Thermodynamique appliquée

12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur BE 8 008 − 1
BE 8 008 4 - 2005
Thermodynamique appliquée
Bilans entropiques et exergétiques
par André LALLEMAND
Ingénieur, docteur ès sciences
Professeur des universités à l’Institut national des sciences appliquées de Lyon
e deuxième principe de la thermodynamique nous apprend que l’entropie est
une grandeur extensive qui, d’une part accompagne tous les transferts de
chaleur, d’autre part apparaît spontanément (est créée) dans les systèmes qui
fonctionnent avec des irréversibilités dues à tous les gradients de grandeurs
intensives. Comme la dynamique de tous les systèmes est justement liée à ces
gradients, les irréversibilités sont présentes partout et sont nécessaires pour réali-
ser des transferts énergétiques dans des temps limités, c’est-à-dire pour mettre
en jeu des puissances non négligeables. Il apparaît alors un dilemme pour le
concepteur d’un système industriel, c’est-à-dire pour l’ingénieur. En effet, les irré-
versibilités, c’est-à-dire la création d’entropie, qui permettent d’avoir de la puis-
sance, sont la cause d’une transformation spontanée (dégradation) des énergies
dites « nobles » (mécanique, électrique, etc.) en énergie thermique, ce qui
dégrade en général le rendement du système considéré. Ainsi, afin d’optimiser un
système énergétique, l’ingénieur doit pouvoir mesurer le poids des irréversibili-
tés sur le fonctionnement du système. Pour ce faire, deux méthodes s’offrent à lui.
Les installations énergétiques industrielles et leurs composants sont quasi-
ment toujours, pour le « système thermodynamique » considéré (un fluide en
général), des systèmes ouverts. L’analyse des irréversibilités développées dans le
système peut alors s’appuyer sur une étude des bilans entropiques, c’est-à-dire
des flux d’entropie qui traversent le système, en régime permanent ou en régime
transitoire. De tels bilans faisant apparaître les créations d’entropie ou produc-
tion entropique, parmi les diverses solutions possibles celle qui, pour une même
puissance, donne la plus faible production entropique, devra être privilégiée.
1. Évolution de l’entropie d’un système ouvert.
Bilan entropique ....................................................................................... BE 8 008 - 2
2. Exergie. Anergie ....................................................................................... — 2
2.1 Exergie thermomécanique d’un système fluide en écoulement............. — 3
2.2 Étude exergétique du fonctionnement d’une machine ............................ — 4
2.2.1 Machine idéale .................................................................................... — 4
2.2.2 Machine réelle..................................................................................... — 5
2.3 L’exergie et le deuxième principe............................................................... — 6
2.4 Généralisation du concept d’exergie. Bilans exergétiques...................... — 8
2.4.1 Définitions ........................................................................................... — 8
2.4.2 Cas particulier de l’exergie thermique.............................................. — 9
2.4.3 Échanges exergétiques. Bilan exergétique d’un système fermé.... — 10
2.4.4 Bilan exergétique d’un système ouvert thermomécanique............ — 11
2.4.5 Production anergétique...................................................................... — 13
2.5 Application de l’analyse exergétique
au cas des échanges thermiques ............................................................... — 13
2.5.1 Échange de chaleur entre deux sources ........................................... — 13
2.5.2 Échange thermique entre un fluide chaud et un fluide froid.
Échangeurs de chaleur ....................................................................... — 15
Notations et symboles .................................................................................... — 17
Liste des indices................................................................................................ — 18
L

12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
BE 8 008 − 2© Techniques de l’Ingénieur
Cette première méthode est remplacée de plus en plus par la méthode exer-
gétique. Son intérêt réside principalement dans le fait que sa mise en œuvre
donne aussi bien des renseignements sur le plan quantitatif que sur le plan qua-
litatif des transferts énergétiques. Elle recouvre donc à la fois les concepts du
premier principe et ceux du deuxième principe de la thermodynamique alors
que les analyses entropiques ne prennent en compte que les aspects liés au
deuxième principe.
L’objet de cet article est de jeter les bases nécessaires à l’application de
chacune de ces deux méthodes. Cependant, l’accent sera mis sur les analyses
exergétiques.
