Algorithme de seuil Cas d'une suite croissante qui diverge vers +∞ On cherche la 1ère valeur de N pour laquelle uN >A , A étant un réel donné. Avant d’utiliser cet algorithme dit « algorithme de seuil », vous vérifiez que : - la suite est croissante - la suite a pour limite +∞ . Exemple : La suite ( un ) est définie par u n+1 =4×un et u 0=2 - La suite ( un ) est une suite géométrique de raison 4 et de 1er terme positif donc elle est croissante. un=+∞ - La raison de la suite ( un ) étant strictement supérieure à 1, nlim →+∞ Question : déterminer la valeur de l'entier n pour lequel u n⩾10 4 Cet algorithme va calculer les termes successifs de la suite TANT qu'ils sont inférieurs au seuil donné. L'algorithme va afficher le rang N pour lequel u N dépasse le seuil pour la 1ère fois. L'algorithme affiche n=7 . Cela signifie que : pour tout entier n⩾7 , u n>10 4 Exercice 1 : Un verre d’eau contient 50 bactéries à l’heure n=0 . On admet que le nombre de bactéries triple toutes les heures. On note ( un ) le nombre de bactéries au bout de n heures (ainsi, u 0=50 ). 1. Calculer u1 , u 2 et u3 . 2. Exprimer u n+1 en fonction de u n . 3. Déterminer le nombre de bactéries au bout de 10 heures à l’aide de la calculatrice. 4. Utiliser un algorithme pour déterminer le nombre d’heures à partir duquel il y a plus d’un billion (c'est-à-dire 1012 , soit 1000 milliards) de bactéries. Cas d’une suite convergeant vers un réel L On cherche la 1ère valeur de N pour laquelle ∣u N −L∣<A , A étant un réel donné. Exercice 2 :Soit ( an ) la suite définie par son premier terme a0=2 et, pour tout n⩾0 , an+1= 2 a +3 . 2 n 1. Calculer a1 ; a2 et a3 . 2. À la calculatrice pour donner une valeur approchée de a10 , a20 et a30 . On arrondira à 0,0001 près. 3. Que peut-on conjecturer sur la convergence de la suite ( an ) ? 4. Écrire un algorithme qui affiche en sortie le plus petit entier n0 tel que ∣an −9∣<0,0001 . Programmer cet algorithme à la calculatrice et indiquer la valeur de n0 . 0