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PHS4700 Physique pour les applications multimédia Exemple d’examen final Instructions : • Toute la documentation papier est permise. • Les calculatrices non programmables sont permises. • Durée de l’examen : 2.5 heures • Rendre le questionnaire (6 pages) avec les cahiers de réponses. PHS4700 Physique pour les applications multimédia : Examen final 2 Question 1. Connaissances générales (15 points) (a) (5 points) Déterminer la direction de la force de Magnus pour une sphère ayant une vitesse angulaire ~ω = (0, 1, 0) rad/s et une vitesse linéaire ~v = (1, 1, 1) m/s. (b) (5 points) Une balle de golf de rayon rb = 2.2 cm qui se déplace sur le gazon avec une vitesse (centre de masse) ~vb = (25, 0, 0) cm/s et une vitesse de rotation ω ~ = (0, 10, 0) rad/s roule-t-elle ou glisse-t-elle? (c) (5 points) Une auto-patrouille vous poursuit sur une autoroute à une vitesse de 150 km/h alors que vous vous déplacez à 120 km/h. Quelle sera la fréquence sonore que vous percevrez si la sirène de l’auto-patrouille émet un bref signal sonore à 500 Hz? Vous pouvez supposer que la température de l’air ambiant est de 0 C. PHS4700 Physique pour les applications multimédia : Examen final 3 Question 2. Moment de force et vitesse angulaire en apesanteur (20 points) Un cube de masse Ms = 1 kg et de côté a = 0.2 m flotte dans l’espace, son centre de masse étant localisé au point ~rc = (2, 3, 1) m. On applique une force externe F~e = (0, 0, −10) N sur le coin du cube localisé à ~re = (2.1, 2.9, 0.9). Vous supposerez que les axes du cube sont alignés avec les axes x, y, et z. La seule force dont il faut tenir compte est la force externe. z y x Fe Figure 2.1: Cube qui flotte dans l’espace et sur lequel une force externe est appliquée. (a) (7 points) Calculer le moment de force et l’accélération angulaire autour du centre de masse du cube qui résultent de la force externe. (b) (6 points) Déterminer la matrice correspondant à une rotation du cube d’un angle θ = −π/4 autour de l’axe des x. (c) (7 points) Déterminer le moment de force et l’accélération angulaire dans le système local du cube après que celui-ci ait effectué une rotation de θ = −π/4 autour de l’axe des x (les faces du cube après rotation sont perpendiculaires aux axes x, y ′ et z ′ du système local du cube). Vous supposerez que la force externe est toujours appliquée au même coin du cube. PHS4700 Physique pour les applications multimédia : Examen final 4 Question 3. Résolution numérique des équations du mouvement (20 points). Une fusée de vitesse initiale vz (0) = 0 m/s lancée de la surface de la Terre (z(0) = 0 m) subit une force gravitationnelle Fg (z, t) ayant la forme Fg (z, t) = −9.8 m(t) (1 + 1.5 × 10−7 z(t))2 où z est la position de la fusée par rapport au sol et m(t) la masse de la fusée en fonction du temps donnée par la relation m(t) = m0 − kt car la fusée de masse initiale m0 = 1250 kg éjecte des gaz de combustion à un rythme de k = 50 kg/s. La force Fe (t) que ces gaz exercent sur la fusée est donnée par Fe (t) = ku car ils sont éjectés avec une vitesse relative constante u = 600 m/s. (a) (8 points) Quelles sont les équations du mouvement (en 1D) qui doivent être résolues afin de déterminer la vitesse vz (t) et la position z(t) de la fusée en tout temps? (b) (12 points) En utilisant la méthode de Euler avec un pas de temps ∆t = 1.0 s, déterminer la vitesse et la position de la fusée à t = 2.0 s. PHS4700 Physique pour les applications multimédia : Examen final 5 Question 4. Tir d’une boı̂te de conserve en chute libre avec une balle (25 points). Le but du jeu est de frapper une boı̂te de conserve cylindrique avec une balle de façon à la faire dévier. La balle à un rayon Rballe = 5 cm et une masse mballe = 150 g. La boı̂te de conserve pleine, de hauteur hboı̂te = 12 cm, de rayon Rboı̂te = 3 cm et de masse mboı̂te = 450 g, est alignée avec l’axe de z. (a) (15 points) En supposant qu’au temps t, le centre de masse de la balle est localisé à ~rballe (t) et que celui de la boı̂te de conserve est à ~rboı̂te (t), décrire l’algorithme requis pour déterminer s’il y a un contact entre la balle et la boı̂te. (b) (10 points) En utilisant cet algorithme, déterminer le point de contact entre la balle et la boı̂te si les positions des centres de masse de la balle et de la boı̂te de conserve sont respectivement ~rballe = (−0.06, 0.0, 4) m et ~rboı̂te = (0, 0, 3.90) m.
