Interaction Rayonnement-Mati`ere

Interaction
Rayonnement-Mati` ere
Master PMC
Nancy-Universit´ e
Christophe Chatelain, 2008-2011

C. Chatelain
Sommaire
1. M´ecanique Quantique ....................... 6
1.1. Postulats de la m´ecanique quantique ................. 6
1.1.1. ´
Etats quantiques et th´eorie de la mesure .............. 6
1.1.1.1. ´
Etats quantiques dans la repr´esentation de Schr¨odinger . . . . . . . . 6
1.1.1.2. ´
Evolution temporelle d’un syst`eme quantique . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1.3. Th´eorie de la mesure dans un syst`eme quantique . . . . . . . . . . . 10
1.1.1.4. Principe de r´eduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.1.5. Expression des corr´elations temporelles quantiques . . . . . . . . . . 14
1.1.1.6. Relations d’incertitude d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2. Repr´esentations d’Heisenberg et d’interaction ........... 17
1.1.2.1. Repr´esentations de la th´eorie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2.2. Repr´esentation d’Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2.3. Repr´esentation d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.3. Formalisme de la seconde quantification ............... 22
1.1.3.1. Principe d’indiscernabilit´e des particules identiques . . . . . . . . . . 23
1.1.3.2. Op´erateurs cr´eation et annihilation de particules . . . . . . . . . . . 26
1.1.3.3. Relations de commutation entre op´erateurs ´echelle . . . . . . . . . . 29
1.1.3.4. Repr´esentation des op´erateurs en seconde quantification . . . . . . . 30
1.1.3.5. Transformations unitaires des op´erateurs ´echelle . . . . . . . . . . . 31
1.1.3.6. ´
Etatscoh´erents ............................ 36
1.1.3.7. Op´erateurs champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.1.3.8. Equations de Heisenberg pour les op´erateurs champs . . . . . . . . . 44
1.2. Formalisme des fonctions de Green .................. 45
1.2.1. Formalisme de la matrice de diffusion ................ 45
1.2.1.1. D´efinition de la matrice de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.2.1.2. D´eveloppement perturbatif de la matrice de diffusion . . . . . . . . . 46
1.2.1.3. R`egle d’or de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.2. Op´erateurs de Green de l’´equation de Schr¨odinger ........ 50
1.2.2.1. Op´erateurs de Green retard´es et avanc´es . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.2.2. Transform´ees de Fourier des op´erateurs de Green . . . . . . . . . . . 52
1.2.2.3. Fonctions d’auto-corr´elation et op´erateur de Green . . . . . . . . . . 54
1.2.2.4. ´
Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.2.2.5. Resommation partielle du d´eveloppement de l’´equation de Dyson . . . 56
1.2.2.6. M´ethode des projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.2.2.7. L’exemple des oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2. Electrodynamique quantique ................. 65

2.1. Electrodynamique quantique en jauge de Coulomb ........ 65
2.1.1. Th´eorie de Schr¨odinger sous champ ´electromagn´etisme . . . . . . 65
2.1.1.1. Courant et charge ´electrique de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1.2. Couplage des champs de Schr¨odinger et ´electromagn´etique . . . . . . 66
2.1.1.3. Invariance de jauge de l’´equation de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . 66
2.1.1.4. Lois de conservation du champ de Schr¨odinger sous champ . . . . . . 67
2.1.1.5. Limite non-relativiste de l’´equation de Dirac sous champ . . . . . . . 68
2.1.2. Degr´es de libert´e du champ ´electromagn´etique libre ........ 71
2.1.2.1. ´
Equations du mouvement des champs ´electomagn´etiques libres . . . . 71
2.1.2.2. Electromagn´etisme dans l’espace r´eciproque . . . . . . . . . . . . . 71
2.1.2.3. Variables normales du champ ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . 73
2.1.2.4. Expression des champs en fonction des variables normales . . . . . . 74
2.1.2.5. Rep`ere local pour les variables normales . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.3. Th´eorie quantique des champs ´electomagn´etiques libres . . . . . 77
2.1.3.1. Formalisme lagrangien du champ ´electromagn´etique . . . . . . . . . 77
2.1.3.2. Quantification du champ ´electromagn´etique libre . . . . . . . . . . . 79
2.1.3.3. Relations de commutation du potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . 81
2.1.3.4. Fluctuations quantiques du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.3.5. ´
Etats coh´erents du champ ´electromagn´etique . . . . . . . . . . . . . 85
2.1.4. Th´eorie quantique des champs ´electromagn´etiques en interaction 86
2.1.4.1. Dynamique de la composante longitudinale du champ ´electrique . . . 86
2.1.4.2. Dynamique des variables normales en pr´esence d’interaction . . . . . 87
2.1.4.3. Impulsion et hamiltonien des champs en interaction . . . . . . . . . 88
2.1.4.4. Quantification du champ ´electromagn´etique en interaction . . . . . . 89
2.1.4.5. Op´erateur hamiltonien de l’´electrodynamique quantique . . . . . . . 91
3. Atomes et mol´ecules ........................ 92
3.1. Physique des atomes isol´es ....................... 93
3.1.1. Orbitales et spectre des atomes hydrog`eno¨ıdes ........... 93
3.1.1.1. Approximation du noyau ponctuel et de l’atome nu . . . . . . . . . . 93
3.1.1.2. ´
Etats stationnaires du hamiltonien des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . 94
3.1.1.3. Orbitales ´electroniques des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . . . . . . . 95
3.1.1.4. Approximation du noyau ponctuel et effet de volume du noyau . . . . 98
3.1.2. Corrections relativistes du spectre des atomes hydrog`eno¨ıdes . . 99
3.1.2.1. Equation de Klein-Gordon des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . . . . . 99
3.1.2.2. Equation de Dirac des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.2.3. Couplage spin-orbite des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . . . . . . . . 103
3.1.2.4. Structure hyperfine des atomes hydrog`eno¨ıdes . . . . . . . . . . . . 104
3.1.3. Atomes hydrog´eno¨ıdes sous champ ´electromagn´etique . . . . . . . 105
3.1.3.1. Moment dipolaire d’un atome hydrog´eno¨ıde sous champ ´electrique . . 105
3.1.3.2. Moment magn´etique atomique et facteur de Land´e . . . . . . . . . . 106
3.1.3.3. Atomes hydrog´eno¨ıdes sous champ magn´etique . . . . . . . . . . . . 108
3.2. Processus d’interaction entre atomes et rayonnement . . . . . . 109
3.2.1. ´
Emission et absorption d’un photon par un atome ......... 111
3.2.1.1. Approximation dipolaire des amplitudes de probabilit´e . . . . . . . . 111

C. Chatelain
3.2.1.2. Transitions dipolaires entre ´etats atomiques . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.1.3. R`egles de s´election . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.1.4. Dur´ee de vie des ´etats atomiques excit´es . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.1.5. Distribution spectrale des photons ´emis ou absorb´es . . . . . . . . . 120
3.2.1.6. Principe de fonctionnement d’une horloge atomique . . . . . . . . . 123
3.2.1.7. Transitions magn´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.2.1.8. Effet photo-´electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2.1.9. Transition de Lamb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.2.1.10. Cascade radiative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2.2. Processus de diffusion ......................... 133
3.2.2.1. Transformation de G¨oppert-Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2.2.2. Diffusion Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.2.3. Diffusion Rayleigh non-r´esonnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.2.4. Diffusion Rayleigh r´esonnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.2.5. Diffusion in´elastique des neutrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144