Fiche 21 : Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux

Fiche 21 : Déterminer si deux nombres sont premiers entre eux
Énoncé :
Déterminer si les deux nombres suivants sont premiers entre eux :
a. 250 et 121
b. 6111 et 2007
Solution :
Commentaires / Conseils :
Deux nombres premiers entre sont deux nombres
dont le PGCD est égal à 1.
a. On utilise l'algorithme d'Euclide:
On peut calculer le PGCD des deux nombres
grâce à une des trois méthodes du cours. Il faut
énoncer la méthode utilisée.
250 = 121 × 2 + 8
Le PGCD est le dernier reste non nul dans
l'algorithme d'Euclide.
121 = 8 × 15 + 1
8=1×8+0
Donc PGCD (250 , 121) = 1
On conclut et on répond à la question posée.
250 et 121 sont donc des nombres premiers entre eux.
b.
6111 et 2007 sont divisibles par 3, en effet :
Dans cet exemple, il est inutile de calculer le
PGCD.
En effet, si deux nombres ont un diviseur commun
autre que 1 alors ils ne sont pas premiers entre
eux.
6 + 1 + 1 + 1 = 9 ; et 9 est divisible par 3
2 + 0 + 0 + 7 = 9 ; et 9 est divisible par 3
Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible
par 3 alors le nombre est divisible par 3.
3 est donc un diviseur commun à 6111 et 2007.
On sait donc que PGCD (6111 , 2007) ≥ 3.
Et donc PGCD (6111 , 2007) ≠ 1
Les nombres 6111 et 2007 ne sont donc pas premiers
entre eux.
On conclut en répondant à la question posée.
Cette fiche a été créée par : Nurcan (3è3)