(un) définie pour tout entier n par un = n + 2√n. 1. Mon

Fiche d’exercices sur les suites
Fiche d’exercices sur les suites
Exercice 1
√
Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n.
Exercice 1
√
Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n.
3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de
n0 .
1. Montrer que (un ) est croissante.
2. On admet que lim un = +∞.
Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
pour tout n > n0 , un > 105 .
3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de
n0 .
Exercice 2
7n − 1
Montrer que la suite (un ) définie par un =
est croissante et
n+2
majorée par 7.
En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable
pour tout n ∈ N.
Exercice 2
7n − 1
est croissante et
Montrer que la suite (un ) définie par un =
n+2
majorée par 7.
En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable
pour tout n ∈ N.
1. Montrer que (un ) est croissante.
2. On admet que lim un = +∞.
Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
pour tout n > n0 , un > 105 (voir livre page 115).
Exercice 3
Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un =
1. Montrer que (un ) est croissante.
5n
.
3 × 2n
2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n,
Déterminer q.
un+1 = q × un .
Exercice 4
Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de
récurrence :
pour tout n > 0, an+1 =
2
an + 3.
3
2
x+3 et la droite d’équation
3
y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées).
1. Construire la droite d’équation y =
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs.
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 ,
a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près.
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ?
6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
|an0 − 9| < 0, 0001.
7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur
de n0 .
Exercice 3
Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un =
5n
.
3 × 2n
1. Montrer que (un ) est croissante.
2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n,
Déterminer q.
un+1 = q × un .
Exercice 4
Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de
récurrence :
2
pour tout n > 0, an+1 = an + 3.
3
2
1. Construire la droite d’équation y = x+3 et la droite d’équation
3
y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées).
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs.
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 ,
a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près.
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ?
6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
|an0 − 9| < 0, 0001.
7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur
de n0 .
Éléments de correction exercices sur les suites
Exercice 1
√
Considérons la suite (un ) définie pour tout entier n par un = n + 2 n.
1. Montrer que (un ) est croissante.
√
un = f (n) avec f (x) = x + 2 x.
La fonction x 7→ x est croissante sur [0; +∞[ (affine de coeff directeur a = 1 > 0).
√
La fonction x 7→ x est croissante
√ sur [0; +∞[.
En multipliant par 2 > 0, x 7→ 2 x est croissante sur [0; +∞[.
Par somme de deux fonctions croissantes, f est croissante sur
[0; +∞[, donc (un ) est croissante.
2
Autre méthode : un+1 − un = 1 + √
√ > 0 (via la qté
n+1+ n
conjuguée pour les racines carrées).
2. On admet que lim un = +∞.
Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
pour tout n > n0 , un > 103 .
Algorithme
0 →N
0 →U
Tant que U 6 103
N + 1√
→N
N +2 N →U
Fin Tant que
Afficher N , (et U )
3. Programmer l’algorithme à la calculatrice et donner la valeur de
n0 . n0 = 939.
Exercice 2
7n − 1
est croissante et
Montrer que la suite (un ) définie par un =
n+2
majorée par 7.
En déduire que (un ) est bornée et donner un encadrement de un valable
pour tout n ∈ N.
Sens de variation :
15
Pour tout n > 0, un+1 − un = . . . =
> 0, (un ) est crois(n + 2)(n + 3)
sante.
Majoration par 7 :
−15
Pour tout n > 0, un − 7 = . . . =
< 0 donc pour tout n, un < 7.
n+2
Encadrement de (un ).
Toute suite croissane est minorée par son 1er terme.
Ici, u0 = −0, 5.
Pour tout n ∈ N, −0, 5 6 un < 7. (un ) est bornée.
Exercice 3
Soit (un ) la suite d’efinie pour tout entier n par un =
5n
.
3 × 2n
1. Montrer que (un ) est croissante.
Il est clair que pour tout n ∈ N, un > 0.
5
un+1
= . . . = > 1. (un ) est croissante.
Pour tout n,
un
2
5n
Autre méthode, un+1 − un , et factiriser par
.
3 × 2n
2. Montrer qu’il existe un réel q tel que pour tout entier n,
un+1 = q × un .
5
Le calcul précédent montre que un+1 = un × .
2
Déterminer q.
5
q= .
2
Exercice 4
Soit (an ) la suite définie par son premier terme a0 = 2 et la relation de
récurrence :
pour tout n > 0, an+1 =
2
an + 3.
3
2
x+3 et la droite d’équation
3
y = x ( aller au moins jusqu’à 10 en abscisses et ordonnées).
1. Construire la droite d’équation y =
2. Construire les premiers termes de la suite sur l’axe des abscisses.
2
3. Calculer à la main a1 , a2 et a3 . Rédiger les calculs. a1 = a0 +3 =
3
9
13
2
×2+ =
.
3
3
3
53
a2 =
9
187
.
a3 =
27
4. Utiliser la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 ,
a20 , et a30 . On arrondira à 0,0001 près.
a10 ≈ 8, 8786, a20 ≈ 8, 9979, a30 ≈ 8, 9999.
9
+
8
+
7
+
6
+
+
+
+
+
5. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite (an ) ?
Il semble que an converge vers 9, lim an = 9.
5
+
+
×+
×
6. Écrire un algorithme qui renvoie le plus petit entier n0 tel que
|an0 − 9| < 0, 0001.
0 →N
2 →U
Tant que |U − 9| > 10−4
N +1→N
2
U +3→U
3
Fin Tant que
Afficher N , (et U )
4
3
2
1
−1
1
a0 2
3
4 a1
5
a2
×
6
a3
×
7
8
9
10
7. Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur
de n0 .
n0 = 28 (cohérent avec a20 et a30 si l’on admet que la suite est
croissante).