/A
Les valeurs des constantes physique sont donc reliées
aux systèmes d’unité utilisés.
19
Unité : Un ampère
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= 2 x10 − 7 N
2πd
I1
I2
Balance de courant
Fg
FB
20
9.5 Attraction entre des aimants
Comment expliquer l’attraction et la répulsion entre des
aimants ?
N
N
répulsion
En fait, le spin des électrons produit un champ magnétique
équivalent à celui d’un courant qui circule dans une boucle.
avant
avant
B
B
Il y a répulsion
entre des courants
circulant en sens
contraire
i
21
9.6 Champ magnétique produit par une charge ponctuelle en
mouvement.
Donc, dans les aimants naturels, le champ magnétique est
produit par le spin des électrons.
De façon artificielle, nous avons vu que c’est le courant qui
produit un champ magnétique. Étant donné qu’un courant est
constitué de plusieurs charges en mouvement, nous pouvons
supposer qu’une seule charge en mouvement devrait
également produire un champ magnétique.
En effet, nous allons montrer que l’expression du champ
magnétique produit par une seule charge ponctuelle en
mouvement est donnée par la relation suivante:
q
E×v
B= 2
c
v
T
E
B
22
9.6 Champ magnétique produit par une charge ponctuelle en
mouvement.
Nous savons que le champ électrique produit par une charge
ponctuelle est donné par :
E
kq
q
N/C
E= 2 =
2
r
4πε o r
+
Par anticipation, B α q ; B α v
B α 1/ r2
E
Donc par anticipation
B
+
v
B α
µ o qv
r2
23
En partant de la loi de Biot-Savart
µ Idl sin θ
dB =
4π
r
o
2
dB
I
dB
dB
.
dq
I=
dt
X
θ
r
avec θ = 90
I dl
v
dB
dq
X
Déf. de l’intensité du
courant
On obtient
µ o dqdl
dB =
4π dtr 2
La vitesse
de la charge
dq s’écrit
Par
conséquent
dl
=v
dt
µ o vdq
dB =
4π r 2
24
µ o dqdl
dB =
4π dtr 2
v
dB
dq
dl
=v
dt
µ o vdq
dB =
4π r 2
X
On peut remplacer dq par q
et l’on obtient
v
B
+
X
µ o vq
B=
4π r 2
q
L’expression du champ magnétique
perpendiculaire à une charge
ponctuelle en mouvement à la vitesse
«v»
25
On peut exprimer B en fonction du champ électrique E
v
µ vq
B
+
X
q
B=
µ oε o vE
B=
E
o
4π r 2
Or le produit des constantes donne :
1
1
1
=
= 2
µ oε o = 4πx10 x
9
16
4πx9 x10
9 x10
c
B=
vE
c
2
q
E=
4πε o r 2
µ oε o vq
B=
4πε o r 2
−7
D’où
1
c = vitesse de
la lumière
L’expression du champ
magnétique
Une charge ponctuelle en mouvement produit à la fois un
champ électrique et magnétique donc un champ
électromagnétique.
Référence
Maxwell
26
Remarque:
Loi de Biot-Savart
dB
I
dB
Différence
Théorème d’Ampère
ds
dB
B
.
X
θ
r
ds
B
I dl
ds
I sort
Parcours fermé
µ Idl sin θ
dB =
4π
r
o
2
 
∫ B • ds = µo I


dl ⇒ ds
27
Résumé du chapitre 9
Voir les autres exemples sur le site du cours
Les divers aimants naturels, la forme des lignes de champ et
l’origine du champ magnétique
Champ magnétique terrestre
L’expérience d’Oersted qui a montré que l’on pouvait
produire un champ magnétique avec du courant électrique.
On peut calculer le champ magnétique en utilisant la loi de BiotSavart ou le théorème d’Ampère dans des cas de symétrie.
µ Idl sin θ
dB =
4π
r
o
2
 
∫ B • ds = µo I
28
Résumé du chapitre 9
Qu’avez-vous appris de nouveau dans les dernières
sections? Que devez-vous retenir ?
Loi d’Ampère
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
2πd
I1
I2
F
Loi de Simon Laplace
F =ILB
B
IL
29
Résumé du chapitre 9
Qu’avez-vous appris de nouveau dans les dernières
sections? Que devez-vous retenir ?
On peut calculer le champ magnétique en utilisant la loi de BiotSavart ou le théorème d’Ampère dans des cas de symétrie.
µ Idl sin θ
dB =
4π
r
o
2
 
∫ B • ds = µo I
Les exemples des notes et celles du manuel.
Au centre d’une bobine de fil
Autour d’un fil
B=
µ 0 NI
2R
µ0 I
T
B=
2πR
T
30
Résumé du chapitre 9
Qu’avez-vous appris de nouveau dans les dernières
sections? Que devez-vous retenir ?
Les exemples des notes et celles du manuel.
Au centre d’une bobine de fil
Autour d’un fil
Au centre d’un solénoïde
À l’intérieur du bobine
toroïdale
B=
µ 0 NI
2R
µ0 I
T
B=
2πR
T
B = µ o nI T
µ o NI
B=
2πR
T
31
Résumé du chapitre 9
A. M. Ampère détermina l’expression de la force magnétique
entre deux fils. On utilisa cette expression pour définir l’unité
du courant électrique.
µ 0 I1 I 2 L
F12 =
= F21
2πd
On utilise la règle de la main droite pour déterminer l’orientation
du champ magnétique à partir du courant électrique.
La loi de Laplace permet de calculer la force magnétique sur
un fil placé dans un champ magnétique.
F
F
F
I2
B1
B1
B1
32
Résumé du chapitre 9
F
F
F
I2
B1
B1
Selon la loi de Laplace : F2 = I2 L B1
B1
où B1 = µ0 I/2πd
On utilise la règle de la main droite pour déterminer l’orientation
du champ magnétique à partir du courant électrique.
La loi de Laplace permet de calculer la force magnétique sur
un fil placé dans un champ magnétique.
33
Résumé du chapitre 9
Une charge ponctuelle en mouvement produit à la fois un
champ électrique et magnétique.
L’expression de B est
donnée par la relation
suivante
B=
vE
c2
34
Suite
Chapitre 8
Actions du champ magnétique
8.1 Introduction
Actions du champ magnétique :
a) sur des fils parcourus par un courant ( translation) ;
b) sur des bobines de fils parcourus par un courant ( rotation);
c) sur des particules chargées en mouvement
d) applications technologiques.
35