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ECOLE PREPARATOIRE EN SCIENCES ECONOMIQUES COMMERCIALES ET
DES SCIENCES DE GESTION DE CONSTANTINE
Initiation au Calcul de
Probabilité
DAKHMOUCHE Meghlaoui

Ecole Préparatoire en Sciences Economiques
Commerciales et des Sciences de Gestion
de Constantine
Initiation au Calcul de Probabilité
Dr. Meghlaoui Dakhmouche
Année Universitaire 2010/2011

Table des matières
1 Calcul de probabilité élémentaire 4
1.1 Notions intuitives et langage de la théorie des probabilités . . 4
1.1.1 Opérations sur les évènements . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Premières dé…nitions d’une probabilité . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Dé…nition classique d’une probabilité . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Dé…nition géométrique d’une probabilité . . . . . . . . 8
1.2.3 Dé…nition fréquentielle d’une probabilité . . . . . . . . 8
1.3 Théorie élémentaire du calcul de probabilité . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Conséquences des axiomes de Kolmogorov . . . . . . . 10
1.4 Calcul de probabilité sur les ensembles …nis . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Extension de l’axiome K3de Kolmogorov . . . . . . . . 13
1.5 Rappels sur l’analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Principe de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2 Notation factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.5 Propriétés des coe¢ cients combinatoires . . . . . . . . 20
1.5.6 Partitions ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.7 Exemples de probabilités combinatoires . . . . . . . . . 24
1.6 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Extension de l’axiome des probabilités conditionnelles . 31
1.6.2 Indépendance des évènements . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Probabilité produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7.1 Produit …ni de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.7.2 Tirage de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8 Comment appréhender la résolution d’un problème de calcul
deprobabilité ........................... 38
1

2 Variables aléatoires 42
2.1 Notion de variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Distribution d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . 46
2.2.2 Fonction d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Espérance mathématique ou moyenne d’une variable
aléatoire.......................... 48
2.3.2 Propriété fondamentale de l’espérance mathématique . 49
2.3.3 Moments centrés d’une variable aléatoire . . . . . . . . 50
2.3.4 Variance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . 51
2.3.5 Ecart-type d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . 52
2.3.6 Fonction génératrice des moments d’une variable aléa-
toire ............................ 52
2.4 Inégalité de Bienaymé-Tchébichev . . . . . . . . . . . . . 53
3 Couple de variables aléatoires 55
3.1 Distribution de probabilité d’un couple de variables aléatoires 55
3.1.1 Fonction de répartition d’un couple de variables aléa-
toires............................ 58
3.2 Vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 Loi de probabilité conjointe de kvariables aléatoires . . 59
3.3 Indépendance des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1 Variable aléatoire conditionnelle ou liée . . . . . . . . . 61
3.4 Moment d’une fonction de deux variables aléatoires . . . . . . 62
3.4.1 Moment d’un couple de variables aléatoires . . . . . . . 63
3.4.2 Moments centrés d’un couple de variables aléatoires . . 63
3.4.3 Covariance d’un couple de variables aléatoires . . . . . 64
3.4.4 Coe¢ cient de corrélation de deux variables aléatoires . 66
3.4.5 Droite de régression entre deux variables aléatoires . . 68
3.5 Somme de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Fonction génératrice des moments de la somme de deux
variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5.2 Fonction caractéristique d’une variable aléatoire . . . . 71
3.5.3 Relation entre les dérivées de 'X(t)et les moments de
la variable aléatoire X.................. 72
3.5.4 Somme de nvariables aléatoires . . . . . . . . . . . . . 73
2

4 Lois de probabilité usuelles 74
4.1 Loi de Bernoulli : B(p)...................... 74
4.1.1 Calcul des moments de la loi de Bernoulli . . . . . . . 74
4.2 Loi uniforme sur f1;2; :::; Ng:Uf1;2;:::;N g............ 75
4.2.1 Calcul des moments de la loi uniforme . . . . . . . . . 75
4.3 Loi binomiale : B(n; p)...................... 76
4.3.1 Moments particuliers de la loi binomiale . . . . . . . . 77
4.3.2 Mode d’une variable aléatoire binomiale . . . . . . . . 78
4.4 Loi hypergéométrique : H(N; n; p)................ 78
4.4.1 Moments particuliers d’une distribution hypergéomé-
trique H(N; n; p)..................... 80
4.4.2 Calcul de la variance d’une loi hypergéométrique H(N; n; p)81
4.5 Loi multinomiale : M(n; p1; p2; :::; pk).............. 81
4.5.1 Fonction caractéristique du vecteur aléatoire multinomial 83
5 Probabilités sur les ensembles dénombrables 85
5.1 Notions sur les ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Propriétés des ensembles dénombrables . . . . . . . . . 86
5.1.2 Tribu de parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Notions sur les familles sommables . . . . . . . . . . . 86
5.2 Probabilités sur les ensembles dénombrables . . . . . . . . . . 87
5.2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2 Probabilité produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.3 Variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.1 Loi ou distribution d’une variable aléatoire . . . . . . . 93
5.3.2 Fonction de répartition d’une variable aléatoire . . . . 93
5.3.3 Moments d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . 93
5.3.4 Variable aléatoire ne possédant pas de moyenne . . . . 95
5.3.5 Fonction caractéristique d’une variable aléatoire . . . . 96
5.3.6 Variables aléatoires à valeurs dans R2.......... 96
5.4 Lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4.1 Loi géométrique ou loi de Pascal G(p).......... 97
5.4.2 Loi binomiale négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.4.3 Fonction génératrice des moments de la loi B(m; p). 100
5.4.4 Distribution de Poisson P()..............101
5.5 Convergences stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.5.1 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . 103
5.5.2 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3