Chapitre 25

25
Les anneaux Z/nZ
25.1
Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ
On rappelle que si n est un entier naturel et a, b deux entiers relatifs, on dit que a et b sont
congrus modulo n, si b − a est un multiple de n, ce qui se note a ≡ b (n) (voir le paragraphe
23.2).
Cette relation de congruence modulo n est une relation d’équivalence sur Z et pour tout
entier relatif a, on note :
a = {b ∈ Z | b ≡ a (n)} = {b ∈ Z | n divise b − a}
= {b = a + qn | q ∈ Z} = a + nZ
sa classe d’équivalence modulo n.
Z
L’ensemble de toutes ces classes d’équivalence modulo n est noté
. C’est l’ensemble quonZ
tient de Z par le sous-groupe nZ. On dit aussi que c’est l’ensemble des classes résiduelles modulo
n.
Pour simplifier, on note :
Z
Zn =
= {a | a ∈ Z} .
nZ
Dans le cas particulier où n = 0, la congruence modulo 0 est tout simplement la relation
d’égalité et pour tout entier relatif a, on a :
a = a + 0Z = {a}
de sorte que :
Z0 = {{a} | a ∈ Z}
est en bijection avec Z. On identifie alors Z0 à Z.
Dans le cas particulier où n = 1, deux entiers relatifs quelconques sont toujours congrus
modulo 1 et pour tout entier relatif a, on a :
a=a+Z=Z
de sorte que :
© ª
Z0 = {Z} = 0
est identifié à {0} .
447
448
Les anneaux Z/nZ
Théorème 25.1 Pour tout entier naturel non nul n, on a :
©
ª
Zn = 0, 1, · · · , n − 1 .
Cet ensemble est donc de cardinal égal à n et il est en bijection avec l’ensemble de tous les
restes modulo n.
Démonstration. Le théorème de division euclidienne nous permet d’écrire tout entier relatif
a sous
© la forme a =ª qn + r avec 0 ≤ r ≤ n − 1, ce qui entraîne que a = r. On a donc
Zn = 0, 1, · · · , n − 1 . Pour montrer que cet ensemble est de cardinal égal à n, il nous reste à
montrer que tous ses éléments sont distincts. Si r = s avec r et s compris entre 0 et n − 1, on a
alors s − r = qn avec q ∈ Z et l’encadrement 0 ≤ |s − r| = |q| n ≤ n − 1 dans N impose q = 0,
ce qui équivaut à r = s.
© ª
Considérant qu’un anneau a au moins deux éléments et que Z1 = 0 , on suppose dans ce
qui suit que n ≥ 2.
La compatibilité de la relation de congruence modulo n avec l’addition et la multiplication
sur Z (voir le paragraphe 23.2) va nous permettre de transporter la structure d’anneau de Z à
Zn , un tel prolongement étant unique.
On désigne par πn la surjection canonique de Z sur Zn , c’est l’application qui associe à tout
entier relatif sa classe modulo n.
Tout antécédent par πn d’un élément x de Zn est appelé un représentant de x.
Théorème 25.2 Il existe une unique structure d’anneau commutatif unitaire sur Zn telle que
la surjection canonique πn soit un morphisme d’anneaux.
Démonstration. On vérifie tout d’abord qu’on définit deux opérations internes sur Zn avec :
½
x+y =a+b
2
∀ (x, y) ∈ Zn ,
xy = ab
où a ∈ Z est un représentant de x et b ∈ Z un représentant de b. En effet, si a0 est un autre
représentant de x et b0 un représentant de y, on a alors a ≡ a0 et b ≡ b0 modulo n, ce qui
entraîne a + b ≡ a0 + b0 et ab ≡ a0 b0 modulo n, soit a + b = a0 + b0 et ab = a0 b0 , ce qui prouve
que ces définitions de x + y et xy ne dépendent pas des choix des représentants de x et y.
On vérifie ensuite facilement que ces deux lois confèrent à Zn une structure d’anneau commutatif unitaire et que πn est bien un morphisme d’anneaux.
Réciproquement s’il existe une structure d’anneau commutatif unitaire sur Zn qui fait de πn
un morphisme d’anneaux, on a alors pour tous x = πn (a) , y = πn (b) dans Zn :
½
x + y = πn (a) + πn (b) = πn (a + b) = a + b
xy = πn (a) πn (b) = πn (ab) = ab
ce qui prouve l’unicité.
25.2
Groupes cycliques
L’entier n est toujours supposé au moins égal à 2.
Si G est un groupe ayant un nombre fini d’éléments son cardinal est appelé l’ordre de G.
