b g. b g.

DYNFLU20
Une éolienne de section S reçoit un flux d’air. L’écoulement est supposé incompressible. On étudie un tube de courant qui s’appuie sur l’hélice. Sa section d’entrée a une aire S1
et sa section de sortie une aire S2. On note S l’aire de la section du tube au niveau de l’hélice et
v la vitesse de l’écoulement à travers cette section.
1) Exprimer le débit massique Dm à travers les différentes sections.
S2
S1
v1
v2
S
2) Calculer la force exercée par l’hélice sur l’air du tube en fonction de Dm, v1 et v2.
3) Calculer la puissance cinétique prélevée par l’éolienne à l’écoulement. En comparant avec le travail de la force calculée ci-dessus, montrer la relation
v=
b
1
v1 + v2
2
g
.
4) En l’absence d’éolienne, la surface S serait traversée par un écoulement de vitesse v1. En déduire le rapport r entre l’énergie prélevée
par l’éolienne et l’énergie cinétique qui traverserait la section S en l’absence d’éolienne. Exprimer r en fonction de
x=
v2
v1
.
Corrigé
1) Par définition, le débit massique orienté dans le sens de l’écoulement est Dm =
zz
µv . nΣ dS
Σ
à travers une surface Σ.
Comme l’écoulement est unidirectionnel et unidimensionnel au niveau des sections, il
vient Dm = µvi Si à travers chaque section.
Comme l’écoulement est incompressible, le débit est le même à travers toutes les sections
droites de l’écoulement donc on peut écrire Dm = µv1S1 = µv2S2 = µvS.
2-a) On se place dans le référentiel R lié au sol qui est galiléen pour le phénomène étudié.
On considère la surface fermée Σ fixe dans le référentiel R, constituée de Σ1, Σ2 et ΣLAT. Le
système fermé S considéré est :
Σ2
à l’instant t : le fluide
P0
Σ1
contenu dans Σ à l’instant t et la masse
δmS
δmE entrant dans Σ.; sa quantité de mouΣ
’
δmE
v1
v2
vement est
P0
p S(t) = p(Σ, t) + δmE v 1;
P0
à l’instant t + dt : le
fluide contenu dans Σ à l’instant t + dt et
la masse δmS sortant de Σ; sa quantité de
mouvement est
p S(t + dt) = p(Σ, t + dt) +δmS v 2.
ΣLAT
L’écoulement étant stationnaire, on a p(Σ, t + dt) = p(Σ, t) et δmE = δmS = Dm.dt .
Il reste p(t + dt) – p(t) = Dm.dt ( v 2 – v 1).
dp(t )
Il vient donc
= Dm( v 2 – v 1).
dt
Or le théorème de la résultant cinétique appliqué à S dans le référentiel R galiléen s’écrit
dp(t ) = FEXT .
dt
Ici, on a F EXT = F H + − p( M )nΣ dS en notant F H la force exercée par l’hélice sur l’air en
zz
Σ
mouvement.
Comme la pression vaut p0 en tout point de Σ, on a
b
zz
Σ
g
reste FH = Dm v2 − v1 .
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− p( M )nΣ dS =
zz
Σ
− p0nΣ dS = 0 et il
x
3) La puissance cinétique de l’air à l’entrée est PC1 =
d
1
1
Dmv12 et à la sortie PC 2 = Dm v2 2 . La
2
2
i
1
Dm v2 2 − v12 .
2
En notant P la puissance algébrique des forces extérieures appliquées au fluide qui se réduit
ici à la puissance de la force exercée par l’hélice sur le fluide, le théorème de la puissance cinétique
s’écrit, dans le référentiel R galiléen, P = PC2 – PC1.
est v donc la puisDans la zone où le fluide subit la force F H, la vitesse de
l’écoulement
sance mécanique reçue algébriquement par le fluide est P = F H. v = Dm( v 2 – v 1) v . Comme les
vitesses v , v 1 et v 2 sont colinéaires, on peut écrire P = Dm(v2 – v1).v.
Remarque : Comme S2 > S1, on a v2 < v1 d’après la conservation du débit. On en déduit que
P < 0 : la puissance est effectivement fournie par le fluide à l’éolienne.
En reportant dans le théorème de la puissance cinétique, on obtient
1
1
Dm v2 − v1 . v = Dm v2 − v1 v2 + v1 soit v = v2 + v1 .
2
2
4)
L’éolienne
prélève
donc
sur
le
courant
d’air
la
puissance
1
2
2
∆PC = PC1 − PC 2 = (µSv )(v1 − v2 ) . Cette grandeur est bien positive puisque v1 > v2.
2
En l’absence d’éolienne, la vitesse du vent serait v1 à travers la section S et la puissance ci1
nétique serait PC ' = (µSv1 )v12 .
2
1
2
2
(µSv )(v1 − v2 )
2
2
v + v (v − v )
∆PC
On peut définir le rendement par r =
d’où r = 2
= 1 2 1 32
1
2
PC '
2
v1
(µSv1 )v1
2
2
1
v
v
v
1 − 2 . Si l’on note x = 2 , il vient
= 1+ 2
r(x)
2
v1
v1
v1
1
2
r = 1 + x 1 − x dont la représentation graphique est
2
la suivante :
Le rendement est maximum pour xM tel que
dr
= 0 soit 2(1 + xM)(1 – xM) – (1 + xM)2 = 0 ou
dx x = x M
encore (1 + xM)(2 – 2xM2 – 1 – xM) = 0. On en déduit
2
1
1
1
1
16
x
xM = et rM = 1 +
1− = .
2
3
3
3
27
variation de puissance cinétique est donc PC 2 − PC1 =
b
FG
H
g
b
gb
g
b
g
IJ FG IJ
KH K
b gb g
FG IJ FG IJ
H KH K
xM =
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1
3