Réflexion sur une surface métallique, ionisation - MP*1

Centrale-MP-2011
Réflexion sur une surface métallique, ionisation,
puissance limite
II-A- Propagation d’une onde électromagnétique dans le métal
II-A-1-a- On applique la loi de la quantité de mouvement à un électron. Le poids est
négligeable devant la force électrique de même que la force magnétique. On a :
𝑚
⃗
𝜕𝑣
𝜕𝑡
𝑚
= 𝑞𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) − 𝑣 (𝑀, 𝑡) .
𝜏
On se place dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation 𝜔. On a l’équation
⃗
𝜕𝑣
différentielle en notation complexe : 𝑚 𝜕𝑡 = 𝑞𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) −
𝑞𝜏
𝑣(𝑀, 𝑡) = 𝑚(1+𝑗𝜔𝜏) 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡)
𝑚
𝜏
𝑣(𝑀, 𝑡) ce qui donne :
−𝑞𝜏𝑖𝑜𝑛
II-A-1-b- Pour un ion on trouve : 𝑣𝑖𝑜𝑛 (𝑀, 𝑡) = 𝑚
𝑖𝑜𝑛 (1+𝑗𝜔𝜏𝑖𝑜𝑛 )
𝐸⃗ (𝑀, 𝑡).
Le vecteur densité de courant est : 𝐽(𝑀, 𝑡) = 𝑛𝑞𝑣 (𝑀, 𝑡) − 𝑛𝑞𝑣𝑖𝑜𝑛 (𝑀, 𝑡) soit :
𝑞𝜏
𝑞𝜏𝑖𝑜𝑛
𝐽(𝑀, 𝑡) = 𝑛𝑞 [𝑚(1+𝑗𝜔𝜏) + 𝑚
] 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) mais 𝒎𝒊𝒐𝒏 ≫ 𝒎 donc en supposant que 𝜏 et
𝑖𝑜𝑛 (1+𝑗𝜔𝜏𝑖𝑜𝑛 )
𝜏𝑖𝑜𝑛 sont du même ordre de grandeur, on a
𝜏
𝑚(1+𝑗𝜔𝜏)
≫
𝜏𝑖𝑜𝑛
. La contribution des
𝑚𝑖𝑜𝑛 (1+𝑗𝜔𝜏𝑖𝑜𝑛 )
ions au courant est négligeable.
𝑛𝜏𝑞2
𝑚
𝑞 2 𝑛𝜏
II-A-1-c- On peut écrire : 𝐽(𝑀, 𝑡) = 𝑚(1+𝑗𝜔𝜏) 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝜎𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) avec 𝜎 =
𝜎𝑜 =
𝑛𝜏𝑞 2
𝑚
(1+𝑗𝜔𝜏)
; 𝜎𝑜 est la conductivité électrique du métal en régime stationnaire.
𝑚
II-A-1-d- On suppose que chaque atome donne un électron libre. On a donc 𝑛 = 𝑀𝑉 𝑁𝐴 soit
𝑛=
𝜇𝑁𝐴
𝑀
= 5,9. 1028 𝑚−3
On calcule 𝜏 : 𝜏 =
𝑚𝜎𝑜
𝑛𝑒 2
~2,7. 10−14 𝑠 et 𝜔 =
2𝜋𝑐
𝜆
~2,1. 1015 𝑠 −1
On a donc 𝜔𝜏~50 ≫ 1
𝑛𝑞 2
On peut simplifier l’expression de 𝜎: 𝜎 = −𝑗 𝜔𝑚
II-A-2-a- Les équation de Maxwell sont :
⃗
⃗
⃗ = 0; 𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = − 𝜕𝐵 ; 𝑟𝑜𝑡𝐵
⃗ = 𝜇𝑜 𝐽 + 12 𝜕𝐸
𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0; 𝑑𝑖𝑣𝐵
𝜕𝑡
𝑐 𝜕𝑡
⃗
𝜕𝐵
