Mécanique Quantique (4P001) - lpthe

Université Pierre et Marie Curie
Paris VI
Master de Sciences et Technologie
Mention Physique et Applications (M1)
Approche “Physique Fondamentale” (PF)
Mécanique Quantique
(4P001)
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Table des matières
Table des matières ii
Table des figures vii
1 Rappels sur le formalisme de la mécanique quantique 1
1.1 L’expérience de Stern et Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Expériences de Stern et Gerlach séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Analogie avec la polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Rappels sur le formalisme de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1 Espace des états, états et observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1.1 L’espace des kets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.1.2 L’espace des bras et le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1.3 Opérateurs adjoint et hermitique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Kets de base et représentations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2.1 Kets de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2.2 Représentations matricielles (mécanique des matrices de Heisenberg) 13
1.2.3 A propos de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.4 Observables compatibles, incompatibles et notion d’ECOC . . . . . . . . . 17
1.2.5 Cas du spectre continu et lien avec la mécanique ondulatoire . . . . . . . . 19
1.2.5.1 Kets propres de l’opérateur position et représentation-q . . . . . . 20
1.2.5.2 Kets propres de l’opérateur impulsion et représentation-p . . . . . 21
1.2.5.3 Relations de commutation canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5.4 Lien entre représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.5.5 Le paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.6 Deux résultats exemplaires : l’oscillateur harmonique et l’atome d’hydrogène 26
1.2.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.9 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3 Evolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 L’opérateur d’évolution U. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Action de Usur un ket d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 Moyennes temporelles d’observables (états stationnaires et constantes du mouvement) 32
1.3.4 Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.5 Opérateur d’évolution en représentation-q(cas de la particule libre) . . . . 34
1.3.6 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.8 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
ii

TABLE DES MATIÈRES iii
2 Symétrie et lois de conservation 37
2.1 Prélude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Symétrie et lois de conservation en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Considérations générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Symétrie et lois de conservation en mécanique de Lagrange . . . . . . . . . 41
2.2.3 Symétrie et lois de conservation en mécanique de Hamilton . . . . . . . . . 47
2.2.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Symétrie et lois de conservation en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Translations en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1.1 Représentation de l’opérateur de translation en mécanique quantique 52
2.3.1.2 Action de l’opérateur de translation sur un ket de base . . . . . . 52
2.3.1.3 Action de l’opérateur de translation sur un ket d’état . . . . . . . 53
2.3.1.4 Unitarité de l’opérateur de translation : principe de relativité de Galilée en mécanique quantique
2.3.1.5 Opérateur de translation et générateur des translations . . . . . . 54
2.3.1.6 Analogie avec la mécanique classique et représentation à une phase près 55
2.3.1.7 Action de l’opérateur de translation sur une observable et invariance par translation 55
2.3.1.8 Opérateurs de translation et relations de commutation canoniques 58
2.3.1.9 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.2 Rotations en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.2.1 Représentation de l’opérateur de rotation en mécanique quantique 61
2.3.2.2 Principales propriétés de l’opérateur de rotation en mécanique quantique 61
2.3.2.3 Conséquence de la non-commutativité des rotations dans 3. . . 62
2.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.4 Opérateurs scalaires et vectoriels en mécanique quantique . . . . . . . . . . 63
2.3.5 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.6 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4 Transformation de jauge et invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.2 L’invariance de jauge en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4.3 L’invariance de jauge en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Symétrie discrète : la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.1 La parité en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.2 La parité en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.6 Symétrie discrète : le renversement du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6.1.1 Le renversement du temps en physique classique . . . . . . . . . . 74
2.6.1.2 Le renversement du temps en mécanique quantique . . . . . . . . 75
2.6.2 Propriétés de l’opérateur de renversement du temps . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2.1 Retour sur le théorème de Wigner : opérateurs unitaires et antiunitaires 76
2.6.2.2 Les opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.2.3 Les opérateurs anti-unitaires (ou unitaires antilinéaires) . . . . . . 77
2.6.2.4 Conséquences du théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.2.5 Opérateur Θ et représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.6.2.6 Action de Θ sur les kets de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.6.2.7 Opérateur Θ, hamiltonien et opérateur d’évolution . . . . . . . . . 81
2.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

