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Chapitre III – Courant Alternatif sinusoïdal
IDéfinition :
Ce sont les régimes ou la tension et le courant sont tous les deux des fonctions
sinusoïdales du temps.
IIImpédances et admittance des dipôles linéaires
Dans le cas de régimes sinusoïdaux, on note Z le rapport de la valeur efficace de la tension
aux bornes du dipôle par la valeur efficace du courant qui le traverse:
Z
U U eff

I
I eff
Z est appelée impédance du dipôle, en Ohm.
Y, l'admittance du dipôle (en Siemens), est l'inverse de l'impédance :
Y
1 I

Z U
IIIImpédances et admittances complexes
Dans le cas de régimes sinusoïdaux on note :
u (t )  U 2 sin(t   u )
i (t )  I 2 sin(t   i )
Respectivement la tension aux bornes du dipôle et le courant qui le traverse.
On défini alors l'impédance complexe du dipôle par Z, Z étant le rapport de la tension
complexe aux bornes du dipôle par le courant complexe qui le traverse :
Z
U
I
On défini l'admittance complexe du dipôle par Y le nombre complexe tel que :
Y
1
Z
Application au cas des dipôles linéaires :
Dipôle
Résistances R
Inductances L
Condensateurs C
IV-
Z
R
jL
-j / C 
Y
G
-j / L
jC
Puissance consommée par les dipôles linéaires
a- Résistances ;
La puissance consommée par une résistance en fonction du temps est :
P = ui
et comme :
u  R i  P  R 
Ou encore
i
1 2
i dt
TT

u
1 1
P 
u 2 dt
R
R T T
b- Inductances pures
On a vu au auparavant que :

p  u i  Li 
di
dt
D’où l'on déduit que l'énergie échangée entre 2 instants ti et tf vaut :
W

1
 L  i Lf2  i Li2
2

c- Condensateurs
La dualité appliquée au cas précédent fait que l’on obtient les mêmes équations que pour
l’inductance en inversant L et C ainsi que i et u.
D’où
W 
1
C (U 2f  U i2 )
2
Un condensateur ne consomme pas de puissance active en régime périodiq ue.
d- Puissances en régime sinusoïdal
En régime sinusoïdal, la puissance s’écrit comme
P  UI cos 
 est le déphasage entre la tension u et le courant i.
V-
Etude du déphasage de dipôles en régime sinusoïdal
En régime sinusoïdal les équations des courants en fonction du temps introduisent
un déphasage. On se propose d’énumérer les déphasages pour différents dipôles
ainsi que pour l’association élémentaire de dipôles. Ce travail est fait en utilisant
les graphes des différentes sinusoïdes ainsi que le diagramme de Fresnel.
1- Calcul de la phase à l'origine
Soit une tension u(t) = u0 sin(t). Aucun déphasage (phase à l'origine nulle) : = 0
2- Pour une tension qui est en avance son déphasage est positif et on obtient :
3- Si maintenant la tension est en retard son déphasage est négatif :
4- Calcul de la phase à l'origine : lorsqu’une tension possède un déphasage sa courbe est
décalée dans le temps est on décrit la façon d’obtenir ce déphasage .
Dans le triangle rectangle
sin= u(0)/Û
Une période T correspond à une rotation du vecteur de Fresnel de 2. La phase à l'origine 
correspond à un temps donc :
5- Déphasage entre 2 tensions sinusoïdales :
On considère maintenant, deux tensions sinusoïdales de même pulsation telles
que :
v1 ( t ) = V1max sin ( t + 1 )
v2 ( t ) = V2max sin ( t + 2 )
Les courbes représentatives de ces deux tensions sont alors :
Le déphasage est calculé de la même façon que précédemment.
6- Déphasages particuliers en deux tensions :
a- Déphasage nul :
Lorsque le déphasage est nul entre deux tensions on dit qu’elles sont en phase et elles sont
représentées par les courbes suivantes :
Les deux tensions s'annulent en même temps, et elles sont aux mêmes instants
maximales ou minimales.
Les vecteurs de Fresnel associés sont colinéaires, et de même sens.
b- Déphasage de /2 ou 90°:
Les Tensions v1 et v2 en quadrature ceci veut dire que = 90° ( ou
=90°. Quand l'une des tensions est extrémale, l'autre est nulle.
Si l'angle formé par les vecteurs
et
quadrature avance par rapport à
est égal à + 2, la tension
est en
Si l'angle formé par les vecteurs
est égal à - 2, la tension
et
est en
quadrature retard par rapport à
c- Déphasage de  ou 180°
Deux tensions qui sont déphasées de  sont dites en opposition de phase.
Les deux tensions s'annulent en même temps et l'une est maximale quand l'autre est minimale.
Les vecteurs de Fresnel associés sont de sens opposés.
7- Expression de la tension aux bornes de dipôles électriques :
Si dans un circuit électrique le courant sinusoïdal qui y circule s’écrit sous la forme :

