TD2

Universit´e Pierre et Marie Curie
LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LP 112A
Ann´ee universitaire 2011-2012
Travaux Dirig´es de Physique N◦2
DYNAMIQUE DANS UN REFERENTIEL GALILEEN
Exercice 1 - Mouvement le long d’un plan inclin´e.
A - Mouvement sans frottements
Un point mat´eriel Mde masse mglisse sans rouler le long d’un plan inclin´e AB faisant un angle α
avec l’horizontale (Voir figure). Dans cette partie, on suppose qu’il n’y a pas de frottements. A t= 0,
Mest immobile au sommet Adu plan inclin´e.
1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique `a la masse m.
2. D´eterminer la vitesse de M.
3. D´eterminer la distance parcourue par Mapr`es un temps t.
B - Mouvement avec frottements type solide
On consid`ere maintenant que, en plus des forces d´etermin´ees dans la partie A, Mest soumis `a une
force de frottement solide avec un coefficient constant µ. R´epondre aux questions 1, 2 et 3 de la partie
A pr´ec´edente.
Exercice 2 - Point soumis `a trois forces. Frottements visqueux. Vitesse limite.
Une petite balle, assimilable `a un point mat´eriel de masse m, est lanc´e depuis le point Odans un plan
vertical (xOz) avec une vitesse initiale ~v0dirig´ee vers le haut et faisant un angle αavec l’axe Ox.
Cette balle est soumise `a la r´esistance de l’air, proportionnelle `a la vitesse ~v (~ f=−K~v), et `a l’action
d’un vent qui correspond `a une force constante de module Fet parall`ele `a l’axe Oy.
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1. Appliquer la relation fondamentale de la dynamique `a la balle. Projeter cette relation sur la base
{O,~ i,~ j, ~ k}. En d´eduire les ´equations diff´erentielles des composantes de la vitesse de la balle vx,
vyet vz.
2. R´esoudre ces ´equations diff´erentielles et d´eterminer ainsi la vitesse de la balle dans les trois
direction de l’espace.
3. Montrer que la balle atteint une vitesse limite. Donner son module v1et d´ecrire la trajectoire de
la balle `a partir du moment o`u cette vitesse est atteinte.
4. Ecrire les ´equations diff´erentielles des coordonn´ees x(t), y(t) et z(t) de la balle `a un instant t.
R´esoudre l’´equation diff´erentielle de x(t).
5. Lorsque la vitesse limite est atteinte (c’est `a dire dans la limite o`u ttend vers l’infini), montrer
que la trajectoire a lieu dans un plan vertical (yOz) dont on donnera la position x1sur l’axe Ox.
6. D´ecrire et repr´esenter qualitativement dans les plans (xOy), (xOz) et (yOz) la trajectoire de la
balle depuis le moment o`u elle est lanc´ee jusqu’au moment o`u elle touche le sol.
Exercice 3 - Particule charg´ee dans un champ magn´etique. Rayon de courbure.
Une particule ponctuelle de masse m, de charge ´electrique q, anim´ee d’une vitesse ~v, est plac´ee dans
un champ magn´etique uniforme ~ B. On appelle φl’angle ( ~ B, ~v). On n´eglige les effets de pesanteur. Le
r´ef´erentiel du laboratoire est galil´een.
1. Ecrire l’´equation du mouvement pour la variable ~v.
2. Montrer que le module de la vitesse est constant. On le posera ´egal `a v0.
3. En projetant sur la direction ~uB=~
B
k~
Bk, montrer que l’angle φest constant.
4. Calculer le rayon de courbure Rcde la trajectoire.
5. A.N. : calculer Rcpour un proton (m= 1,7·10−27 kg, q= 1,6·10−19 C) ayant une vitesse
v0= 106m·s−1dans un champ B= 0,1 T faisant un angle de π
2avec la direction de v0.
6. Quelle est la forme de la trajectoire ?
Exercice 4 - Chute d’un traˆıneau tir´e par un poids.
On consid`ere le dispositif suivant (Figure 1) : un traˆıneau de masse m, mobile sans frottement sur une
table lisse, est reli´e par un fil de masse n´egligeable et de longueur constante `a un objet de masse Mqui
pend dans le vide. Le fil passe par une poulie de masse n´egligeable et sans frottement qui transmet
parfaitement les forces : la tension ~ Tque le fil exerce sur Mest en toute circonstance de mˆeme
norme que la tension ~ T0qu’il exerce de l’autre cˆot´e sur le traˆıneau. On appellera ~g l’acc´el´eration de la
pesanteur (de norme g).
1. Sur la figure ont ´et´e repr´esent´ees les tensions ~ Tet ~ T0. Quelles sont les autres forces impliqu´ees
dans le probl`eme ?
2. On commence par retenir le traˆıneau, tout le dispositif ´etant donc immobile. Exprimer ~ Tet ~ T0
dans la base (
~
i,~ j) pr´ecis´ee sur la figure.
3. On lˆache le traˆıneau. En faisant un bilan des forces, indiquer qualitativement (sans calcul)
comment la tension ~ Test modifi´ee.
