OUTILS MATHEMATIQUES DU TRAITEMENT DES SIGNAUX

OUTILS MATHEMATIQUES
DU TRAITEMENT DES SIGNAUX CERTAINS
Produit de convolution
Série de Fourier
Transformée de Fourier
Transformée de Laplace
Traitement analogique du signal
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Sommaire
1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants................................ 5
1.1. Méthode classique ........................................................................................................................... 5
1.1.1. Première phase : équation sans second membre ................................................................. 5
1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre ................................................................ 5
2. Produit de convolution * .......................................................................................... 6
2.1. Définition ......................................................................................................................................... 6
2.2. Propriétés de base ............................................................................................................................ 6
2.3. Pour comprendre la convolution .................................................................................................... 6
3. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier .................................. 7
3.1. Définition ......................................................................................................................................... 7
3.2. Deuxième forme d’écriture de la série de Fourier ......................................................................... 7
3.3. Écriture sous forme complexe......................................................................................................... 7
3.4. Quelques décompositions classiques............................................................................................... 8
3.4.1. Signal carré ........................................................................................................................... 8
3.4.2. Signal triangulaire ................................................................................................................ 9
3.5. Identité de Parseval ....................................................................................................................... 11
3.5.1. Signal carré ......................................................................................................................... 11
3.5.2. Signal triangulaire .............................................................................................................. 11
4. Calcul d’une transformée de Fourier (signaux non-périodiques)...................... 12
4.1. Définition ....................................................................................................................................... 12
4.2. Quelques décompositions classiques............................................................................................. 12
4.2.1. Transformée de Fourier d’une porte carrée ...................................................................... 12
4.2.2. Transformée de Fourier d’une porte triangulaire ............................................................. 13
4.3. Propriétés de la transformée de Fourier....................................................................................... 14
4.3.1. Linéarité, symétrie : ............................................................................................................. 14
4.3.2. Retard : ................................................................................................................................ 14
4.3.3. Transformation d’une convolution : .................................................................................... 14
4.3.4. Dérivation, intégration : ...................................................................................................... 14
4.3.5. Transformation d’un produit, modulation : ......................................................................... 14
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4.3.6. Facteur d’échelle : ............................................................................................................... 14
4.4. Calcul d’une transformée de Fourier inverse .............................................................................. 14
5. Transformée de Laplace......................................................................................... 15
5.1. Définition de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15
5.2. Propriétés de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15
5.2.1. Linéarité :............................................................................................................................. 15
5.2.2. Retard : ................................................................................................................................ 15
5.2.3. Convolution :........................................................................................................................ 16
5.2.4. Dérivation : .......................................................................................................................... 16
5.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale : ......................................................... 16
5.3. Transformées de Laplace usuelles ................................................................................................ 17
5.3.1. L’impulsion de Dirac : ......................................................................................................... 17
5.3.2. L’échelon de Heaviside :...................................................................................................... 17
5.3.3. La rampe unitaire : .............................................................................................................. 17
5.3.4. L’exponentiel complexe : ..................................................................................................... 17
5.4. Transformée de Laplace inverse ................................................................................................... 18
5.4.1. Définition............................................................................................................................. 18
5.4.2. Exemple ............................................................................................................................... 18
5.5. Exemple d’application de la transformée de Laplace .................................................................. 19
6. EXERCICES ........................................................................................................... 24
6.1. Exemple de transformée de Fourier ............................................................................................. 24
6.2. Exemple de convolution ................................................................................................................ 24
6.3. Comparaison entre produit de convolution et domaine de Laplace ............................................ 24
7. ANNEXE.................................................................................................................. 25
7.1. Transformées usuelles de Fourier ................................................................................................ 25
7.2. Transformées usuelles de Laplace ................................................................................................ 26
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1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants
1.1. Méthode classique
&&
y (t )
{
Eq du 2
ème
+ y& (t ) −
6 y (t ) = 12t + 20
{
Coef Cst
Ordre
inconnue :
y (t )
1.1.1. Première phase : équation sans second membre
ESSM = Equation sans second membre
&&
y (t ) + y& (t ) − 6 y (t ) = 0 ( E )
On recherche la solution générale de cette équation sans second membre :
( E ) → Equation caractéristique : r 2 + r − 6 = 0
∆ = 1 + 4 × 6 = 25
( r + 2 )( r − 3) = 0
La solution générale de de l’équation sans second membre : y (t ) = A.e 1 + B.e 2
rt
rt
Où r1 et r2 sont les solutions réelles de l’équation caractéristique.
r1 = −2 et r2 = 3 ⇒ y (t ) = A.e −2t + B.e3t
A et B dépendent des conditions initiales.
