Cours du Samedi 21 Juin. Introduction : rappels

Cours du Samedi 21 Juin.
Introduction : rappels sur les ensembles.
I) Groupes.
Définition. Un groupe est la donnée d’un ensemble Get d’une loi de composition interne notée ∗définie de la
manière suivante : ∗:G×G−→ G
(x, y)7−→ x∗y
et telle que (G, ∗)vérifie les trois propriétés suivantes :
(1) (Elément neutre) Il existe edans Gtel que ∀x∈G,e∗x=x∗e=x.
(2) (Associativité) Pour tout x,y,z∈G,(x∗y)∗z=x∗(y∗z) = x∗y∗z.
(3) (Elément inverse) Pour tout xdans G, il existe x0dans Gtel que : x∗x0=x0∗x=e. On pourra noter :
x0=x−1à ne pas confondre avec la notation 1
x.
Si de plus ∀x,y∈G,x∗y=y∗x, on dit que la loi ∗est commutative et que (G, ∗)est un groupe commutatif
ou abélien.
Exemples : (Z,+) est un groupe abélien. En effet, la loi +est bien une loi de composition interne de Z×Zdans
Z(la somme de deux entiers relatifs est un entier relatif), 0∈Zest élément neutre pour la loi +,+est associative
et pour tout x∈Z, il existe y∈Ztel que : x+y=y+x= 0 : on prend y=−x. Enfin, la loi +est commutative.
D’autres groupes seront cités par les élèves. Par contre, (N,+) n’est pas un groupe. En effet, 2∈Nmais 2n’a
pas d’inverse dans Nmuni de +car −2/∈N.
Propriétés. Soit (G, ∗)un groupe.
1) L’élément neutre de Gest unique.
2) L’inverse yd’un élément xde Gest unique.
3) L’inverse de l’inverse de xest x.
4) Pour tous x,y∈G,(x∗y)−1=y−1∗x−1.
5) Pour tous x,y,z∈G, si x∗y=x∗zalors y=z.
6) Pour tout x∈G, pour tout n∈Z, l’inverse de xnest x−n. On note : (xn)−1=x−n.
Définition. Un groupe dit fini est un groupe qui a un nombre fini d’éléments. Son nombre d’éléments est appelé
ordre ou cardinal et est noté : Card Gou #(G).
Définition. Soit (G, ∗)un groupe. Soit x∈G.
On appelle ordre de xle plus petit entier naturel ktel que xk=eoù eest l’élément neutre de G.
Exercice 1. Soit (G, ∗)un groupe. Soit x∈Gd’ordre n≥2.
Montrer que ∀1≤m < n,xm6=e.
Exercice 2. Soit (G, ∗)un groupe. On suppose que tous les éléments de Gsauf l’élément neutre sont d’ordre 2.
Montrer que Gest commutatif.
II) Sous-groupes.
Définition. Soient (G, ∗)un groupe et Hun sous-ensemble non-vide de G. On dit que Hest un sous-groupe de
Glorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(1) Hest stable pour la loi ∗(∀x,y∈H,x∗y∈H).
(2) Hest stable par passage à l’inverse (∀x∈H,x−1∈H).
Exemples.
1

Z,Qet Rsont des sous-groupes de Cmuni de l’addition mais pas N.
Remarques.
1) Les conditions de la définition peuvent être réunies en une seule : Hest un sous-groupe de Gsi et seulement
si Hest non-vide et ∀x,y∈H,x∗y−1∈H.
2) Pour montrer que Hest non-vide, il est en général très facile de vérifier qu’il contient l’élément neutre de G.
Si Hne contient pas l’élément neutre de G,Hne peut pas être un sous-groupe de G.
3) Tout sous-groupe d’un groupe abélien est abélien.
4) Tout groupe Gadmet au moins deux sous-groupes dits triviaux : Get {e}(eétant l’élément neutre de G).
Théorème de Lagrange. Soit Hun sous-groupe d’un groupe fini G. Alors Hest fini et l’ordre (le cardinal) de H
divise celui de G.
Démonstration.
Notons : #(G) = n. Il est clair que Hest fini, notons : #(H) = m. Pour tout x∈G, notons : xH ={xh, h ∈H}
(ce sous-ensemble est appelé la classe de xà gauche modulo H).