La tension aux bornes des dipôles s’écrit :
a- Tension aux bornes d’une résistance R:
D’après la loi d’Ohm :

Le déphasage entre le courant qui travers le résistance et la tension à ses bornes est nul
b- Tension aux bornes d’une capacité C:



Le déphasage entre le courant et la tension aux bornes de la capacité est de (-/2)
c- Tension aux bornes d’une Bobine ou inductance L:



Le déphasage entre la tension et le courant aux bornes d’une inductance est de (+/2)
8- Association en série de dipôles passifs en courant alternatif
9- Cas du circuit RLC série :
Application du cours
1- Associations de dipôles en série :
En série, le courant est commun aux dipôles :
- sa valeur instantanée i est commune ;
- sa valeur efficace I est commune.
A chaque instant, la tension instantanée u entre les
bornes de l'association est égale à la somme des tensions aux
bornes de chacun des dipôles :
u = .............................
En régime sinusoïdal, on peut écrire entre vecteurs de Fresnel :
U = ...............................................
En régime sinusoïdal, les générateurs alimentant les circuits électriques imposent
........................................ : on dit que l'on est en régime d'oscillations forcées, à la fréquence
du générateur.
Toutes les grandeurs électriques (tensions, intensités) caractérisant les circuits auront par
conséquent la ...................................................................
Les intensités et tensions d'un même circuit sont décalées dans le temps : on
dit qu'elles ...........................................
2- Circuit R - L série (résistor et bobine parfaite)
D'après la loi d'additivité des tensions :
u = .................. donc U = ............................
Triangle des tensions ( I : origine des phases) :
Construisons :
U = ............................
D'après la relation de Pythagore :
U² = ………………….
Or : U = …… ; UR = ….. ; UL = ...........
En divisant les deux membres de l'égalité par I², on obtient :
.........................................
Triangle des impédances
D'après la relation établie précédemment,
nous pouvons construire le triangle des
impédances :
Calculer l'impédance d'un dipôle constitué d'un résistor (R = 50 ) et d'une bobine parfaite
(L = 1,4 H). Calculer la tension (f = 75 Hz) à leurs bornes (UR et UL) si l'intensité du courant
dans le circuit est de 2, 4 A.
3- Cas d'une bobine réelle (inductive et résistive)
U = ............................
D'après la relation de Pythagore :
U² =……………
Or : U = …… ; UR = ….. ; UL = ..............
Z=

Calculer l'impédance d'une bobine de résistance r = 12 W et d'inductance L = 150 mH
soumise à une tension U (220 V ; 125 Hz). En déduire la mesure de l'intensité efficace du
courant traversant la bobine.
4- Circuit R - C série (résistor et condensateur parfait)
D'après la loi d'additivité des tensions :
u = ........... donc U ............................
D'après la relation de Pythagore :
U² = ...................
Or : U = …… ; UR = ……. ; UC = ……..
XC = ……… UC =
Triangle des impédances
5- Circuit R - L - C série (résistor, bobine parfaite et condensateur parfait)
u = ..........................
donc U ..............................
On distingue trois cas :
Exercices
1- On applique une tension de 220 V, 50 Hz entre les bornes d’un dipôle comportant un
résistor
R = 30 W en série avec une bobine d’inductance L = 0,16 H.
a- Calculer l’impédance du dipôle ainsi constitué ;
b- Calculer le courant traversant ce circuit ;
c-Calculer le facteur de puissance (cos j) ;
d-Calculer la puissance absorbée.
2- Une tension de 220 V, 50 Hz est appliquée à un dipôle comportant en série un
condensateur de capacité C variable, une bobine d’inductance L = 0,7 H et un résistor
R = 50 W.
a- Calculer l’impédance du dipôle et l’intensité du courant pour les valeurs suivantes de
C:
 = …………………………………..
L =
C1= 2 μF
1/C1 =
Z=
I=
L 1/C1  le circuit est ............................................ .... 0
C2= 12 μF
1/C2 =
Z=
I=
L 1/C2  le circuit est ............................................ .... 0
3- Une tension sinusoïdale de valeur efficace U = 220 V, de fréquence 50 Hz, est
appliquée à une bobine présentant une résistance R = 15 et une inductance L = 0,08
H.
- Calculer la réactance (XL = L) et l’impédance Z de la bobine
- Calculer la valeur efficace I du courant la traversant.
- Calculer le déphasage entre l’intensité du courant et la tension.
Que deviennent ces résultats si la tension U devient U’ = 110 V ?
4-
Un circuit électrique comporte en série un résistor de résistance R = 180 et une
bobine (de résistance négligeable) d’inductance L = 400 mH, est parcourue par un
courant I = 0,5 A sous une fréquence f = 50 Hz.
Calculer l’impédance Z du circuit ainsi constitué
- Construire le diagramme de Fresnel relatif aux tensions
- Déterminer le facteur de puissance cos de la portion de circuit ainsi
constituée.