Il est important de préciser que la compréhension de l’article est nettement
conditionné par la maîtrise des concepts établis dans l’article qui
précède [BE 8 007]. En fait, ces deux articles sont liés.
1. Évolution de l’entropie d’un
système ouvert.
Bilan entropique
L’étude des systèmes ouverts a été faite sur le plan énergétique
dans l’article [BE 8 005] au paragraphe 4.2. Il convient de consi-
dérer la particularité de ces systèmes sur le plan entropique.
Pour un tel système (figure 1), la variation d’entropie dS est due
à trois causes :
— l’échange thermique avec le milieu extérieur :
avec T
j la température du système sur la frontière de l’échange
thermique ;
— les irréversibilités internes dS ′ ;
— les apports entropiques liés au flux de matière ;
avec s
i l’entropie massique du fluide qui traverse la frontière au
niveau de la canalisation i et dm
i la masse qui pénètre
dans le système durant le temps dt considéré.
On écrit :
(1)
En régime permanent (dS = 0, puisque l’entropie est une fonc-
tion d’état et que, par définition, le système n’évolue pas) et en pre-
nant les modules des masses, on a :
(2)
Si on fait l’hypothèse d’un apport thermique continu en tempé-
rature, le bilan entropique correspondant à une évolution pendant
un intervalle de temps ∆t s’écrit :
(3)
En divisant par la durée ∆t :
(4)
avec le débit massique à travers la canalisation i,
la puissance thermique échangée à la température T,
le taux de création d’entropie ou la « production » entro-
pique interne au système. Ce taux est nul si le système
évolue de manière réversible ; il est positif si le système
évolue de manière irréversible, c’est-à-dire dans les cas
réels.
L’équation (4) constitue le bilan entropique pour un système
ouvert en régime permanent. On peut encore noter que : le flux
d’entropie qui sort (du fait du flux thermique et du flux de matière)
est égal au flux d’entropie qui entre (causes identiques) augmenté
de la production d’entropie.
2. Exergie. Anergie
L’analyse exergétique fait l’objet de l’article [BE 8 015]. On ren-
voie le lecteur à cet article pour avoir une vue détaillée de ce
concept. La présentation qui en est faite ici est une présentation
simplifiée, orientée vers une application en systèmes ouverts, sans
réactions chimiques et dont la frontière est indéformable. Cette
présentation est suffisante pour analyser la plupart des systèmes
énergétiques.
δQj
Tj
-----------
∑
sidmi
∑
dSδQj
Tj
-----------
∑dS′sidmi ∑
++=
sidmi
entrant
∑sidmi
sortant
∑
–δQj
Tj
-----------
∑dS′+ + 0=
δQ
T
---------- ∆S′+misi
∑sortant misi ∑entrant
–=
mi
˙sientrant
sortant δQ
˙
T
---------- S
˙′+=
Figure 1 – Schématisation d’un système ouvert
Tj
δQj
sidm
i
dS
ouvert
Σ
Flux de
matière
mi
˙
δQ
˙
S
˙′

12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
________________________________________________________________________________________________________ THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur BE 8 008 − 3
2.1 Exergie thermomécanique
d’un système fluide en écoulement
On considère (figure 2) un système fluide quelconque Σ tra-
versant une machine thermique MT qui, au cours d’une évolution
élémentaire réversible, échange, par unité de masse, de la chaleur
δq avec le milieu extérieur et une énergie mécanique δw
t avec les
éléments mobiles de la machine (travail techniquement et théori-
quement récupérable, voir article [BE 8 005] § 3.2). Supposons que
ce système serve de source chaude à un moteur de Carnot dont la
source froide soit constituée par le milieu ambiant. En recevant la
chaleur δq, le moteur de Carnot produit l’énergie :
avec Tla température du système Σ à l’endroit de l’échange
thermique,
Tala température du milieu ambiant.
Un tel ensemble produit, par unité de masse du système Σ, un
travail total :
(5)
Le premier principe de la thermodynamique, appliqué au sys-
tème fluide Σ (article [BE 8 005] § 4.1) s’écrit :
δwt + δq = dh + dec + dep(6)
avec hl’enthalpie massique,
ecl’énergie cinétique massique,
epl’énergie potentielle massique.
