Feuille 2 : Champs de vecteurs sur R n

Master 2 Mathématiques fondamentales Année 2016-2017
Champs de vecteurs sur Rn
Exercice 1. [Champs de vecteurs invariants sur Rn]
1. Déterminer l’ensemble des champs de vecteurs sur Rninvariants par les transla-
tions.
2. Déterminer l’ensemble des champs de vecteurs sur R2invariants par les éléments
de SO2(R).
3. Déterminer l’ensemble des champs de vecteurs sur R2invariants par toutes les
transformations affines.
4. Déterminer l’ensemble des champs de vecteurs sur R3invariants par les éléments
de SO3(R).
Exercice 2. [Existence des courbes intégrales, flot d’un champ de vecteurs]
Soit Xun champ de vecteur de classe Ck,k≥1défini sur un ouvert Ude Rn. Une
courbe intégrale de Xest une courbe c:I→Ude classe C1, où I⊂Rest un intervalle,
telle que pour tout t∈I,
c0(t) = X(c(t)).
Soit Xun champ de vecteur de classe Ck,k≥1défini sur un ouvert Ude Rn.
1. Montrer que pour tout x∈U, il existe une unique courbe intégrale cxde Xpassant
par x, définie sur un intervalle maximal Imax(x)⊂R. Quelle est la régularité de
(x, t)7→ cx(t)?
2. On note
Ω = ∪x∈U{x} × Imax(x).
Montrer que Ωest un ouvert de U×R.
On appelle flot du champ de vecteurs Xl’application
φX:Ω→U
(x, t)7→ φt(x) = cx(t).
3. Montrer que ∀x∈U, et ∀t, t0∈Imax (x)tels que t+t0∈Imax (x), on a
φX
t+t0(x) = φX t(φX t0(x)).
4. Déterminer Ωdans le cas où Xest le champ de vecteur sur R2défini par
X(x, y) = (1, x2).
On suppose désormais que Xest de classe C∞, et que pour tout x∈U, on a
Imax(x) = R. Sous cette dernière hypothèse, on dit que le champ de vecteurs X
est complet.
1

5. Montrer que pour tout t∈R,φX
test un difféomorphisme de U, et que l’application
t7→ φX
test un morphisme de groupes.
Exercice 3. [Flots linéaires]
1. On considère les matrices
A1=−1−1
2−4, A2=3−2 2−1, A3=2−2√3
2√3 2 ,
et on définit les champs de vecteurs X1, X2et X3sur R2par
Xix
y=Aix y.
Déterminer les courbes intégrales et les flots des champs X1, X2et X3. Ces champs
sont-ils complets ?
On appelle point d’équilibre ou point critique d’un champ de vecteur Xun point
où Xest nul. Un point d’équilibre x0d’un champ sur Rnest dit asymptotiquement
stable si pour tout x∈Rnon a limt→∞ φX
t(x) = x0.
2. Parmi les champs de vecteurs précédents, lesquels ont l’origine comme point
d’équilibre asymptotiquement stable ?
3. Déterminer un critère général pour qu’un flot linéaire sur R3ait un point d’équilibre
asymptotiquement stable. Qu’en est-il dans Rn?
Exercice 4. [Champs de vecteurs constants sur le tore] Soit X: (x, y)7→ (a, b)un champ
de vecteurs constant sur R2.
1. Montrer que Xinduit un champ de vecteurs sur le tore T2=R2/Z2qu’on notera
encore X. Est-il complet ?
2. Montrer que si a
best rationnel, alors les courbes intégrales de Xsur le tore sont
compactes.
3. Montrer que si a
best irrationnel, alors toutes les courbes intégrales sont non-
compactes et dense dans T2.
4. À quelle condition Xinduit-il un champ de vecteur sur la bouteille de Klein K
(définie dans la feuille 1) ? Que peut-on alors dire des courbes intégrales de X
sur K?
2