On rappelle que si G est un groupe et a un élément de G, on définit alors le sous-groupe de
G engendré par a par :
©
ª
hai = ak | k ∈ Z
Groupes cycliques
449
dans le cas où la loi est notée multiplicativement ou :
hai = {ka | k ∈ Z}
dans le cas où la loi est notée additivement.
On dit que a est d’ordre fini dans G si ce groupe hai est fini et l’ordre de a est alors l’ordre
de hai (voir le paragraphe 23.5.1).
Définition 25.1 On dit qu’un groupe G est monogène s’il est engendré par l’un de ses éléments,
c’est-à-dire s’il existe a dans G tel que G = hai . Un groupe monogène fini est dit cyclique.
Remarque 25.1 Un groupe cyclique est nécessairement commutatif.
Remarque 25.2 Un groupe cyclique engendré par un élément a 6= 1 (le neutre de G) a au
moins deux élément, 1 et a.
Exemple 25.1 Tout élément x de Zn s’écrivant :
x = k = 1| + ·{z
· · + 1} = k1
k fois
avec k = 0 si, et seulement si, k est multiple de n. Il en résulte que (Zn , +) est un groupe
cyclique d’ordre (ou de cardinal) n. En fait, à isomorphisme près, c’est le seul.
Exemple 25.2 Le groupe :
D 2iπ E n 2ikπ
o
e n = e n |0≤k ≤n−1
des racines n-ièmes de l’unité est cyclique d’ordre n.
θ
n’est pas rationnel, alors le groupe :
2π
­ iθ ® © ikθ
ª
e = e |k∈Z
Exemple 25.3 Si θ est un réel tel que
est monogène infini puisque eikθ 6= 1 pour tout k ∈ Z.
Théorème 25.3 Tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe à Zn .
Démonstration. Soit G = hai = {1, a, a2 , · · · , an−1 } un groupe cyclique d’ordre n. L’application ϕa : k 7→ ak réalise un morphisme surjectif de groupes de (Z, +) sur (G, ·) de noyau
ker (ϕa ) = nZ (par définition de l’ordre de a).
Si j, k sont deux entiers relatifs tels que j ≡ k (n) on a alors k − j = qn et ak = aj aqn = aj .
On peut donc définir l’application ϕa de Zn dans G par ϕa : k 7→ ak .
On vérifie facilement
© ª que ϕa est un morphisme de groupes surjectif de (Zn , +) sur (G, ·) de
noyau ker (ϕa ) = 0 . Cette application réalise donc un isomorphisme de groupes de (Zn , +)
sur (G, ·) .
Dans le cas où n est premier, on a le résultat plus précis suivant qui est une conséquence du
théorème de Lagrange (théorème 20.9).
Théorème 25.4 Soit p un nombre premier. Tout groupe G d’ordre p est cyclique, donc isomorphe à Zp .
450
Les anneaux Z/nZ
Démonstration. Tout élément de G \ {1} est d’ordre p (puisque son ordre divise p et est
différent de 1), il en résulte que G est cyclique d’ordre p, donc isomorphe à Zp .
Le résultat qui suit nous dit que les sous groupes d’un groupe cyclique sont cycliques.
Théorème 25.5 Tous les sous groupes de Zn sont cycliques d’ordre qui divise n. Réciproquement pour tout diviseur d de n, il existe un unique sous groupe de G d’ordre d, c’est le groupe
n
cyclique engendré par q = :
d
©
ª
H = hqi = 0, q, · · · , (d − 1) q .
Démonstration. Soit H un sous-groupe de Zn . Le théorème de Lagrange nous dit que son
n
ordre d est un diviseur de n. On note q = .
d
Pour tout a dans H, on a da = 0, soit da = kn, ou encore a = kq, c’est-à-dire que a = kq est
dans le sous-groupe hqi de Zn engendré par q. On a donc H ⊂ hqi , ce qui entraîne card (hqi) ≥ d.
Mais dq = n = 0 nous dit que q est d’ordre au plus égal à d. En définitive, hqi est d’ordre d,
donc égal à H. Un sous-groupe d’ordre d de Zn , s’il existe, est donc unique.
n
Réciproquement, soit d un diviseur de n, q = et H = hqi le sous groupe de Zn engendré
d
par q. Si δ est l’ordre de H, on a δq = 0, soit δq = kn = kqd et δ = kd ≥ d. Mais on a aussi
dq = 0, ce qui entraîne δ ≤ d et donc δ = d.
Il existe donc un unique sous-groupe d’ordre d de Zn , c’est hqi .
