THEORIE DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
THEORIE DU CHAMP
ELECTROMAGNETIQUE
Cours rédigé par : Dr. TILMATINE AMAR
Faculté des sciences de l’Ingénieur, université de sidi-Bel-Abbès.
INTRODUCTION
Il existe trois régimes distincts en électromagnétisme, chacun différent de l’autre suivant la variation en
fonction du temps.
a) Régime stationnaire (R.S)
Phénomènes indépendants du temps ∂ ∂t =0 ;
Toutes les grandeurs électriques et magnétiques (E, H, q…) sont constantes.
R.S: Electrostatique (Chapitre 1) + Magnétostatique (Chapitre 2)
b) Régime quasi-stationnaire (RQS)
Phénomènes variables avec le temps ∂ ∂t ≠0 (Chapitre 3);
Exemple: q = q0 cos(2πft )
Si f<1 kHz ⇒ RQS
Si f> 1 kHz ⇒ Régime variable
c) Régime variable (R.V)
Phénomènes très variables avec le temps
Ne concerne que les hautes fréquences > 1 kHz.
Dans le RV le champ électromagnétique devient une onde électromagnétique qui se propage dans l’air.
SOMMAIRE :
Chapitre I : Electrostatique
Chapitre II : Magnétostatique
Chapitre III : Régime Quasi-Stationnaire
Chapitre IV : Régime Variable- Equations de Maxwell
Chapitre V : Propagation du champ électromagnétique
Chapitre VI : Réflexion et transmission des ondes électromagnétiques.
1
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
CHAPITRE I
ELECTROSTATIQUE
Définition : L’électrostatique est l’étude des interactions électriques entre des charges constantes et
immobiles. Autrement dit, pas de courant électrique.
I. STRUCTURE ATOMIQUE DE LA MATIERE
1. L’atome
Electron
Le noyau comprend des :
- charges positives appelées protons
- particules neutres appelées neutrons
N
Noyau
Figure 1
Les électrons sont des charges négatives qui gravitent autour du noyau.
En valeur absolue, les charges de l’électron et du proton sont égales :
e=1,602.10−19 C
Les caractéristiques des particules sont indiquées dans le tableau ci-dessous.
Particule
Electron
Proton
Neutron
Masse
Charge
-31
me = 9,1091.10 kg
mp = 1,6725.10-27 kg
mn = 1,6748.10-27 kg
-e
+e
0
A l’état fondamental, il y a autant d’électrons que de protons : l’atome est une particule neutre.
L’atome est ionisé s’il cède ou acquiert un électron :
- c’est un ion positif s’il perd 1 ou plusieurs électrons.
- c’est un ion négatif s’il gagne 1 ou plusieurs électrons.
2. Nuage électronique
Le nuage électronique est formé d'électrons tournant à grande
vitesse autour du noyau selon des trajectoires très complexes.
Les électrons sont répartis sur les couches selon les quantités
suivantes :
K2
N 32
L 8
O 50
M 18
P 72
Q 98
3. Couches périphériques
Définition : C'est la couche la plus extrême d'un atome. Ses
électrons sont appelés électrons périphériques ou électrons de
valence.
La couche périphérique d'un atome ne peut pas posséder plus de huit électrons.
Important : Les propriétés électriques dépendent des électrons de la couche périphérique.
2
Chapitre 1 : Electrostatique
•
•
•
Cours de A.Tilmatine
Les bons conducteurs ont leur dernière couche incomplète. Ils céderont facilement leurs électrons
(électrons libres).
Les isolants ont leur dernière couche saturée ou presque saturée. Ils ne céderont pas facilement leurs
électrons (électrons liés).
Les semi-conducteurs sont des matériaux dont la dernière couche est formée de 4 électrons. Le
silicium et le germanium sont les semi-conducteurs les plus utilisés.
II. LOI DE COULOMB (1785)
Charles A. de Coulomb : ingénieur français (1736 – 1806).
Soient deux charges ponctuelles q1 et q2
qq
Force de Coulomb : F = 1 2 2
4πε 0 r
Unités : F [N] ; q1, q2 [C] ; r[m]
ε0 : constante diélectrique du vide.
Vide, air… ε 0 = 8,85 10-12 [F/m]
q1
r
q2
Figure
q1 q2
4πε 0 r 2
La charge q1 exerce une force F12 sur q2, de même que la charge q2 exerce une force F21 sur q1.
F12 = F21 =
Attraction et répulsion :
Si q1 et q2 ont même signe ⇒ Force de répulsion.
Si q1 et q2 ont des signes opposés ⇒ Force d’attraction.
Figure : Forces entre charges électriques de signes identiques ou opposés
q1
Une charge Q placée dans une région où se trouvent plusieurs
autres charges est soumise à l’action de toutes ces charges :
F3
r1
Q
P
F(P) = F1 + F2 + F3 + …
r2
Exercice :
Etant donné la disposition des charges de la figure, trouver
la force résultante appliquée sur la charge q3.
F2
F1
r3
q2
Figure
q3
q3
A
q1
r1
Figure
C
q2
B
3
