(un) définie pour tout entier n par un = n + 2√n. 1. Mon

Fiche d’exercices sur les suites
Exercice 1
Consid´erons la suite (un) d´efinie pour tout entier npar un=n+ 2√n.
1. Montrer que (un) est croissante.
2. On admet que lim un= +∞.
´
Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
pour tout n>n0,un>105(voir livre page 115).
3. Programmer l’algorithme `a la calculatrice et donner la valeur de
n0.
Exercice 2
Montrer que la suite (un) d´efinie par un=7n−1
n+ 2 est croissante et
major´ee par 7.
En d´eduire que (un) est born´ee et donner un encadrement de unvalable
pour tout n∈N.
Exercice 3
Soit (un) la suite d’efinie pour tout entier npar un=5n
3×2n.
1. Montrer que (un) est croissante.
2. Montrer qu’il existe un r´eel qtel que pour tout entier n,
un+1 =q×un.
D´eterminer q.
Exercice 4
Soit (an) la suite d´efinie par son premier terme a0= 2 et la relation de
r´ecurrence :
pour tout n>0, an+1 =2
3an+ 3.
1. Construire la droite d’´equation y=2
3x+3 et la droite d’´equation
y=x( aller au moins jusqu’`a 10 en abscisses et ordonn´ees).
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
3. Calculer `a la main a1,a2et a3. R´ediger les calculs.
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approch´ee de a10,
a20, et a30. On arrondira `a 0,0001 pr`es.
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an) ?
6. ´ Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
|an0−9|<0,0001.
7. Programmer cet algorithme `a la calculatrice et indiquer la valeur
de n0.
Fiche d’exercices sur les suites
Exercice 1
Consid´erons la suite (un) d´efinie pour tout entier npar un=n+ 2√n.
1. Montrer que (un) est croissante.
2. On admet que lim un= +∞.
´
Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
pour tout n>n0,un>105.
3. Programmer l’algorithme `a la calculatrice et donner la valeur de
n0.
Exercice 2
Montrer que la suite (un) d´efinie par un=7n−1
n+ 2 est croissante et
major´ee par 7.
En d´eduire que (un) est born´ee et donner un encadrement de unvalable
pour tout n∈N.
Exercice 3
Soit (un) la suite d’efinie pour tout entier npar un=5n
3×2n.
1. Montrer que (un) est croissante.
2. Montrer qu’il existe un r´eel qtel que pour tout entier n,
un+1 =q×un.
D´eterminer q.
Exercice 4
Soit (an) la suite d´efinie par son premier terme a0= 2 et la relation de
r´ecurrence :
pour tout n>0, an+1 =2
3an+ 3.
1. Construire la droite d’´equation y=2
3x+3 et la droite d’´equation
y=x( aller au moins jusqu’`a 10 en abscisses et ordonn´ees).
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
3. Calculer `a la main a1,a2et a3. R´ediger les calculs.
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approch´ee de a10,
a20, et a30. On arrondira `a 0,0001 pr`es.
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an) ?
6. ´ Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
|an0−9|<0,0001.
7. Programmer cet algorithme `a la calculatrice et indiquer la valeur
de n0.

´
El´ements de correction exercices sur les suites
Exercice 1
Consid´erons la suite (un) d´efinie pour tout entier npar un=n+ 2√n.
1. Montrer que (un) est croissante.
un=f(n) avec f(x) = x+ 2√x.
La fonction x7→ xest croissante sur [0; +∞[ (affine de coeff di-
recteur a= 1 >0).
La fonction x7→ √xest croissante sur [0; +∞[.
En multipliant par 2 >0, x7→ 2√xest croissante sur [0; +∞[.
Par somme de deux fonctions croissantes, fest croissante sur
[0; +∞[, donc (un) est croissante.
Autre m´ethode : un+1 −un= 1 + 2
√n+ 1 + √n>0 (via la qt´e
conjugu´ee pour les racines carr´ees).
2. On admet que lim un= +∞.
´
Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
pour tout n>n0,un>103.
Algorithme
0→N
0→U
Tant que U6103
N+ 1 →N
N+ 2√N→U
Fin Tant que
Afficher N, (et U)
3. Programmer l’algorithme `a la calculatrice et donner la valeur de
n0.n0= 939.
Exercice 2
Montrer que la suite (un) d´efinie par un=7n−1
n+ 2 est croissante et
major´ee par 7.
En d´eduire que (un) est born´ee et donner un encadrement de unvalable
pour tout n∈N.
Sens de variation :
Pour tout n>0, un+1 −un=...=15
(n+ 2)(n+ 3) >0, (un) est crois-
sante.
Majoration par 7 :
Pour tout n>0, un−7 = ...=−15
n+ 2 <0 donc pour tout n,un<7.
Encadrement de (un).
Toute suite croissane est minor´ee par son 1er terme.
Ici, u0=−0,5.
Pour tout n∈N,−0,56un<7. (un) est born´ee.
Exercice 3
Soit (un) la suite d’efinie pour tout entier npar un=5n
3×2n.
1. Montrer que (un) est croissante.
Il est clair que pour tout n∈N,un>0.
Pour tout n,un+1
un
=...=5
2>1. (un) est croissante.
Autre m´ethode, un+1 −un, et factiriser par 5n
3×2n.
2. Montrer qu’il existe un r´eel qtel que pour tout entier n,
un+1 =q×un.
Le calcul pr´ec´edent montre que un+1 =un×5
2.
D´eterminer q.
q=5
2.
Exercice 4
Soit (an) la suite d´efinie par son premier terme a0= 2 et la relation de
r´ecurrence :
pour tout n>0, an+1 =2
3an+ 3.
1. Construire la droite d’´equation y=2
3x+3 et la droite d’´equation
y=x( aller au moins jusqu’`a 10 en abscisses et ordonn´ees).
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
12345678910−1
+
++
+ +
++
++
++
× × × ×
a0a1a2a3
3. Calculer `a la main a1,a2et a3. R´ediger les calculs. a1=2
3a0+3 =
2
3×2 + 9 3=13 3.
a2=53
9
a3=187
27 .
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approch´ee de a10,
a20, et a30. On arrondira `a 0,0001 pr`es.
a10 ≈8,8786, a20 ≈8,9979, a30 ≈8,9999.
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an) ?
Il semble que anconverge vers 9, lim an= 9.
6. ´ Ecrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0tel que
|an0−9|<0,0001.
0→N
2→U
Tant que |U−9|>10−4
N+ 1 →N
2
3U+ 3 →U
Fin Tant que
Afficher N, (et U)
7. Programmer cet algorithme `a la calculatrice et indiquer la valeur
de n0.
n0= 28 (coh´erent avec a20 et a30 si l’on admet que la suite est
croissante).