4. A un instant t, la vitesse du traˆıneau est ~v =v~ iet son acc´el´eration est ~a =a~ i. Quelles sont
alors la vitesse et l’acc´el´eration de la masse M?
5. Ecrire la 2eme loi de Newton (Relation Fondamentale de la Dynamique) pour le traˆıneau d’une
part et pour la masse Md’autre part.
6. En d´eduire l’acc´el´eration du traˆıneau et de la tension du fil.
7. Etudier les cas limites mMet mM: comparer a`a get T`a Mg et commenter.
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Figure 1 – Traˆıneau tir´e par un poids.
Exercice 5 - Chute d’un flocon de neige. Masse variable.
On ´etudie la chute dans l’air d’un flocon de neige de masse m0abandonn´e sans vitesse initiale `a
l’instant t= 0. On suppose que la force de frottement est de la forme ~ ff=−k0~v.
1. Montrer comment la loi fondamentale de la dynamique permet d’´etablir l’´equation diff´erentielle
`a laquelle ob´eit la vitesse v(t) du flocon.
2. D´eduire de cette ´equation (sans la r´esoudre) l’expression de la vitesse limite atteinte par le flocon.
Montrer que l’on peut retrouver cette expression `a partir du bilan des forces appliqu´ees au flocon
en utilisant le principe de l’inertie.
3. En r´ealit´e, la masse du flocon ne conserve pas la valeur constante m0. Il se produit en effet,
pendant la chute du flocon, une condensation `a l’´etat solide de la vapeur d’eau atmosph´erique
qui produit une augmentation de sa masse avec le temps ob´eissant `a la loi dm =1
Tm dt. On
suppose que la force de frottement est de la forme ~ ff=−k~v o`u k=k0exp( t
T). Etablir la nouvelle
expression de la vitesse limite atteinte par le flocon.
Exercice 6 - Lancement d’une fus´ee. Masse variable.
Les gaz sortant de la tuy`ere assurent la propulsion par r´eaction d’une fus´ee. On d´esigne par :
–~q la vitesse d’´ejection des gaz sortants par rapport `a la fus´ee,
–~v la vitesse de la fus´ee par rapport au r´ef´erentiel terrestre suppos´e galil´een,
–µle d´ebit massique du gaz suppos´e constant.
1. En exprimant la variation de l’impulsion totale du syst`eme fus´ee+gaz entre deux instants voisins
tet t+ ∆t, montrer que tout se passe comme si la fus´ee ´etait soumise `a une force suppl´ementaire
´egale `a −µ~q.
2. Soit m0la masse initiale de la fus´ee. On met en marche le r´eacteur et l’on suppose que la fus´ee
prend un mouvement verticale ascendant `a partir de l’instant t= 0. A quelle condition la fus´ee
peut-elle d´ecoller ?
3. On suppose cette condition v´erifi´ee, on n´eglige la r´esistance de l’air et la variation de la pesanteur
avec l’altitude, et on admet que ~q est constante et colin´eaire `a ~v. Etablir `a un instant tquelconque
l’expression de l’acc´el´eration ~a(t), de la vitesse ~v(t), et de l’altitude ~z(t) mesur´ee sur l’axe vertical
ascendant.
4. Application num´erique : q= 50 km.s−1;g= 10 m.s−2;m0= 2000 tonnes ; µ= 1 tonnes.s−1.
V´erifier que la fus´ee peut d´ecoller. Sachant que les combustibles repr´esentent 80 % de la masse
initiale, calculer la dur´ee tfde la phase propulsive.
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Exercice 7 - Pendule conique : Moment cin´etique. Moment des forces. Th´eor`eme
du moment cin´etique.
Un point mat´eriel Mde masse m= 1 kg est suspendu en un point O par un fil inextensible et sans
masse, de longueur l= 30 cm. Soit θl’angle que fait OM avec la verticale Oz. Ce pendule est lanc´e de
fa¸con `a ce que M d´ecrive un mouvement uniforme un cercle horizontal d’axe Oz et de centre O’. OM
d´ecrit alors un cˆone d’axe vertical et de demi-angle au sommet θ. Dans tout ce probl`eme on se bornera
`a ´etudier ce type de mouvement. On se reportera `a la figure 2 pour les notations. Il sera commode
d’introduire une base orthonorm´ee mobile B(~ur, ~uφ, ~uk) comme montr´e sur la figure 2.
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Figure 2 – Notation de l’exercice.
1. (a) Si Test la tension du fil, ´ecrire la loi fondamentale de la dynamique et la projeter sur la
base B.
(b) En d´eduire la vitesse angulaire ω=dφ
dt du mouvement circulaire de M en fonction de l,θ
et g(intensit´e du champ de pesanteur).
2. (a) Calculer le moment cin´etique ~ JOde M par rapport `a O, ainsi que le moment par rapport
`a O, ~ ΓOdes forces qui s’exercent sur M. Donner les composantes de ces forces et de ces
moments dans la base B(~ur, ~uφ, ~uk).
(b) Retrouver les r´esultats de 1.b en utilisant le th´eor`eme du moment cin´etique. Indication :
ne pas oublier que les vecteurs ~uret ~uφsont fonctions du temps.
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