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Exercice :
Deux charges ponctuelles sont situées sur l'axe des abscisses comme suit (voir figure). On donne Q1 =
8.10-9 C, Q2 = -10-9 C. Estimer la force suivant l’axe des x appliquée sur une troisième charge Q3 =
Q2
Q1
2.10-9 C?
Q3
X
1 cm
1 cm
III. CHAMP ELECTRIQUE
1. Définition
Le champ électrique est une grandeur physique qui exerce une force électrique sur une particule
chargée.
Remarque : à première vue, il peut sembler que le champ électrique n’a qu’une signification mathématique, en l’occurrence
un vecteur qui permet de calculer aisément les forces. Mais le champ électrique a deux autres caractéristiques importantes.
D’une part il sert à éliminer le concept d’action a distance, c’est l’entité qui de proche en proche transmet l’interaction d’une
charge a une autre. Le champ électrique a, d’autre part, véritablement une signification physique, car il possède de l’énergie
et de l’impulsion.
F12 =
q1 q2
q
= 1 2 q 2 =q2 E1
2
4πε 0 r 4πε 0 r
La grandeur E1 =
q1
est l’expression du champ électrique crée par q1.
4πε 0 r 2
q1
De même, sachant que : F21 =
La grandeur E2 =
r
q1 q2
q
= 2 2 q1 =q1 E2
2
4πε 0 r 4πε 0 r
q2
Figure
q2
est l’expression du champ électrique crée par q2.
4πε 0 r 2
Sens du champ électrique :
E
u
q positive
(E sortant ou divergent)
E=
q
4πε 0 r 2
u
u est un vecteur unitaire
radial issu de la charge
Figure : Le champ électrique est un vecteur
E
u
q négative
(E rentrant ou convergent)
Unité de E :
Comme par définition nous avons E = F / q : donc [E] = N / C.
En général on utilise une autre unité :
Vu que E = -dV / dx : Alors [E] = V / m.
2. Champ d’un ensemble de charges
Le champ électrique produit par un ensemble de charges ponctuelles est égal à la somme vectorielle des
champs produits par toutes les charges.
n
q
E = 1 ∑ i2 ui
4π ε 0 i =1 ri
4
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Cas de 2 charges :
q2
q
q 
E = E1 + E2 = 1  1 u1 + 2 u2 
4π ε 0  r1
r2 
r2
r1
q1
E1
Figure
3. Lignes de champ
E2
E
Définition
Une ligne de champ est une ligne qui est tangente en chacun de ses points au champ électrique en ce
point.
ligne de champ
Exemple
E3
E1
E2
Figure
E4
Ligne de champ uniforme :
C’est une ligne de champ où le module est partout le même en
chacun de ses points et qui possède une seule direction.
Exemple: Le champ existant entre deux plans chargés est
uniforme (sera démontré par la suite).
Déplacement électrique
D =εE
Figure
Exercice :
Quatre charges sont arrangées sur les coins d’un carré comme montré dans les figures ci-dessous.
Dans quel case(s) le champ électrique est-il égal à zéro au centre du rectangle ? Supposez que toutes les
charges ont la même valeur et la seule différence est le signe.
+
+
+
+
+
-
Figure1
IV. REPARTITION DES CHARGES
1. Ligne chargée
dq = ρ dl ⇒q = ∫ ρ dl
Figure 2
(L)
+
-
-
+
dl
Figure 17
+
Figure 3
-
ρ (C/m)
avec ρ densité de charge linéique (C/m)
ρs (C/m2)
2. Surface chargée
dq = ρs ds⇒q = ∫ ρs ds
dS
S
avec ρs densité de charge surfacique (C/m2)
3. Volume chargé
dq = ρv dv⇒q =∫ ρv dv
(S)
Figure 18
V
avec ρv densité de charge volumique (C/m3)
Figure 19
5
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Exercice :
Calculer le champ et le potentiel électriques produits par un filament rectiligne, infiniment long, portant
une charge ρ par unité de longueur.
Exercice :
Soit un disque de rayon R chargé uniformément en surface avec une densité surfacique σ > 0.
1) Calculer le champ électrique E(M) en un point quelconque M sur l’axe du disque.
2) On fait tendre R vers l’infini. En déduire l’expression du champ E(M).
Solution :
1) On choisit comme élément de surface dS une couronne circulaire comprise entre les cercles de rayons
y et y+dy. L’élément de surface dS porte une charge dq = σ dS
X
Par raison de symétrie (il s’agit d’une surface équipotentielle), le
champ crée par cette couronne en un point M d’abscisse x est
porté par Ox et a pour expression :
dEx
θ
dEx =dE cosθ
σ dS
σ dS
dEx =
cosθ =k 2 cosθ
2
r
4πε 0 r
avec
dS= 2 π y. dy
cos θ = x / r
et
r2 = x2 + y2
D’où
σ 2πy dy.x σ x y dy
dEx =k
=
(x2 + y 2 )3/ 2 2ε 0 (x2 + y2 )3/ 2
dE
M
r
O
R
Y
Figure
Le champ total est donc également porté par Ox, et vaut ;
σ x R y dy
σx
−1/ 2 R
E = ∫ dEx =
=
−(x 2 + y 2 )
3
/
2
∫
0
2ε 0 0 (x2 + y 2 )
2ε 0
[