1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre
EASM =equation avec second membre
On cherche une solution particulière :
&&
y (t ) + y& (t ) − 6 y (t ) = 12t + 20
La solution particulière est de la même forme que le second membre :
y (t ) = at + b ⇒ y& (t ) = a
a − 6at − 6b = 12t + 20
et
&&
y (t ) = 0
⎧⎪−6at = 12t ⇒ a = −2 ⎤
−11
⇒⎨
⎥ ⇒ 6b = a − 20 = −22 → b =
3
⎩⎪a − 6b = 20
⎦⎥
y (t ) = −2t −
−11
solution particulière de EASM
3
La solution générale de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants est :
y (t ) = A.e −2t + B.e3t − 2t −
11
3
A et B dépendent des conditions initiales.
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2. Produit de convolution *
2.1. Définition
x(t )
et
y (t ) :
+∞
x(t )* y (t ) = ∫ x(τ ). y (t −τ ).dτ
−∞
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2.2. Propriétés de base
-
Commutativité : x(t ) * y (t ) = y (t ) * x(t )
Associativité : x(t ) * [ y (t ) * z (t ) ] = [ x(t ) * y (t ) ] * z (t )
Unité de convolution : ∃? u (t ) / x(t ) * u (t ) = u (t ) * x(t ) = x(t ) (élément neutre)
L’élément neutre est l’impulsion de Dirac : u (t ) = δ (t )
Dérivation : (S * T )' = S '*T = S * T '
L’ impulsion de Dirac :
f (t )
Surface = 1
1
k
k
t
k
On cherche la limite de f (t ) lorsque k → 0 : δ (t ) = lim f (t )
k →0
2.3. Pour comprendre la convolution
Le produit de convolution permet, par exemple, d’obtenir la fonction de transfert d’un
système en présentant à son entrée une impulsion de Dirac. De manière générale, on a
s (t ) = h(t ) * e(t ) . On montre que si e(t ) = δ (t ) , alors s (t ) = h(t ) * δ (t ) = h(t ) . En effet,
+∞
s (t ) = h(t ) * δ (t ) = ∫ h(t − x ).δ ( x )dx =h(t )
−∞
Prenons le produit de convolution discret :
s[k ] = h[k ]* e[k ] =
+∞
∑ h[i ].e[k − i] =
i = −∞
+∞
∑ h[k − i ].e[i ]
i = −∞
s[k ] = e[k ] − e[k − 1]
s[k ] = h[0]e[k ] + h[1]e[k − 1]
h[0] = 1 et h[1] = −1
Donc :
Si : e[k ] = d [k ] (Dirac discret) alors s[k ] = h[k ]
alors h[k ] = d [k ] − d [k − 1] : on retrouve bien les coefficients h[0] = 1 et h[1] = −1
Passons par un filtre dérivateur :
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3. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier
3.1. Définition
Soit f la fonction T-périodique. Donc ∀t ∈ IR f (t ) = f (t + T )
D’après Fourier, tout signal périodique se décompose en somme infinie de sinusoïde.
2π
2π
t ) + bn sin( n
t ))
T
T
n =1
Les an et bn sont appelés les coefficients de Fourier. a0 représente la valeur moyenne du
signal sur une période.
1 α +T
⎧
a
f (t ) dt
=
0
⎪
T ∫α
⎪
2 α +T
2π
⎪
t ) dt
⎨an = ∫α f (t ) cos(n
T
T
⎪
2 α +T
2π
⎪
⎪bn = T ∫α f (t ) sin(n T t ) dt
⎩
+∞
f (t ) = a0 + ∑ (an cos( n
On a alors :
Nous pouvons choisir la valeur de α
choix judicieux.
arbitrairement, cela dit il serait intéressant de faire un
T
⎡ T T⎤
En effet si α = − 2 on est ramené à calculer une intégrale sur l’intervalle ⎢− , ⎥ . Or
⎣ 2 2⎦
comme la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, suivant la parité de f , les
calculs s’avèrent simplifiés.
