b g. b g.

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DYNFLU20
Une éolienne de section S reçoit un flux d’air. L’écoulement est supposé incompres-
sible. On étudie un tube de courant qui s’appuie sur l’hélice. Sa section d’entrée a une aire S
1
et sa section de sortie une aire S
2
. On note S l’aire de la section du tube au niveau de l’hélice et
v
la vitesse de l’écoulement à travers cette section.
1) Exprimer le débit massique D
m
à travers les différentes sections.
2) Calculer la force exercée par l’hélice sur l’air du tube en fonction de D
m
, v
1
et v
2
.
3) Calculer la puissance cinétique prélevée par l’éolienne à l’écoulement. En com-
parant avec le travail de la force calculée ci-dessus, montrer la relation v v v= +
1
2
1 2
b
g
.
4) En l’absence d’éolienne, la surface S serait traversée par un écoulement de vitesse v
1
. En déduire le rapport r entre l’énergie prélevée
par l’éolienne et l’énergie cinétique qui traverserait la section S en l’absence d’éolienne. Exprimer r en fonction de
x
v
v
=
2
1
.
Corrigé
1) Par définition, le débit massique orienté dans le sens de l’écoulement est D v n dS
m
=
zz
µ .
Σ
Σ
à travers une surface Σ.
Comme l’écoulement est unidirectionnel et unidimensionnel au niveau des sections, il
vient
D
v
S
m
i
i
=
µ
à travers chaque section.
Comme l’écoulement est incompressible, le débit est le même à travers toutes les sections
droites de l’écoulement donc on peut écrire D
m
= µ v
1
S
1
= µ v
2
S
2
= µ vS.
2-a) On se place dans le référentiel R lié au sol qui est galiléen pour le phénomène étudié.
On considère la surface fermée Σ fixe dans le référentiel R, constituée de Σ
1
, Σ
2
et Σ
LAT
. Le
système fermé S considéré est :
 à l’instant t : le fluide
contenu dans Σ à l’instant t et la masse
δ m
E
entrant dans Σ .; sa quantité de mou-
vement est
p
S
(t) =
p
( Σ , t) + δ m
E
v
1
;
 à l’instant t + dt : le
fluide contenu dans Σ à l’instant t + dt et
la masse δ m
S
sortant de Σ ; sa quantité de
mouvement est
p
S
(t + dt) =
p
( Σ , t + dt) + δ m
S
v
2
.
L’écoulement étant stationnaire, on a
p
( Σ , t + dt) =
p
( Σ , t) et δ m
E
= δ m
S
= D
m
.dt .
Il reste
p
(t + dt) –
p
(t) = D
m
.dt (
v
2
–
v
1
).
Il vient donc
d
p
t
dt
(
)
= D
m
(
v
2
–
v
1
).
Or le théorème de la résultant cinétique appliqué à S dans le référentiel R galiléen s’écrit
d
p
t
dt
F
(
)
=
EXT
.
Ici, on a
F
EXT
=
F
H
+ −
zz
p M n dS( )
Σ
Σ
en notant
F
H
la force exercée par l’hélice sur l’air en
mouvement.
Comme la pression vaut p0 en tout point de Σ , on a − = − =
zz
zz
p M n dS p n dS( )
Σ
Σ
Σ
Σ
0
0 et il
reste
F D v v
H m
= −
2 1
b
g
.
S
1
S
S
2
v
1
v
2
Σ
1
v
1
Σ
LAT
Σ
2
v
2
x
P
0
P
0
P
0
δm
E
δm
S
Σ ’

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3) La puissance cinétique de l’air à l’entrée est P
C m1 1
2
1
2
=D v et à la sortie P
C m2 2
2
1
2
=D v . La
variation de puissance cinétique est donc P P
C C m2 1 2
2
1
2
1
2
− = −D v v
d
i
.
En notant P la puissance algébrique des forces extérieures appliquées au fluide qui se réduit
ici à la puissance de la force exercée par l’hélice sur le fluide, le théorème de la puissance cinétique
s’écrit, dans le référentiel R galiléen, P = P
C2
– P
C1
.
Dans la zone où le fluide subit la force
F
H
, la vitesse de l’écoulement est
v
donc la puis-
sance mécanique reçue algébriquement par le fluide est P =
F
H
.
v
= D
m
(
v
2
–
v
1
)
v
. Comme les
vitesses
v
,
v
1
et
v
2
sont colinéaires, on peut écrire P = D
m
( v
2
– v
1
). v .
Remarque : Comme S
2
> S
1
, on a v
2
< v
1
d’après la conservation du débit. On en déduit que
P < 0 : la puissance est effectivement fournie par le fluide à l’éolienne.
En reportant dans le théorème de la puissance cinétique, on obtient
D v v v D v v v v
m m2 1 2 1 2 1
1
2
− = − +
b
g
b
g
b
g
. soit
v v v= +
1
2
2 1
b
g
.
4) L’éolienne prélève donc sur le courant d’air la puissance
∆ P P P
C C C
= − = −
1 2 1
2
2
2
1
2
( )( ) µSv v v . Cette grandeur est bien positive puisque v
1
> v
2
.
En l’absence d’éolienne, la vitesse du vent serait v
1
à travers la section S et la puissance ci-
nétique serait P
C
' ( ) =
1
2
1 1
2
µSv v .
On peut définir le rendement par
r=
∆
P
P
C
C
' d’où
r
Sv v v
Sv v
=
−
1
2
1
2
1
2
2
2
1 1
2
( )( )
( )
µ
µ
=+ −v v v v
v
1 2 1
2
2
2
1
3
2
( )
= +
F
H
G
I
K
J
−
F
H
G
I
K
J
1
21 1
2
1
2
2
1
v
v
v
v. Si l’on note x
v
v
=
2
1
, il vient
r x x= + −
1
2
1 1
2
b
g
b
g
dont la représentation graphique est
la suivante :
Le rendement est maximum pour x
M
tel que
dr
dx x x=
=
M
0 soit 2(1 + x
M
)(1 – x
M
) – (1 + x
M
)
2
= 0 ou
encore (1 + x
M
)(2 – 2x
M2
– 1 – x
M
) = 0. On en déduit
x
M
=
1
3
et r
M
= +
F
H
G
I
K
J
−
F
H
G
I
K
J
1
211 311 3
2
=
16
27
.
r ( x )
x
x
M
=
1
3