TD2

Université Pierre et Marie Curie
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LP 112A
Année universitaire 2011-2012
Travaux Dirigés de Physique N◦ 2
DYNAMIQUE DANS UN REFERENTIEL GALILEEN
Exercice 1 - Mouvement le long d’un plan incliné.
A - Mouvement sans frottements
Un point matériel M de masse m glisse sans rouler le long d’un plan incliné AB faisant un angle α
avec l’horizontale (Voir figure). Dans cette partie, on suppose qu’il n’y a pas de frottements. A t = 0,
M est immobile au sommet A du plan incliné.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la masse m.
2. Déterminer la vitesse de M .
3. Déterminer la distance parcourue par M après un temps t.
B - Mouvement avec frottements type solide
On considère maintenant que, en plus des forces déterminées dans la partie A, M est soumis à une
force de frottement solide avec un coefficient constant µ. Répondre aux questions 1, 2 et 3 de la partie
A précédente.
Exercice 2 - Point soumis à trois forces. Frottements visqueux. Vitesse limite.
Une petite balle, assimilable à un point matériel de masse m, est lancé depuis le point O dans un plan
vertical (xOz) avec une vitesse initiale ~v0 dirigée vers le haut et faisant un angle α avec l’axe Ox.
Cette balle est soumise à la résistance de l’air, proportionnelle à la vitesse ~v (f~ = −K~v ), et à l’action
d’un vent qui correspond à une force constante de module F et parallèle à l’axe Oy.
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1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique à la balle. Projeter cette relation sur la base
{O,~i, ~j, ~k}. En déduire les équations différentielles des composantes de la vitesse de la balle vx ,
vy et vz .
2. Résoudre ces équations différentielles et déterminer ainsi la vitesse de la balle dans les trois
direction de l’espace.
3. Montrer que la balle atteint une vitesse limite. Donner son module v1 et décrire la trajectoire de
la balle à partir du moment où cette vitesse est atteinte.
4. Ecrire les équations différentielles des coordonnées x(t), y(t) et z(t) de la balle à un instant t.
Résoudre l’équation différentielle de x(t).
5. Lorsque la vitesse limite est atteinte (c’est à dire dans la limite où t tend vers l’infini), montrer
que la trajectoire a lieu dans un plan vertical (yOz) dont on donnera la position x1 sur l’axe Ox.
6. Décrire et représenter qualitativement dans les plans (xOy), (xOz) et (yOz) la trajectoire de la
balle depuis le moment où elle est lancée jusqu’au moment où elle touche le sol.
Exercice 3 - Particule chargée dans un champ magnétique. Rayon de courbure.
Une particule ponctuelle de masse m, de charge électrique q, animée d’une vitesse ~v , est placée dans
~ On appelle φ l’angle (B,
~ ~v ). On néglige les effets de pesanteur. Le
un champ magnétique uniforme B.
référentiel du laboratoire est galiléen.
1. Ecrire l’équation du mouvement pour la variable ~v .
2. Montrer que le module de la vitesse est constant. On le posera égal à v0 .
~
B
, montrer que l’angle φ est constant.
kB~ k
4. Calculer le rayon de courbure Rc de la trajectoire.
5. A.N. : calculer Rc pour un proton (m = 1, 7 · 10−27 kg, q = 1, 6 · 10−19 C) ayant une vitesse
v0 = 106 m·s−1 dans un champ B = 0, 1 T faisant un angle de π2 avec la direction de v0 .
6. Quelle est la forme de la trajectoire ?
3. En projetant sur la direction ~uB =
Exercice 4 - Chute d’un traı̂neau tiré par un poids.
On considère le dispositif suivant (Figure 1) : un traı̂neau de masse m, mobile sans frottement sur une
table lisse, est relié par un fil de masse négligeable et de longueur constante à un objet de masse M qui
pend dans le vide. Le fil passe par une poulie de masse négligeable et sans frottement qui transmet
parfaitement les forces : la tension T~ que le fil exerce sur M est en toute circonstance de même
norme que la tension T~ 0 qu’il exerce de l’autre côté sur le traı̂neau. On appellera ~g l’accélération de la
pesanteur (de norme g).
1. Sur la figure ont été représentées les tensions T~ et T~ 0 . Quelles sont les autres forces impliquées
2.
3.
4.
5.
6.
7.
dans le problème ?
On commence par retenir le traı̂neau, tout le dispositif étant donc immobile. Exprimer T~ et T~ 0
dans la base (~i, ~j) précisée sur la figure.
On lâche le traı̂neau. En faisant un bilan des forces, indiquer qualitativement (sans calcul)
comment la tension T~ est modifiée.