2 T2
⎧
⎧a0 = 0
=
a
⎪ 0 T ∫0 f (t ) dt
⎪
⎪
⎪⎪
T
4 2
2π
⎪
si f est impaire ⎨an = 0
si f est paire ⎨an = ∫0 f (t ) cos(n t ) dt
T
T
⎪
T
⎪
⎪bn = 4 2 f (t ) sin( n 2π t ) dt
⎪
T ∫0
T
⎩⎪
⎪b = 0
⎩ n
3.2. Deuxième forme d’écriture de la série de Fourier
On peut aussi écrire la forme précédente de la manière suivante :
+∞
2π
f (t ) = a 0 + ∑ ( d n cos(n
t + ϕn )
T
n =1
⎛b
2
2
avec d n = a n + bn et ϕ n = − arctan⎜⎜ n
⎝ an
⎞
⎟⎟(+ π si a n < 0 )
⎠
3.3. Écriture sous forme complexe
Les coefficients de Fourier peuvent aussi s’écrire sous forme complexe. En effet si
1
an + bn
, on a : cn =
T
2
2
cn =
2
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∫
T
0
f (t ) e
− i 2Tπ nt
dt et c0 = a0
7/26
+∞
2π
2π
i 2 π nt
t ) + bn sin( n
t )) = ∑ cn e T
T
T
n = −∞
n =1
Nous pouvons observer le spectre de ce signal (dans le domaine fréquentiel) à l’aide des
coefficients de Fourier.
+∞
n
S ( f ) = ∑ cn .δ ( f − )
T
n = −∞
+∞
Ou encore : f (t ) = a0 + ∑ ( an cos( n
3.4. Quelques décompositions classiques
3.4.1. Signal carré
⎧
⎤ T ⎡
⎪1 si t ∈ ⎥ 0 , 2 ⎢
⎦
⎣
⎪
⎪
⎤ T ⎡
Soit f la fonction de période T définit par : f (t ) = ⎨− 1 si t ∈ ⎥ − , 0 ⎢
⎦ 2 ⎣
⎪
⎪
T
⎪0 si t = 0 ou t =
2
⎩
4 T
2π
2.(1 − (−1) n )
f étant une fonction impaire, an = a0 = 0 et bn = ∫ 2 sin(n
t ) dt ⇒ bn =
T 0
T
nπ
⎧b2 p = 0
⎪
et
Par conséquent : ⎨
4
⎪b2 p +1 = (2 p + 1) π
⎩
4
2π
.sin((2n + 1)
t)
T
n =0 ( 2n + 1)π
+∞
f (t ) = ∑
Voici la représentation de ce signal dans le domaine temporel (par exemple pour T=2) :
courbe rouge :
courbe Bleu :
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n=2
n=8
8/26
courbe rouge :
courbe Bleu :
n=50
n=100
On constate très clairement que plus on ajoute des harmoniques au signal, plus on se
rapproche du signal carré que l’on souhaite obtenir.
Voici la représentation du signal dans le domaine fréquentielle (toujours pour T=2) :
Nous obtenons bien, pour ce signal, un spectre discret qui prend la valeur de chaque
coefficient de Fourier pour f=n/T. Nous pouvons observer la fréquence fondamental du
signal : f=1/2 Hz et les harmoniques qui décroissent en 1/n pour les coefficients impairs.
