TD de Physique no 8 : Mécanique des fluides I

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 8 :
Mécanique des fluides I
Exercice no 1 : Lignes de courants et trajectoires
Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, défini par :
~v =
vx = u0
vz = −gt + v0
1. Comment peut-on qualifier ce champ des vitesses ? Déterminer les trajectoires et les lignes de courants.
2. On appelle ligne d’émission à la date t associée à un point M0 , l’ensemble des points de l’espace occupés
à t par des particules passées précédemment au point M0 . Les lignes d’émission caractérisent l’écoulement d’un
fluide et ce sont elles que l’on visualise lorsque l’on a recours à des traceurs. Déterminer la ligne d’émission
issue du point (0, 0).
Exercice no 2 : Écoulement dans un dièdre droit
Considérons un écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses, défini dans un référentiel (O, x, y, z),
dans la région x > 0 et y > 0, est :
~v (~r, t) = −kx~ex + ky~ey
1.
2.
3.
puis, le
Que peut-on dire de cet écoulement ?
Déterminer les trajectoires des particules de fluide et les lignes de courants.
Déterminer l’accélération d’une particule de fluide en utilisant, tout d’abord, le formalisme lagrangien,
formalisme eulérien.
Exercice no 3 : Bilans de masse
Soit une surface S orientée, fermée ou non. On rappelle que si S est fermée elle est orientée par convention
de l’intérieur vers l’extérieur.
~ = dS.N
~ un élément de surface centré en M (N
~ est la normale
1. Soit M un point de la surface S et dS
à cet élément de surface). On définit la densité volumique de courant de masse :
~j(M, t) = ρ(M, t)~v (M, t)
où ρ(M, t) (resp. ~v (M, t)) est la masse volumique (la vitesse) du fluide en M à t
~
a) Établir la relation liant ~j(M, t) à dDm , le débit massique élémentaire traversant dS.
b) En déduire l’expression intégrale du débit massique à travers S.
2. Bilan de masse avec source, équation intégrale. Considérons un volume V (volume de contrôle) de
l’espace occupé par le fluide, délimité par une surface fermée S fixe (surface de contrôle) dans le référentiel
d’étude. On suppose qu’il existe, dans ce volume V , un terme source associé à un débit massique Dm,source .
a) Exprimer, en fonction de la masse volumique, la variation de masse dm, pendant le temps dt, du fluide situé
dans le volume de contrôle V fixe.
b) Traduire alors, sous forme intégrale, la conservation de la masse.
3. Bilan de masse sans source, équation locale. On se place dans le cas où les termes sources sont nuls.
a) Établir l’équation locale de conservation de la masse.
b) Traiter le cas du régime stationnaire.
1
c) Écrire l’équation locale de conservation de la masse en faisant intervenir la dérivée particulaire de ρ, la
masse volumique du fluide.
Exercice no 4 : Débit volumique
1. Donner l’expression intégrale du débit volumique.
2. Montrer qu’un écoulement incompressible est également caractérisé par un champ de vitesses de divergence nulle.
3. Que peut-on alors dire du débit volumique le long d’un tube de champ d’un écoulement incompressible ?
Comment évolue la vitesse lorsque les lignes de courant se resserrent ?
Exercice no 5 : Champ des vitesses d’un fluide incompressible
On considère un fluide incompressible (de masse volumique ρ) émis, avec un débit massique Dm (dépendant
ou non du temps), par une source linéique de hauteur h
confondue avec l’axe (Oz) (cf figure ci-contre). Les particules de fluides sont émises perpendiculairement au fil,
c’est à dire que : ~v (~r, t) = v(r, t)~er .
1. Écrire le champ des vitesses de cet écoulement.
2. Calculer l’accélération d’une particule de fluide.
Exercice no 6 : Divergence et rotationnel du champ
des vitesses
1. Considérons une particule de fluide de forme cubique. Notons τ (t) le volume élémentaire de cette
particule à l’instant t.
a) Établir, en limitant les calculs à l’ordre 1, la relation :
div ~v =
1 dτ
τ dt
où ~v est le champ des vitesses de l’écoulement et dτ est la variation du volume de la particule fluide entre les
instants t et t + dt. Commenter.
b) Retrouver alors le critère des écoulements incompressibles.
