E о о

Licence de Physique et Applications
Electromagnétisme II
TD3
Propagation des ondes électromagnétiques dans un diélectrique
On considère un milieu matériel globalement neutre, composé d’une densité volumique n d’ions de
charge + e et d’une densité volumique n d’électrons de charge –e. Ces derniers, de masse m, sont
soumis à une force de rappel élastique
, qui les ramène à leur position d’équilibre,
supposée confondue avec le noyau auquel ils sont rattachés. On se propose d’étudier les propriétés
d’un tel milieu, soumis à la propagation d’une onde plane électromagnétique, dont le champ électrique
⃗⃗⃗⃗
.
est donné par ⃗
1) Equation du mouvement des électrons
a) Ecrire l’équation du mouvement des électrons et la résoudre en régime permanent.
b) Calculer la vitesse des électrons ainsi que la densité de courant qui en résulte.
c) En déduire l’expression de la conductivité du milieu.
2) Equations de Maxwell
a) Donner les équations de Maxwell dans le milieu.
b) En utilisant la divergence du champ électrique, démontrer que ce dernier n’a pas de
composante selon x. En déduire que le champ magnétique ⃗ non plus.


c) Montrer que E est perpendiculaire à B et établir la relation :
d) En déduire la relation de dispersion :
√
3) Propagation des ondes
L’onde ne peut se propager dans le milieu que lorsque l’indice optique
est réel, ce qui est
équivalent à
.
a) On pose
. Exprimer
en fonction des seules fréquences , , et
.
b) Etudier le signe de
en fonction de la pulsation .
c) En déduire le comportement du diélectrique en fonction des différents domaines de fréquence.
d) Application : Le sondeur vertical est une sorte de radar dont la fréquence est variable entre 1 et
30 MHz. L'émetteur envoie des impulsions très brèves qui sont réfléchies à une altitude
dépendant de la fréquence et de la densité électronique dans l'ionosphère. La mesure du temps
séparant l'impulsion émise et la réception de l'écho permet de calculer l'altitude à laquelle s'est
effectuée la réflexion. Le tracé de cette altitude (virtuelle) en fonction de la fréquence est un
ionogramme [Source : wikipedia]. Interpréter.
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Electromagnétisme II
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Electromagnétisme II
TD4
Rappels de magnétostatique
On rappelle qu’il existe deux façons de calculer le champ magnétique créé par une distribution de
courant :

Le calcul direct par la formule de Biot-Savart :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
où ⃗⃗⃗⃗⃗ est la contribution au champ d’un élément de courant ⃗⃗⃗⃗⃗ placé en P.

