Courant alternatif sinusoïdal

Professeur P. Lemasson
Devoir n° 4
à rendre le vendredi 5 mars 2004 au plus tard
Chaque exercice est noté sur 7
Traiter au moins trois de ceux-ci, au choix.
COURANT ALTERNATIF SINUSOÏDAL − CIRCUITS
Service de Physique dans ses rapports avec l'industrie
Physique générale A2 UV n° 06172
Ph
y
si
q
ue
g
énérale A8 UV n° 18065
1

I – COURANT ALTERNATIF SINOÏDAL
Soit le dipôle suivant
i1
C
i2 R
B
×
×
A i
u
R L
On applique entre A et B une tension u = Um cosωt de valeur efficace U.
a) Calculer l’impédance complexe e Z
% = A +j B équivalente à ce dipôle
b) Exprimer le déphasage de i par rapport à u
c) Trouver la relation existant entre L, C et ω pour que e
Z
% = A
d) On peut obtenir le résultat ci-dessus en donnant à R une valeur particulière. Quelle est
alors la valeur de e Z
% ?
e) Lorsque la condition donnée en c) est réalisée, déterminer l’intensité efficace dans
chaque branche.
f) Dans les mêmes conditions que ci-dessus, évaluer :
- le déphasage
ϕ
1 de i1 par rapport à u
- le déphasage
ϕ
2 de i2 par rapport à u
et les comparer.
g) Donner les expressions de i1 = ϕ
1(t) et i2 =
ϕ
2(t).
Partant de celles-ci, évaluer i et comparer le résultat avec celui obtenu à partir de la
résistance équivalente du tronçon AB.
II – COURANT ALTERNATIF SINUSOIDAL
On considère le réseau représenté ci-dessous.
L ×
D
i3
i1
i R
×
B
×
i2
R
1
A’ × ×
D’
C
B’
i4
C
×
A
R = 20Ω
R1 = 40Ω
L = 0,5 H
C = 8 µF
v
2

On applique entre A et A’ une tension sinusoïdale v de pulsation ω = 34 rd.s−1 et de valeur
efficace Veff = 100V
a) Calculer les intensités efficaces dans les diverses branches du réseau.
b) Déterminer le déphasage de chaque courant par rapport à la tension v.
III – IMPEDANCE CARACTERISTIQUE
Le circuit ci-dessous est alimenté entre les bornes d’entrée A1 et B1 par un générateur de
tension sinusoïdale de pulsation ω réglable, d’impédance interne négligeable qui fournit une
tension u1 de valeur efficace U1 constant.
2
Z
%
u2
×
B
×
A
L
×
B2
×
A2
C
u1
L
×
B1
×
A1
L = 2 ×10−3 H
C = 10−9 F
a) Exprimer en fonction de ω, L C et 2
Z
%, impédance branchée à la sortie, l’impédance
d’entrée 1
Z
% vue des points A1 et B1.
b) Déduire du calcul précédent l’impédance caractéristique c
Z
% définie par la condition
1
Z
% = 2
Z
% = c
Z
%
Analyser le résultat obtenu suivant la valeur de ω.
c) Pour quelles valeurs de ω l’impédance caractéristique est-elle modélisable par une
résistance RC ? Exprimer RC lorsque ω → o et donner sa valeur numérique.
IV – PUISSANCE
Un générateur de tension délivre entre ses bornes une tension sinusoïdale v(t) de pulsation ω.
On supposera que l’amplitude vo de cette tension est indépendante des circuits connectés aux
bornes de ce générateur.
a) On connecte aux bornes du générateur le circuit suivant
v(t)
i
R
R
o
Ro = 50 Ω
R : résistance pure, variable
- Déterminer la puissance électrique moyenne PR dissipée dans R
3

- Quelle est la valeur Rmax de R pour laquelle PR est maximale ?
b) Maintenant, c’est le réseau ci-dessous qui est connecté aux bornes du générateur.
v(t) R
L R
o
C
Ro = 50 Ω
R : résistance variable
- Déterminer la puissance moyenne PR dissipée dans R en fonction de M, C, R et ω
- A quelles conditions la puissance dissipée dans R est-elle maximale ?
V – FILTRE PASSE-BANDE
On alimente le circuit représenté ci-dessous par une tension ve(t), d’amplitude constante et de
pulsation variable ω.
On appelle vs(t) la tension de sortie du circuit.
On pose (t) = valeur complexe de la tension d’entrée et
(t) = valeur complexe de la tension de sortie.
e
v
%
s
v
%
a) Exprimer la fonction de transfert de ce circuit, définie
par : s
e
v(t)
H(j ) = v(t) ω
%
%
%
Ve(t)
R
C
R
C Vs(t)
R = 1,5 kΩ
C = 0,5 µF
qu’on mettra sous la forme : 1
H(j ) = X + jY ω
%
En introduisant la variable :
o
x = R C = ω ωω
b) Déterminer l’expression du gain et du déphasage de la tension de sortie par rapport à
celle d’entrée en fonction de x.
c) Calculer le gain maximum de ce montage ainsi que le déphasage correspondant
d) Déterminer les fréquences de coupure et la bande passante du circuit. Donner la valeur
du déphasage pour les fréquences de coupure.
e) Tracer les diagrammes du gain en décibels et de la phase en fonction de log10 x.
4

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