iv TABLE DES MATIÈRES
3 Théorie générale du moment cinétique 83
3.1 Valeurs propres et états propres du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 Relations de commutation et opérateurs d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.2 Valeurs propres de ~ J2et Jz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1.3 Eléments de matrice de ~ J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.4 Nombres quantiques, multiplets et limite semi-classique . . . . . . . . . . . 86
3.1.5 Eléments de matrice des opérateurs de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.6 Retour sur symétrie et dégénérescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.1.9 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Le moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1 Représentation-qdu moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.2 Les harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2.3 Quelques propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Composition (addition) des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3.1 Exemples simples et introduction au produit tensoriel . . . . . . . . . . . . 95
3.3.2 Addition de deux moments cinétiques : coefficients de Clebsch-Gordan . . . 97
3.3.3 Propriétés des coefficients de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3.4 Méthode pratique de composition de deux moments cinétiques . . . . . . . 99
3.3.5 Théorème d’addition et composition de plus de deux moments cinétiques . 101
3.3.6 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.8 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4 Théorème de Wigner-Eckart, règles de sélection et théorème de projection . . . . . 103
3.4.1 Opérateurs scalaires, vectoriels et tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.4.2 Eléments de matrice d’opérateurs tensoriels (théorème de Wigner-Eckart et règles de sélection)104
3.4.3 Théorème de projection et application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4.6 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Potentiel central 109
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 L’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3 Propriétés des solutions et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.1 Potentiel et quantification du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.2 La particule libre dans 3(ondes planes sphériques) . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.2.1 L’équation radiale pour la particule libre . . . . . . . . . . . . . . 114
4.6.2.2 Ondes planes sphériques et ondes planes . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6.3 L’atome d’hydrogène (et atomes hydrogénoïdes) . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.3.1 L’équation radiale de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . 116
4.6.3.2 Calcul des valeurs propres par la méthode polynomiale . . . . . . 117
4.6.3.3 Le spectre de l’atome d’hydrogène et atomes hydrogénoïdes . . . . 118
4.6.3.4 Fonctions propres de l’atome d’hydrogène et atomes hydrogénoïdes 119
4.6.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.6.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6.6 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

TABLE DES MATIÈRES v
5 Le spin 123
5.1 Fonction d’onde d’une particule avec spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.2 Remarques sur SO(3) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3 Paramagnétisme de l’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.4 Le renversement du temps pour une particule avec spin . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.5 Dégénérescence de Kramers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.6 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.7 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6 Particules identiques 131
6.1 Indiscernabilité des particules identiques en mécanique quantique . . . . . . . . . . 131
6.2 La dégénérescence d’échange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3 Symétrie de permutation et groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.1 L’opérateur de permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.3.2 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.3.3 Opérateurs de symétrisation et d’antisymétrisation . . . . . . . . . . . . . . 135
6.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.6 Postulat de symétrisation (7ème postulat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.7 Application au cas de deux électrons indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.8 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.9 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.10 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7 Méthodes d’approximation (cas stationnaire) 141
7.1 La méthode variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.1.1 Présentation de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.1.2 Application à un atome hydrogénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.1.3 Application à l’atome d’hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.1.4 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.1.5 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 Questions et petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3 Théorie des perturbations stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3.2 Remarques sur les séries perturbatives et leur nature . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.3 Le cas d’un système à deux niveaux (solution exacte et approximative) . . . 149
7.3.4 Développement formel (cas non dégénéré) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.3.5 Cas d’un niveau dégénéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3.6 Application à l’atome d’hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.7 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.3.8 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 Petits exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8 Théorie des perturbations dépendant du temps 157
8.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.2 Représentation intégrale de l’équation de Schrödinger et série de Dyson . . . . . . 158
8.2.1 Amplitude de probabilité de transition (transitions réelles et virtuelles) . . 159
8.2.2 Probabilité de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2.3 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.2.4 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.3 Système à deux niveaux dépendant du temps (solution exacte, oscillations de Rabi) 161
8.4 Transitions entre états discrets (cas perturbatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4.1 Le cas d’une perturbation constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.4.2 Le cas d’une perturbation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.4.3 Bilan du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.4.4 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164