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4. Des fl`eches et des morphismes
1application, injection, surjection, bijection
2compos´ee, diagramme commutatif
3relation d’´equivalence, partition
4quotient, propri´et´e universelle, probl`eme universel
5factorisation canonique d’une application
6morphismes : des fl`eches qui respectent les structures

1. application, injection, surjection, bijection
Soient Aet Bdeux ensembles (non vides).
F⊂A×Bd´efinit une application fde Adans Bsi Fest tel que :
(∀x∈A)(∃!y∈B) (x, y)∈F.
Cet unique ´el´ement de Bainsi associ´e `a x∈Ase note f(x), et s’appelle
l’image de xpar f. En pratique, on retiendra cette “d´efinition bancale” :
D´efinition (application)
On a une application f:A→Bsi chaque ´el´ement de Aa une image unique
par f,i.e.
(∀x∈A)(∃!y∈B)f(x) = y
diagramme :
Af//B

injection, surjection, bijection
D´efinition (injection, surjection, bijection)
Une application f:A→Best dite
injective si chaque ´el´ement de Badmet au plus un ant´ec´edent par f,i.e.
(∀x, x0∈A)f(x) = f(x0) =⇒x=x0
surjective si chaque ´el´ement de Badmet au moins un ant´ec´edent par f,
i.e.
(∀y∈B)(∃x∈A)f(x) = y
bijective si elle est injective et surjective, i.e.
(∀y∈B)(∃!x∈A)f(x) = y

2. compos´ee, diagramme commutatif
D´efinition (compos´ee de deux applications)
La compos´ee de deux applications f:A→Bet g:B→Cest l’application
g◦f:A→Cd´efinie par
(∀x∈A)g◦f(x) = g(f(x))
diagramme commutatif :
B
g
@
@
@
@
@
@
@
A
f??
~
~
~
~
~
~
~
g◦f//C

B
g
@
@
@
@
@
@
@
A
f??
~
~
~
~
~
~
~
g◦f//C
Proposition
1fet ginjectives =⇒g◦faussi.
2fet gsurjectives =⇒g◦faussi.
3g◦finjective =⇒faussi.
4g◦fsurjective =⇒gaussi.
D´emonstration : exercice. 