Leçon n°6 PHR 101 L`ELECTRON – LE

Leçon n°6 PHR 101
L’ELECTRON – LE RAYONNEMENT
INTERACTION RAYONNEMENT ELECTRON
1. L'ELECTRON
1.1. Caractéristiques de l'électron dans le vide
L'électron est une particule matérielle mise en évidence expérimentalement par J.J. Thomson en 1891.
S'il était au repos (ce qui n'est jamais le cas) la masse m0 de l'électron serait :
m 0 = 9.1 10 -31 kg
et sa charge électrique négative e est :
e = − 1.6 10−19 C
Conformément aux lois de la relativité, la masse de l'électron varie avec sa vitesse v :
m0
m =
⎛v⎞
1- ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
[6.1]
où c = 3.108 m s-1 est la vitesse de la lumière
D'autre part, l'énergie cinétique Ec de l'électron de masse m est donnée par :
Ec =
1
m v2
2
[6.2]
Une autre caractéristique mécanique importante de toute particule en mouvement est sa quantité de
mouvement p :
p = mv
[6.3]
On peut d'ailleurs réécrire l'expression de l'énergie cinétique de l'électron Ec en fonction de la
quantité de mouvement p ce qui donne :
Ec =
1
p2
2m
[6.4]
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L'électron est animé d'un mouvement de rotation par rapport à un point O fixe de l'espace (Figure 1).
Son moment cinétique ou moment angulaire L par rapport à ce point O est défini par :
L = OM ∧ p = OM ∧ m v
[6.5]
Figure 1
Une autre caractéristique importante de l'électron est son spin.
Il s'agit d'une grandeur d'origine quantique (alors que toutes les grandeurs que nous venons de voir
sont "classiques"). Le spin peut être représenté comme la rotation de l'électron sur lui-même. En fait,
il s'agit d'une image, car on ne connaît pas la structure de l'électron (Figure 2). L'électron ne peut
avoir que deux états de spin, un état haut ("up") et un état bas ("down").
Figure 2
Le spin étant lié à une rotation de l'électron sur lui-même, il n'est pas étonnant qu'il soit caractérisé
par un moment cinétique de spin.
A cette énumération des caractéristiques de l'électron libre on peut ajouter le champ d'induction
magnétique créé par l'électron. En effet, l'électron étant une particule chargée en mouvement, il
correspond à un courant électrique et crée donc un champ magnétique. Nous verrons que dans
l'atome, les propriétés mécaniques (rotation, moment cinétique etc…) sont étroitement liées aux
propriétés magnétiques (champ magnétique, flux, moment magnétique).
2
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1.2. Extraction de l'électron de la matière : l'effet thermoélectronique
Un métal est un corps conducteur d’électricité et de chaleur. C’est aussi une sorte de "réservoir"
d'électrons quasi libres.
On appelle énergie de sortie, l'énergie qu'il faut fournir à ces électrons pour qu'ils soient émis par le
métal. Une façon de leur communiquer cette énergie est de chauffer le métal.
Pour étudier ce phénomène, le plus simple est de disposer dans le vide la surface émissive chauffée
électriquement : la cathode chaude (C). Les électrons émis par (C) sont captés par une anode (A)
portée au potentiel positif Va (Figure 3). Entre l'anode et la cathode règne un champ électrique E
(V.m-1) dirigé de (A) vers (C). Ainsi les électrons subissent la force de Coulomb qui les "poussent"
vers (A).
Figure 3
Ce champ électrique E "donne" de l'énergie à l'électron émis par effet thermoélectrique, il l'accélère
entre la cathode (C) et l'anode (A).
L'électron subit la force de Coulomb :
F = −e E
[6.6]
Le champ étant constant la force F l'est aussi.
La variation d’énergie potentielle peut être calculée à partir de la relation :
ΔU = U 2 − U1 = − ∫
d
0
3
Fid
= +e ∫
d
0
E id
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Or, la variation de potentiel dV correspondant à un déplacement d est :
dV = − E . d
On en déduit que l'on peut écrire la variation d'énergie potentielle ΔU sous la forme de :
ΔU = U 2 − U1 = −e
∫
d
0
dV = −e (V2 − V1 )
[6.7]
C'est à partir de cette relation que l'on peut définir l'unité d'énergie appelée l'électron-volt.