25.3
Fonction indicatrice d’Euler
Définition 25.2 On dit qu’un élément a de Zn est inversible s’il existe b dans Zn tel que
ab = 1.
On note Z∗n l’ensemble des éléments inversibles de Zn . C’est un groupe pour la loi multiplicative.
Théorème 25.6 Soit a un entier relatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. a est inversible dans Zn ;
2. a est premier avec n ;
3. a est un générateur de (Zn , +) .
Démonstration. Dire que a est inversible dans Zn équivaut à dire qu’il existe b dans Zn tel
que ab = 1, encore équivalent à dire qu’il existe b, q dans Z tels que ab + qn = 1, ce qui équivaut
à dire que a et n sont premiers entre eux (théorème de Bézout).
En traduisant le fait que a est inversible dans Zn par l’existence d’un entier relatif b tel que
ab = ba = 1, on déduit que cela équivaut à dire que 1 est dans le groupe engendré par a et
donc que ce groupe est Zn .
Définition 25.3 On appelle fonction indicatrice d’Euler la fonction qui associe à tout entier
naturel non nul n, le nombre, noté ϕ (n) , d’entiers compris entre 1 et n qui sont premiers avec
n.
Le théorème précédent nous dit que pour tout entier n ≥ 2, ϕ (n) est le nombre de générateurs
du groupe cyclique (Zn , +) (ou de n’importe quel groupe cyclique d’ordre n) ou encore que c’est
le nombre d’éléments inversibles de Zn .
Du théorème de Lagrange, on déduit immédiatement le résultat suivant.
Fonction indicatrice d’Euler
451
Théorème 25.7 (Euler) Pour tout entier relatif a premier avec n, on a aϕ(n) ≡ 1 (n) .
Démonstration. Si a est premier avec n, alors a appartient à Z∗n qui est un groupe d’ordre
ϕ (n) et en conséquence son ordre divise ϕ (n) (théorème de Lagrange), ce qui entraîne aϕ(n) = 1,
ou encore aϕ(n) ≡ 1 (n) .
Si n est premier, alors tout entier compris entre 1 et n − 1 est premier avec n, ce qui implique
que ϕ (n) = n − 1 et le théorème d’Euler devient le petit théorème de Fermat.
Théorème 25.8 (Fermat) Soit p un entier naturel premier. Pour tout entier relatif a on a :
ap ≡ a (p) .
Démonstration. Le théorème d’Euler nous dit que ap−1 ≡ 1 (p) si a est premier avec n,
c’est-à-dire si a n’est pas multiple de p, ce qui entraîne ap ≡ a (p) . Pour a multiple de p, on a
ap ≡ a ≡ 0 (p) .
La réciproque de ce théorème est fausse comme nous le montrera l’étude des nombres de
Carmichaël au paragraphe ??. Par exemple on a a561 ≡ a (561) pour tout entier relatif a avec
561 = 3 · 11 · 17 non premier.
Le théorème de Fermat peut être utilisé pour calculer des congruences avec des grands
nombres. Si p est un nombre premier impair, n, m deux entiers naturels, l’entier n n’étant
pas multiple de p, en effectuant les divisions euclidiennes par p et par p − 1, on n = qp + r,
m = q 0 (p − 1) + s avec 1 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ s ≤ p − 2 et :
nm ≡ rs (p)
Par exemple on a 20032003 ≡ 4 (5) . En effet 2003 = 5©· 400
ª + 3 et 2003 = 4 · 500 + 3.
Dans le cas où n est premier tous les éléments de Zn \ 0 sont inversibles et en conséquence
Zn est un corps. En fait on a le résultat plus précis suivant.
Théorème 25.9 Pour n ≥ 2 il y équivalence entre :
1. n est premier ;
2. Zn est un corps ;
3. Zn est un intègre.
Démonstration. On vient de voir que pour n premier Zn est un corps.
De manière générale, tout corps est intègre.
Supposons Zn intègre et soit d un diviseur de n différent de n dans N. Il existe donc un
entier q compris entre 2 et n tel que n = qd et dans Zn on a qd = 0 avec d 6= 0, ce qui impose
q = 0, donc q = n et d = 1. L’entier n est donc premier.
Remarque 25.3 L’implication (3) ⇒ (2) est aussi conséquence du fait que tout anneau unitaire fini et intègre est un corps (théorème de Wedderburn). Si A est un anneau fini intègre,
alors pour tout a ∈ A \ {0} l’application x 7→ ax est injective de A dans A, donc bijective, ce
qui entraîne l’existence de a0 ∈ A tel que aa0 = e (e est le neutre pour la multiplication).