]

x

E = σ 1−
2
2ε 0  (x + R 2 )1/ 2 


2) Si on fait tendre R vers l’infini, on déduit :
E= σ
2ε 0
Autre solution :
Le disque porte une charge totale
q= ρs S = ρs πR 2
La couronne comprise entre les cercles de rayons
r et r+dr porte une charge dq :
dq= ρ s ds = ρ s 2πr dr
et crée au point M un potentiel dV :
dV =
ρs 2πr dr
dq
= 1
4πε0 PM 4πε0 x2 +r 2
o
M
x
Figure 16
Soit donc :
6
Chapitre 1 : Electrostatique
V (x )=∫
R
0
πρs 2r dr ρs
=
4πε0 r 2 + x2 4ε0 ∫0
R
D’où
V (x )=
[
d (r 2 + x2 ) R
= d r 2 + x2
r 2 + x 2 ∫0
]
R
ρs
ρs
r 2 + x 2 0 = V (x )=
2ε0
2ε 0
(
Cours de A.Tilmatine
)
( R + x ± x)
2
2
Au centre du disque (x=o):
ρs R
V (o)=
2ε 0
Ensuite, on calcule le champ
[
2
2 2
ρs d (R + x ) ± x
dV
E =− =
dx 2ε 0
dx
d’où E =
1
]