Un électron-volt (noté eV) est l'énergie acquise par un électron accéléré par une différence de potentiel
de un volt. Il en résulte que la correspondance entre l'électron-volt et le Joule est :
1 eV = 1,6 . 10-19 Joule
Remarques :
a) Evolution de la force de Coulomb appliquée à l'électron lors de son parcours entre les plaques.
Entre la cathode et l’anode F = −e E = Cte
La variation de F en fonction de x est représentée sur la Figure 4.
F
0
x
d
Figure 4
4
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b) Evolution de l'énergie potentielle de l'électron en fonction de la distance.
A une certaine distance x de la cathode, on a :
ΔU = U − U1 = e
∫
x
0
x
E i dx = − e E ∫ d x ⇒ U = U1 − e E x
0
On constate une diminution de l'énergie potentielle qui, tout au long du parcours se transforme en
énergie cinétique (Figure 5).
U
U1
0
x
d
Figure 5
c) Evolution de la vitesse de l'électron en fonction de la distance
Les électrons sont émis de la cathode avec une vitesse initiale très faible > v1 ≈ 0 .
Le système étant conservatif, par conséquent :
Δ E = Δ E c + ΔE p = 0
[6.8]
Considérons un point M situé à une distance x de la cathode. Nous appellerons V la valeur du
potentiel au point M.
L’application de l’équation [6.8] donne :
⎛1
⎞
2
⎜ m v − 0 ⎟ + ( −e ( V − V1 ) ) = 0 ⇒ v =
⎝2
⎠
2e
( V − V1 )
m
Or :
V − V1 = E x
5
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Par conséquent :
v=
2e
Ex
m
[6.9]
La variation de la vitesse v en fonction de x est représentée dans la Figure 6.
v
0
x
d
Figure 6
1.3. Action d'un champ magnétique B constant sur l'électron
1.3.1. Rappel de la Loi de Laplace
Une particule chargée et animée d’une vitesse v , placée dans un champ magnétique B subit une
force FL appelée force de Laplace ; telle que :
FL = q v ∧ B
[6.10]
1.3.2. Les secteurs magnétiques
Un secteur magnétique est constitué d'un électroaimant qui produit entre ses pôles un champ
d'induction magnétique B constant, dans lequel pénètre un électron avec une vitesse v 0
perpendiculaire à B (Figure 7).
6
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B
FL
v0
-e
Figure 7
La force de Laplace FL sera donc contenue dans un plan perpendiculaire à B et contenant v 0
(Figure 7).
(
)
Dans la base de Frenet O, T, N , l’accélération a a deux composantes :
- une composante tangentielle : a T =
- une composante normale : a N =
dv
T
dt
v2
N
ρ
ρ étant le rayon de courbure de la trajectoire considérée.
Dans notre cas, la vitesse v est constante (v = v0), sa dérivée par rapport au temps est donc nulle. Par
conséquent la composante tangentielle de l’accélération est nulle.
L’application de la relation de Newton donne (en négligeant le poids de l’électron) :
FL = e v 0 B = m
v 02
ρ
Par conséquent :
ρ =
7
m vo
eB
[6.11]
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Comme le rayon de courbure ρ est constant, on en déduit qu’on a un mouvement circulaire uniforme
de rayon ρ = R. La mesure du rayon R de la trajectoire permet de connaître la vitesse de vo de
l'électron.
2. Le rayonnement
Lumière, radiations, rayonnement sont des phénomènes vibratoires qui se propagent à partir d'une
source en transportant de l'énergie.
On appelle « source » un système oscillateur qui génère une perturbation qui se transmet au milieu
ambiant et qui peut être reçue par l'œil ou par un autre récepteur qui l'absorbe, au moins
partiellement en étant le siège d'un échauffement, d'un déplacement d'électrons, d'une réaction
chimique ou d'une réémission de lumière.
Le nom de radiation appliqué aux diverses lumières rappelle que leur énergie se propage le long de
rayons. Dans ce qui suit, nous allons évoquer les ondes électromagnétiques et leurs caractéristiques
avant d'introduire la propriété "particulaire" du rayonnement et nous finirons par la relation de
de Broglie qui réconcilie l'aspect ondulatoire et l'aspect particulaire de l'onde.