En notant que l’évolution de ce système est réversible :
les équations (5) et (6) donnent :
δ wg = dh + dec + dep – Ta ds(7)
La quantité :
étant l’enthalpie totale ([BE 8 005] § 4.1), on a :
δwg = dht – Ta ds(8)
Les expressions précédentes étant relatives à une évolution élé-
mentaire du système Σ, il convient de les étendre à une évolution
finie. Choisissons comme évolution particulière celle qui fait passer
le système fluide Σ réversiblement d’un état quelconque (à l’entrée
1 de la machine) à un état d’équilibre avec le milieu ambiant (à la
sortie 2 de la machine). Dans une telle opération, le travail global
fourni par l’ensemble machine thermique-machine de Carnot est
donné par :
wg max = hta – ht – Ta (sa – s ) (9)
où l’indice a désigne l’état du système en équilibre avec le milieu
ambiant.
Dans la relation (9), le travail est défini (par l’affectation de
l’indice « max ») comme étant un travail maximum récupérable
techniquement à partir du système Σ. Cela est vrai pour trois
raisons :
— les évolutions de l’ensemble sont réversibles, ce qui pour la
transformation du système assure un travail w
t maximal ainsi
d’ailleurs que pour le moteur de Carnot, compte tenu du niveau de
température de ses sources ;
— la source froide du moteur de Carnot est industriellement la
plus froide possible puisqu’il s’agit du milieu ambiant (source
gratuite mise à disposition) ; or w
C est d’autant plus grand que la
température de la source froide est plus basse ;
— lorsque l’équilibre existe entre le système Σ et le milieu
ambiant, le système ne peut techniquement plus évoluer : il est à
son potentiel le plus bas.
Dans tout le raisonnement ci-dessus, les termes correspondent à
des travaux moteurs ; ils sont comptés négativement. Ainsi w
g max
ayant une valeur négative, on lui préfère sa valeur opposée :
– w
g max = ex
qui est appelée exergie du système Σ. On écrit encore :
ex = h
t – h ta – Ta (s – sa ) = – wg max (10)
Or, les fonctions d’état sont définies à une constante près, cela
autorise de faire le choix de leur origine. Si on pose a priori que
l’enthalpie totale et l’entropie du système sont nulles lorsque
celui-ci est en état d’équilibre avec le milieu ambiant :
h
ta = 0 et sa = 0
on a :
ex = h
t – Ta s (11)
Dans l’expression (10), la quantité :
an = Ta (s – sa ) (12)
ou, avec l’hypothèse sa = 0 :
an = Ta s (13)
est appelée anergie du système Σ ce qui conduit à une écriture dif-
férente de l’équation (10) :
ex = h
t – an
ou encore :
h
t = ex + an (14)
Figure 2 – Mise en évidence du concept d’exergie
⬁
Σ
ΣΣ
(T)
Milieu ambiant (Ta)
Moteur de
Carnot
MT
δwt
δw
g
δqa
δq
δwC
= 1 – δq = Θ δq
Ta
T
12
δwCδq1Ta
T
--------–  =
δwgδwtδwC +δwtδq+1Ta
T
--------–  = =
dsδq
T
--------- 
=
hc2
2
-------- gz++ ht =
Notons ainsi les faits suivants.
1. L’exergie est une fonction d’état puisque son expression
ne fait intervenir que des fonctions d’état (h
t et s ) et une
constante Ta .
2. L’exergie du fluide correspond, au signe près, au travail
maximal que l’on peut techniquement et théoriquement retirer
de ce fluide qui évolue réversiblement entre un état quelconque
et son état d’équilibre avec le milieu ambiant.
La chute d’enthalpie totale d’un système fluide entre un état
quelconque et son état d’équilibre avec le milieu ambiant est
égale à la somme de son exergie et de son anergie.

