ELCINQ_03 Resonance d intensite et resonance de charge RLC

G.P. Questions de cours électrocinétique
Résonance pour un circuit RLC série:
On considère un circuit RLC série. Les données sont
R
(résistance),
Q
(coefficient de
qualité),
0
pulsation propre.
Définir résonance d'intensité et résonance de charge.
Déterminer la pulsation de résonance, la valeur de la réponse maximale, l'éventuelle condition
à respecter pour qu'il y ait résonance, l'allure des courbes en fonction de la pulsation selon la
valeur de
Q
pour la résonance d'intensité et pour la résonance de charge.
Réponse:
Définition:
Pour le circuit RLC série, auquel on applique une tension sinusoïdale
ut=U 2 exp jt
d'amplitude constante
U 2
mais de fréquence variable
f=
2
:
1) l'amplitude
I 2
de l'intensité
it=I 2 exp jt−u/i
passe par un maximum pour une
certaine fréquence. On parle de résonance d'intensité. On étudiera plutôt le rapport sans dimension
UR
U
en fonction de ,
uRt=Rit
désignant la tension aux bornes de la résistance.
2) l'amplitude
Q 2
de la charge du condensateur
qt=Q 2 exp jt−u/q
peut passer par
un maximum pour une certaine fréquence. On parle de résonance de charge. On étudiera plutôt le
rapport sans dimension
UC
U
en fonction de ,
uCt= 1
Cqt
désignant la tension aux bornes
du condensateur.
En mécanique, la résonance d'élongation est analogue à la résonance de charge et la résonance de
vitesse correspond à la résonance d'intensité.
Résonance d'intensité:
u (t) =U√2 cos( ω t)
R
iuR
CuC
LuL
q
-q

G.P. Questions de cours électrocinétique
•fonction de transfert
En utilisant les diviseurs de tension:
uR
u=R
RjL 1
jC 
uR
u=1
1jL
R1 jRC 
qu'on identifie en faisant:
Q=L0
R=1 R C 0
donc:
0=1
LC
et
Q=1
R
L
C
à:
uR
u=1
1jQ 
0
−0
on posera la pulsation réduite
x=
0
•résonance
En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain
G
:
G=UR
2
U 2=1
1Q2
0
−0
2
G=UR
U=1
1Q2x−1
x
2
Ce rapport est évidemment maximum pour
x=1
. La pulsation à la résonance d'intensité est
donc égale à la pulsation propre
0
:
résonance d 'intensité =0
Le gain maximal est:
Gmaxauxbornes de R=1
Toute la tension se retrouve alors aux bornes de la résistance.

G.P. Questions de cours électrocinétique
•courbes
Résonance de charge:
•fonction de transfert
En utilisant les diviseurs de tension:
uC
u=
1
jC 
1
jC jL R
uC
u=1
1−L C 2j RC 
uC
u=1
1− 
0
2
j1
Q
0
•résonance
En prenant le module de la fonction de transfert pour obtenir le gain
G
:
G=UC
2
U 2=1
1− 
0
2
2
1
Q2
0
2
G=UC
U=1
1−x221
Q2x2
Ce rapport est évidemment maximum quand le dénominateur est minimum. On cherche ici
l'extremum de:
fu=1−u21
Q2u
en dérivant par rapport à
u=x2

G.P. Questions de cours électrocinétique
d
du fu=−21−u 1
Q2=0
1−u= 1
2Q2
x2=1−1
2Q20
La résonance de charge n'existe donc que si:
Q1
2
La pulsation à la résonance de charge est donc inférieure à la pulsation propre
0
:
résonance decharge=0 1−1
2Q2
Le gain maximal est:
G=1
1
2Q2
2
1
Q21−1 2Q2
G=Q
1−1
4Q2
Gmaxaux bornes deC =Q
1−1
4Q2
L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur est alors environ
Q
fois plus grande que
l'amplitude de la tension imposée par la source (si on suppose
Q≫1
).
Remarquer que pour
=0
, on a toujours
G=Q
.
•courbes