2. Considérons l’écoulement dont le champ des vitesses a pour expression ~v (x, y) = c(−y~ux + x~uy ).
a) Calculer la divergence du champ des vitesses. Commenter.
b) Donner l’expression du rotationnel du champ des vitesses.
c) Considérons une particule de fluide dont la section avec le plan (xOy) est un carré de sommets O(0, 0),
A(L, 0), B(L, L) et C(0, L) à l’instant t. Déterminer la section de cette particule de fluide à l’instant t + dt.
On notera O0 , A0 , B 0 et C 0 les sommets de la section de la particule de fluide à l’instant t + dt correspondant
respectivement à O, A, B et C.
~ de la particule fluide et montrer que Ω
~ = 1 rot
~ ~v . Conclure.
d) Donner l’expression du vecteur rotation Ω
2
1 ~
~
D’une manière générale on définit le vecteur-tourbillon Ω = 2 rot ~v . Nous admettrons que le vecteurtourbillon traduit la rotation locale des particules de fluide quel que soit l’écoulement considéré.
Exercice no 7 : Vortex
~ uniforme à
La tornade est un écoulement à symétrie cylindrique tel qu’il existe un vecteur tourbillon Ω
l’intérieur d’un cylindre d’axe (Oz) et de rayon a.
~ et ~v , d’une part, et le champ magnétique B
~ et le vecteur densité
1. Établir l’analogie existant entre Ω
volumique de courant ~j de la magnétostatique, d’autre part. Appliquer alors les symétries et les invariances
pour déterminer la forme du champ des vitesses.
2. Établir le champ des vitesses de l’écoulement.
3. La circulation de ~v sur un cercle de rayon r > a vaut C = 2πa2 Ω. Un vortex constitue le cas limite
pour lequel a → 0 tout en ayant C finie et non nulle. Déterminer le champ des vitesses d’un vortex.
4. L’écoulement associé à un vortex est-il potentiel ? On rappelle qu’en coordonnées cylindriques le rotationnel a pour expression :
~ = 1 ∂Az − ∂Aθ ~ur + ∂Ar − ∂Az ~uθ + 1 ∂rAθ − 1 ∂Ar ~uz
~ A
rot
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r ∂r
r ∂θ
2
5. Quel est l’analogue du vortex en magnétostatique ?
Exercice no 8 : Le dipôle hydrodynamique
1. Établir l’analogie de structure qu’il existe entre le champ électrostatique dans une région vide de
charges et le champ des vitesses d’un fluide en écoulement potentiel et incompressible.
2. On considère une source de fluide filiforme confondue avec l’axe (Oz) de débit volumique par unité de
longueur DV,l . Cette source pourrait, par exemple, modéliser un tuyau d’arrosage confondu avec l’axe Oz et
percé d’une multitude de petits trous.
a) Justifier que ~v est un vecteur polaire. Exploiter les symétries et les invariances de la distribution de débit
volumique pour établir la structure du champ des vitesses associé à l’écoulement.
b) Déterminer le champ des vitesses.
c) En déduire le potentiel des vitesses.
3. On considère l’association d’une source de débit volumique DV,l
(> 0) et d’un puits de débit volumique linéique −DV,l parallèles et
distants de d comme présenté sur la figure ci-contre.
a) Utiliser le théorème de superposition pour déterminer le potentiel des
vitesses de l’écoulement potentiel et incompressible associé. On choisira
ce potentiel nul en O.
b) Définir par analogie avec l’électrostatique le moment de ce dipôle
hydrodynamique. Donner l’expression simplifiée du potentiel dans la
cadre de l’approximation dipolaire.
c) En déduire l’expression du champ des vitesses.
Exercice no 9 : Écoulement autour d’un obstacle cylindrique
Considérons un écoulement uniforme de vitesse ~v = v0~ex . On immerge un cylindre de longueur infinie d’axe (Oz) et de rayon a (cf figure
ci-contre). L’étude est menée en coordonnées cylindriques.
1. Conditions aux limites.
a) Quelle condition aux limites impose la présence du cylindre ?
b) Comment est le champ des vitesses infiniment loin de l’obstacle (c’est
à dire pour r → +∞) ?
