Introduction `a la théorie du contrˆole

Introduction ` a la th´ eorie du contrˆ ole
Claude Lobry Tewfik Sari
Ce volume contient des cours qui ont ´ et´ e donn´ es pendant l’´ ecole du CIMPA Con-
trˆ ole non lin´ eaire et Applications qui s’est tenu ` a Tlemcen du 26 avril au 8 mai 2003.
Le cours de Hassane Alla (Universit´ e de Grenoble), Syst` emes ` a´ ev` enements discrets
bas´ e sur les ouvrages [9] et [19] n’est pas reproduit dans ce volume. Il en est de mˆ eme
du cours de Rachid Chabour (Universit´ e de Metz) Fonctions de Lyapounov et stabilit´ e
des syst` emes d´ eterministes [5], du cours de Jean Michel Coron (Universit´ e de Paris-
Sud), Contrˆ olabilit´ e et stabilisation des syst` emes non lin´ eaires, bas´ e sur les articles
[6, 7, 8] et du cours de Jean Luc Gouz´ e (INRIA, Sophia Antipolis), Automatique des
bioproc´ ed´ es, bas´ e sur [2, 3]. Pour permettre au lecteur de situer les questions abord´ ees
dans ce volume dans le contexte g´ en´ eral de la th´ eorie du contrˆ ole, on expose dans ce
premier chapitre quelques notions de base de cette th´ eorie.
1 Introduction
1.1 Syst` eme contrˆ ol´ e
Un syst` eme contrˆ ol´ e (ou command´ e) est un syst` eme diff´ erentiel de la forme
˙x(t) = f(x(t), u(t)), x(t)∈M, u(·)∈ U.(1)
En g´ en´ eral le vecteur des ´ etats x(t)appartient ` a une vari´ et´ e diff´ erentielle Mde di-
mension n(on supposera ici que Mest un ouvert connexe de Rn), et les contrˆ oles
u(·)appartiennent ` a un ensemble de contˆ oles admissibles U, qui est un ensemble de
fonctions localement int´ egrables d´ efinies sur [0,+∞)` a valeurs dans U⊂Rm. On
suppose le champ de vecteur fsuffisament r´ egulier, de sorte que pour toute condition
initiale x0∈Met tout contrˆ ole admissible u(·)∈ U, le syst` eme (1) admet une unique
solution x(t)telle que x(0) = x0, et que cette solution soit d´ efinie sur [0,+∞). On
notera cette solution par xf(t, x0, u(·)). Quand il n’y a pas de risque de confusion,
on pourra ommettre dans cette notation le champ f, la condition initiale x0, ou bien
le contrˆ ole u(·). Le syst` eme (1) est dit en boucle ouverte et est repr´ esent´ e par le
diagramme suivant
1

2 C. LOBRY ET T. SARI
-˙x=f(x, u)-xu
Parmi les objectifs principaux de la th´ eorie du contrˆ ole qui seront abord´ es dans ce
volume,il y a les notions de contˆ olabilit´ eet de stabilisation. On se propose de d´ efinir
ces notions et de rappeler les principaux r´ esultats de contrˆ olabilit´ e, de stabilisation et
d’observabilit´ e des syst` emes lin´ eaires (pour l’essentiel on trouvera les d´ etails et les
preuves dans [1]) :
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),(2)
o` uAest une matrice n×nappel´ ee matrice d’´ etat et Bune matrice n×mappel´ ee
matrice de commande. Les solutions de (2) sont donn´ ees par
x(t, x0, u(·)) = etAx0+Zt
0
e(t−s)ABu(s)ds. (3)
Il faut noter que certains probl` emes pratiques sont mieux mod´ elis´ es par des ´ equations
aux d´ eriv´ ees partielles [7, 8, 17] ou bien par des syst` emes ` a´ ev` enements discrets [9,
19].
1.2 Approximation lin´ eaire d’un syst` eme contrˆ ol´ e
Le syst` eme lin´ eaire (2) s’obtient g´ en´ eralement par lin´ earisation du syst` eme non lin´ eai-
re (1) autour d’un point ´ equilibre (xe, ue)pour lequel f(xe, ue)=0. En effet, si on
pose :
X=x−xe, U =u−ue, A =∂f
∂x (xe,ue), B =∂f ∂u (xe,ue),
on obtient l’´ equation : ˙
X=AX +BU +o(X, U )
Le syst` eme lin´ eaire command´ e˙ X=AX +BU s’appelle alors l’approximation
lin´ eaire (ou le lin´ earis´ e tangent) du syst` eme non lin´ eaire (1). Un des objectifs de
l’automaticien consiste ` a d´ eduire les propri´ et´ es du syst` eme non lin´ eaire (1) de celles
de son lin´ earis´ e tangent.
2 Controlabilit´ e
Un syst` eme est dit contrˆ olable si on peut le ramener ` a tout ´ etat pr´ ed´ efini au moyen
d’un contrˆ ole. Plus pr´ ecis´ ement on pose la d´ efinition suivante