2.1. Le spectre électromagnétique
Comme l'indique la Figure 8, les ondes électromagnétiques couvrent un domaine de longueur d'onde
(ou de fréquence ou d'énergie) qui s'étend des rayons cosmiques aux ondes hertziennes.
Figure 8
2.2. Les caractéristiques de l'onde électromagnétiques
En physique, la propagation des ondes est un phénomène qui est décrit par le mouvement d’une
particule ou l’évolution d’une onde électromagnétique (OEM).
En considérant la direction de propagation de l’onde dans l’espace, on peut distinguer deux types
d’ondes : les longitudinales et les transversales.
On parle d'onde longitudinale lorsque le phénomène physique s'effectue dans la même direction que
la propagation de l'onde. Les ondes acoustiques, un système de ressort en sont des exemples. Le
8
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terme d'onde transversale est employé lorsque le phénomène physique se fait perpendiculaire à la
direction de propagation, comme les ondes électromagnétiques dans le vide, les vagues ou les cordes
vibrantes (Figure 9).
Figure 9
L'équation d'onde est l'équation générale qui décrit la propagation d'une onde. Dans le cas des cordes
vibrantes, par exemple, on montre que l'élongation u(x,t) est solution de l'équation "des cordes
vibrantes" définie par :
∂2 u
1 ∂2 u
−
=0
∂ x2 v2 ∂ t 2
[6.12]
v est la vitesse de propagation suivant ox de l'ébranlement que l'on a donné à la corde.
2.3.
Les ondes sinusoïdales
Ce type d'onde a un grand intérêt car :
9 beaucoup de phénomènes physiques simples engendrent des ondes sinusoïdales ;
9 on montre que toute onde périodique peut être représentée comme la superposition d'ondes
sinusoïdales.
L'élongation transversale de la corde vibrante dans le cas d'une onde sinusoïdale est :
u ( x, t ) = A cos [K ( x − v t )]
9
[6.13]
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Dans cette expression, outre la distance x, le temps t et la vitesse de propagation v suivant ox de
l'onde sinusoïdale, on voit apparaître le paramètre K qui est le module du vecteur d'onde K :
K =K=
2π
λ
[6.14]
A est l'amplitude de l'onde sinusoïdale et le terme K (x − vt) désigne sa phase.
Par ailleurs, et comme la pulsation angulaire de l'onde ω est liée à la vitesse v et au module du
vecteur d'onde K par la relation :
v=
ω
K
[6.15]
on utilise souvent une autre expression de l'élongation :
u ( x ) = A cos ( Kx − ωt )
[6.16]
Les paramètres caractéristiques d'une onde sont :
9 la période temporelle T (s) ;
9 la fréquence f (Hz)
9 la période spatiale λ (m) ou longueur d'onde ;
9 la vitesse de phase v (m. s−1) ;
9 le vecteur d'onde K (m−1) ;
9 la pulsation angulaire ω (rad.s−1)
Ces différentes grandeurs sont liées par les relations :
2π
⎧
⎪ω = T = 2 π f
⎪
2π
⎪
⎨λ =
K
⎪
⎪λ = v × T
⎪
⎩
10
[6.17]
[6.18]
[6.19]
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2.4.
L'onde électromagnétique classique
Si on se place dans un référentiel cartésien, l'onde électromagnétique est caractérisée par un champ
électrique E , un champ d'induction magnétique B et un vecteur d'onde K tels que B , K et E pris
dans cet ordre forment un trièdre direct (Figure 10). Il s'agit d'une onde transversale.
E en V.m−1
B en Tesla
K =
2π 2π
=
en m −1
λ
cT
λ : longueur d'onde en mètre
c : vitesse de la lumière dans le vide
T : période
Figure 10
E ( r, t ) et B ( r, t ) dépendent de l'espace et du temps et obéissent à la relation :
∂2 Y ∂2 Y ∂2 Y
1 ∂2 Y
+
+
=
∂ x 2 ∂ y2
∂ z2
v2 ∂ t 2
[6.20]
Y représentent les composantes de B ou E .
v est la norme de la vitesse de l'onde (v = c dans le vide).