II-A-2-b- On a : 𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ ) = 𝑔𝑟𝑎𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ ) − ∆𝐸⃗ = −𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑡 ; ce qui donne:
⃗
⃗
𝜕𝑟𝑜⃗ 𝑡𝐵
𝜕
1 𝜕𝐸
∆𝐸⃗ = 𝜕𝑡 = 𝜕𝑡 [𝜇𝑜 𝐽 + 𝑐 2 𝜕𝑡 ] ; d’où l’équation d’onde vérifiée par le champ :
2
1 𝜕 𝐸⃗
𝜕𝐽
∆𝐸⃗ − 𝑐 2 𝜕𝑡 2 − 𝜇𝑜 𝜕𝑡 = ⃗0
2⃗
𝜕𝐽
1 𝜕 𝐸
II-A-2-c- En notation complexe l’équation d’onde devient : ∆𝐸⃗ − 𝑐 2 𝜕𝑡 2 − 𝜇𝑜 𝜕𝑡 = ⃗0 ce qui
donne : −𝑘 2 𝐸⃗ +
2
expression : 𝑘 =
On pose 𝜔𝑝2 =
𝜔2
2
𝜔
𝐸⃗ − 𝜇𝑜 𝑗𝜔𝜎𝐸⃗ = ⃗0 soit 𝑘 2 = 𝑐 2 − 𝑗𝜔𝜇𝑜 𝜎 où en remplaçant 𝜎 par son
𝑐2
𝜔2
−
𝑐2
2
𝜇𝑜 𝑐 𝑛𝑞 2
𝑚
𝜇𝑜 𝑛𝑞 2
𝑚
𝑛𝑞 2
=
𝜇 𝑐2 𝑛𝑞2
𝜔2− 𝑜
𝑐2
𝑚
= 𝑚𝜀 ; on obtient : 𝑘 2 =
2
𝜔 2 −𝜔𝑝
𝑐2
𝑜
II-A-2-d- 𝜔𝑝 = 1,4. 1016 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1 . On avait trouvé 𝜔 =
2𝜋𝑐
𝜆
~2,1. 1015 𝑠 −1. On a donc
𝜔𝑝 ≫ 𝜔.
II-A-2-e- Dans ce cas on peut écrire 𝑘 2 =
2
−𝜔𝑝
𝑐2
soit 𝑘 = ±𝑗
𝜔𝑝
𝑐
. Si on remplace dans
𝜔𝑝
l’expression du champ électrique on obtient : 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸(0)𝑒𝑥𝑝𝑗(𝜔𝑡 − (±𝑗 𝑐 𝑧)𝑢
⃗ 𝑥 soit :
𝜔𝑝
𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸(0)exp⁡(± 𝑐 𝑧)𝑒𝑥𝑝𝑗(𝜔𝑡)𝑢
⃗ 𝑥 . Pour que l’expression ait un sens physique pour
𝑥 > 0 il faut la solution : 𝑘 = −𝑗
𝜔𝑝
𝑐
𝜔𝑝
Le champ électrique est alors : 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) = 𝐸(0)exp⁡(− 𝑐 𝑧)𝑒𝑥𝑝𝑗(𝜔𝑡)𝑢
⃗𝑥
Pour trouver le champ magnétique on se sert de l’équation de Maxwell-Faraday :
⃗
𝜕𝐵
⃗
⃗⃗⃗⃗ 𝑡𝐸⃗ = − 𝜕𝑡 ; soit pour une onde plane harmonique ⃗∇ ∧ 𝐸⃗ = −𝑗𝜔𝐵
𝑟𝑜
𝜔𝑝
𝜕
⃗ = 𝜕𝑢
On a donc −𝑗𝜔𝐵
⃗ ∧ 𝐸⃗ = 𝜕𝑧 𝑢
⃗ 𝑧 ∧ 𝐸(0) exp (− 𝑐 𝑧) 𝑒𝑥𝑝𝑗(𝜔𝑡)𝑢
⃗ 𝑥 soit :
𝜕𝑧 𝑧
⃗ (𝑀, 𝑡) = −𝑗 𝜔𝑝 𝐸(0) exp (− 𝜔𝑝 𝑧) 𝑒𝑥𝑝𝑗(𝜔𝑡)𝑢
𝐵
⃗𝑦
𝜔𝑐
𝑐
Ce sont des ondes évanescentes. IL n’y a pas de terme de propagation.
II-A-2-f- L’ordre de grandeur de la décroissance exponentielle de l’onde est :
𝑐
𝛿 = 𝜔 = 3,2. 10−8 𝑚
𝑝
Ce résultat correspond à l’ordre de l’épaisseur d’une centaine de couches atomiques. On peut
donc considérer le milieu comme infini.
