OUTILS MATHEMATIQUES DU TRAITEMENT DES SIGNAUX

Traitement analogique du signal
CNAM 2006-2007 LD-P 1/26
OUTILS MATHEMATIQUES
DU TRAITEMENT DES SIGNAUX CERTAINS
Produit de convolution
Série de Fourier
Transformée de Fourier
Transformée de Laplace

Traitement analogique du signal
CNAM 2006-2007 LD-P 2/26

Traitement analogique du signal
CNAM 2006-2007 LD-P 3/26
Sommaire
1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants................................5
1.1. Méthode classique ........................................................................................................................... 5
1.1.1. Première phase : équation sans second membre ................................................................. 5
1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre................................................................ 5
2. Produit de convolution *..........................................................................................6
2.1. Définition......................................................................................................................................... 6
2.2. Propriétés de base............................................................................................................................ 6
2.3. Pour comprendre la convolution .................................................................................................... 6
3. Décomposition d’un signal périodique en série de Fourier ..................................7
3.1. Définition......................................................................................................................................... 7
3.2. Deuxième forme d’écriture de la série de Fourier......................................................................... 7
3.3. Écriture sous forme complexe......................................................................................................... 7
3.4. Quelques décompositions classiques............................................................................................... 8
3.4.1. Signal carré ........................................................................................................................... 8
3.4.2. Signal triangulaire................................................................................................................ 9
3.5. Identité de Parseval ....................................................................................................................... 11
3.5.1. Signal carré ......................................................................................................................... 11
3.5.2. Signal triangulaire.............................................................................................................. 11
4. Calcul d’une transformée de Fourier (signaux non-périodiques)......................12
4.1. Définition....................................................................................................................................... 12
4.2. Quelques décompositions classiques............................................................................................. 12
4.2.1. Transformée de Fourier d’une porte carrée ...................................................................... 12
4.2.2. Transformée de Fourier d’une porte triangulaire............................................................. 13
4.3. Propriétés de la transformée de Fourier....................................................................................... 14
4.3.1. Linéarité, symétrie :............................................................................................................. 14
4.3.2. Retard : ................................................................................................................................ 14
4.3.3. Transformation d’une convolution : .................................................................................... 14
4.3.4. Dérivation, intégration : ...................................................................................................... 14
4.3.5. Transformation d’un produit, modulation :......................................................................... 14

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4.3.6. Facteur d’échelle :............................................................................................................... 14
4.4. Calcul d’une transformée de Fourier inverse.............................................................................. 14
5. Transformée de Laplace.........................................................................................15
5.1. Définition de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15
5.2. Propriétés de la transformée de Laplace ...................................................................................... 15
5.2.1. Linéarité :............................................................................................................................. 15
5.2.2. Retard : ................................................................................................................................ 15
5.2.3. Convolution :........................................................................................................................ 16
5.2.4. Dérivation :.......................................................................................................................... 16
5.2.5. Théorème de la valeur initiale et de la valeur finale :......................................................... 16
5.3. Transformées de Laplace usuelles................................................................................................ 17
5.3.1. L’impulsion de Dirac :......................................................................................................... 17
5.3.2. L’échelon de Heaviside :...................................................................................................... 17
5.3.3. La rampe unitaire : .............................................................................................................. 17
5.3.4. L’exponentiel complexe : ..................................................................................................... 17
5.4. Transformée de Laplace inverse................................................................................................... 18
5.4.1. Définition............................................................................................................................. 18
5.4.2. Exemple............................................................................................................................... 18
5.5. Exemple d’application de la transformée de Laplace.................................................................. 19
6. EXERCICES...........................................................................................................24
6.1. Exemple de transformée de Fourier............................................................................................. 24
6.2. Exemple de convolution................................................................................................................ 24
6.3. Comparaison entre produit de convolution et domaine de Laplace............................................ 24
7. ANNEXE..................................................................................................................25
7.1. Transformées usuelles de Fourier................................................................................................ 25
7.2. Transformées usuelles de Laplace................................................................................................ 26

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1. Equation différentielles linéaires et à coefficients constants
1.1. Méthode classique
{
{
() () 6 () 12 20
()
Ordre
yt yt yt t
yt
+− =+
&& &
ème
Coef Cst
Eq du 2
inconnue :
1.1.1. Première phase : équation sans second membre
ESSM = Equation sans second membre
() () 6 () 0( )yt yt yt E+− =
&& &
On recherche la solution générale de cette équation sans second membre :
2
() 6 0Err→+−=Equation caractéristique :
()()
14625
230rr
∆= + × =
+−=
La solution générale de de l’équation sans second membre :
12
() . .
rt rt
yt Ae Be=+
Où
1
r et
2
r sont les solutions réelles de l’équation caractéristique.
23
12
23()..
tt
rrytAeBe
−
=− = ⇒ = +et
A
et
B
dépendent des conditions initiales.
1.1.2. Deuxième phase : équation avec second membre
EASM=equation avec second membre
On cherche une solution particulière :
() () 6 () 12 20yt yt yt t+− =+
&& &
La solution particulière est de la même forme que le second membre :
() () () 0yt at b yt a yt=+⇒ = =
&&&
et
6 6 12 20
612 2 11
62022 3
620
aatb t
at t a ba b
ab
−−=+
⎤
⎧−=⇒=− −
⎪
⇒⇒=−=−→=
⎥
⎨−=
⎪⎥
⎩⎦
11
() 2 3 yt t − =− −
solution particulière de EASM
La solution générale de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants est :
23
11
() . . 2 3
tt
yt Ae Be t
−
=+−−
A
et
B
dépendent des conditions initiales.