A un instant t, la vitesse du traı̂neau est ~v = v ~i et son accélération est ~a = a ~i. Quelles sont
alors la vitesse et l’accélération de la masse M ?
Ecrire la 2eme loi de Newton (Relation Fondamentale de la Dynamique) pour le traı̂neau d’une
part et pour la masse M d’autre part.
En déduire l’accélération du traı̂neau et de la tension du fil.
Etudier les cas limites m M et m M : comparer a à g et T à M g et commenter.
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Figure 1 – Traı̂neau tiré par un poids.
Exercice 5 - Chute d’un flocon de neige. Masse variable.
On étudie la chute dans l’air d’un flocon de neige de masse m0 abandonné sans vitesse initiale à
l’instant t = 0. On suppose que la force de frottement est de la forme f~f = −k0~v .
1. Montrer comment la loi fondamentale de la dynamique permet d’établir l’équation différentielle
à laquelle obéit la vitesse v(t) du flocon.
2. Déduire de cette équation (sans la résoudre) l’expression de la vitesse limite atteinte par le flocon.
Montrer que l’on peut retrouver cette expression à partir du bilan des forces appliquées au flocon
en utilisant le principe de l’inertie.
3. En réalité, la masse du flocon ne conserve pas la valeur constante m0 . Il se produit en effet,
pendant la chute du flocon, une condensation à l’état solide de la vapeur d’eau atmosphérique
qui produit une augmentation de sa masse avec le temps obéissant à la loi dm = T1 m dt. On
suppose que la force de frottement est de la forme f~f = −k~v où k = k0 exp( Tt ). Etablir la nouvelle
expression de la vitesse limite atteinte par le flocon.
Exercice 6 - Lancement d’une fusée. Masse variable.
Les gaz sortant de la tuyère assurent la propulsion par réaction d’une fusée. On désigne par :
– ~q la vitesse d’éjection des gaz sortants par rapport à la fusée,
– ~v la vitesse de la fusée par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen,
– µ le débit massique du gaz supposé constant.
1. En exprimant la variation de l’impulsion totale du système fusée+gaz entre deux instants voisins
t et t + ∆t, montrer que tout se passe comme si la fusée était soumise à une force supplémentaire
égale à −µ~q.
2. Soit m0 la masse initiale de la fusée. On met en marche le réacteur et l’on suppose que la fusée
prend un mouvement verticale ascendant à partir de l’instant t = 0. A quelle condition la fusée
peut-elle décoller ?
3. On suppose cette condition vérifiée, on néglige la résistance de l’air et la variation de la pesanteur
avec l’altitude, et on admet que ~q est constante et colinéaire à ~v . Etablir à un instant t quelconque
l’expression de l’accélération ~a(t), de la vitesse ~v (t), et de l’altitude ~z(t) mesurée sur l’axe vertical
ascendant.
4. Application numérique : q = 50 km.s−1 ; g = 10 m.s−2 ; m0 = 2000 tonnes ; µ = 1 tonnes.s−1 .
Vérifier que la fusée peut décoller. Sachant que les combustibles représentent 80 % de la masse
initiale, calculer la durée tf de la phase propulsive.
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Exercice 7 - Pendule conique : Moment cinétique. Moment des forces. Théorème
du moment cinétique.
Un point matériel M de masse m = 1 kg est suspendu en un point O par un fil inextensible et sans
masse, de longueur l = 30 cm. Soit θ l’angle que fait OM avec la verticale Oz. Ce pendule est lancé de
façon à ce que M décrive un mouvement uniforme un cercle horizontal d’axe Oz et de centre O’. OM
décrit alors un cône d’axe vertical et de demi-angle au sommet θ. Dans tout ce problème on se bornera
à étudier ce type de mouvement. On se reportera à la figure 2 pour les notations. Il sera commode
d’introduire une base orthonormée mobile B(~ur , ~uφ , ~uk ) comme montré sur la figure 2.
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Figure 2 – Notation de l’exercice.
1. (a) Si T est la tension du fil, écrire la loi fondamentale de la dynamique et la projeter sur la
base B.
(b) En déduire la vitesse angulaire ω = dφ
dt du mouvement circulaire de M en fonction de l, θ
et g (intensité du champ de pesanteur).
2. (a) Calculer le moment cinétique J~O de M par rapport à O, ainsi que le moment par rapport
à O, ~ΓO des forces qui s’exercent sur M. Donner les composantes de ces forces et de ces
moments dans la base B(~ur , ~uφ , ~uk ).
(b) Retrouver les résultats de 1.b en utilisant le théorème du moment cinétique. Indication :
ne pas oublier que les vecteurs ~ur et ~uφ sont fonctions du temps.
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