II-B- Réflexion d’une onde électromagnétique
⃗ ⃗
⃗𝑖 = 𝜔𝑢
⃗ 𝑖 = 𝑘𝑖 ∧𝐸𝑖 avec 𝑘
II-B-1- Il s’agit d’OPPH. On peut donc écrire : 𝐵
⃗ ⁡ce qui donne :
𝜔
𝑐 𝑧
⃗
⃗ 𝑖 = 𝑢⃗𝑧 ∧𝐸𝑖 soit 𝐵
⃗ 𝑖 = 𝐸𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝜔(𝑡 − 𝑧)𝑢
⁡𝐵
⃗ .
𝑐
𝑐
𝑐 𝑦
⃗𝑟 =
De même on a 𝐵
⃗ 𝑟 ∧𝐸⃗𝑟
𝑘
𝜔
⃗𝑟 = −𝜔𝑢
⃗ 𝑟 = − 𝑟𝐸𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑗𝜔(𝑡 + 𝑧)𝑢
avec 𝑘
⃗
⁡ce
qui
donne
:
𝐵
⃗ .
𝑧
𝑐
𝑐
𝑐 𝑦
II-B-2- La composante tangentielle du champ électrique est continue en 𝑧 = 0⁡ce qui donne :
𝐸⃗𝑖 (𝑧 = 0, 𝑡) + 𝐸⃗𝑟 (𝑧 = 0, 𝑡) = 𝐸⃗𝑡 (𝑧 = 0, 𝑡)
En absence de milieu magnétique, la composante tangentielle du champ magnétique est
⃗ 𝑖 (𝑧 = 0, 𝑡) + 𝐵
⃗ 𝑟 (𝑧 = 0, 𝑡) = 𝐵
⃗ 𝑡 (𝑧 = 0, 𝑡)
également continue en 𝑧 = 0ce qui donne : 𝐵
II-B-3- on en déduit :
𝐸𝑜 + 𝑟𝐸𝑜 = 𝐸(0)
1
𝑐
𝜔𝑝
1
𝐸𝑜 − 𝑐 𝑟𝐸𝑜 = −𝑗 𝜔𝑐 𝐸(0)
Soit (1 − 𝑟) = −𝑗
𝜔𝑝
𝜔
(1 + 𝑟) ce qui donne =
1+𝑗
1−𝑗
𝜔𝑝
. On constate que |𝑟| = 1. L’onde
𝜔
𝜔𝑝
𝜔
réfléchie a même amplitude que l’onde incidente mais présente un déphasage.
II-B-4- On a 𝐸𝑜 + 𝑟𝐸𝑜 = 𝐸(0) ce qui donne 𝐸(0) = 𝐸𝑜 (1 +
𝐸(0) = 𝐸𝑜
2
1−𝑗
𝜔𝑝
; |𝐸(0)| = 𝐸𝑜
𝜔
2
𝜔 2
√1+( 𝑝 )
1+𝑗
1−𝑗
𝜔𝑝
𝜔
𝜔𝑝
𝜔
) soit :
.
𝜔
Comme on a vu que 𝜔𝑝 ≫ 𝜔 on a |𝐸(0)| = 𝐸𝑜
2
√1+(
𝜔𝑝 2
𝜔
~
)
2𝐸𝑜 𝜔
𝜔𝑝
𝑞𝜏
II-B-5- On utilise les résultats de la question II-A-1-a : 𝑣 (𝑀, 𝑡) = 𝑚(1+𝑗𝜔𝜏) 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡) ce qui
𝑞
donne puisque 𝜔𝜏 ≫ 1 : 𝑣(𝑀, 𝑡) = 𝑗𝑚𝜔 𝐸⃗ (𝑀, 𝑡). La vitesse maximale est obtenue pour 𝑧 = 0
puisque l’onde décroit de façon exponentielle dans le conducteur. On a 𝑣(0, 𝑡) =
|𝑞|
et |𝑣(0)| = 𝑚𝜔 |𝐸⃗ (0)| soit |𝑣(0)| =
2|𝑞|𝐸𝑜
𝑚𝜔𝑝
𝑞
𝑗𝑚𝜔
𝐸⃗ (0, 𝑡)
𝜀
𝑜
= 2√𝑛𝑚
𝐸𝑜
II-C-Ionisation dans le métal, limite en puissance
II-C-1- On considère le système {un électron dans le champ du noyau}
𝑍𝑒 2
Cet électron est soumis à une force attractive de la part du noyau 𝐹 = − 4𝜋𝜀
𝑜𝑟
2
𝑢
⃗ 𝑟 et une
𝑍𝑒 2
énergie potentielle 𝐸𝑝 = − 4𝜋𝜀 𝑟.