D’une part, pour tout x∈G, l’ensemble xH est formé de méléments. En effet, si l’on note H={h1, h2, ..., hm},
hi6=hj∀i6=j, alors xH est l’ensemble des éléments de la forme xhipour 1≤i≤met xhi6=xhjlorsque
i6=j(car xhi=xhjimplique hi=hjdonc i=j).
D’autre part, l’ensemble des classes xH distinctes obtenues lorsque xdécrit Gest une partition de G. En effet,
tout x∈Gs’écrit x=xe avec e∈Hdonc x∈xH. Ceci prouve que Gest inclus dans la réunion des classes
xH et donc que Gest cette réunion car l’autre inclusion est triviale.
Il reste à vérifier que deux classes distinctes xH et yH sont disjointes.
Pour cela, supposons qu’il existe z∈xH ∩yH i.e : il existe h0,h00 ∈Htels que : z=xh0=yh00 . Tout élément
xh de xH s’écrit alors : xh = (yh00h0−1)h=y(h00 h0−1h)avec h00h0−1h∈Het donc xh ∈yH. On conclut alors
que xH ⊆yH. L’inclusion réciproque s’obtient de même et l’on déduit que xH =yH. On a ainsi prouvé que
deux classes non disjointes sont égales d’où on a le résultat voulu par contraposée.
On a finalement : n=mq où qdésigne le nombre de classes xH distinctes obtenues lorsque xdécrit G. Ainsi, m
divise n.
Définition et propriété. Soient Gun groupe et xun élément de G. On appelle sous-groupe monogène engendré
par xdans Gle sous-groupe engendré par le singleton {x}. On le note < x >. C’est le plus petit sous-groupe de
Gcontenant xet l’on a : <x>={xm, m ∈Z}.
Preuve. Le sous-groupe < x > contient xdonc (par stabilité pour la loi de G), il contient aussi x.x =x2,
x2.x =x3et par récurrence xmpour tout entier m≥1. Il contient aussi nécessairement le symétrique x−1de x
donc aussi x−1.x−1=x−2et par récurrence x−mpour tout entier m≥1. Enfin, il contient le neutre e=x.x−1
que l’on note par convention : x0. Ceci montre que <x>⊇ {xm, m ∈Z}. Il est clair réciproquement que
{xm, m ∈Z}est un sous-groupe de Gcontenant x.
Propriété. Soit Gun groupe. Soit xun élément de G. Si xest d’ordre fini n≥1dans G, alors le sous-groupe
<x>est fini d’ordre net l’on a : <x>={e, x, x2, x3, ..., xn−1}.
Preuve. Soit xmavec m∈Z, un élément quelconque de <x>. Par division euclidienne de mpar n, il existe des
entiers uniques qet rtels que : m=nq +ravec 0≤r≤n−1.Ona:xm=xnq+r= (xn)q.xr=eq.xr=xr
ce qui prouve que <x>est inclus dans l’ensemble E={xr,0≤r≤n−1}. La réciproque étant claire, on
a : < x >=E. Il reste à vérifier que Eest formé des néléments distincts : e,x,x2,x3, ... , xn−1. Pour cela,
supposons que xi=xjavec 0≤i, j ≤n−1, alors xi−j=eavec −n<i−j < n, ce qui, par minimalité de
l’ordre nde x, implique i−j= 0 donc i=j. On a donc bien E={e, x, x2, ..., xn−1}.
Propriété. Soit Gun groupe fini de cardinal n. Soit xun élément de Gd’ordre m.
Alors mdivise n.
2

Preuve. On a vu que, comme xest d’ordre m, le sous-groupe <x>de Gs’écrit : <x>={e, x, x2, ..., xm−1}.
Ce sous-groupe de Gaméléments donc par le théorème de Lagrange, on en déduit que mdivise n.
Exercice 3. Soit Gun groupe.
Que dire des sous-groupes de Gsi Gest de cardinal 1? De cardinal 2? De cardinal 3? De cardinal premier p?
Exercice 4. Soit Gun groupe (muni d’une loi de composition interne ∗) de cardinal 4. On note el’élément neutre
de G.
1) Montrer que Gpeut s’écrire sous la forme : {e, x, y, z}(où x,yet zsont 3éléments de Gdeux à deux distincts
et tous distincts de e).
2) Montrer que x,yet zsont chacun d’ordres 2ou 4.