12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE _________________________________________________________________________________________________________
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
BE 8 008 − 4© Techniques de l’Ingénieur
L’expression différentielle de l’anergie :
(15)
montre que cette fonction correspond à la quantité de chaleur que
le moteur de Carnot doit céder au milieu ambiant. En effet, en
recevant la chaleur δq , le moteur de Carnot reçoit également
l’entropie ds du système Σ. Comme ce moteur fonctionne de
manière cyclique et réversiblement, il doit céder :
au milieu ambiant. On voit alors que :
d an = δqa
2.2 Étude exergétique du fonctionnement
d’une machine
2.2.1 Machine idéale
L’étude précédente concernait une machine thermique à fonc-
tionnement réversible, pour laquelle on a [équation (14)] :
d h
t = d ex + d an (16)
Lors d’une évolution entre un état 1 et un état 2 du système Σ
(figures 2 et 3), on a :
∆h
t 12 = w t 12 + q12 = ∆ex12 + ∆an12 (17)
ou :
(18)
On voit (figure 3a ) que le travail produit par le système fluide
qui traverse une machine idéale est égal à la chute exergétique du
système fluide diminué de la quantité de chaleur (ici, négative)
cédée à l’extérieur, multipliée par le facteur de Carnot Θ :
(19)
Dans les schémas des figures 2 et 3, le terme :
(20)
représente le travail récupéré par le moteur de Carnot, soit l’énergie
thermique (échangée entre le système fluide, donc la machine, et le
milieu extérieur) convertie réversiblement en énergie mécanique. Le
travail global maximal, travail technique de la machine additionné
du travail récupéré sur la machine de Carnot, correspond alors à la
variation d’exergie :
(21)
La partie :
(22)
Figure 3 – Schématisation des transferts énergétiques d’un système avec son milieu extérieur pour une évolution du système d’un état 1 à un état 2.
Cas d’une machine motrice
ex1
∆ex12
∆an12
∆ht
12
ex2
q12
wt
12
ht
2
ht
1
Θ δq
Ta
Tδq
wg12 max idéal
()
Ta
Tδq
ex1
∆ex12
∆an12
∆ht
12
ex2
q12
wt
12
ht
2
ht
1
Θ δq
T
δqint
Ta
T
δqint
Ta
wg12 max réel
()
amachine idéale bmachine réelle
Ainsi, l’anergie représente la part minimale de l’énergie d’un
système qui ne pourra jamais être transformée en énergie
mécanique lorsque ce système passe d’un état quelconque à un
état d’équilibre avec le milieu ambiant.
De même, et corrélativement, on peut énoncer : l’exergie est
la fraction maximale de l’énergie d’un système qui peut être
transformée en énergie mécanique.
dan TadsTa
T
-------- δq==
dsδqa
Ta
-----------=
wt12 ∆ex12 
1
2
1Ta
T
--------– δq–=
Θ1Ta
T
--------–=
1
2
Θ δ q
wgmax wt12 
1
2
Θ δq+∆ex12 = =
1
2
Ta
δq
T
--------- ∆an12
=

12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
12/09/2008
Madame, Monsieur
Dossier délivré pour
________________________________________________________________________________________________________ THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur BE 8 008 − 5
correspond à la partie de cette énergie thermique non transforma-
ble en énergie mécanique, même par un moteur de Carnot.
■ On notera les remarques suivantes.
●Si la transformation est isotherme avec T = Ta (facteur de
Carnot Θ = 0) :
w
t 12 = ∆ex 12
q
12 = ∆an 12
aucun travail supplémentaire ne peut être retiré de la quantité de
chaleur q
12 .
●Si la transformation est isentropique :
q
12 = 0
w
t 12 = ∆ex 12
●Si la machine ne comporte aucun élément mobile :
w
t 12 = 0
q
12 = ∆ex 12 + ∆an 12
si de plus, aucun échange thermique n’a lieu :
q
12 = 0 et ∆ex 12 = – ∆an 12 = 0
(puisque ∆an = Ta (s
2 – s 1) = 0).
2.2.2 Machine réelle
Avant de considérer les particularités de la machine réelle du
point de vue exergétique, il convient de préciser que la définition
de l’exergie est une définition intrinsèque introduite à propos du
fonctionnement d’une machine idéale, mais utilisable quel que soit
le mode d’évolution du système. Ainsi, toutes les définitions et for-
mules du paragraphe 2.1 impliquant l’exergie et l’anergie restent
valables.