3.4.2. Signal triangulaire
⎧ 2
⎪1 − T t
⎪
Soit f la fonction de période T définit par : f (t ) = ⎨
⎪1 + 2 t
⎪⎩ T
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⎡ T⎤
si t ∈ ⎢0 , ⎥
⎣ 2⎦
⎡ T ⎤
si t ∈ ⎢− , 0⎥
⎣ 2 ⎦
9/26
2 T2
2
1
4 T2
2
2π
et
(
1
)
−
t
dt
=
a
=
(1 − t ) cos(n
t ) dt
n
∫
∫
T 0
T
2
T 0
T
T
2.(1 − (−1) n )
En intégrant par parties, on obtient le résultat suivant : a n =
n2 π 2
f est paire donc, bn = 0 , a0 =
⎧a 2 p = 0
⎪
Par conséquent : ⎨
et
4
⎪a 2 p +1 = (2 p + 1) 2 π 2
⎩
f (t ) =
1 +∞
4
2π
+∑
. cos((2n + 1)
t)
2 2
2 n=0 (2n + 1) π
T
Voici la représentation de ce signal dans le domaine temporel (par exemple pour T=2) :
courbe rouge :
courbe Bleu :
n=1
n=10
Nous pouvons constater que la série converge très rapidement. En effet avec
seulement une dizaine d’harmoniques, la fonction se confond avec la fonction triangulaire que
l’on souhaitait obtenir.
Voici la représentation du signal dans le domaine fréquentiel (toujours pour T=2) :
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Nous obtenons bien, pour ce signal, un spectre discret qui prend la valeur de chaque
coefficient de Fourier pour f=n/T. Nous pouvons observer la fréquence fondamentale du
signal : f=1/2 Hz et les harmoniques qui décroissent en 1/n² pour les coefficients impairs. On
remarque également que pour la fréquence f=0 Hz la composante continue est bien
représentée (a0=1/2).
3.5. Identité de Parseval
L’identité de Parseval nous donne :
2
2
2
+∞
+∞
a n + bn
1 α +T
2
2
f
t
dt
=
c
=
a
+
(
)
∑
∑
n
0
T ∫α
2
n =1
−∞
(
)
3.5.1. Signal carré
On a :
2
T
T
2
0
∫
+∞
4
2
n =0 π ( 2n + 1)
dt = 1 = ∑
2
avec T=2
On constate bien que lorsqu’on n grandi, on se rapproche de plus en plus de la valeur
recherchée : 1 ici.
3.5.2. Signal triangulaire
2 2
2 2
1 1 +∞
8
−
t
dt
=
= +∑ 4
(
1
)
∫
T 0
T
3 4 n=0 π (2n + 1) 4
T
On a :
avec T=2
De la même façon que précédemment, la série converge beaucoup plus rapidement que pour
le signal carré.
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4. Calcul d’une transformée de Fourier (signaux non-périodiques)
4.1.Définition
On appelle Transformée de Fourier de x la fonction X : IR → C définie par :
+∞
∀f ∈ IR, X ( f ) = ∫ x(t )e − 2iπ f t dt
−∞
De la même façon que précédemment, nous pouvons simplifier ces intégrales en fonction de
la parité de la fonction x.
+∞
si x est paire X ( f ) = 2∫ x(t ) cos(2πf t ) dt
0
+∞
si x est impaire X ( f ) = −2i ∫ x (t ) sin( 2πf t ) dt
0
Nous pouvons faire établir un lien entre la transformée et la série de Fourier. En effet on peut
la voir comme le cas limite de la série de Fourier. Si l’on considère la fonction x T-périodique
2π
sur l’intervalle [-T,T] que l’on cherche à décomposer en harmoniques de la forme cos(n
t)
T
2π
t ) , lorsque T tend vers +∞ on est amené à remplacer le paramètre discret n par un
et sin(n
T
paramètre f continu appartenant à IR.