INTRODUCTION ` A LA TH´ EORIE DU CONTR ˆ OLE 3
D´ efinition 1 On dit que le syst` eme (1) est contrˆ olable (ou commandable) si pour tous
les ´ etats x0,x1∈M, il existe un temps fini Tet un contrˆ ole admissible u(·) : [0, T ]→
Utel que x1=x(T, x0, u(·)).
2.1 Crit` ere de contrˆ olabilit´ e de Kalman
Il existe une caract´ erisation alg´ ebrique de la contrˆ olabilit´ e d’un syst` eme lin´ eaire due
`
a Kalman.
Th´ eor` eme 1 Le syst` eme lin´ eaire (2) est contrˆ olable si et seulement si la matrice de
contrˆ olabilit´ e (ou de commandabilit´ e) de Kalman
(B, AB, · · · , An−1B)
est de rang n. On dit alors que la paire (A, B)est commandable.
Noter que la paire (A, B)est commandable si et seulement s’il existe T > 0tel que
la matrice
CT=ZT
0
esABB0esA0 ds
soit inversible. Ici A0et B0d´ esignent les matrices transpos´ ees des matrices Aet B.
Le contrˆ ole u(·)qui transf` ere x0en x1=x(T, x0, u(·)) est simplement donn´ e par
u(s) = B0e(T−s)A0C−1
T(x1−eT Ax0)
comme on peut le v´ erifier en utilisant la formule (3).
2.2 Contrˆ olabilit´ e locale d’un syst` eme non lin´ eaire
D´ efinition 2 On dit que le syst` eme (1) est localement contrˆ olable au point x0s’il
existe un voisinage Ade x0tel que pour tout x1∈ A, il existe un temps fini Tet un
contrˆ ole admissible u(·) : [0, T ]→Utel que x1=x(T, x0, u(·)).
On ne dispose pas de condition n´ ecessaire et suffisante de contrˆ olabilit´ e pour un
syst` eme non lin´ eaire. On a une condition suffisante de contrˆ olabilit´ e locale qu’on
peut obtenir par lin´ earisation (voir [13], p. 32 et 366).
Th´ eor` eme 2 Supposons qu’il existe u0∈Rmtel que Usoit un voisinage de u0et
f(x0, u0) = 0. Soient
A=∂f
∂x (x0,u0), B =∂f ∂u (x0,u0)
Si le rang de la matrice (B, AB, · · · , An−1B)est ´ egal ` an(c’est ` a dire que le syst` eme
lin´ eaire ˙x=Ax+Bu est contrˆ olable), alors le syst` eme non lin´ eaire (1) est localement
contrˆ olable en x0.