𝑜
Calculons dans un premier temps l’énergie mécanique de l’électron en supposant son
mouvement circulaire de rayon 𝑟𝑜 .
Si on applique la loi de la quantité de mouvement on obtient : 𝑚𝑎 = 𝐹
𝑍𝑒 2
soit −𝑚𝜔2 𝑟𝑜 = − 4𝜋𝜀
𝑍𝑒 2
ce qui donne 𝑚𝑣 2 = 4𝜋𝜀
𝑟2
𝑜 𝑜
𝑜 𝑟𝑜
.
𝑍𝑒 2
1
L’énergie mécanique de l’électron est 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 2 𝑚𝑣 2 − 4𝜋𝜀
𝑜 𝑟𝑜
𝑍𝑒 2
= − 8𝜋𝜀
𝑜 𝑟𝑜
L’énergie minimale à fournir pour ioniser l’atome est donc :
𝑍𝑒 2
𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 8𝜋𝜀
𝑜 𝑟𝑜
= 6,5. 10−17 𝐽 = 406⁡𝑒𝑉
Cette valeur est bien trop grande. On n’a pas tenu compte de l’effet d’écran, c’est-à-dire de la
répulsion électronique des électrons plus proche du noyau qui diminue la valeur de Z.
𝑍 ∗𝑒2
L’expression correcte est 𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 = 8𝜋𝜀
𝑜 𝑟𝑜
.
D’après la valeur donnée par l’énoncé on a 𝑍 ∗ ~2 . IL y a 77 électrons qui écrantent le noyau.
II-C-2- L’ordre de grandeur de la vitesse d’un électron provoquant l’ionisation d’un ion du
1
2𝐸𝑖𝑜𝑛
2
𝑚
réseau est donnée par 𝑚𝑣 2 = 𝐸𝑖𝑜𝑛𝑖𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 soit 𝑣 = √
= 1,8. 106 ⁡𝑚. 𝑠 −1
II-C-3-On a vu précédemment la relation entre l’amplitude de la vitesse et l’amplitude du
𝜀
𝑣
𝑛𝑚
𝑜
champ : 𝑣 = 2√𝑛𝑚
𝐸𝑜 ce qui donne 𝐸𝑜 = 2 √ 𝜀 = 6,9. 1010 𝑉. 𝑚−1
𝑜
II-C-4- La puissance de l’onde est le flux du vecteur de Poynting.
2
⃗ ⃗
2
⃗⃗ = 𝐸∧𝐵 = 𝜀𝑜 |𝐸⃗ | 𝑢
⃗⃗ >= 𝜀𝑜 𝐸𝑜 𝑢
Pour une OPP, on a Π
⃗ 𝑧 . Pour une OPPH on a < Π
⃗𝑧
𝜇
2
𝑜
La puissance moyenne de l’onde est donc 𝑃 = 𝑆 < Π >=
𝑆𝜀𝑜 𝐸𝑜2
2
= 1,7. 1017⁡ 𝑊
II-C-5- Pour un laser de une picoseconde on mesure un seuil d’endommagement de
0,5⁡𝐽. 𝑐𝑚2. On en déduit une puissance par unité de surface d’endommagement de
𝑝𝑒𝑛𝑑 = 5. 1016 ⁡𝑊. 𝑚−2 alors que le calcul précédent mène à une puissance surfacique :
< Π >=
𝜀𝑜 𝐸𝑜2
2
= 6,4. 1018 𝑊. 𝑚−2. Le modèle donne un résultat 100 fois plus grand que
l’expérience et n’est pas pertinent.