3) Dans cette question uniquement, on suppose que x,yet zsont chacun d’ordre 2.
Déterminer tous les sous-groupes de Gdans ce cas.
On suppose maintenant que yest l’inverse de x.
4) Montrer que xet ysont d’ordres 4et que zest d’ordre 2.
5) Montrer que x2=x∗x=zet que x3=x∗x∗x=y.
6) Déterminer tous les sous-groupes de Gdans ce cas.
III) Morphismes de groupes.
Définition. Soient Gun groupe muni d’une loi de composition interne .et G0un groupe muni d’une loi de
composition interne ∗. On appelle morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes de Gdans G0toute
application f:G−→ G0telle que : ∀x,y∈G,f(x.y) = f(x)∗f(y).
Exemple. L’application exp : R−→ R∗
+qui à tout nombre réel associe son exponentielle est un morphisme de
groupes de Rmuni de l’addition dans R∗
+muni de la multiplication car : ∀x,y∈R,exp(x+y) = exp(x).exp(y).
Propriétés. Soient Gun groupe muni d’une loi de composition interne .et G0un groupe muni d’une loi de
composition interne ∗et f:G−→ G0un morphisme de groupes. On a :
(1) f(e) = e0, où edésigne l’élément neutre de Get e0celui de G0.
(2) ∀x∈G,f(x−1) = f(x)−1.
(3) ∀x∈G,∀n∈Z,f(xn) = f(x)n.
(4) Pour tout sous-groupe Hde G, l’image directe f(H) = {f(x), x ∈H}est un sous-groupe de G0.
(5) Pour tout sous-groupe H0de G0, l’image réciproque f−1(H0) = {x∈G, f(x)∈H0}est un sous-groupe de
G.
(6) La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.
Exercice 5. Démontrer les 6propriétés précédentes.
Correction :
(1) On écrit : f(e.e) = f(e)∗f(e)donc f(e) = f(e)∗f(e)ainsi, f(e)−1∗f(e) = f(e)−1∗f(e)∗f(e)d’où :
e0=e0∗f(e)donc e0=f(e).
(2) On a : f(x.x−1) = f(x)∗f(x−1) = f(e) = e0donc f(x−1) = f(x)−1.
(3) Soient x∈Get n∈N. Commençons par démontrer la propriété dans le cas : n∈N.
On procède par récurrence sur n. Pour n= 0 on a bien : f(x0) = f(e) = e0=f(x)0.
Supposons que f(xn) = f(x)npour un certain rang n∈N, on a : f(xn+1) = f(xn.x) = f(xn)∗f(x) =
f(x)n∗f(x)car f(xn) = f(x)npar hypothèse de récurrence. Donc f(xn+1) = f(x)n+1.
Ainsi, ∀x∈G,∀n∈N,f(xn) = f(x)n.
Soit maintenant n∈Z−, alors −n∈Net on a : ∀x∈G,f(x−n) = f(x)−n. Or, xn= (x−n)−1donc par la
propriété (2), on a : f(xn) = f((x−n)−1) = f(x−n)−1= (f(x)−n)−1=f(x)n.
(4) Hest un sous-groupe de Gdonc e(l’élément neutre de G) est dans Het f(e) = e0(e0étant le neutre de G0)
donc e0∈f(H)et f(H)est non vide.
Soient y,z∈f(H). Montrons que y∗z−1∈f(H).
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y,z∈f(H)donc il existe xet x0∈Htels que y=f(x)et z=f(x0). On a : y∗z−1=f(x)∗f(x0)−1=
f(x)∗f(x0−1) = f(x.x0−1)et x.x0−1∈H(car x,x0∈Het Hest un sous-groupe de G) donc y∗z−1∈f(H).
Ainsi, f(H)est un sous-groupe de G0.
(5) H0est un sous-groupe de G0donc e0∈H0et on a : f(e) = e0et e0∈H0donc e∈f−1(H0)donc f−1(H0)est
non vide.
Soient x,y∈f−1(H0). Montrons que x.y−1∈f−1(H0). On a : f(x.y−1) = f(x)∗f(y−1) = f(x)∗f(y)−1.
Comme x,y∈f−1(H0),f(x)et f(y)∈H0et comme H0est un sous-groupe de G0,f(x)∗f(y)−1∈H0donc
f(x.y−1)∈H0ainsi, x.y−1∈f−1(H0).