ρs 
− x m1
2ε0  R 2 + x2 


Pour x⟩0 ,
E=

ρs 

1− x
2
2
2ε0 
R + x 

Pour x⟩0 ,
E=

ρs 

−1− x
2
2
2ε0 
R + x 

Exercice :
Calculer le champ crée par un anneau mince chargé uniformément, sur un point se trouvant sur l’axe.
dq
dE’n
dE’
a
α
dEr
b
α
dE
dEn
dq’
Figure 21
L’élément différentiel est dans ce cas un petit arc d’angle dθ, de longueur a dθ.
Sa charge vaut alors dq=λ a dθ .
λ adθ
q
L’élément dq produit un champ dE =
=
2
4πε 0 r 4πε 0 (a 2 +b2 )
A chaque charge dq lui correspond une charge dq’ qui produit un champ dE’. Les composantes
verticales de dE et dE’ qui sont égales et opposées, s’annulent.
Le champ résultant produit par le cercle est donné par : dEr =dE cosα
Soit, donc : E = ∫ dE = ∫
λ a dθ
cosα
4πε 0 (a 2 +b2 )
b
cosα = b =
r (a 2 +b2 )1/ 2
E =∫
λabdθ
4πε 0 (a +b
2
2
=
3/ 2
)
2π
λab
λab
dθ =
∫
4πε (a +b )
4πε (a +b )
0
2
2 3/ 2
0
0
2
2 3/ 2
2π a
7
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Comme Q =λ 2π a représente la charge totale de l’anneau :
E=
Qb
3/ 2
4πε 0 (a2 +b2 )
P
V. DIPOLE ELECTRIQUE
Le dipôle électrique est une disposition très intéressante
constituée de deux charges égales et opposées séparées par
une très petite distance, qu’on retrouve particulièrement à
l’échelle atomique.
r2
r1
r
r2 – r1
Le moment électrique dipolaire est donné par :
-q
p = q a,
où a est dirigé de la charge négative vers la charge positive.
θ'
θ
+q
O
a
Figure
Le potentiel crée par le dipôle au point P est :
q(r2 −r1
q q
V = 1  − = 1
4πε 0  r1 r2  4πε 0 r1 r2
)
On peut écrire d’après la figure : r2 – r1 = a cosθ’
Si la distance a est très petite par rapport à r, on peut poser:
et
r1 r2 = r2
r2 – r1 = a cosθ
qa cosθ
Ce qui donne : V =
4πε 0 r 2
Le calcul en coordonnées polaires donne deux composantes du champ électrique :
2pcosθ
• Une composante radiale Er : Er =− ∂V =
;
∂r 4πε 0 r 3
•
E
Er
Eθ
psinθ
Une composante transversale Eθ : Eθ =− 1 ∂V =
r ∂θ 4πε 0 r 3
P
r
ur
θ
uθ
Z
P
Figure
Un dipôle placé dans un champ électrique est soumis à un couple qui tend à l’aligner suivant la ligne de ce
champ.
En présence d’un champ électrique
Sans un champ électrique
F=qE
F=-qE
Figure
Figure
8
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
VI. POTENTIEL ELECTRIQUE
On considère une charge q1 placée à l’origine d’un repère. On apporte une autre charge q2 de
l’infini jusqu’à une distance r = R de q1.
Supposons q1 et q2 positives.
q1
R
q2
Figure
q2
Le travail fourni W pour vaincre la force de répulsion de q1 est
R
R
R
∞
∞
∞
W =−∫Fdr =−∫ Fdr =−∫ q2 E1 dr
avec E1 =
q1
4πε 0 r 2
R
[ ]
q1 q2
q1 q2 R dr
q1 q2 −1 R q1 q2
dr
=
−
=
=
−
2
4πε 0 r ∞ 4πε 0 R
4πε 0 r 2
4πε 0 ∞∫ r
∞
W =−∫
Suivant le principe de conservation de l’énergie, le travail fourni W est emmagasiné par la charge q0
sous forme d’énergie potentielle Ep,
Soit W = Ep.
qq
On pose donc : E p = 1 2 =q1 V2
4πε 0 R
avec V2 =
q2
potentiel crée par q2
4πε 0 R
On peut également écrire : E p =q2V1
avec V1 =
V=
q1
potentiel crée par q1
4πε 0 R
q
est donc l’expression du potentiel crée par une charge q
4πε 0 R
et E p =qV est l’énergie potentielle d’une charge q soumise à un potentiel V.
Unité
soit en J/C car par définition V = E p / q
ou bien en Volt, qui est l’unité la plus utilisée.
Le potentiel crée par plusieurs charges en un point P peut être déterminé à partir de l’expression
suivante :
q
q2
q3
q n q
V= 1 +
+
+...= 1 ∑ i
4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r3
4πε 0 i =1 ri
Conclusion : Une charge ponctuelle produit :
q
• Un champ (vectoriel) E =
u.
4πε 0 r 2
q
• Un potentiel (scalaire) V =
.
4πε 0 r
Exercice :
Les charges Q1 = +4 µC, Q2 = -4 µC, Q3 = +5 µC, et Q4 = -7 µC sont