4 C. LOBRY ET T. SARI
Noter que la contrˆ olabilit´ e du lin´ earis´ e n’est pas une condition n´ ecessaire de contrˆ ola-
bilit´ e du syst` eme non lin´ eaire. En fait, pour les syst` emes non lin´ eaires, il existe un
crit` ere simple, rappelant le crit` ere de Kalman, qui permet d’aborder les questions de
contrˆ olabilit´ e. Expliquons le sur le syst` eme particulier :
˙x=f(x) + ug(x),|u| ≤ 1
On appelle crochet de Lie des deux champs de vecteurs fet gle champ de vecteur
d´ efini par la formule :
x→[f, g](x) = Df(x)g(x)−Dg(x)f(x)
et l’alg` ebre de Lie engendr´ ee par fet g, not´ ee L(f, g), la plus petite famille close pour
l’op´ eration de crochet qui contienne fet g. Le rang en xde (f, g)est la dimension
de l’espace vectoriel engendr´ e par les valeurs en xdes ´ el´ ements de L(f, g). Appelons
ensemble des ´ etats accessibles ` a partir de x0l’ensemble des points qui peuvent ˆ etre
atteints ` a partir de x0un utilisant tous les contrˆ oles admissibles. Un r´ esultat fonda-
mental est que, si le rang en x0de (f, g)est ´ egal ` an, alors l’ ensemble des ´ etats
accessible ` a partir de x0est d’int´ erieur non vide. De ce r´ esultat on d´ eduit le crit` ere de
Kalman. En effet, consid´ erons le syst` eme
˙x=Ax +bu, u ∈R
o` u le contrˆ ole uest non born´ e. Les ´ etats accessibles du syst` eme
˙x=Ax +bu, |u| ≤ 1
sont contenus dans l’espace vectoriel des ´ etats contrˆ olable ` a partir de x0du syst` eme
o` u le contrˆ ole est non born´ e. Si ces ´ etats accessibles sont d’int´ erieur non vide quel
que soit x0le syst` eme sera contrˆ olable, puisqu’un sous espace vectoriel d’int´ erieur
non vide est l’espace tout entier. Calculons les crochets :
[(x→Ax),(x→b)] (x) = Ab,
[(x→Ax),(x→Ab)] (x) = A2b,
· · ·
£(x→Ax),(x→An−2b)¤(x) = An−1b.
0n voit que le crit` ere de Kalman ´ equivaut ` a la condition du rang. Quelques aspects
´
el´ ementaires de cette m´ ethode sont expos´ es dans [14] et un expos´ e complet se trouve
dans [11].
3 Stabilisation
Un contrˆ ole (ou une commande)en boucle ouverte est une application t→u(t)d’un
intervalle de temps dans l’espace des contrˆ oles. Un contrˆ ole en boucle ferm´ ee, appel´ e

INTRODUCTION ` A LA TH´ EORIE DU CONTR ˆ OLE 5
aussi une r´ etroaction, ou un bouclage, ou encore un feed back, est une application
u→R(x)d´ efinie sur les variables d’´ etat du syst` eme. Un des objectifs de la th´ eorie
du contrˆ ole est de d´ eterminer des r´ etroactions qui stabilisent le syst` eme en un ´ etat
particulier.
3.1 Bouclage statique
D´ efinition 3 (Bouclage statique). On dit que uest un bouclage statique du syst` eme
(1) si sa valeur u(t)` a l’instant tne d´ epend que de x(t), c’est ` a dire u=R(x)o` uR
est une fonction.
Ce syst` eme s’´ ecrit tout simplement
˙x=f(x, R(x)) (4)
Il est repr´ esent´ e par le diagramme suivant.
-˙x=f(x, u)
u=R(x)
&%
'$
¾
xu
Le probl` eme de la stabilisation (ou r´ egulation) consiste ` a maintenir le syst` eme pr` es
d’un ´ equilibre x∗. Il s’agit donc de construire une loi de commande telle que x∗soit
un ´ equilibre asymptotiquement stable du syst` eme en boucle ferm´ ee (4).
3.2 Concepts de stabilit´ e
On se donne un syst` eme
˙x=f(x)(5)
tel que f(0) = 0, admettant x= 0 comme ´ equilibre (noter que par un changement de
variable on peut toujours ramener l’´ equilibre ` a l’origine).
D´ efinition 4 L’´ equilibre x= 0 du syst` eme (5) est dit stable si pour tout ε > 0, il
existe η > 0tel que pour toute solution x(t)de (5) on ait
kx(0)k< η ⇒ ∀t≥0kx(t)k< ε.
Si l’´ equilibre n’est pas stable on dit qu’il est instable.