D’où f−1(H0)est un sous-groupe de G.
(6) Soient G,G0et G00 trois groupes munis respectivement des lois : .,∗et ×et f:G−→ G0et g:G0−→ G00
deux morphismes deux groupes.
Montrons que g◦f:G−→ G00 est un morphisme de groupes.
Soient x,y∈G.Ona:(g◦f)(x.y) = g(f(x.y)) = g(f(x)∗f(y)) = g(f(x))×g(f(y)) = (g◦f)(x)×(g◦f)(y).
Donc g◦f:G−→ G00 est un morphisme de groupes.
Définitions-propriétés. Soient Get G0deux groupes et f:G−→ G0un morphisme de groupes.
(1) L’ensemble f(G) = {f(x), x ∈G}est un sous-groupe de G0appelé image de fet noté Im f.
(2) L’ensemble f−1({e0}) = {x∈G, f(x) = e0}est un sous-groupe de G, appelé noyau de fet noté Ker f.
Preuves. Pour (1), Gest un sous-groupe de Gdonc par la propriété précédente, f(G) = Im fest un sous-groupe
de G0. Pour (2), {e0}est un sous-groupe de G0donc par la propriété précédente, f−1({e0}) = Ker fest un sous-
groupe de G.
Propriété. Soient G(muni de .) et G0(muni de ∗) deux groupes et f:G−→ G0un morphisme de groupes.
(1) fest surjective si et seulement si Im f=G0.
(2) fest injective si et seulement si Ker f={e}.
Preuve. Le point (1) est immédiat par la définition même de la surjectivité.
Pour (2), supposons d’abord finjective. Soit x∈Ker falors f(x) = e0=f(e)donc par injectivité de f,x=e.
Ainsi, Ker f={e}.
Réciproquement, supposons que Ker f={e}. Soient x,y∈Gtels que f(x) = f(y), on a donc f(x)∗f(y)−1=e0
ainsi, f(x.y−1) = e0donc x.y−1∈Ker fdonc x.y−1=edonc x= (y−1)−1=y. Ainsi, fest injective.
Définitions. Soit Gun groupe.
Un morphisme de groupes bijectif est un isomorphisme de groupes.
Un morphisme de groupes bijectif de Gdans lui-même est appelé : automorphisme de groupes.
Propriété. Si fest un isomorphisme de groupes de G(muni de .) dans G0(muni de ∗), alors la bijection réciproque
f−1est un isomorphisme de groupes de G0dans G.
Preuve. Posons : x=f−1(x0)et y=f−1(y0). Puisque fest un morphisme de groupes, on a : ∀x,y∈G,f(x.y) =
f(x)∗f(y)donc f(x.y) = x0∗y0ainsi, x.y =f−1(x0∗y0)d’où ∀x0,y0∈G0,f−1(x0∗y0) = f−1(x0).f−1(y0).
Donc f−1est un morphisme de groupes de G0dans G.
Définition. Soient Get G0deux groupes. On dit que Get G0sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de
groupes de Gdans G0. On note : G'G0.
Exercice 6. Soient Get G0deux groupes et f:G−→ G0un morphisme de groupes.
Soit x∈Gd’ordre n≥1. Montrer que f(x)est d’ordre au plus n.
Exercice 7. Soit (G, ×)un groupe. On note eson élément neutre.
Pour a∈G, on note τal’application de Gdans Gdéfinie par : τa(x) = axa−1.
1) Que vaut τe?
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2) Montrer que τaest un morphisme de groupes de Gdans lui-même.
3) Vérifier que ∀a,b∈G,τa◦τb=τab.
4) Montrer que l’application τaest bijective et déterminer sa bijection réciproque.
5) En déduire que T={τa, a ∈G}muni de la composition : ◦est un groupe.
Exercice 8. Soient (G, ∗)un groupe et a∈G.
On définit une loi de composition interne >sur Gpar x>y=x∗a∗y.
1) Montrer que (G, >)est un groupe.
2) Soient Hun sous-groupe de (G, ∗)et K=a−1∗H={a−1∗x, x ∈H}.
Montrer que Kest un sous-groupe de (G, >).
3) Montrer que f:x7−→ x∗a−1est un isomorphisme de (G, ∗)dans (G, >).
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