Et on a :
Y(r, t) = A cos (K ⋅ r ± ωt)
[6.21]
Y(r, t) = A e i(K ⋅ r ± ωt )
[6.22]
Et en notation complexe :
11
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Une onde électromagnétique est qualifiée de plane lorsque ses coordonnées spatiales ne dépendent
que d'un seul paramètre. On obtient alors deux champs E et B fonction d'une coordonnée spatiale
et d'une coordonnée temporelle.
Dans le cas d'une onde plane se propageant suivant oz dans le vide, l'équation de propagation
correspondant au champ électrique E est :
∂2 Ex
∂2 Ex
=
μ
ε
0
0
∂ z2
∂ t2
[6.23]
ε0 et μ0 sont respectivement la permittivité et la perméabilité du vide. Elles sont liées à la vitesse de
propagation c de l'onde dans le vide par la relation :
c=
1
μo εo
[6.24]
L'équation de propagation précédente admet comme solution :
Ex = Em cos ( K z − ω t )
[6.25]
Ex = Em e i ( K z −ωt )
[6.26]
ou encore :
2.5.
Aspect "particule" du rayonnement : le photon
Les expériences d'émission et d'absorption montrent que les échanges d'énergie entre rayonnement et
matière se produisent par quantité discontinues (quanta) et que l'énergie rayonnante a une structure
granulaire : le photon.
Un photon de fréquence ν (Hz) a pour énergie :
E=hν=h
c
λ
[6.27]
h est la constante de Planck = 6,62 10−34 J.s
12
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2.6.
Le rayonnement : onde et particule à la fois
En 1924, L. de Broglie a montré que les particules matérielles possèdent des propriétés
corpusculaires et des propriétés ondulatoires. Il a associé la quantité de mouvement d’une particule
à une longueur d’onde (appelée longueur d’onde de de Broglie) :
λ=
h
p
[6.28]
La combinaison des relations [6.27] et [6.28] permet de relier l’énergie E à la quantité de mouvement
p:
p=
13
E
c
[6.30]
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3. L’interaction entre le rayonnement et l’électron
Sur son trajet dans le vide, le rayonnement peut interagir avec un électron libre. Dans ce cas, on
constate que la lumière peut être déviée de sa direction de propagation : c'est le phénomène de
diffusion de la lumière (Figure 11).
E
o
Figure 11
3.1. La mise en oscillation de l'électron par le champ électrique de l'onde
On considère le champ électrique E m correspondant à une onde électromagnétique polarisée
rectilignement suivant ox décrite dans le chapitre précédent. On a vu que l'expression de ce champ
électrique est de la forme :
Ex = Em e i ( K z −ωt )
L'électron libre subit la force de Coulomb :
F=−eE
Si on désigne par m la masse de l'électron, le principe fondamental de la dynamique permet de
connaître la position x de l'électron le long de l'axe ox . En négligeant le poids de l'électron devant
la force de Coulomb, on obtient :
− e Ex = m
14
d2x
d2x e Ex
d2x e
0
⇒
+
=
⇒
+ E m ei(kz −ω0 t ) = 0
2
2
2
dt
dt
m
dt m
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d2x
communiquée à l'électron par le champ électrique du
dt 2
rayonnement incident polarisé suivant ox est :
Donc, la composante de l'accélération
2
d x
dt
2
=
(−e)
−i ω 0 t
Em e
m
L'intégration de cette relation par rapport au temps permet de connaître la vitesse v de l'électron.
v=
dx (−e) E m
−i ω 0 t
=
+ constante
e
dt
m ( − iω 0 )
Compte tenu du mode de mise en mouvement oscillatoire de l'électron, on ne peut pas avoir une
vitesse constante, c'est pourquoi la constante est nulle.
Une nouvelle intégration par rapport au temps donne l'évolution de la position x de l'électron :
x=
(−e) E m
− iω t
e 0 + constante
2
2
m i ω
0
La constante est nulle pour les mêmes raisons que précédemment, et on a finalement :
x (t) =
e E m −i ω 0 t
e
m ω 02
[6.31]
Ainsi l'électron est animé d'un mouvement oscillatoire suivant l'axe ox.
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