Mines-MP-2015
Le moteur plasma micro-ondes
15- Les forces appliquées à un électron libre sont :
*La force électrique : 𝐹𝑒 = −𝑒𝐸⃗
⃗ ) ; cette force est négligeable devant la force
*La force magnétique : 𝐹𝑚 = −𝑒(𝑣𝑒 ∧ 𝐵
électrique car :
‖𝐹𝑚 ‖
=
‖𝐹𝑒 ‖
⃗‖
⃗ 𝑒 ∧𝐵
𝑒‖𝑣
⃗
𝑒‖𝐸 ‖
∼
⃗‖
‖𝑣
⃗ 𝑒 ‖.‖𝐵
.
⃗
‖𝐸 ‖
L’ordre de grandeur du champ magnétique est
⃗
⃗
⃗ = 𝑢⃗∧𝐸 ce qui donne ‖𝐵
⃗ ‖ ∼ ‖𝐸‖.
donné par la relation d’une OPPH dans le vide : 𝐵
𝑐
𝑐
On a donc
‖𝐹𝑚 ‖
‖𝐹𝑒 ‖
∼
‖𝑣
⃗ 𝑒‖
𝑐
≪ 1 puisque le texte précise que les électrons libres ne sont pas
relativistes.
‖𝑃⃗ ‖
𝑚 𝑔
𝑒
*Le poids de l’électron est négligeable par rapport à la force électrique car ‖𝐹 ‖ = 𝑒‖𝐸
=
⃗‖
𝑒
9.10−31 .9,8
1,6.10−19 ‖𝐸⃗ ‖
∼
10−11
.
‖𝐸⃗ ‖
Si on prend comme ordre de grandeur du champ électrique le champ
⃗
‖𝑃 ‖
disruptif de l’air on a ‖𝐸⃗ ‖ ∼ 106 ⁡𝑉. 𝑚−1 d’où ‖𝐹 ‖ ∼ 10−5 ≪ 1
𝑒
*Le texte nous précise qu’on néglige les collisions entre ions et électrons ou entre particules
de même espèce.
16- On prend comme système un électron et on lui applique la loi de la quantité de
mouvement : 𝑚𝑒
⃗𝑒
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝐹𝑒 = −𝑒𝐸⃗ ce qui donne en régime établi et en notation complexe :
𝑖𝑒
𝑖𝜔𝑚𝑒 𝑣𝑒 = −𝑒𝐸⃗ soit 𝑣𝑒 = 𝜔𝑚 𝐸⃗
𝑒
2
𝑛𝑒
On a 𝑗 = −𝑛𝑒𝑣𝑒 ce qui donne : 𝑗 = −𝑖 𝜔𝑚 𝐸⃗ . On en déduit la conductivité complexe du
𝑒
𝑛𝑒 2
plasma: 𝜎 = −𝑖 𝜔𝑚
𝑒
17- Dans ce régime de propagation on a 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ =
𝜕𝐸𝑦
𝜕𝑦
= 0. Or d’après l’équation de Maxwell-
𝜌
Gauss, 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 𝜀 . On a bien 𝜌 = 0
𝑜
Pour établir l’équation de propagation on a l’équation de Maxwell-Faraday :
⃗
⃗
⃗
𝜕𝐵
𝜕𝐵
𝜕𝑟𝑜⃗ 𝑡𝐵
𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ = − 𝜕𝑡 ce qui donne : 𝑟𝑜𝑡(𝑟𝑜𝑡𝐸⃗ ) = −𝑟𝑜𝑡 𝜕𝑡 soit 𝑔𝑟𝑎
⃗⃗⃗⃗ 𝑑(𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ ) − ∆𝐸⃗ = − 𝜕𝑡
⃗
𝜕𝑟𝑜⃗ 𝑡𝐵
Comme on vient de voir que 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗ = 0 on a ∆𝐸⃗ = 𝜕𝑡
1 𝜕𝐸⃗
⃗ = 𝜇𝑜 𝑗 + 2 ce qui donne l’équation de
On utilise l’équation de Maxwell-Ampère : 𝑟𝑜𝑡𝐵
𝑐 𝜕𝑡
1 𝜕2 𝐸⃗
𝜕𝑗
propagation : ∆𝐸⃗ = 𝜇𝑜 𝜕𝑡 + 𝑐 2 𝜕𝑡 2 .