4.2. Quelques décompositions classiques
4.2.1. Transformée de Fourier d’une porte carrée
⎧
⎤ T T ⎡
⎪1 si t ∈ ⎥ − , ⎢
Soit x la fonction définit par : x(t ) = ⎨
⎦ 4 4⎣
⎪0 ailleurs
⎩
x est une fonction paire donc X ( f ) = 2 ∫
+∞
0
d’où X ( f ) =
T
4
0
x(t ) cos(2πf t ) dt = 2 ∫ cos(2πf t ) dt
T
)
2 = T . sin c(πf T )
πf
2
2
sin(πf
Voici le spectre de ce signal avec T=2 :
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4.2.2. Transformée de Fourier d’une porte triangulaire
⎧ 2
⎡ T ⎤
⎪1 − T t si t ∈ ⎢0 , 2 ⎥
⎣
⎦
⎪
⎪ 2
⎡ T ⎤
Soit x la fonction définit par : x(t ) = ⎨1 + t si t ∈ ⎢− , 0⎥
⎣ 2 ⎦
⎪ T
⎪0 ailleurs
⎪
⎩
2 ⎞
⎛
x(t ) cos(2πf t ) dt = 2 ∫ 2 ⎜1 − t ⎟ cos(2πf t ) dt
0
0
⎝ T ⎠
T
T
T
2
en intégrant par parties on obtient : X ( f ) =
sin 2 (πf ) = . sin c 2 (πf )
2 2
Tπ f
2
2
2
x est une fonction paire donc X ( f ) = 2 ∫
+∞
T
Voici le spectre d’un signal triangulaire T-périodique avec T=2 :
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Le spectre de cette porte triangulaire tend très vite vers 0, les lobs secondaires « s’écrasent »
très rapidement.
4.3. Propriétés de la transformée de Fourier
4.3.1. Linéarité, symétrie :
F [λ.x(t ) + µ . y (t )] = λF [x(t )] + µF [ y (t ) )]
4.3.2. Retard :
F [x(t − τ )] = e −2πjfτ F [x(t )]
4.3.3. Transformation d’une convolution :
F [x (t ) * y (t )] = F [x (t )] ⋅ F [ y (t )]
+∞
+∞ +∞
F [x(t ) * y (t )] = F ⎡ ∫ x(θ ) y (t − θ )dθ ⎤ = ∫ ∫ x(θ ) y (t − θ )e − 2πjft dtdθ
⎢⎣ −∞
⎥⎦ −∞ −∞
= ∫ x(θ )e − 2πjfθ dθ .∫ y (t − θ )e − 2πjf (t −θ ) d (t − θ ) = F [x(t )] ⋅ F [ y (t )]
+∞
+∞
−∞
−∞
4.3.4. Dérivation, intégration :
[
]
F x (m ) (t ) = (2πjf )
(m )
[
]
F [x(t )] ; F (− 2πjt ) x(t ) =
m
d m F [x(t )]
df m
4.3.5. Transformation d’un produit, modulation :
F [x(t ) ⋅ y (t )] = F [x(t )]* F [ y (t )]
4.3.6. Facteur d’échelle :
F [x(αt )] =
⎛f⎞
X⎜ ⎟
α ⎝α ⎠
1
4.4. Calcul d’une transformée de Fourier inverse
On a la formule suivante :
+∞
x(t ) = ∫ X ( f )e 2iπ f t df
−∞
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5. Transformée de Laplace
- But : Étude fréquentielle d’un signal continu.
- C’est une fonction complexe d’une variable complexe p
5.1. Définition de la transformée de Laplace
+∞
F ( p ) = ∫ f (t ).e − pt .dt
0
Remarque : L n’exploite que la partie du signal correspondant à t > 0 .
Généralement, L n’est utilisée que pour des signaux causaux.
f (t )=0,t ≤0
Signal causal
f (t )
t
Utilisé en Automatique : Instant initial : t = 0
Hypothèse : Le système est initialement au repos (naturellement ou par changement de
variable).
Existence : Maths, convergence de Laplace.
Tous les signaux réels ont une transformation de Laplace.
αt
Théorème : Si x(t ) ≤ A.e
alors sa transformée de Laplace existe si Re( p ) > α
Notation : - L = transformée de Laplace
- F ( p ) = transformée de Laplace de f (t )
5.2. Propriétés de la transformée de Laplace
5.2.1. Linéarité :
La linéarité rend très bien adapté à l’étude des équations linéaires.
L[λ ⋅ f (t ) + µ ⋅ g (t )] = λ ⋅ F ( p ) + µ ⋅ G ( p )
5.2.2. Retard :
f (t ) ⎯⎯⎯⎯
⎯
→ f (t − τ )
retard d'une
durée τ
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f (t )
t
f (t − τ )
τ
t
−τ p
L [ f (t − τ ) ] = e{
.F ( p )
Opération
de retard
5.2.3. Convolution :
L [ f (t ) * g (t ) ] = F ( p ).G ( p )
5.2.4. Dérivation :
⎡ df (t ) ⎤
L⎢
= p.F ( p ) − f (t = 0)
1
424
3
⎣ dt ⎥⎦
Condition
initiale
En automatique on considère très souvent les conditions initiales nulles.
