ELCINQ_03 Resonance d intensite et resonance de charge RLC

G.P.
Questions de cours électrocinétique
Résonance pour un circuit RLC série:
On considère un circuit RLC série. Les données sont R (résistance), Q (coefficient de
qualité),  0 pulsation propre.
Définir résonance d'intensité et résonance de charge.
Déterminer la pulsation de résonance, la valeur de la réponse maximale, l'éventuelle condition
à respecter pour qu'il y ait résonance, l'allure des courbes en fonction de la pulsation selon la
valeur de Q pour la résonance d'intensité et pour la résonance de charge.
Réponse:
Définition:
i
R
uR
q
u (t) =U√2 cos(ω t)
-q
C
uC
L
uL
Pour le circuit RLC série, auquel on applique une tension sinusoïdale u t=U  2 exp jt 

d'amplitude constante U  2 mais de fréquence variable f =
:
2
1) l'amplitude I  2 de l'intensité i t =I  2 exp j  t − u /i  passe par un maximum pour une
certaine fréquence. On parle de résonance d'intensité. On étudiera plutôt le rapport sans dimension
UR
en fonction de  , u R t=R it  désignant la tension aux bornes de la résistance.
U
2) l'amplitude Q  2 de la charge du condensateur q t=Q  2 exp j t−u / q  peut passer par
un maximum pour une certaine fréquence. On parle de résonance de charge. On étudiera plutôt le
UC
1
rapport sans dimension
en fonction de  , u C t = q t désignant la tension aux bornes
C
U
du condensateur.
En mécanique, la résonance d'élongation est analogue à la résonance de charge et la résonance de
vitesse correspond à la résonance d'intensité.
Résonance d'intensité:
G.P.
•
Questions de cours électrocinétique
fonction de transfert
En utilisant les diviseurs de tension:
uR
=
u
uR
=
u
R
R jL 
1
jC 
1
1
jL 
1

R
jRC 
qu'on identifie en faisant:
Q=
L 0
1
=
donc:
R
R C 0
 0=
Q=
1
et
 LC

1 L
à:
R C
uR
=
u
1
 
1 jQ  − 0 
0 

on posera la pulsation réduite x= 
0
•
résonance
En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain G :
G=
G=
U R 2
=
U 2
UR
=
U
1

2
 0
1Q  − 
0 
2
1

1 2
1Q  x − 
x
2
Ce rapport est évidemment maximum pour x=1 . La pulsation à la résonance d'intensité est
donc égale à la pulsation propre  0 :
 résonance d 'intensité =0
Le gain maximal est:
G max aux bornes de R=1
Toute la tension se retrouve alors aux bornes de la résistance.
G.P.
•
Questions de cours électrocinétique
courbes
Résonance de charge:
•
fonction de transfert
En utilisant les diviseurs de tension:
uC
=
u
1
jC 
1
 jL R
jC 
uC
1
=
u 1− L C  2 j RC 
uC
=
u
•
1
2
1−

1 
 j
0
Q 0
résonance
En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain G :
G=
G=
U C 2
=
U 2
UC
=
U
1


2
 2
1  2
1−   2  
0
Q 0
1

1−x 2 2
1 2
x
Q2
Ce rapport est évidemment maximum quand le dénominateur est minimum. On cherche ici
l'extremum de:
f u=1−u2
1
u en dérivant par rapport à u=x 2
Q2
G.P.
Questions de cours électrocinétique
d
1
f u=−2 1−u  2 =0
du
Q
1−u =
x 2=1−
1
2
2Q
1
0
2
2Q
La résonance de charge n'existe donc que si:
Q
1
2
La pulsation à la résonance de charge est donc inférieure à la pulsation propre  0 :

résonance de charge =0 1−
1
2 Q2
Le gain maximal est:
G=
G=
1

2

1
1
1
  2 1−

2
2Q
Q
2 Q2
Q

1−
1
4 Q2
G maxaux bornes deC =
Q

1−
1
4 Q2
L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur est alors environ Q fois plus grande que
l'amplitude de la tension imposée par la source (si on suppose Q≫1 ).
Remarquer que pour =0 , on a toujours G=Q .
•
courbes