Schémas équivalents en régime permanent Compétence 2

TSI1 – TD3 : EC3 – Régime Transitoire
HECKEL - 1/2
Compétence 1 : Schémas équivalents en régime permanent
Exercice 1 : Régimes Permanents
Sur chacun des schémas suivants, déterminer les valeurs des intensités et des tensions
en régime permanent.
Compétence 2 : Equations du 1er Ordre
Exercice 2.1 : Régime libre d’un circuit RC
On considère un condensateur de capacité C=1μF, dont
l’armature supérieure porte la charge Q0 = 10μC, placé dans le
circuit suivant. Le résistor a une résistance R = 10kΩ.
1. Quelle est la charge portée par l’armature inférieure ?
2. Quelle est la tension U0 aux bornes du condensateur ?
3. Quelle est l’énergie stockée par le condensateur ?
A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K
4. Quelles sont les valeurs u(t=0+) de la tension et i(t=0+) de l’intensité ?
5. Quelles sont les valeurs UP de la tension et IP de l’intensité en régime permanent ?
6. Etablir l’équation différentielle de la tension u aux bornes du condensateur.
7. Calculer la constante de temps τ du circuit
8. Résoudre l’équation différentielle. En déduire les expressions de u(t) et i(t).
9. Tracer la courbe donnant la tension u(t) en fonction du temps
10. Déterminer la date θ à laquelle la tension est égale à 1% de la tension initiale.
Exprimer le rapport θ/τ et conclure sur l’utilité de définir τ.
Exercice 2.2 : Etablissement et rupture du courant dans un circuit RL
On constitue un circuit en branchant en parallèle aux bornes d’une bobine réelle
d’inductance L et de résistance r un conducteur ohmique de résistance R et une source idéale
de tension. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K, à la date t=t0, on le rouvre.
1. Faire les schémas équivalents en régime
permanents en position ouverte et en position
fermée, et en déduire les valeurs des courants.
2. Pour 0
0, tt ∈
⎡
⎤
⎣
⎦, Donner l’équation vérifiée par
i2(t) en fonction de E, r et L, et la résoudre. On
appellera τ1 la constante de temps concernée.
3. Faire de même pour 0
tt ≥, et trouver la nouvelle expression de i2(t).
4. En déduire l’expression de la tension uL(t) pour t>t0, et montrer qu’elle peut prendre
une valeur supérieure à E (en valeur absolue) pendant un court instant. Commenter.
Exercice 2.3 : Décharge d’un condensateur dans un autre
Dans le circuit suivant, les deux condensateurs ont même capacité C. Pour t < 0, le
condensateur situé en bas est chargé sous la tension u = U0, et le condensateur du haut est
déchargé. On ferme l’interrupteur K à la date t = 0. On pose τ = RC.
1. Quelle est la charge portée par chacune des armatures des
condensateurs pour t < 0 ? Comment va-t-elle évoluer
après t = 0 ?
2. Quelles sont les valeurs de u(t=0+), u’(t=0+) et i(t=0+) ?
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par u pour 0t≥,
en fonction de τ et de U
0. (indication : penser à la
conservation des charges stockées)
4. En déduire les expressions de u(t) et de u’(t). Tracer leur allure sur un même graphe.
5. A partir d’un bilan énergétique, déterminer l’énergie εR dissipée par la résistance au
cours du régime transitoire.
TD3 : EC3 – Régime Transitoire
U
I1
R
R’
E
I2U1
I1
R
R’
E
U2
U
R
Q
0
i
K
C
uL(t)
i2(t)
K
R
(L,r)
i1(t)
E
i(t)
u
(
t
)
u’
(
t
)
R
K
i
(
t
)
U
I1
R
R’
E
I2
(L,r)
(L,r)

TSI1 – TD3 : EC3 – Régime Transitoire
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Compétence 3 : Equations du 2nd Ordre non amorties
Exercice 3 : Circuit LC
On considère le circuit ci-contre, dans lequel C = 1μF et L =
10mH. Le condensateur est chargé avec une tension à ses bornes
U0 = 20V. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.
1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la
tension u(t) aux bornes du condensateur.
2. La mettre sous forme canonique et en déduire la pulsation propre ω0 du circuit ainsi
que le coefficient d’amortissement σ.
3. Quelles sont les valeurs u(0+) et i(0+) juste après fermeture de l’interrupteur ?
4. Résoudre l’équation différentielle pour obtenir les expressions de u(t) et de i(t).
5. Tracer l’évolution de ces 2 grandeurs.
6. Calculer l’énergie totale du circuit. Conclure. (durée du régime transitoire, …)
Compétence 4 : Equations du 2nd Ordre amorties
Exercice 4.1 : Circuit RLC parallèle
On considère le circuit ci-contre, avec C = 1μF, L =
0,1H et R = 1kΩ. L’armature supérieure porte la charge
Q0 = 20μC. A la date t = 0, on ferme l’interrupteur K.
1. Quelles sont les valeurs u(0+), i(0+), iL(0+) et iR(0+) des
grandeurs juste après fermeture de l’interrupteur ?
2. Quelles sont les valeurs de ces grandeurs en régime permanent ?
3. Etablir l’équation différentielle de la tension aux bornes du condensateur. La mettre
sous la forme canonique pour en déduire la pulsation propre ω0 et le coefficient
d’amortissement σ. En déduire la nature du régime.
4. Résoudre l’équation différentielle pour obtenir les expressions de u(t) et de i(t), et tracer
les courbes correspondantes.
5. Que se passe-t-il si on augmente ou si on diminue la valeur de la résistance ?
6. Au bout de combien de temps le régime transitoire peut-il être considéré terminé ?
Exercice 4.2 : Circuit RLC série
On place maintenant les composants R, L et C en série.
1. Comparer l’équation avec celle du RLC parallèle
2. Comparer la pulsation propre et le facteur d’amortissement
Autre exemple : Un régime permanent périodique
Exercice 5 : Circuit RC soumis à une tension en créneaux
On considère un circuit RC soumis à une tension
rectangulaire e(t) de période T telle que e(t) = E pour
≤≤ +
2
T
nT t nT
et e(t) = 0 pour
()
+≤≤ +1
2
T
nT t n T
.
On suppose que l’on se trouve en régime périodique
forcé : le motif décrit par la tension u(t) se répète à
l’identique sur deux périodes consécutives.
Données : E = 1V, R = 1kΩ, C = 1μF et T = 2ms
1. On choisit le début d’une période quelconque comme origine des dates. On note Um =
u(t=0+). Exprimer la tension u(t) aux bornes de C en fonction du temps t, et des
paramètres E, Um et de la constante de temps τ du circuit RC pour ≤≤02
T
t
.
2. Exprimer la tension UM à la date t = T/2. En déduire une première relation entre UM,
Um, E et
τ
α
−
=2
T
e
.
3. Exprimer la tension u(t) pour
≤
≤
2
TtT
en fonction de E, UM et τ.
4. Exprimer une seconde relation entre Um et UM. En déduire les expressions de Um et
de UM en fonction de E et de α.
5. Quelle est la moyenne de la tension u(t) ? Montrer que ces deux tensions sont
symétriques par rapport à la tension E/2.
6. Calculer Um et UM, et tracer l’évolution de la tension u(t) sur une période.
R
u(
t
)
C
i
(
t
)
K
L
iL
(
t
)
i
R
(
t
)
u(
t
)
C
i
(
t
)
K
L
e
(
t
)
t
+2
T
nT
nT
()
+1 nT
0
E
R
C
L