Il est beaucoup plus simple de dériver ou d’intégrer dans l’espace de Laplace que dans
l’espace temporel, surtout si on se ramène à l’hypothèse : C.I . = 0
Dérivation : Multiplication par p .
Intégration : Division par p .
5.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale :
Théorème de la valeur initiale : lim f (t ) = lim [ p.F ( p ) ]
t →0
p →+∞
Théorème de la valeur finale : lim f (t ) = lim [ p.F ( p ) ]
t →+∞
p →0
Remarque : Le théorème de la valeur finale procure en automatique très facilement le régime
permanent.
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f (t )
Réponse typique
Théorème de la valeur
finale
Régime
permanent
t
Solution appliquée
à t=0
Grâce au théorème de la valeur finale, on peut obtenir très facilement la réponse à une
solution au bout d’un certain temps.
5.3. Transformées de Laplace usuelles
5.3.1. L’impulsion de Dirac :
t
ζ (t )
p
1
5.3.2. L’échelon de Heaviside :
t
p
u (t )
1
p
∆
1
t
5.3.3. La rampe unitaire :
t
p
∆
rampe unitaire
1
p2
1
t.u (t )
t
5.3.4. L’exponentiel complexe :
t
p
e − at .u (t )
a réel ou
complexe
Remarque :
1
p+a
4 ⎯⎯→
2
a= 0
3 ⎯⎯⎯⎯
→ 2 ⎯⎯⎯⎯
→1
dérivation
dérivation
Les dérivations sont bien des multiplications par p
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5.4. Transformée de Laplace inverse
5.4.1.Définition
x(t ) =
1
2π j
τ + jR
. lim ∫ X ( p )e pt .dp
R →+∞
τ − jR
L
x(t ) ⎯⎯
→ X ( p)
−1
L
X ( p ) ⎯⎯
→ x(t )
Cette relation théorique est rarement utilisée
−1
La méthode la plus utilisée pour calculer L est la décomposition en éléments simples.
5.4.2. Exemple
p2 + p + 1
X ( p) = 2
p ( p + 1)3
Calculer L−1 [ X ( p) ],cad l'integrale de X ( p )
On sait que F ( p ) peut se décomposer en éléments simples :
A B
C
D
E
+
+
X ( p) = 2 + +
p
p ( p + 1)3 ( p + 1) 2 p + 1
2
- On multiplie par p les deux membres, puis on fait p = 0 :
A =1
-
On multiplie par ( p + 1) les deux membres, puis on fait p = −1 :
3
C =1
-
On multiplie par p puis on fait p → ∞ :
B+E =0
-
Si on est à court de formules, on peut donner n’importe quelle valeur à p :
Avec p = 1 : A + B +
C D E 3
+ + =
8 4 2 8
On suppose qu’on a trouvé :
X ( p) =
1 −2
1
1
2
+
+
+
+
2
3
2
p
p ( p + 1) ( p + 1)
p +1
⎛
⎞
t 2 −t
⎯⎯→ x(t ) = ⎜ t − 2 + .e + t.e − t + 2.e − t ⎟ .u (t )
2
⎝
⎠
L−1
t
u (t )
t.u (t )
e − at .u (t )
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p
1
p
1
p2
1
p+a
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5.5. Exemple d’application de la transformée de Laplace
C
Rg
R
Vs(t)
e(t)
On donne e(t ) :
e(t )
1
t
1) Calculer la transformée de Laplace de e(t )
On s’intéresse d’abord à une période du signal :
h(t )
1
t
On calcule d’abord H ( p ) = L [ h(t ) ] puis on peut en déduire E ( p )
h1 (t )
h2 (t )
h3 (t )
1 1
.