placées sur un rectangle de longueur 5cm et de largeur 3cm, comme
représenté à la figure. Calculer l'énergie potentielle de cette
configuration de charges.
Figure
9
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Exercice :
Trois charges ponctuelles sont apportés de l'infini aux positions suivantes sur l'axe des abscisses: Q1 =
5,2.10-6 C à x = -1 m, Q2 = 2,6.10-6 C à x = 0 m, et Q3 = 5,2.10-6 C à x = 1 m. Quelle est l'énergie
potentielle de cette configuration de charges?
Exercice :
Deux charges Q1 = 1 C et Q2 = -1 C sont placées aux sommets d’un triangle équilatéral, de 4 cm de
côté.
1. Calculer le potentiel au point P.
2. Quelle est la direction du champ électrique au point P?
Exercice :
Y
Aux sommets d’un carré ABCD de coté 2m sont placées les
Q1
Q2
charges suivantes :
M
Q1= 2.10-8 C ; Q2= -8.10-8 C ; Q3= 2.10-8 C ; Q4= 4.10-8 C ;
1. Calculer le champ et le potentiel électriques au centre
O
O du carré.
X
Q4
2. Calculer le potentiel au point M milieu de AB.
Q3
Figure
VII. RELATION ENTRE E et V
Pour placer une charge q en un point où règne un potentiel V, il faut fournir un travail W :
W =−∫ F.dr
Ce travail est emmagasiné par la charge q sous forme d’énergie potentielle Ep :
E p =qV
W = Ep ⇒ dW =dE p ⇒−F.dr =q dV ⇒−q E.dr =q dV ⇒dV =−E.dr 1
D’autre part, on peut poser que :
dV = ∂V dx+ ∂V dy + ∂V dz = ∂V u x + ∂V u y + ∂V u z (dxu x + dyuy +dzu z )=gradV.dr 2
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
D’après les équations 1 et 2, on obtient:
E =−gradV
Conclusions:
E
1) E =−gradV =− ∂V ux − ∂V u y − ∂V uz
∂x
∂y
∂z
Le champ électrostatique a le sens des potentiels décroissants.
Suivant l’axe des x, nous avons : E =− ∂V ux .
V1> V2
V2
V1
∂x
Le champ électrique est toujours dirigé du potentiel le plus
élevé au potentiel le plus bas.
E
2) rotE =rot(−gradV )=0
D’après cette relation mathématique, on déduit que le champ électrostatique est nonFigure
rotationnel. C’est-àdire que la ligne de champ électrique ne se referme jamais sur elle même. Les lignes de champ
électrique ne se referment que sur des charges électriques.
+
Oui
_
Non
Figure
3) ∫ E.dl =0
dl
Figure
B
En effet, nous avons : rotE =0⇒∫ rotE.dS =0⇒∫ E.dl =0
Le long d’un contour fermé quelconque, dans le quel on définit deux
points A et B :
∫ E.dl =∫
B
A
A
E.dl + ∫ E.dl =(VA −VB )+(VB −VA )=0
B
A
dl
Figure 34
10
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
VIII. SURFACE EQUIPOTENTIELLE
Définition :
C’est une surface où le potentiel est constant et partout le même.
Sens de parcours de la boucle = sens de dl
E
Exemple: charge ponctuelle q
q
V=
4πε0 r
Le potentiel est constant si on pose r = R = constante ;
R2
R1
R3
E
Chaque sphère de rayon R constant (R1, R2, R3) représente donc une
surface équipotentielle.
Règle de base : le champ électrique est toujours perpendiculaire à la
surface équipotentielle.
E
Figure
Exercice :
Montrer que le champ électrique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.
Solution :
Y
Soit OPQR un plan uniformément chargé, c’est donc
une surface équipotentielle située dans le plan XOY
E =−gradV =− ∂V ux − ∂V u y − ∂V uz
∂x
∂y
∂z
R
∂
V
∂
V
∂
V
Comme
= =0 donc E =− uz
∂z
∂x ∂y
Le champ électrostatique est perpendiculaire à la surface équipotentielle.
Q
V constant
∂V =0; ∂V =0
∂x
∂y
P
O
Ligne équipotentielle :
X
Figure
ligne équipotentielle
Z
E
Figure
B
IX. THEOREME DE GAUSS
1. Flux électrique
Flux électrique : Φ e = ∫ E.ds
θ
dS
(S)
Flux magnétique : Φ m = ∫ B.ds
dS1
Surface non fermée
∫ E.ds =∫ E dscosθ
Figure : Surface non fermée
E
E
dS3
Surface fermée
Surface globale = surface S1 (base supérieure) + surface S2 (base inférieure) + surface latérale S3.
