Équations de récurrence et complexité - Le Master Theorem

LE PROBLÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES PARTITION SYNTHÈSE
Équations de récurrence et complexité
Le Master Theorem
[email protected]
Université de Grenoble-Alpes, UFR IM2AG
L3 Informatique
1 / 12
Équations de récurrence et complexité

LE PROBLÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES PARTITION SYNTHÈSE
RÉCURRENCE ET COMPLEXITÉ
1LE PROBLÈME : évaluer le coût d’un algorithme
2ÉQUATIONS LINÉAIRES
3ÉQUATION DE PARTITION
4VADE MECUM
2 / 12
Équations de récurrence et complexité

LE PROBLÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES PARTITION SYNTHÈSE
ÉVALUATION DU COÛT
Taille de la donnée
Entier Entier
Cout du calcul
Espace des données
Machine
Espace des résultats
Algorithme
Coût associé à un algorithme en fonction de la taille ndes données en entrée
IChoix des opérateurs : donné par le modèle de machine
IOrdre de grandeur : échelles logarithmique log n, polynomiale nk, exponentielle αn
O(.)(majore asymtotiquement) ou Ω(.)(minore) ou Θ(.)(du même ordre).
IExpression de l’algorithme : forme itérative ou récursive
Résoudre des équations de récurrence.
3 / 12
Équations de récurrence et complexité

LE PROBLÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES PARTITION SYNTHÈSE
RÉCURRENCE ET COMPLEXITÉ
1LE PROBLÈME : évaluer le coût d’un algorithme
2ÉQUATIONS LINÉAIRES
3ÉQUATION DE PARTITION
4VADE MECUM
4 / 12
Équations de récurrence et complexité

LE PROBLÈME ÉQUATIONS LINÉAIRES PARTITION SYNTHÈSE
ÉQUATIONS SIMPLES
(T(0) = 0;
T(n) = T(n−1) + c(n),pour n>1.
où fest une fonction (en général positive).
T(n) = T(0) + c(0) + c(1) + ···+c(n) =
n
X
i=0
c(i).
Sommes classiques
n
X
i=1
1=n= Θ(n);
n
X
i=1
i=n(n+1)
2= Θ(n2);
n
X
i=1
i2=n(n+1)(2n+1)
6= Θ(n3);
n
X
i=1
i3=n2(n+1)2
4= Θ(n4);
et de manière plus générale
n
X
i=1
ik=O(nk+1);
Exemples Calcul du coût de l’algorithme
de tri par insertion, par sélection,...
5 / 12
Équations de récurrence et complexité