10 p 2
−2 1 −10 p
. .e
10 p 2
t
1 1t −20 p
. .e
10 p 2
t
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⎛
⎞
1 1 ⎜
−10 p
−20 p ⎟
+ e{
H ( p ) = . 2 1 − 2e
⎟
10 p ⎜⎜
2
( e−10 p ) ⎟⎠
⎝
(1 − e )
H ( p) =
−10 p 2
10 p 2
Pour passer du signal sur une période h(t ) au signal global e(t ) on utilise le théorème du
retard.
h1 (t )
h(t )
t
10
h2 (t )
h(t − 20)
t
h(t − 40)
20
h3 (t )
t
40
e(t ) = h(t ) + h(t − 20) + h(t − 40) + L
⎯⎯
→ E ( p) = H ( p) + e
L
−20 p
H ( p) + e
−40 p
H ( p) + L
E ( p ) = H ( p ) ⎡⎣1 + e −20 p + e −40 p + L⎤⎦
1
E ( p) = H ( p)
1 − e −20 p
1 − x n+1
1+ x + x +L+ x =
1− x
2
n
Si x < 1 : 1 + x + x 2 + L + x n =
(1 − e )
E ( p) =
10 p (1 − e ) (1 + e )
(1 − e )
E ( p) =
10 p (1 + e )
−10 p
2
2
−10 p
−10 p
−10 p
2
−10 p
e(t )
Vs (t )
2)
On a un pont diviseur en tension :
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1
1− x
L
e(t ) ⎯⎯
→ E ( p)
e(t )
Rg
C
R
Vs(t)
VS ( p )
Z 2 ( p)
=
= G( p )
E ( p ) Z1 ( p ) + Z 2 ( p )
1
Avec :
Z1 ( p ) = Rg +
Cp
Z 2 ( p) = R
G ( p ) du circuit est :
V ( p)
R
=
G ( p) = s
E ( p) R + R + 1
g
Cp
G ( p)=
(
RCp
)
1+ R + Rg Cp
Fonction de transfert du circuit
3) On suppose : (R + R g ) ⋅ C = 1s
Représenter la tension de sortie Vs (t )
E ( p)
G ( p)
Vs ( p ) = E ( p ).G ( p )
1 1 − e −10 p RCP
Vs ( p ) =
.
.
10 p 2 1 + e −10 p 1 + p
E ( p)
Vs ( p ) =
−10 p
−20 p
RC
1
1 − 2e .e
RC
1
1 − 2e −10 p + e −20 p
.
.
⋅
⋅
( Vs ( p ) =
− 20 p
10 p (1 + p )
1− e
10 p (1 + p )
1 − e −20 p
)
14
4244
3
X ( p)
On pose X ( p ) =
RC
1
et nous avons pris la forme non simplifié de E ( p )
⋅
10 p(1 + p )
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−1
On cherche L
[ X ( p)]
RC
RC ⎡ 1
1
1 ⎤
=
−
.
⎢
10 p (1 + p ) 10 ⎣ p 1 + p ⎥⎦
RC
x(t ) =
1 − e − t ) u (t )
(
10
x(t )
X ( p) =
RC
10
t
Soit N ( p ) =
(
)
RC
1
⋅
⋅ 1 − 2e −10 p + e −20 p ( N ( p ) =
10 p(1 + p )
(
N ( p ) = X ( p ) ⋅ 1 − 2e
−10 p
+e
−20 p
RC
1
.
1 − 2e −10 p .e −20 p ) )
(
10 p (1 + p )
14
4244
3
) ( N ( p) = X ( p) (1 − 2e
X ( p)
−10 p
.e −20 p ) )
N ( p ) = X ( p ) − 2e −10 p . X ( p ) + e −20 p . X ( p ) n(t ) = x(t ) − 2 x(t − 10) + x(t − 20)
x(t )
RC
10
t
−2 x(t − 10)
t
t
−2 RC
10
x(t − 20)
t
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nx((tt))
RC
10
t
− RC
10
Puisque si
x < 1 alors
alors Vs(t ) = n(t ).
