Schémas équivalents en régime permanent Compétence 2

TSI1 – TD3 : EC3 – Régime Transitoire
TD3 : EC3 – Régime Transitoire
Compétence 1 : Schémas équivalents en régime permanent
Exercice 2.2 : Etablissement et rupture du courant dans un circuit RL
Exercice 1 : Régimes Permanents
Sur chacun des schémas suivants, déterminer les valeurs des intensités et des tensions
en régime permanent.
On constitue un circuit en branchant en parallèle aux bornes d’une bobine réelle
d’inductance L et de résistance r un conducteur ohmique de résistance R et une source idéale
de tension. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K, à la date t=t0, on le rouvre.
1. Faire les schémas équivalents en régime
permanents en position ouverte et en position
fermée, et en déduire les valeurs des courants.
(L,r)
E
I1
R’
R
U
I1
I2
R
E
I1
I2
R’
R’
U1
2. Pour
E
U
R
(L,r)
t ∈ ⎡⎣0,t 0 ⎤⎦ , Donner l’équation vérifiée par
i2(t) en fonction de E, r et L, et la résoudre. On
appellera τ1 la constante de temps concernée.
U2
3. Faire de même pour
i(t)
i2(t)
i1(t)
(L,r) uL(t)
R
E
t ≥ t 0 , et trouver la nouvelle expression de i2(t).
4. En déduire l’expression de la tension uL(t) pour t>t0, et montrer qu’elle peut prendre
une valeur supérieure à E (en valeur absolue) pendant un court instant. Commenter.
Compétence 2 : Equations du 1 Ordre
er
Exercice 2.1 : Régime libre d’un circuit RC
Exercice 2.3 : Décharge d’un condensateur dans un autre
K
On considère un condensateur de capacité C=1μF, dont
l’armature supérieure porte la charge Q0 = 10μC, placé dans le
circuit suivant. Le résistor a une résistance R = 10kΩ.
1. Quelle est la charge portée par l’armature inférieure ?
K
i
Q0
U
C
R
2. Quelle est la tension U0 aux bornes du condensateur ?
Dans le circuit suivant, les deux condensateurs ont même capacité C. Pour t < 0, le
condensateur situé en bas est chargé sous la tension u = U0, et le condensateur du haut est
déchargé. On ferme l’interrupteur K à la date t = 0. On pose τ = RC.
u’(t)
1. Quelle est la charge portée par chacune des armatures des
condensateurs pour t < 0 ? Comment va-t-elle évoluer
après t = 0 ?
3. Quelle est l’énergie stockée par le condensateur ?
A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K
2. Quelles sont les valeurs de u(t=0+), u’(t=0+) et i(t=0+) ?
4. Quelles sont les valeurs u(t=0+) de la tension et i(t=0+) de l’intensité ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u pour t ≥ 0 ,
en fonction de τ et de U0. (indication : penser à la
conservation des charges stockées)
5. Quelles sont les valeurs UP de la tension et IP de l’intensité en régime permanent ?
6. Etablir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur.
7. Calculer la constante de temps τ du circuit
R
i(t)
u(t)
K
4. En déduire les expressions de u(t) et de u’(t). Tracer leur allure sur un même graphe.
8. Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions de u(t) et i(t).
9. Tracer la courbe donnant la tension u(t) en fonction du temps
10. Déterminer la date θ à laquelle la tension est égale à 1% de la tension initiale.
Exprimer le rapport θ/τ et conclure sur l’utilité de définir τ.
HECKEL - 1/2
5. A partir d’un bilan énergétique, déterminer l’énergie εR dissipée par la résistance au
cours du régime transitoire.
TSI1 – TD3 : EC3 – Régime Transitoire
Exercice 4.2 : Circuit RLC série
Compétence 3 : Equations du 2nd Ordre non amorties
Exercice 3 : Circuit LC
K
On considère le circuit ci-contre, dans lequel C = 1μF et L =
10mH. Le condensateur est chargé avec une tension à ses bornes
U0 = 20V. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.
i(t)
L
C
Autre exemple : Un régime permanent périodique
3. Quelles sont les valeurs u(0+) et i(0+) juste après fermeture de l’interrupteur ?
Exercice 5 : Circuit RC soumis à une tension en créneaux
On considère un circuit RC soumis à une tension
rectangulaire e(t) de période T telle que e(t) = E pour
4. Résoudre l’équation différentielle pour obtenir les expressions de u(t) et de i(t).
5. Tracer l’évolution de ces 2 grandeurs.
Compétence 4 : Equations du 2nd Ordre amorties
e(t)
T
T et e(t) = 0 pour
nT + ≤ t ≤ ( n +1)T .
2
2
E
On suppose que l’on se trouve en régime périodique
forcé : le motif décrit par la tension u(t) se répète à
l’identique sur deux périodes consécutives.
0
nT ≤ t ≤ nT +
6. Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure. (durée du régime transitoire, …)
Exercice 4.1 : Circuit RLC parallèle
t
nT
nT +
T
( n +1)T
2
Données : E = 1V, R = 1kΩ, C = 1μF et T = 2ms
On considère le circuit ci-contre, avec C = 1μF, L =
0,1H et R = 1kΩ. L’armature supérieure porte la charge
Q0 = 20μC. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.
1. Quelles sont les valeurs u(0 ), i(0 ), iL(0 ) et iR(0 ) des
grandeurs juste après fermeture de l’interrupteur ?
+
C
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement
u(t)
2. La mettre sous forme canonique et en déduire la pulsation propre ω0 du circuit ainsi
que le coefficient d’amortissement σ.
+
L
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la
tension u(t) aux bornes du condensateur.
+
+
iR(t)
R
iL(t)
L
K
i(t)
C
u(t)
1. On choisit le début d’une période quelconque comme origine des dates. On note Um =
u(t=0+). Exprimer la tension u(t) aux bornes de C en fonction du temps t, et des
paramètres E, Um et de la constante de temps τ du circuit RC pour 0 ≤ t ≤ T .
2
2. Exprimer la tension UM à la date t = T/2. En déduire une première relation entre UM,
Um, E et α = e
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
3.
R
On place maintenant les composants R, L et C en série.
Etablir l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. La mettre
sous la forme canonique pour en déduire la pulsation propre ω0 et le coefficient
d’amortissement σ. En déduire la nature du régime.
4. Résoudre l’équation différentielle pour obtenir les expressions de u(t) et de i(t), et tracer
les courbes correspondantes.
−T
2τ
.
3. Exprimer la tension u(t) pour
T
2
≤ t ≤ T en fonction de E, UM et τ.
4. Exprimer une seconde relation entre Um et UM. En déduire les expressions de Um et
de UM en fonction de E et de α.
5. Quelle est la moyenne de la tension u(t) ? Montrer que ces deux tensions sont
symétriques par rapport à la tension E/2.
5. Que se passe-t-il si on augmente ou si on diminue la valeur de la résistance ?
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
6. Calculer Um et UM, et tracer l’évolution de la tension u(t) sur une période.
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