Équation de Schrödinger pour une particule libre

Équation de Schrödinger pour une particule libre
PC Lycée Dupuy de Lôme
E. Ouvrard (PC Lycée Dupuy de Lôme)
Mécanique quantique
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1
Équation de Schrödinger
Postulat
Interprétation énergétique de l’équation
2
Étude d’un quanton libre
Forme de la solution
Forme complète de la solution
Onde de de Broglie
Densité de courant de probabilité
3
Paquet d’onde
Paquet d’onde associé au quanton
Vitesse du paquet d’onde
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Équation de Schrödinger
Postulat
Il s’agit de traduire ici la dynamique de la fonction d’onde Quelques
principes permettent de construire l’équation
Elle doit être linéaire (Principe de superposition)
Elle doit être d’ordre 1 par rapport au temps (La connaissance de
l’état initiale suffit à décrire l’évolution ultérieure)
Elle doit se confondre avec la théorie classique dans le domaine de
validité commun
Équation de Schrödinger
La fonction d’onde Ψ d’un quanton pour un système unidimensionnel
vérifie l’équation
̷
i.h.
̷ 2 ∂2Ψ
h
∂Ψ
=−
.
+ V (x).Ψ
∂t
2.m ∂x2
En mécanique quantique les fonctions d’onde seront toujours des expressions complexes que l’on notera par abus d’écriture Ψ(x, t) et non
t)
Ψ(x,
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Équation de Schrödinger
Interprétation énergétique de l’équation
On associe à un quanton la fonction d’onde
̷
Ψ(x, t) = Ψ0 .ei.(p.x−E.t)/h
A quel type d’énergie sont associés les opérateurs appliquée à Ψ
̷ ∂×
i.h.
∂t
̷ 2 ∂2
h
−
.
×
2.m ∂x2
V (x, t)×
Potentiel quantique
Le potentiel V (x) dans l’équation de Scrödinger correspond en fait à une
énergie que l’on pourrait nommer énergie potentielle...
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Mécanique quantique
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Équation de Schrödinger
Interprétation énergétique de l’équation
On associe à un quanton la fonction d’onde
̷
Ψ(x, t) = Ψ0 .ei.(p.x−E.t)/h
A quel type d’énergie sont associés les opérateurs appliquée à Ψ
̷ ∂ × associé à l’énergie totale
i.h.
∂t
̷ 2 ∂2
h
−
.
× associé à l’énergie cinétique
2.m ∂x2
V (x, t)× associé à l’énergie potentielle
Potentiel quantique
Le potentiel V (x) dans l’équation de Scrödinger correspond en fait à une
énergie que l’on pourrait nommer énergie potentielle...
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Étude d’un quanton libre
Forme de la solution
Quanton libre
Un quanton est libre s’il n’est soumis à aucun champ de force. Le potentiel
V (x) sera alors constant. On le choisira nul.
A un quanton libre sont associés des états stationnaires. la fonction d’onde
s’écrit sous une forme à variables séparées du temps et de l’espace.
Œ
Ψstat (x, t) = ϕ(x).g(t)
Cette forme est solution de l’équation de Schrödinger, ce qui amène à la
forme suivante, en notant E l’énergie totale du système :
b
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Ψstat (x, t) = ϕ(x).e
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−i.E.t
̷
h
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Étude d’un quanton libre
Forme complète de la solution
On reprend l’égalité issue de l’équation de Schrödinger :
′
̷ 2 ′′
̷2 2
̷ g =− h ϕ =C
̷ ′ .ϕ = g. − h ∂ .ϕ soit i.h.
i.h.g
2.m ∂x2
g
2.m ϕ
²
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
indt de x
indt de t
RRR ′ i.C
RRR g +
̷ .g = 0
h
On doit donc résoudre un système RRRR
̷2
h
RRR ′′
.ϕ = 0
ϕ
+
RR
R
2.m.C
−i.C.t
C
E
g(t) = g0 .e h̷ = g0 .e−i.ω.t avec ω = ̷ = 2.π.ν = 2.π. donc C = E
h
h
√
2.m.E
i.k.x
−i.k.x
ϕ(x) = A1 .e
+ A2 .e
en posant k =
̷
h
Onde associée à un quanton libre
A un quanton libre sont associés des états stationnaires pour une énergie
E correspondant à une forme générale des solutions
b
Ψ(x, t) = [A1 .ei.k.x + A2 .e−i.k.x ] .e
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−i.E.t
̷
h
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Étude d’un quanton libre
Onde de de Broglie
Considérons le cas particulier A2 = 0, soit :
E
ϕ(x, t) = ϕ0 .ei(k.x− h̷ .t)
√
2.m.E
k=
̷
h
λ=
2.π h
= = λdB
k
p
Onde de de Broglie
On associe à tout quanton libre une onde plane "pilote" de longueur
d’onde dite de de Broglie
Œ
λdB =
h
p
Cette onde a une quantité de mouvement complètement définie. On a
donc aucune information sur sa position.
v
ω E λ
= . Elle ne peut donc pas
La vitesse de l’onde est vϕ = = .
k h 2.π 2
être associée à la vitesse de la particule.
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Étude d’un quanton libre
Densité de courant de probabilité
Rappel pour une distribution de charges :
Ð
→
→
j = ρ.Ð
v
Par analogie, on peut considérer :
La densité de probabilité ∣Ψ∣2
La vitesse de la particule v =
̷
h.k
m
Vecteur densité de courant de probabilité
A un état stationnaire est associé un vecteur densité de courant de
Ð
→
probabilité J tel que
Œ
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̷
Ð
→
h.k
J = ∣Ψ(x, t)∣2 .
.Ð
e→
x
m
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Paquet d’onde
Paquet d’onde associé au quanton
Que retient-on des études précédentes :
Interférences d’un faisceau d’électrons : Il n’est pas possible de
prévoir avec certitude la trajectoire d’une particule. La position et la
vitesse d’une particule ne peuvent être déterminées simultanément
avec précision.
OPPH pilote associée à une particule : l’hypothèse d’une OPPH
implique une répartition dans tout l’espace de la particule. La
connaissance exacte de p implique donc l’incertitude totale sur la
position de la particule.
Inégalité d’Heisenberg
L’incertitude sur la position ∆x ainsi que l’incertitude sur la quantité de
mouvement ∆p (ou sur le nombre d’onde ∆k sont reliés par l’inégalité :
Œ
∆x.∆p ⩾
̷
1
h
ou ∆x.∆k ⩾
2
2
A un quanton sera donc associé un paquet d’onde.
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Paquet d’onde
Vitesse du paquet d’onde
Vitesse de groupe
dω
d’un paquet d’onde associé à un quanton
La vitesse de groupe vg =
dk
s’identifie à la vitesse de ce quanton.
b
∞
ϕ(x, t) = ∫−∞ A(p).ei
(p.x−E(p).t)
̷
h
.dp
En effet, en dynamique non relativiste :
1
̷
dω d (h.ω)
dE 2. 2 .m.2.v.dv
vg =
=
=
=
=v
̷
dk d (h.k)
dp
m.dv
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