1
= 1 + x + x 2 + ... + x n ,
1− x
1
= n(t ) + n(t ).e − 20 p + n(t ).e − 40 p + ... + n(t ).e − n 20 p
1 − e − 20 p
Vs (t )
t
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6. EXERCICES
6.1. Exemple de transformée de Fourier
T.Fourier de x(t ) = 1 + cos(2πt T ) : X ( f ) = δ ( f ) + 1 2 (δ ( f − 1 T ) + δ ( f + 1 T ))
TFde y (t ) = x(t ).s (t ) : Y ( f ) = X ( f ) * S ( f ) = S ( f ) + 1 2 (S ( f − 1 T ) + S ( f + 1 T ))
6.2. Exemple de convolution
Soit le système linéaire causal à temps continu constitué par la mise en série de 2 soussystèmes de même réponse impulsionnelle :
1. Quelle est la durée de la réponse impulsionnelle globale h(t )
Déterminer h(t ) puis le réponse indicielle.
2. Calculer la TF [h(t )] à partir de la relation de convolution.
6.3. Comparaison entre produit de convolution et domaine de Laplace
Prenons un circuit RC :
A
R
B
x(t)
t
C
y(t)
M
1 − RC
On montre que h(t ) =
e
pour t ≥ 0 ( h(t ) = 0 pour t < 0 car le système est causal)
RC
θ
∞
1 − RC
D’où y (t ) = ∫
e x(t − θ )dθ
RC
0
En particulier, pour x(t ) pris pour un échelon de Heaviside :
t
θ
t
−
1 − RC
e dθ = 1 − e RC pour t ≥ 0
RC
0
On retrouve bien par cette méthode utilisant la convolution (et la transformée de Laplace pour
obtenir h(t ) ) un résultat calculable à l’aide d’une équation différentielle du premier ordre
du
découlant de la relation instantanée du condensateur ic = C c .
dt
y (t ) = ∫
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7. ANNEXE
7.1. Transformées usuelles de Fourier
Image symbolique
Image temporelle
δ( f )
1
Dirac :
1
δ ( f − f0 )
e −2π
⎛
1
⎜⎜ −
⎝ 2 jπ
f t0
e 2π
δ (t )
f0 t
Retard : δ (t − t 0 )
n
⎞ (n )
⎟⎟ δ ( f )
⎠
tn
(2 jπf )n
δ (n ) (t )
1
[δ ( f − f 0 ) + δ ( f + f 0 )]
2
1
[δ ( f − f 0 ) − δ ( f + f 0 )]
2j
cos(2πf 0 t )
⎛1⎞
1
Pf ⎜⎜ ⎟⎟
jπ
⎝f ⎠
⎛1⎞
1
1
δ ( f )+
Pf ⎜⎜ ⎟⎟
2
2 jπ
⎝f ⎠
⎛ T ⎞
sin ⎜ πf 0 ⎟
2 ⎠ T0
⎛ T ⎞
⎝
= sin c⎜ πf 0 ⎟
πf
2
2⎠
⎝
2
⎛ T ⎞
⎛ T ⎞ T
sin 2 ⎜ πf 0 ⎟ = 0 sin c 2 ⎜ πf 0 ⎟
2 2
2⎠ 2
2⎠
T0π f
⎝
⎝
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sin (2πf 0 t )
sgn(t )
Heaviside :
r(t )
Porte unitaire carré de longueur
T0
centré sur 0
2
Porte unitaire triangulaire de longueur T0 centré
sur 0
25/26
7.2. Transformées usuelles de Laplace
Image symbolique
Image temporelle de fonctions causales
1
p
Échelon : r (t )
1
1
p2
1
p+a
ω
p + ω2
2
ω
p −ω 2
2
ω
Dirac :
δ (t )
Rampe : t ⋅ r (t )
r ( t ) e − at
r (t ) sin (ωt )
r (t ) sinh (ωt )
( p + a )2 + ω 2
r (t )e − at sin (ωt )
p
p + ω2
p
2
p − ω2
p+a
( p + a )2 + ω 2
n!
p n +1
1
p (1 + τp )
r (t ) cos(ωt )
2
1
( p + a )2
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r (t ) cosh (ωt )
r (t )e − at cos(ωt )
r (t ) t n
t
−
⎛
r (t )⎜⎜1 − e τ
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
r (t ) t e − at
26/26