2. Établir un écoulement cinématiquement acceptable (c’est à dire
qui respecte les conditions aux limites) à l’aide du théorème de superposition.
Indication : On pourra utiliser le résultat de l’exercice no 8.
Exercice no 10 : Applications des relations de Bernouilli
1. Effet Venturi. Considérons un écoulement parfait stationnaire incompressible homogène dans une canalisation horizontale possédant un rétrécissement. Notons SA (resp. SB ) la section de la conduite loin (resp.
au niveau) du rétrécissement. En supposant la vitesse uniforme sur les sections SA et SB , établir l’expression
de la différence de pression PA − PB en fonction de µ la masse volumique du fluide, vA la vitesse loin du
rétrécissement, SA et SB .
2. Mesure de débits par effet Venturi. On complète le dispositif
en plaçant deux tubes latéraux verticaux perturbant peu l’écoulement
(faible section) comme présenté sur la figure ci-contre. On note hA
(resp. hB ) la hauteur de fluide dans le tube loin (resp. au niveau)
du rétrécissement et P0 la pression atmosphérique. Montrer que ce
dispositif permet de déterminer le débit volumique de l’écoulement.
3. On place un 3e tube vertical au point C en aval du rétrécissement. Avec les mêmes hypothèses, à quoi est égale la hauteur de fluide
hC dans ce tube ? Qu’observe t-on en pratique et pourquoi ? Quelle
hypothèse est à remettre en cause ?
3
4. Tube de Pitot. Le tube de Pitot (cf figure ci-contre) est utilisé
en aérodynamique pour mesurer la vitesse d’un écoulement d’air uniforme et stationnaire. Il est constitué d’un tube métallique de section
s ' 5 mm2 dont l’extrémité arrondie est percée d’un trou très fin de
rayon r ' 0, 5 mm. Le tube est placé longitudinalement à l’écoulement
et on note ~v∞ = U∞~ex la vitesse et P∞ la pression loin en amont du
tube. Le tube comporte une prise de pression latérale PB et une prise
de pression axiale P0 entre lesquelles un manomètre mesure la différence de pression P0 − PB . Justifier pourquoi la vitesse du fluide est
nulle au niveau de la prise de pression axiale. Établir l’expression de
U∞ en fonction de h0 , g l’intensité de la pesanteur, µ la masse volumique du fluide, et µeau la masse volumique
de l’eau.
Exercice no 11 : Théorème de Torricelli
Un réservoir cylindrique (cf figure ci-contre) de section S rempli d’eau
se termine par un tube horizontal de longueur L et de section s << S situé
à sa base et fermé par un robinet qu’on ouvre à l’instant t = 0. Initialement
la hauteur d’eau dans le réservoir est h0 ; à l’instant t on la note h(t).
1. Une fois le robinet ouvert, on suppose l’écoulement unidimensionnel
à l’interface air-eau dans le réservoir avec ~v (M, t) = −V (t)~uz et dans le tube
horizontal où ~v (M, t) = v(x, t)~ux . Montrer que :
v(x, t) =
S dh
S
V (t) = −
s
s dt
ce qui permet avec s << S de négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite.
p
2. En dehors d’une phase de courte durée, on constate que la vitesse d’éjection vaut v(t) = 2gh(t)
c’est à dire la même valeur que pour un point matériel lâché en chute libre, ce qui constitue le théorème de
Torricelli. Montrer qu’on peut interpréter ce fait en supposant que le théorème de Bernouilli est applicable
bien que l’écoulement varie au cours du temps (approximation des régimes quasi-stationnaires).
3. En déduire l’expression de la hauteur d’eau h(t) en fonction de S, s, h0 , g, t, puis l’expression de la
durée T nécessaire pour vider le réservoir. Analyser la pertinence de l’influence de S, s, g et h0 sur √
T.
4. On s’intéresse au régime transitoire initial au cours duquel la vitesse v(t) atteint sa valeur 2gh0 en
régime quasi-stationnaire sans que le niveau h0 dans le réservoir ait eu le temps de varier notablement. En
négligeant l’accélération locale dans le réservoir, mais pas dans le tube, montrer que :
2L
dv
= gh0 − v 2
dt
et chercher une solution de la forme v(t) = v∞ tanh(t/τ ) ; exprimer v∞ et τ en fonction de g, h0 et L. Comparer
τ et T et commenter. On rappelle que (tanh u)0 = 1 − tanh2 u.
