UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
Département de Mécanique
Feuille d’exercice 9 : Méthodes numériques de résolution
d’un système d’équations linéaires
L’objectif de ce TP numérique est d’implémenter sous Matlab les algorithmes vus en cours de résolution
d’un système linéaire
Partie 1 : Résolution d’un système triangulaire
Implémenter sous matlab l’algorithme suivant qui permet de trouver la solution Xd’un système d’équa-
tion linéaire UX =Yoù Udésigne une matrice triangulaire supérieure inversible, et X, Y ∈ Mn,1(R).
Pour i=n, ...1faire : (1)
xi=
yi−X
j>i
Uij xj
/Uii (2)
Fin (3)
On écrira une fonction qui en entrée prend une matrice triangulaire supérieure Uet une matrice colonne Y
et en sortie donne la solution Xdu système UX =Y. On testera ensuite cette fonction sur des matrices
triangulaires simples dont on connaît la solution analytique.
Partie 2 : Algorithme d’élimination
Implémenter sous matlab l’algorithme d’élimination suivant qui permet à l’aide d’un système d’équations
sous forme linéaire AX =B(avec A∈ GLn(R)et X, B ∈ Mn,1(R)) d’obtenir un système équivalent
A(n−1)X=B(n−1) où An−1est une matrice triangulaire supérieure.
1) Initialisation
A(0) =A∈ Mn(R)
B(0) =B∈ Mn,1(R)
2) Itérations : pour k= 1,2, ..., n −1,faire
(i) Elimination de l’inconnue xk
A(k)
ij =A(k−1)
ij 1≤i≤k, 1≤j≤n
A(k)
ij =A(k−1)
ij −A(k−1)
ik ×A(k−1)
kj /A(k−1)
kk k < i ≤n, k ≤j≤n
(ii) Modification du second membre :
b(k)
i=b(k−1)
i−A(k−1)
ik ×bk−1
k/A(k−1)
kk k < i ≤n
Fin
On implémentera cet algorithme sous forme d’une fonction qui en entrée prend une matrice carrée de taille
n A et une matrice colonne Bet en sortie donne la matrice triangulaire supérieure inversible A(n−1) et la
matrice colonne B(n−1). On testera ensuite cette fonction sur des exemples de matrice inversible.
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