Le travail technique produit dans une machine peut être explicité
par l’équation dynamique (33) donnée dans l’article [BE 8 005]
(§ 3.2.2) :
(23)
avec δ τ
if le travail élémentaire des forces de frottement interne
dues à la viscosité (terme toujours positif).
Ce travail produit à l’intérieur même du système ce que l’on
appelle de la chaleur interne car son effet entropique est identique
à celui qui serait produit par un apport thermique lors d’une trans-
formation réversible. Cette chaleur interne (notée δqint ) est par
convention égale à δ
τ
if . Elle est responsable d’une création d’entro-
pie ds ′ telle que :
(24)
Alors, au cours d’une évolution élémentaire du système, la varia-
tion d’entropie massique ds s’écrit :
(25)
(qui est conforme à l’équation générale (équation (20) article
[BE 8 007]) de la variation d’entropie d’un système en évolution
quelconque).
Si, comme précédemment, pour un système fluide traversant une
machine réelle on associe l’énergie δwt et la quantité de chaleur δq
fournie à une machine de Carnot, qui permet de récupérer de l’éner-
gie mécanique δwC , le travail global récupéré (maximal pour cet
ensemble fonctionnant globalement de manière irréversible, mais
possédant un élément de Carnot) est donné par :
δwg = δwt + δwC = δwt + Θ δq(26)
En utilisant l’équation du premier principe ((38), § 3.2.2 article
[BE 8 005]), on a :
L’équation (25) permet alors d’écrire :
(27)
Compte tenu des définitions de l’exergie et de l’anergie, cette
équation devient :
(δwg )max réel = dex + Ta ds ′(28)
Cette expression met en évidence (figures 3a et b ) que, pour
une transformation donnée (états extrêmes fixés), le travail global
maximal pour une machine réelle (négatif pour un moteur) a une
valeur plus faible en module que lors de l’utilisation d’une machine
idéale. On a en effet :
(29)
Le travail technique est donné par :
(30)
Le « manque à gagner » du point de vue du travail, égal à :
(31)
est dû aux irréversibilités produites par les frottements internes du
fluide. Cette quantité est encore appelée augmentation (ou créa-
tion) d’anergie due à l’irréversibilité :
(32)
La variation d’anergie, pour une transformation de l’état 1 à
l’état 2, a la même valeur que les opérations soient réversibles ou
non (variation d’une fonction d’état). Elle vaut, selon que la trans-
formation soit réversible ou non (figures 3a et b ) :
(33)
avec δq
int = 0 pour le cas réversible.
Notons enfin que l’équation (30) donne une autre expression de
l’exergie :
(34)
■ On notera les remarques suivantes.
●Dans le cas d’une machine génératrice, wg et ∆ex sont positifs
(figures 4a et b ). Ainsi :
wg max réel > wg max idéal
On peut énoncer : l’exergie et l’anergie d’un système en
écoulement réversible adiabatique dans une canalisation sont
conservatives.
δwtvdPdc2
2
-------- gdzδ
τ
if
+++=
ds′δqint
T
--------------- 0>=
dsδq
T
--------- δqint
T
---------------+=
Qui traduit le fait suivant : la variation d’exergie du fluide qui
traverse une machine correspond au travail technique du fluide
augmenté (algébriquement) du travail fourni par une machine
de Carnot qui utilise la chaleur échangée entre le fluide et son
milieu extérieur, diminué de la quantité d’anergie créée par les
irréversibilités.
δwgdht
Ta
T
-------- δq–=
δwgdhtTads–Ta
δqint
T
---------------
+=
δwg ()
max réel dex Ta
δqint
T
---------------
+=
wg max idéal ( )12 ∆ex12 et wg max réel ( )12 ∆ex12 Ta∆s′
12
+= =
wt12 ∆ex12 Θ δqTa
δqint
T
---------------
+–=
Ta∆s′
12 0>
Tads′Ta
T
-------- δqint danirr 0>= =
∆an12 
1
2
Ta
δq
T
--------- 
1
2
Ta
δqint
T
---------------
+=
∆ex12 wt12 Θ δqTa
δqint
T
---------------
–+ ∆ht12 ∆an12 –= =