Ce résultat nous permet de retrouver le petit théorème de Fermat.
On peut également en déduire le théorème de Wilson.
Théorème 25.10 (Wilson) Un entier n est premier si et seulement si (n − 1)! ≡ −1 (n) .
452
Les anneaux Z/nZ
Démonstration. Si n est premier alors Zn est un corps commutatif et tout élément k de Z∗n
n−1
¢
Q¡
X − k dans Zn [X] et en évaluant
est racine du polynôme X n−1 − 1, on a donc X n−1 − 1 =
ce polynôme en 0, il vient −1 =
n−1
Q¡
k=1
¢
n−1
−k = (−1)
(n − 1)!. Pour n = 2, on a −1 = 1 et pour
k=1
n ≥ 2 premier on a n impair et −1 = (n − 1)! dans Zn .
Réciproquement si n ≥ 2 est tel que (n − 1)! = −1 dans Zn , alors tout diviseur d de n
compris entre 1 et n − 1 divisant (n − 1)! = −1 + kn va diviser −1, ce qui donne d = 1 et
l’entier n est premier.
Le calcul de ϕ (n) pour n ≥ 2 peut se faire en utilisant la décomposition de n en facteurs
premiers grâce au théorème chinois.
Théorème 25.11 (chinois) Les entiers n et m sont premiers entre eux si, et seulement si,
les anneaux Znm et Zn × Zm sont isomorphes.
·
Démonstration. Pour tout entier relatif k, on note k sa classe modulo nm, k sa classe
··
modulo n et k sa classe modulo m.
Le produit cartésien Zn × Zm est naturellement muni d’une structure d’anneau commutatif
unitaire avec les lois + et · définies par :
 µ ¶ µ
¶ µ ·
¶
· ··
··
· ··

0
0
0
0

 j, k + j , k = j + j , k + k
µ ¶ µ · ·· ¶ µ ·
¶
··
· ··

0
0
0
0

 j, k · j , k = j · j , k · k
µ
Supposons n et m premiers entre eux. L’application ϕ : k 7→
·
··
k, k
¶
est un morphisme
d’anneaux de Z dans Zn × Zm et son noyau est formé des entiers divisibles par n et m donc par
nm puisque ces entiers sont premiers entre eux,
µ il ¶se factorise donc en un morphisme injectif
d’anneaux de Znm dans Zn × Zm par ϕ : k 7→
·
··
k, k . Ces deux anneaux ayant même cardinal,
l’application ϕ réalise en fait un isomorphisme d’anneaux de Znm dans Zn × Zm .
Si n et m ne sont pas premiers entre eux les groupes additifs Znm et Zn × Zm ne peuvent
être isomorphes puisque 1 est d’ordre nm dans Znm et tous les éléments de Zn × Zm ont un
ordre qui divise le ppcm de n et m qui est strictement inférieur à nm.
Corollaire 25.1 Si n et m sont deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, alors
ϕ (nm) = ϕ (n) ϕ (m) .
Démonstration. On utilise les notations de la démonstration précédente.
La restriction de l’isomorphisme ϕ à Z∗nm réalise un isomorphisme de groupes multiplicatifs
de Z∗nm sur Z∗n × Z∗m , ce qui entraîne :
ϕ (nm) = card (Z∗nm ) = card (Z∗n ) card (Z∗m ) = ϕ (n) ϕ (m) .
Le calcul de ϕ (n) est alors ramené à celui de ϕ (pα ) où p est un nombre premier et α un
entier naturel non nul.
Lemme 25.1 Soient p un nombre premier et α un entier naturel non nul. On a :
ϕ (pα ) = (p − 1) pα−1 .
Fonction indicatrice d’Euler
453
Démonstration. Si p est premier, alors un entier k compris entre 1 et pα n’est pas premier
avec pα si et seulement si il est divisible par p, ce qui équivaut à k = mp avec 1 ≤ m ≤ pα−1 , il
y a donc pα−1 possibilités. On en déduit alors que :
ϕ (pα ) = pα − pα−1 = (p − 1) pα−1 .
Théorème 25.12 Si n ≥ 1 a pour décomposition en facteurs premiers n =
i=1
p1 < · · · < pr premiers et les αi entiers naturels non nuls, alors :
ϕ (n) =
r
Y
i=1
pαi i −1
r
Q
pαi i avec 2 ≤
¶
r µ
Y
1
(pi − 1) = n
1−
.
pi
i=1
Démonstration. En utilisant les résultats précédents, on a :
ϕ (n) =
r
Y
i=1
ϕ (pαi i )
=
r
Y
αi
ϕ (p ) =
i=1
r
Y
(pi −
1) pαi i −1
i=1
=n
r µ
Y
i=1
1
1−
pi
¶
.
