Réflexion sur une surface métallique, ionisation - MP*1

Centrale-MP-2011
Réflexion sur une surface métallique, ionisation,
puissance limite
II-A- Propagation d’une onde électromagnétique dans le métal
II-A-1-a- On applique la loi de la quantité de mouvement à un électron. Le poids est
négligeable devant la force électrique de même que la force magnétique. On a :
 .
On se place dans le cas d’un régime sinusoïdal forcé de pulsation . On a l’équation
différentielle en notation complexe : 
 ce qui donne :
II-A-1-b- Pour un ion on trouve :  
.
Le vecteur densité de courant est :  soit :
 mais   donc en supposant que  et
 sont du même ordre de grandeur, on a 
. La contribution des
ions au courant est négligeable.
II-A-1-c- On peut écrire : 
 avec   
 ;  est la conductivité électrique du métal en régime stationnaire.
II-A-1-d- On suppose que chaque atome donne un électron libre. On a donc  
 soit
On calcule  : 
 et 
On a donc 
On peut simplifier l’expression de : 
II-A-2-a- Les équation de Maxwell sont :
II-A-2-b- On a : 
  ce qui donne:
 d’où l’équation d’onde vérifiée par le champ :

II-A-2-c- En notation complexe l’équation d’onde devient :  ce qui
donne :  soit 
 où en remplaçant  par son
expression : 
On pose 
 ; on obtient : 
II-A-2-d- . On avait trouvé  
. On a donc
.
II-A-2-e- Dans ce cas on peut écrire 
 soit  . Si on remplace dans
l’expression du champ électrique on obtient : 
 soit :
. Pour que l’expression ait un sens physique pour
 il faut la solution : 
Le champ électrique est alors : 
Pour trouver le champ magnétique on se sert de l’équation de Maxwell-Faraday :
 ; soit pour une onde plane harmonique 
On a donc 
 soit :
Ce sont des ondes évanescentes. IL n’y a pas de terme de propagation.
II-A-2-f- L’ordre de grandeur de la décroissance exponentielle de l’onde est :
Ce résultat correspond à l’ordre de l’épaisseur d’une centaine de couches atomiques. On peut
donc considérer le milieu comme infini.
II-B- Réflexion d’une onde électromagnétique
II-B-1- Il s’agit d’OPPH. On peut donc écrire : 
 avec 
ce qui donne :
 soit 
.
De même on a 
 avec 
ce qui donne :  .
II-B-2- La composante tangentielle du champ électrique est continue en ce qui donne :
En absence de milieu magnétique, la composante tangentielle du champ magnétique est
également continue en ce qui donne : 
II-B-3- on en déduit :

Soit 
 ce qui donne 
 . On constate que . L’onde
réfléchie a même amplitude que l’onde incidente mais présente un déphasage.
II-B-4- On a  ce qui donne 
 soit :
 ; 
.
Comme on a vu que  on a 
II-B-5- On utilise les résultats de la question II-A-1-a :  
 ce qui
donne puisque  :  
. La vitesse maximale est obtenue pour 
puisque l’onde décroit de façon exponentielle dans le conducteur. On a  
et  
 soit  
II-C-Ionisation dans le métal, limite en puissance
II-C-1- On considère le système {un électron dans le champ du noyau}
Cet électron est soumis à une force attractive de la part du noyau 
 et une
énergie potentielle  
.
Calculons dans un premier temps l’énergie mécanique de l’électron en supposant son
mouvement circulaire de rayon .
Si on applique la loi de la quantité de mouvement on obtient :  
soit  
 ce qui donne 
.
L’énergie mécanique de l’électron est 
L’énergie minimale à fournir pour ioniser l’atome est donc :
Cette valeur est bien trop grande. On n’a pas tenu compte de l’effet d’écran, c’est-à-dire de la
répulsion électronique des électrons plus proche du noyau qui diminue la valeur de Z.
L’expression correcte est  
.
D’après la valeur donnée par l’énoncé on a  . IL y a 77 électrons qui écrantent le noyau.
II-C-2- L’ordre de grandeur de la vitesse d’un électron provoquant l’ionisation d’un ion du
réseau est donnée par 
 soit 

II-C-3-On a vu précédemment la relation entre l’amplitude de la vitesse et l’amplitude du
champ :  
 ce qui donne 
II-C-4- La puissance de l’onde est le flux du vecteur de Poynting.
Pour une OPP, on a 
. Pour une OPPH on a 
La puissance moyenne de l’onde est donc  
II-C-5- Pour un laser de une picoseconde on mesure un seuil d’endommagement de
. On en déduit une puissance par unité de surface d’endommagement de
  alors que le calcul précédent mène à une puissance surfacique :
. Le modèle donne un résultat 100 fois plus grand que
l’expérience et n’est pas pertinent.
Mines-MP-2015
Le moteur plasma micro-ondes
15- Les forces appliquées à un électron libre sont :
*La force électrique : 
*La force magnétique :   ; cette force est négligeable devant la force
électrique car : 
. L’ordre de grandeur du champ magnétique est
donné par la relation d’une OPPH dans le vide : 
 ce qui donne  .
On a donc 
 puisque le texte précise que les électrons libres ne sont pas
relativistes.
*Le poids de l’électron est négligeable par rapport à la force électrique car 
. Si on prend comme ordre de grandeur du champ électrique le champ
disruptif de l’air on a   d’où 
*Le texte nous précise qu’on néglige les collisions entre ions et électrons ou entre particules
de même espèce.
16- On prend comme système un électron et on lui applique la loi de la quantité de
mouvement :  ce qui donne en régime établi et en notation complexe :
soit 
On a  ce qui donne :   . On en déduit la conductivité complexe du
plasma:   

17- Dans ce régime de propagation on a 
 . Or d’après l’équation de Maxwell-
Gauss, 
. On a bien 
Pour établir l’équation de propagation on a l’équation de Maxwell-Faraday :
 ce qui donne :   soit 
Comme on vient de voir que   on a 
On utilise l’équation de Maxwell-Ampère : 
 ce qui donne l’équation de
propagation : 
 .
On passe à la notation complexe et on prend comme solution : 
 et
ce qui donne : 
Mais 
. On obtient l’équation de dispersion : 
18- pour que l’onde se propage, il faut que  soit réel donc  soit  .
Dans le cas où  on a une onde évanescente qui ne se propage pas. L’onde incidente
se réfléchit sur le plasma.
19- On applique la loi de la quantité de mouvement à un électron soumis à la seule force
magnétique : 
La force magnétique a un travail nul puisque 
. En appliquant le
théorème de l’énergie cinétique, on en déduit que 
De plus si on projette la loi de la quantité de mouvement dans la direction parallèle au champ
magnétique on obtient : 
 . Comme initialement la vitesse est perpendiculaire au
champ on en déduit  . Le mouvement de l’électron est dans le plan perpendiculaire
au champ magnétique.
Pour trouver le rayon de la trajectoire, on projette la loi de la quantité de mouvement dans le
trièdre de Frenet :  , d’où 
La période de rotation est 
 ce qui donne 
La pulsation cyclotron est : 
20- On se place à .
Supposons qu’à un instant  on a le schéma suivant :
La force électrique est dans le même sens que la vitesse et l’électron est accéléré.
A un instant+
 le champ électrique aura changé de sens et l’électron aura parcouru un demi-
cercle d’où le schéma suivant :
𝑣𝑒
𝐸