Φ e = ∫ E.dS1 + ∫ E.dS2 + ∫ E.dS3
S1
S2
S3
dS2
Figure : Surface fermée
11
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Remarques:
• Les vecteurs dS relatifs à la surface fermée sont perpendiculaires à la surface considérée et
sortants.
• Quand le flux est positif, il est « sortant ». Quand il est négatif, le flux est « entrant ».
• La notion de « flux » ne signifie pas vraiment qu’il y a un mouvement de quelque chose à travers
la surface.
2. Théorème de Gauss
Φ e =∫ E.dS =∫EdS cosθ =∫
q
4πε0 r
2
dS cosθ =
q
4πε0
∫
dS cosθ
q
=
dΩ
2
r
4πε0 ∫
dΩ : Angle solide sous lequel on voit dS à partir de q (cône).
Pour une surface fermée ∫dΩ=4π
E
On obtient alors
q
q
4π =
Φe =
ε0
4πε0
q
Donc ∫ E.ds =
θ
dS
q
ε
Figure 40
Théorème de Gauss:
Le flux électrique à travers une surface fermée quelconque est égal au rapport q/ε0, où q représente la
somme des charges se trouvant à l’intérieur de cette surface.
Autre démonstration (plus simple) :
On considère comme surface fermée une sphère de rayon r.
E
dS
les vecteurs E et dS sont tous les deux radiaux
q
Donc : ϕ = ∫ E.dS = ∫ E dS = ∫
dS
4π ε 0 r 2
comme r est constant sur toute la surface de la sphère :
q
q
q
dS =
4π r 2 =
ϕ=
∫
2
2
4π ε 0 r
4π ε 0 r
ε0
r
q
Figure 41
Cas général :
Les charges se trouvant à l’extérieur de la surface fermée ne
sont pas considérées dans le théorème de Gauss.
q
q
q
n
q
ϕ =∫ E.dS = 1 + 2 +...+ n =∑ i
ε0 ε0
ε 0 i =1 ε 0
Forme différentielle :
Φ e =∫ E.ds=∫divE dv ;
q'1
q1
q2
q'2
qn
Figure 42 q'3
V
si la charge est uniformément répartie dans un volume V on pose :
q=∫ ρv dv
V
où ρv densité de charge volumique
q
D’où divE dv= = 1 ρv dv
∫
ε 0 ε 0 V∫
ρ
Soit donc, divE = v
ε0
V
12
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Exercice : Champ d’une charge ponctuelle
On choisit comme surface fermée une sphère de rayon r. La surface de Gauss doit respecter la symétrie
du problème, le champ en tout point de la surface doit être constant.
Exercice :
On considère une sphère de rayon R possédant une charge superficielle q de densité ρs. Déterminer le
champ électrique à l’intérieur et à l’extérieur de la sphère.
Exercice :
Déterminer le champ électrique produit par un filament rectiligne possédant une charge uniforme de
densité ρ, en utilisant le théorème de Gauss.
3. Equations de Laplace et de Poisson
divE =div(−gradV)= ∆.(− ∆V )=−∆2V =
ρv
ε0
Soit ∆2V =
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V ρv
(Relation de Poisson)
+
+
=−
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
ε0
Si ρv=0 :
∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V
+
+
=0 (Equation de Laplace)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Exercice :
Utiliser l’équation de Laplace pour déterminer la distribution du potentiel et le champ électrostatique
dans la région située entre deux plans parallèles portés aux potentiels V1 et V2 (V1>V2).
Exercice :
Résoudre l’exercice précédent, en considérant qu’il existe une charge volumique de densité ρv entre les
deux plans.
X. CAPACITE- CONDENSATEUR
1. Conducteur unique
C = q /V
C : capacité du conducteur ; q: charge du conducteur ; V: potentiel du conducteur
Unité : [C] = C / V ;
R
En général on utilise comme unité le Farad et ses sous multiples
[C]=Farad F
Exemple: Sphère chargée (que ce soit en volume ou en surface)
q
q
V=
⇒C =4πε0 R
4πε0 R
Figure 47
2. Deux conducteurs (condensateur) :
Q
.
V1 −V2
Tout système constitué de deux conducteurs quelconques séparés par un isolant est un condensateur.
La capacité du condensateur est C = q / U .
isolant
Cylindre interne
où U = V1 – V2 représente la d.d.p entre les deux conducteurs.
V1, V2 potentiels des deux conducteurs.