On passe à la notation complexe et on prend comme solution : 𝐸⃗ = 𝐸𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)𝑢
⃗ 𝑦 et
2
2
2
2
2
𝑛𝑒
𝜔
𝜇 𝑛𝑒
1
𝜇 𝑐 𝑛𝑒
𝑗 = −𝑖 𝜔𝑚 𝐸⃗ ce qui donne : 𝑘 2 = 𝑐 2 − 𝑜𝑚 = 𝑐 2 (𝜔2 − 𝑜 𝑚 )
𝑒
𝑒
𝑒
1
1
𝑛𝑒 2
Mais 𝜇𝑜 𝑐 2 = 𝜀 . On obtient l’équation de dispersion : 𝑘 2 = 𝑐 2 (𝜔2 − 𝜀
𝑜
1
𝑜 𝑚𝑒
) = 𝑐 2 (𝜔2 − 𝜔𝑝2 )
18- pour que l’onde se propage, il faut que 𝑘 soit réel donc 𝑘 2 > 0 soit 𝜔 > 𝜔𝑝 .
Dans le cas où 𝜔 < 𝜔𝑝 on a une onde évanescente qui ne se propage pas. L’onde incidente
se réfléchit sur le plasma.
19- On applique la loi de la quantité de mouvement à un électron soumis à la seule force
magnétique : 𝑚𝑒
⃗𝑒
𝑑𝑣
𝑑𝑡
⃗ 𝑜)
= −𝑒(𝑣𝑒 ∧ 𝐵
⃗ 𝑜 ). 𝑣𝑒 𝑑𝑡 = 0. En appliquant le
La force magnétique a un travail nul puisque 𝛿𝑊 = −𝑒(𝑣𝑒 ∧ 𝐵
⃗ 𝒆 ‖ = 𝒗𝒆 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
théorème de l’énergie cinétique, on en déduit que ‖𝒗
De plus si on projette la loi de la quantité de mouvement dans la direction parallèle au champ
magnétique on obtient : 𝑚𝑒
𝑑𝑣𝑒∥
𝑑𝑥
= 0. Comme initialement la vitesse est perpendiculaire au
champ on en déduit 𝑣𝑒∥ = 0. Le mouvement de l’électron est dans le plan perpendiculaire
au champ magnétique.
Pour trouver le rayon de la trajectoire, on projette la loi de la quantité de mouvement dans le
trièdre de Frenet : 𝑚𝑒
⃗𝑒
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚𝑒
La période de rotation est 𝑇 =
𝑑𝑣𝑒
𝑑𝑡
2𝜋𝑅
𝑣𝑒
La pulsation cyclotron est : 𝜔𝑐 =
2
⃗ + 𝑚𝑒 𝑣𝑒 𝑁
⃗ = 𝑒𝑣𝑒 𝐵𝑜 𝑁
⃗ , d’où 𝑅 = 𝑚𝑒 𝑣𝑒
𝑇
𝑅
𝑒𝐵
𝑚𝑒
𝑜
ce qui donne 𝑇 = 2𝜋 𝑒𝐵
𝑒𝐵𝑜
𝑚𝑒
𝑜
10
= 3,5. 10 ⁡𝑟𝑎𝑑. 𝑠
−1
20- On se place à 𝜔~𝜔𝑐 .
Supposons qu’à un instant 𝑡 on a le schéma suivant :
𝐸⃗
𝑣𝑒
La force électrique est dans le même sens que la vitesse et l’électron est accéléré.
𝑇
A un instant⁡𝑡+ 2𝑐 le champ électrique aura changé de sens et l’électron aura parcouru un demicercle d’où le schéma suivant :
𝑣𝑒
𝐸⃗
La force électrique est encore dans le même sens que la vitesse et l’électron est toujours
accéléré.
21- Pour que l’onde se propage on a vu qu’il faut la relation 𝜔 > 𝜔𝑝 . Comme 𝜔~𝜔𝑐 on a
l’inégalité 𝜔𝑐 > 𝜔𝑝 soit
maximale est : 𝑛𝑚𝑎𝑥 =
𝑒𝐵𝑜
𝑚𝑒
𝐵𝑜2 𝜀𝑜
𝑚𝑒
𝑛𝑒 2
> √𝜀
𝑜 𝑚𝑒
ce qui donne 𝑛 <
= 3,9. 1017 𝑚−3
𝐵𝑜2 𝜀𝑜
𝑚𝑒
. La densité particulaire