5. Lorsque le tube est trop fin, tout ce qui précède est faux. Interpréter qualitativement.
Exercice no 12 : 0scillations dans d’un fluide dans un tube en U
Un fluide incompressible, de masse volumique ρ, est contenu dans les deux branches d’un tube en U de
section S. La "longueur" totale de fluide dans le tube est notée L. À l’équilibre, les deux surfaces libres du
fluide dans les deux branches du tube sont à une même altitude choisie comme origine d’un axe (Oz) vertical
ascendant.
Déterminer la période des oscillations du fluide dans le tube.
Exercice no 13 : Tourbillon
On considère, dans un référentiel galiléen Rg , un écoulement stationnaire d’un fluide parfait. Il s’agit d’un
mouvement tourbillonnaire à symétrie de révolution autour d’un axe vertical (Oz). Le fluide est soumis au
champ de pesanteur ~g = −g~uz .
On se place en coordonnées cylindriques (r, θ, z) d’axe (Oz). Dans le modèle envisagé, le vecteur tourbillon
~ = 1 rot
~ ~v vaut Ω~uz si r < a et ~0 si r > a. Le fluide est homogène de masse volumique uniforme ρ0 .
Ω
2
4
1. Quelle analogie peut-on faire avec la magnétostatique ? En déduire la forme du champ des vitesses ~v
de l’écoulement. Montrer que ce champ des vitesses est associé à un écoulement incompressible. On donne en
coordonnées cylindriques :
~ = 1 ∂ (rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
div A
r ∂r
r ∂θ
∂z
2. Déterminer les expressions du champ des vitesses ~v pour r < a et pour r > a.
3. Déterminer le champ des pressions. On distinguera les deux cas r < a et r > a, et on posera :
P0 = lim P (r, z = 0)
r→∞
Tracer la courbe r → f (r) = P − P0 + ρ0 gz. On notera : pm = ρ0 Ω2 a2 .
4. Applications.
a) Le modèle précédent est appliqué à une tornade pour laquelle vmax = 150 km.h−1 et ρ0 = 1, 3 kg.m−3 .
Calculer la dépression pm . La comparer à P0 = 105 P a.
b) Le modèle décrit un tourbillon de vidange. Le fluide est de l’eau surmontée de l’atmosphère uniforme P0 .
Déterminer la forme de la surface libre du fluide.
Exercice no 14 : Effet Magnus
Un écoulement permanent, incompressible, homogène est caractérisé par la vitesse ~v = v0~ex , loin d’un
cylindre immobile, d’axe (Oz) et de rayon a. L’exercice no 9 a montré que le champ des vitesses associé à cet
écoulement a pour expression en coordonnées cartésiennes :
h
h
a 2 i
a 2 i
cos θ~ur − 1 +
sin θ~uθ
~v = v0 1 −
r
r
Le cylindre est maintenant mis en rotation autour de son axe. Cette rotation induit un champ de vitesse
supplémentaire de la forme :
ωa2
~uθ
~v =
r
où ω est la vitesse de rotation du cylindre.
1. Montrer que l’écoulement possède deux points d’arrêt à la surface du cylindre lorsque ω < 2va0 . Tracer
l’allure les lignes de courant de l’écoulement.
2. Que peut-on dire des points d’arrêts de l’écoulement lorsque ω = 2va0 puis ω > 2va0 ?
3. Déterminer la pression P (a, θ) en tout point du cylindre.
4. En déduire la force exercée par le fluide sur le cylindre, par unité de longueur de ce dernier.
5. Calculer la circulation Γ du champ des vitesses du fluide le long d’un contour entourant le cylindre et
exprimer la force linéique précédente en fonction de Γ.