Lorsque les symétries et les invariances du système s’y prêtent bien, l’application du théorème
d’Ampère peut se révéler plus immédiate :
∮ ⃗
⃗⃗⃗
1) Calculer le champ magnétique créé dans tout l’espace par un fil infini parcouru par l’intensité I.
2.a) Calculer le champ magnétique créé en un point quelconque de son axe par une spire de rayon R
parcourue par un courant I, en fonction de l’angle sous lequel elle est vue.
α
I
2.b) En utilisant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que proche de l’axe, les
composantes du champ vérifient la relation
Indication : on supposera la composante verticale du champ constante au voisinage de l’axe.
3.a) Déduire de la question 2.a) le champ sur son axe créé par un solénoïde fini, constitué d’une
densité linéique de spires , en fonction des angles
et .
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Electromagnétisme II
3.b) En déduire que le champ créé sur son axe par un solénoïde infini s’écrit
⃗
⃗⃗⃗
3.c) En utilisant le théorème d’Ampère sur un contour intelligemment choisi, montrer que le champ
magnétique est uniforme au sein du solénoïde, puis montrer qu’il s’annule en dehors de ce dernier.
4) Calculer le champ magnétique créé dans tout l’espace par une sphère de rayon R, portant la charge
surfacique et tournant autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire .
5) Calculer le champ magnétique sur l’axe d’un cylindre infiniment long de rayon a, parcouru par un
⃗⃗⃗ orienté selon ce même axe.
courant surfacique axial ⃗⃗
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TD5
Milieux aimantés (aspects macroscopiques)
1. Sphère uniformément aimantée
Une sphère S de centre O et de rayon R est constituée d’un milieu uniformément aimanté suivant la
direction Oz : l’aimantation s’écrit M = M uz
1. Déterminer les courants d’aimantation équivalents et les représenter.
2. Exprimer le champ démagnétisant Bd au centre de la sphère en fonction de 0 et de
l’aimantation M (on pourra utiliser un résultat du cours
3. En déduire l’expression de l’excitation démagnétisante Hd, toujours au centre de la sphère.
4. Le matériau est LIH (linéaire isotrope homogène), de susceptibilité magnétique  et son
aimantation uniforme est obtenue en le plongeant dans un champ magnétique extérieur
uniforme B0.
a) Déterminer l’excitation magnétique totale H au centre de la sphère.
b) En déduire l’expression de l’aimantation M en fonction du champ extérieur B0 et de 
c) Quels sont les ordres de grandeur de  pour un diamagnétique et un paramagnétique ? En
déduire l’ordre de grandeur du champ démagnétisant Bd par rapport au champ extérieur B0.
2. Cylindre à aimantation axiale
Un barreau cylindrique très long, de rayon R, possède une aimantation axiale M = M uz, uniforme,
parallèle à son axe.
1. Déterminer les courants d’aimantation équivalents et les représenter.
2. Exprimer le champ démagnétisant Bd et l’excitation démagnétisante Hd à l’intérieur et à
l’extérieur du cylindre.
3. En déduire l’expression de l’excitation magnétique totale H.
4. Le barreau est placé à l’intérieur d’un solénoïde qui comprend n spires par unité de longueur.
Ce solénoïde crée au sein du barreau un champ uniforme axial B0. L’aimantation M résulte de
l’application de ce champ B0.
a) Quelle est la relation entre M et B0 si l’on suppose le milieu LIH ?
b) Discuter l’orientation respective de M et de B0 selon le signe de . Faire un schéma.
c) Rappeler l’expression de B0 en tout point intérieur ou extérieur au solénoïde en fonction
de 0, n et I.
d) Le courant I qui parcourt le solénoïde peut être décrit par une distribution de courants
surfaciques « libres » jl. Quelle est la relation entre jl, n et I ?
e) Déterminer le champ magnétique total B et l’excitation H au sein du barreau aimanté en
fonction de jS et jl.
f) En déduire que jS = jl. Commentaires.
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TD6
Modèles microscopiques. Diamagnétisme.
1. Diamagnétisme et moment magnétique orbital
1. En l’absence de champ magnétique appliqué, les électrons atomiques (masse me, charge
électrique –e) décrivent, selon le modèle de Bohr, un cercle de rayon  avec la vitesse
angulaire  autour du noyau.
a) Faire le bilan des forces agissant sur l’électron. Faire un schéma représentant ces forces.
Ecrire le PFD.
b) En déduire l’expression de en fonction de e, me et . Estimer numériquement cette
fréquence.
c) Calculer le courant I associé à la trajectoire de l’électron, son moment cinétique


 

    me v et son moment magnétique m  IS
d) En déduire qu’il existe une relation de proportionnalité entre le moment cinétique et le
moment magnétique de l’électron. On notera  la constante de proportionnalité.
Déterminer l’expression de .
Représentez le moment cinétique et le moment magnétique sur un même schéma.
e) Comment s’appelle la constante ?
f) Expérimentalement, on trouve plutôt :


m  g
Où g est le facteur de Landé.
Quelles sont les prédictions de la mécanique quantique pour g ?
Comment s’appelle la quantité  B  e 2me ?

2. L’atome précédent est plongé dans un champ magnétique axial B dirigé dans le sens du
moment cinétique.
a) Quelle est la nouvelle force qui s’applique sur l’électron ? Représenter toutes les forces
s’exerçant sur l’électron sur un même schéma.
b) On considérera dans la suite que le rayon de la trajectoire n’est pas modifié par la

présence du champ B . Montrer que la nouvelle vitesse de rotation angulaire  vérifie
l’équation :
 2  C   02  0
Où C est une fréquence que l’on définira.

c) Estimer quelle serait la valeur du champ B si C = 0
d) Déterminer une approximation pour  lorsque C 0  1
e) La vitesse angulaire est-elle augmentée ou diminuée par l’application du champ
magnétique ?
f) Quelle est la direction du moment magnétique induit par rapport au champ magnétique
extérieur ?
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Electromagnétisme II
2.Susceptibilité diamagnétique
On considère un matériau dont les atomes qui le composent ne possèdent pas de moments

magnétiques orbitaux ou de spins. Ce matériau est placé dans un champ magnétique B .
Chaque atome comprend Z électrons que l’on supposera sans interactions.

1. Exprimer le moment magnétique induit moyen m de l’atome en fonction de la distance
quadratique moyenne r 2 des électrons au noyau.
2. Soit n le nombre d’atomes par unité de volume dans le matériau. Quelle est la relation


entre le moment magnétique atomique m et l’aimantation macroscopique M ?
3. Estimer numériquement la quantité 0 M / B dans le cas d’un gaz.


4. En déduire la relation liant le champ magnétique B et l’excitation H .
5. Donner l’expression de la susceptibilité magnétique  du matériau. Faire l’application
numérique.