2015-2016 3M270 Alg`ebre Premi`ere partie 1. RELATIONS D

2015-2016
3M270
Alg`ebre
Premi`ere partie
1. RELATIONS D’EQUIVALENCE. PASSAGE AU QUOTIENT
1.1 Relations binaires
Soit Eun ensemble. Une relation binaire Rsur Eest la donn´ee d’un sous-
ensemble Rde E×E. Soit xet ydeux ´el´ements de E. Si le couple (x, y)
appartient `a R, on dira que ”xest en relation avec y”, et on ´ecrira ”xRy”.
De fa¸con ´equivalente, une relation binaire sur Eest la donn´ee d’une appli-
cation ρ:E×E→{0,1}. L’application ρest la fonction caract´eristique de
l’ensemble Ret xRy⇐⇒ ρ(x, y) = 1.
Exemple :
Si xet ysont des ´el´ements de R, on d´efinit xRysi x+y= 2. Ceci d´efinit une
relation sur R. L’ensemble Rcorrespondant est la droite d’´equation x+y= 2.
Les relations binaires peuvent poss´eder certaines propri´et´es particuli`eres :
On dira que la relation Rsur Eest r´eflexive si, pour tout x∈E, on a
xRx.
On dira que la relation Rsur Eest sym´etrique si, pour tout (x, y)∈E×E,
xRyentraˆıne yRx.
On dira que la relation Rsur Eest antisym´etrique si, pour tout (x, y)∈
E×E,xRyet yRxentraˆınent x=y.
On dira que la relation Rsur Eest transitive si, pour tout (x, y, z)∈
E×E×E,xRyet yRzentraˆınent xRz.
D´efinition : On dira qu’une relation est une ”relation d’ordre”sielleest
r´eflexive, antisym´etrique et transitive .
D´efinition : On dira qu’une relation est une ”relation d’´equivalence”si
elle est r´eflexive, sym´etrique et transitive .
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Exemples :
Soit Xun ensemble. L’inclusion est une relation d’ordre sur l’ensemble
E=P(X) des parties de X.
Sur R, la relation ”<” est transitive, mais ce n’est pas une relation d’ordre.
Sur R, la relation ”≤” est une relation d’ordre (totale : deux ´el´ements sont
toujours comparables).
Sur N:= Z≥0, la relation de divisibilit´e ” |”: a|b⇔∃n∈N,b =an est une
relation d’ordre (partielle).
Sur l’ensemble des droites du plan, la relation dRd�⇐⇒ dest parall`ele `a d�
est une relation d’´equivalence.
Dans la suite, on s’int´eressera plus particuli`erement aux relations d’´equivalence.
1.2 Relations d’´equivalence, classes, ensemble quotient.
D´efinition :
Soit Eun ensemble. Une partition de Eest un ensemble S⊂P(E)de
parties de Etel que :
1) ∀A∈S,A=∅;
2) ∀A∈S,∀B∈S,A=Bou A∩B=∅;
3) ∀x∈E,∃A∈Stel que x∈A.
Soit Eun ensemble muni d’une relation d’´equivalence R.
Soit xun ´el´ement de E. On appelle ” classe d’´equivalence de x”l’ensemble
Cl(x)={y∈E/xRy}
Exercice :
D´emontrer les propri´et´es suivantes :
1) Cl(x)=Cl(y)⇐⇒ xRy⇐⇒ Cl(x)∩Cl(y)=∅;
2) L’ensemble des classes d’´equivalence forme une partition de l’ensemble E.
L’ensemble des classes d’´equivalence est appel´e ”ensemble quotient de Epar
la relation R”. On le note E/R.
On a une application ”canonique”, not´ee Cl :E→E/Rqui, `a chaque
x∈Eassocie sa classe d’´equivalence Cl(x). Cette application est ´evidemment
surjective.
Remarque
La classe d’´equivalence Cl(x)dexsera parfois not´ee [x], ou ¯x. Bien que ces
notations ne le signalent pas, il faut garder en tˆete la relation d’´equivalence R
qu’elles sous-entendent.
Soit α∈E/R. Il existe au moins un ´el´ement x∈Etel que α=Cl(x). On
dit que xest un ”repr´esentant” de α.
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Soit Eet Fdeux ensembles et f:E→Fune application. On peut alors
d´efinir sur Eune relation Rfde la fa¸con suivante :
xRfy⇐⇒ f(x)=f(y).
La relation Rfainsi associ´ee `a fest manifestement une relation d’´equivalence.
Th´eor`eme de factorisation :
Soit f:E→Fune application et Rfla relation d’´equivalence associ´ee.
Alors il existe une application injective unique
f:E/Rf→F
telle que f= f◦Cl.