Problème : Vidange d’un conduit
Question préliminaire :
On considère l’écoulement parfait, non permanent et potentiel, d’un fluide incompressible sous l’action du
champ de pesanteur terrestre. Soit, l’axe vertical orienté de bas en haut et de vecteur unitaire ~ez , z la cote
d’un point de l’écoulement, t le temps, p la pression, µ0 la masse volumique du fluide et ~g = −g~ez (g > 0) le
champ de pesanteur.
1. Montrer qu’à tout instant et en tout point de l’écoulement, on peut écrire :
p
∂Φ v 2
+
+
+ gz = C(t)
∂t
2
µ0
où C(t) est une fonction quelconque du temps, éventuellement nulle et Φ le potentiel des vitesses.
5
Équation de vidange
On considère l’écoulement d’un fluide incompressible sous l’action de la
pesanteur dans une trémie à parois lisses ayant la forme d’un cône de révolution
d’axe parallèle à ~g et d’angle au sommet très petit (figure ci-contre1 ). L’origine
étant le sommet O du cône, on note h(t) la cote de la surface libre et a celle
de l’orifice d’écoulement. Pour étudier cet écoulement, on admettra le modèle
suivant :
– les frottements sur les parois sont négligeables,
– l’écoulement se fait par tranches, il est possible d’en effectuer l’étude
approchée à l’aide du champ des vitesses d’expression :
~v = v(z, t)~ez (v(z, t) < 0).
2. Discuter chacune des hypothèses décrivant l’écoulement.
3. Justifier que le débit volumique se conserve et déterminer l’expression du champ des vitesses v(z, t) de
cet écoulement en fonction de z, h, ḣ (ḣ < 0).
4. Déterminer, en fonction de z, h, ḣ et a, le potentiel des vitesses, Ψ, que l’on mettra sous la forme
Ψ(z, t) = Φ(z, t) + c(t), où c(t) est une fonction quelconque du temps et où Φ(a, t) = 0.
5. On suppose que les pressions en z = a et en z = h sont égales. Établir dans ces conditions l’équation
différentielle non linéaire du deuxième ordre vérifiée par λ(t) = h(t)/a, appelée équation de vidange de la
trémie :
dλ 2
2g
d2 λ
=
−2λ 2 + (λ − 1)(λ2 + 2λ + 3)
dt
dt
a
Régime transitoire
À l’instant t = 0, la trémie
est
remplie jusqu’à
dλ
une hauteur h0 = aλ0 , avec dt
= 0, puis le
t=0
fluide se met en mouvement. L’intégration numérique de l’équation de vidange fournit les trajecλ
toires de phase ( dλ
dt en fonction de λ(0) ) de la figure
ci-contre, pour a = 1 m et pour λ0 égal successivement à 5, 10 et 20. On constate l’existence d’un
régime initial transitoire pendant lequel la vitesse
dλ
dt varie significativement, alors que λ ne varie pratiquement pas.
6. Montrer que pendant ce régime transitoire,
c’est à dire tant que λ0λ−λ
«1, dλ
dt peut se mettre sous
0
la forme :
dλ dλ t
=
tanh
dt
dt ∞
τ
et déterminer l’expression de dλ
et celle de τ (durée caractéristique du régime transitoire) en fonction de
dt
∞
h0 , a et g.
7. Application numérique : a = 1 m, h0 = 20 m et g = 9, 81 m.s−2 . Calculer la valeur numérique de τ .
Temps de vidange
2
8. On néglige maintenant le terme en ddt2λ de l’équation de vidange. Donner la durée de vidange, tv sous
la forme :
r
a h0 tv =
f
2g
a
en exprimant f ha0 sous la forme d’une intégrale. Dans quelle mesure cette approximation est-elle pertinente ?
9. Application numérique : les données restant celles de la question 7, calculer la valeur numérique de tv
à l’aide d’un programme de calcul d’intégrale définie implanté sur calculatrice. Dans l’intégration
q numérique
2g
de l’équation du mouvement (cf figure précédente), on trouve que λ atteint la valeur 1 pour
a t = 26, 5
(λ0 = 5), 138, 5 (λ0 = 10) et 747, 2 (λ0 = 20).
10. Discussion : les considérations développées dans ce modèle vous semblent-elles applicables dans le cas
où le fluide est un matériau granulaire ?
1
Sur cette figure, l’angle au sommet du cône a été exagéré.
6