De ce résultat on déduit que pour tout n ≥ 3, ϕ (n) est un entier pair. En effet, pour n = 2α
r
Q
avec α ≥ 2, on a ϕ (n) = 2α−1 qui est pair et pour n = 2α
pαi i = pα1 1 m avec α ≥ 0, r ≥ 1,
i=1
tous les pi étant premiers impairs, on a ϕ (n) = (p1 − 1) piα1 −1 ϕ (m) qui est pair.
On déduit également que ϕ (n) est compris entre 1 et n (ce qui se voit aussi avec la définition).
En fait on a le résultat plus précis suivant.
Théorème 25.13 Pour tout entier n ≥ 2, on a :
√
∀n ≥ 2, n − 1 < ϕ (n) < n.
Démonstration. L’inégalité ϕ (n) < n est une conséquence immédiate de la définition.
Pour montrer l’autre inégalité on procède en plusieurs étapes.
On
Pour ces valeurs, on a ϕ (2) =
√ s’intéresse d’abord√aux valeurs n comprises entre 2 et 7. √
1 > 2 − 1, ϕ (5) = 4 > 5 − 1 et ϕ (3) = ϕ (4) = ϕ (6) = 2 > k − 1 pour k = 3, 4, 6.
r
Q
On s’intéresse ensuite aux entiers de la forme n =
pi avec 3 ≤ p1 < · · · < pr premiers.
Dans ce cas, on a :
i=1
r
ϕ (n) Y pi − 1
√ =
√ .
pi
n
i=1
√
2
2
Pour p ≥ 3, on a p (p − 3) ≥ 0, soit
√ p − 3p + 1 > 0 ou encore (p − 1) p, c’est-à-dire p − 1 > p.
On en déduit donc que ϕ (n) > n.
r
Q
Considérons le cas de n impair supérieur ou égal à 7. Il s’écrit n =
pαi i avec 3 ≤ p1 <
i=1
· · · < pr premiers et αi ≥ 1 pour tout i compris entre 1 et r. En posant m =
r
Q
i=1
r
n Y
n
ϕ (n) =
ϕ (pi ) = ϕ (m)
m i=1
m
pi , on a :
454
et :
Les anneaux Z/nZ
ϕ (n)
√ =
n
r
√
ce qui donne ϕ (n) > n.
Pour n = 2α avec α ≥ 3, on a :
n ϕ (m)
ϕ (m)
√
≥ √
> 1,
m m
m
³√ ´α−2
α
ϕ (n)
√ = 2 2 −1 =
2
>1
n
√
et ϕ (n) > n.
Pour n = 2α 3β avec α ≥ 1, β ≥ 1 et (α, β) 6= (1, 1) , on a :
³√ ´α ³√ ´β−2
α β
ϕ (n)
−1
2
2
√ =2 3
=
2
3
>1
n
¡√ ¢α ¡√ ¢−1
2
(pour β ≥ 2 il n’y a pas de problème et pour β = 1 on a α ≥ 2 et
2
3
≥ √ > 1),
3
√
ce qui donne ϕ (n) > n.
r
Q
Enfin, si n est pair supérieur ou égal à 7, il s’écrit n = 2α1
pαi i avec 3 ≤ p2 < · · · < pr
i=2
premiers et αi ≥ 1 pour tout i compris entre 1 et r. En posant m = 2
r
Q
pi , on a : :
i=2
ϕ (n)
√ =
n
avec :
r
n ϕ (m)
ϕ (m)
√
≥ √ ,
m m
m
r
1 Y pi − 1
ϕ (m)
√
=√
√ .
pi
m
2 i=2
p−1
ϕ (m)
p2 − 1
p2 − 1
Pour p ≥ 3, on a √ > 1, donc √
> √ √ et pour p2 ≥ 5, on a √ √ > 1. Il reste
p
m
2 p2
2 p2
r
Q
α
à étudier le cas p2 = 3, soit n = 2α1 3α2 r, avec r =
pi i où 5 ≤ p3 < · · · < pr sont premiers.
Dans ce cas, on a :
i=3
ϕ (n)
ϕ (2α1 3α2 ) ϕ (r)
√ = √
√ >1
n
r
2α1 3α2
d’après ce qui précède.
√
On a donc ainsi montré que ϕ (n) > n pour tout n ≥ 7.