Fonction d`onde des atomes hydrogénoïdes II

Année 2009-2010
Epreuve : Examen de Chimie Quantique (CQ1)
Date : 7 janvier 2009
Durée : 1h00
Sans documents, calculatrice autorisée
Epreuve de Mr. Crespos
I – Fonction d’onde des atomes hydrogénoïdes
La fonction d'onde 1s exprimée en coordonnées sphériques est :
3
Ψ 100 = Ψ 1s =
1
π
Z
a0
2
exp
- Zr
a0
La fonction d'onde 2s exprimée en coordonnées sphériques est :
Ψ2s =
1
Z
a
4 2π 0
3/2
2 – Za r
0
exp – Z r
2 a0
I.1) A l’aide (par exemple) du calcul de la densité de probabilité de présence radiale, montrer qu’un
électron caractérisé par la fonction d’onde Ψ2s peut se retrouver beaucoup plus loin du noyau que
dans le cas Ψ1s.
I.2) Toujours dans le cas Ψ2s il existe une région de l’espace où l’électron n’a aucune chance de se
trouver (structure nodale). Déterminer cette région.
II – Les constantes d’écran du modèle de Slater
On donne les valeurs expérimentales des énergies de première ionisation EI1 (exprimées en
kJ.mol-1) de quelques éléments de la deuxième période :
Elément
EI1(kJ.mol-1)
B
800
C
1086
N
1402
O
1314
II.1) Convertir ces énergies en eV.
II.2) Calculer ces énergies de première ionisation dans le cadre du « modèle des électrons
indépendants » puis dans le cadre du « modèle des constantes d’écran de Slater ».
II.3) Comparer les valeurs expérimentales aux valeurs obtenues par le calcul en évaluant le
pourcentage d’erreur moyen de chaque modèle.
II.4) Pourquoi aucun des deux modèles n’est-il susceptible de représenter la forme non-monotone
de l’énergie d’ionisation en fonction de Z, observée expérimentalement ?
Données :
L’écran d’un électron s ou p de la couche n-1 sur un électron s ou p de la couche n vaut 0.85
L’écran entre 2 électrons s ou p de la couche n (n > 1) vaut 0.35
L’écran entre 2 électrons 1s vaut 0.31
L’écran d’un électron s ou p de la couche n-2 sur un électron s ou p de la couche n vaut 1
e = 1,602.10-19 C ; NA = 6,022.1023 mol-1
1
TSVP
III – Les fonctions d’onde hybrides
Soit la fonction d'onde hybride sp2 suivante :
Ψsp2 = Ψ2s – 2 Ψ2p0 + 4 Ψ2p-1
III.1) Normaliser cette fonction à l’unité.
III.2) Quelle est le poids de chacune des orbitales dans la formation de l’hybride ?
III.3) Ecrire l’hamiltonien du problème hydrogénoïde en donnant la signification de chaque terme.
III.4) Vérifier que la fonction hybride est bien solution de l’équation de Schrödinger hydrogénoïde.
III.5) La fonction hybride est-elle fonction propre des opérateurs L et LZ ?
III.6) Quelle est la valeur moyenne de l'énergie E, de L2 de Lz dans l'état hybride ?
IV – Back to the roots !
Dans un article de 1952 intitulé « What is Matter ? », Erwin Schrödinger montre que l’on peut
retrouver la condition de quantification du moment cinétique orbital proposé par Niels Bohr en
exprimant simplement le caractère ondulatoire d’un électron sur une orbite stationnaire (voir figure
ci-dessous).
Astuce : L’électron en se
déplaçant sur son orbite circulaire
est « accompagné » de son onde
de De Broglie qui se déplace avec
lui. Pour que l’onde puisse être
stationnaire il faut qu’elle
n’interfère pas avec elle-même.
IV.1) En utilisant une démonstration simple expliquer le point de vue de M. Schrödinger.
2
TSVP