Si de plus fest surjective, alors  fest une bijection.
D´emonstration :
Soit α∈E/Rf. Supposons que αcontient deux ´el´ements xet y, de sorte
que Cl(x)=Cl(y). Par cons´equent xRfyou encore f(x)=f(y). L’´el´ement
f(x) est donc ind´ependant du choix du repr´esentant xde la classe α. En posant
f(α)=f(x), o`u xest un ´el´ement quelconque de α, on obtient une application
fbien d´efinie de E/Rfdans F.
Supposons que  f(α)=  f(β) et soit x∈αet y∈β. On a alors f(x)=f(y)
d’o`u xRfyet α=β. L’application  fest donc injective.
Enfin,  fest l’unique application ayant la propri´et´e annonc´ee. Soit en effet
g:E/R→Ftelle que f=g◦Cl. Soit α∈E/Ret soit xun repr´esentant de
α:
g(α)=g◦Cl(x)=f(x)=  f(α).
Remarque : inversement, soient Rune relation d’´equivalence sur E,etf:
E→Fune application telle que ∀x, y ∈E, xRy⇒f(x)=f(y). Alors, il existe
une unique application (pas n´ecessairement injective) ¯ f:E/R→Ftelle que
f=¯ f◦Cl.Onditquefest compatible `a R,etque ¯ fest d´eduite de fpar
passage au quotient par la relation R.
Exemples :
1) Soit El’ensemble des droites du plan affine (muni d’un rep`ere). A la
droite dd’´equation ax +by +c= 0, on associe
p(d)=−a
bsi b=0
∞si b=0
Ceci d´efinit une application p:E→R∪{∞}et on a p(d)=p(d�)⇐⇒ les
droites d et d’ sont parall`eles. Les classes d’´equivalence pour la relation Rp
associ´ee `a psont les directions (non orient´ees).
L’application p:E/Rp→R∪{∞}associe `a chaque direction sa pente.
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2) Soit n∈N\{0}. Rappelons que, pour tout entier x∈Z, il existe un
unique couple d’entiers (q, r) tels que x=qn +ret 0 ≤r≤n−1. Les nombres
qet rsont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de
xpar n.
On dit que deux entiers xet ysont ”congrus modulo n” s’ils ont le mˆeme
reste dans la division par n. La relation de congruence modulo nest ´evidemment
une relation d’´equivalence. Il y a nclasses d’´equivalence (autant que de restes
possibles dans la division par n) et l’ensemble quotient est habituellement not´e
Z/nZ(nous verrons bientˆot pourquoi).
Soit U={z∈C/|z|=1}et soit f:Z→Ul’application d´efinie par
f(x)=e
2ixπ
n
On voit que f(x)=f(y) si et seulement si xet ysont congrus modulo n.
On a donc une application injective  f:Z/nZ→Utelle que f= f◦Cl.
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2. GROUPES
2.1 D´efinitions. G´en´eralit´es.
D´efinition :
Un groupe est la donn´ee d’un couple (G, �)o`u G est un ensemble et
�:G×G→G
est une loi de composition qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
1) Il existe un ´el´ement ede Gtel que, pour tout x∈G,
x�e=e�x=x
(on dit que e est un ´el´ement neutre)
2) Quels que soient les ´el´ements x, y, z de G,
(x�y)�z=x�(y�z)
(on dit que la loi de composition est associative)
3) Pour tout ´el´ement x de G, il existe un ´el´ement x�de G tel que
x�x
�=x��x=e.
(On dit que x�est un inverse pour x)
On dit que deux ´el´ements x et y de G, commutent si x�y=y�x. On dit que
le groupe G est ab´elien (ou commutatif) si tous les ´el´ements de G commutent
deux `a deux.
Remarque : Si (G, �) est un groupe, alors l’ensemble Gn’est pas vide
puisqu’il doit contenir un ´el´ement neutre.
Proposition :
Soit (G, �)un groupe. Alors :
1) L’´el´ement neutre est unique .
2) Tout ´el´ement de G poss`ede un unique inverse.
D´emonstration :
1) Soit e et εdes ´el´ements neutres. Alors ε=e�ε=e.
2) Soit x�et x�� des inverses de x. Alors x�=x��e=x��(x�x
��)=
(x��x)�x
�� =e�x �� =x��.
Notations :
Lorsqu’aucune ambig¨uit´e n’est possible sur la d´efinition de la loi de compo-
sition, on se contentera en g´en´eral de dire “soit Gun groupe ” .
Par la suite, on adoptera souvent la notation “multiplicative” c’est-`a-dire
que l’on notera x·you mˆeme simplement xy au lien de x�y. L’inverse de
l’´el´ement xsera not´e x−1.
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