Les condensateurs les plus connus sont :
Si V1 et V2 sont les potentiels de ces conducteurs, la capacité du système est définie par : C =
q
-q
Sphère interne
isolant
Sphère externe
Figure : Condensateur sphérique
V1
V2
Figure : Condensateur plan
Cylindre interne
Figure : Condensateur cylindrique
13
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
Remarques :
• Les deux armatures portent des charges Q égales mais opposées. Q est la charge du
condensateur.
• La capacité est indépendante de la tension et de la charge : elle constitue seulement le facteur de
proportionnalité (constant) entre les deux. Elle dépend des paramètres géométriques du
condensateur.
Exercice : Déterminer la capacité d’un condensateur plan.
Exercice : Calculer la capacité d’un condensateur sphérique de charge Q, constitué de deux armatures
sphériques concentriques de rayons R1 et R2.
XI. ENERGIE ELECTROSTATIQUE
Soient
q, V: charge et potentiel du condensateur à un instant t.
Pour amener une charge supplémentaire dq au condensateur,
on doit fournir un travail dW, afin de vaincre la répulsion des charges
existantes.
Rappel W = − ∫ F.dr =q V
Si nous apportons une charge supplémentaire dq, le travail effectué est :
dW = V dq
qm
qm
qm
q
q2
qm2
dq= 1   =
C
C  2 0 2C
0
dW =−F.dr =V dq⇒W = ∫ V dq= ∫
0
avec qm: charge maximale
soit en général :
q2
W=
,
2C
ou bien comme V=q/C :
W = 1 qV .
2
Remarques :
•
W = 1 qV est l’énergie emmagasinée par un système (condensateur, ensemble de charges…) suite à un travail
2
fourni.
•
W =qV est l’énergie potentielle que possède une charge q dans un potentiel V.
Comme E=
ρs
et q= ρs S , il vient :
ε0
q 2 (ρs S ) 1 ρs2
 ρs 
W= 1 = 1
=
Sd = 1 ε 0   V = 1 ε 0 E 2V
2 C 2 ε S 2 ε0
2  ε0 
2
0
d
avec V volume du condensateur.
W = 1 ε 0 E 2V
2
2
2
Conclusion: le champ électrique emmagasine de l’énergie électrique de densité w= 1 ε 0 E 2 .
2
Autre démonstration :
Considérons une sphère de rayon R qu’on se propose de charger. A un instant donné, supposons
que la charge de la sphère est q. Le fait de charger la sphère exige un travail dW, car pour apporter une
charge supplémentaire dq il faut vaincre la répulsion de la charge q.
dW = V dq ;
Comme V = q / C,
14
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
q
dW = dq .
C
Le travail fourni pour porter la charge de la sphère de 0 à qm est :
qm
qm2
W = 1 ∫ qdq=
C0
2C
r
R
étant donné que C = 4 π ε0 R, on obtient :
 q2 
W = 1 
 (1)
2  4πε0 R 
∞
Calculons l’intégrale suivante : ∫ E 2 dV
Figure
R
Le volume d’une sphère de rayon r est : V = 4π r 3
3
2
Par conséquent : dV = 4 π r dr
∞
∞
 q 
q 2 ∞ dr
q2
2 dV = 
2 dr )=

(
π
E
4
r
=
∫R
∫R 4πε0 r 2 
4πε02 ∫R r 2 4πε02 R
en substituant ce résultat dans l’équation (1), on obtient :
∞
W = 1 ε 0 ∫ E 2 dV .
2 R
XII. INTERACTION ENTRE LE CHAMP ELECTRIQUE ET LA MATIERE
1. Conducteur :
Considérons un conducteur cylindrique placé entre deux plaques métalliques soumises à une tension U.
le conducteur est en équilibre électrostatique, c’est-à-dire qu’il ne touche pas les deux électrodes.
Autrement, les charges seront mises en mouvement et naîtra un courant. Le conducteur n’est plus en
équilibre électrostatique.
Eapp
Eint
pas de champ appliqué
Eint = 0
Figure
Eapp : champ appliqué externe;
Eint : champ interne crée par la nouvelle répartition de charges ;
Er : champ résultant
Figure
Er = E app − Eint = 0
Dans un conducteur les électrons sont libres de mouvement. Dés qu’on applique un champ électrique,
les électrons se déplacent sous l’action de ce champ, il en résulte une nouvelle distribution de charges
qui donne naissance à un champ interne qui annule le champ appliqué.
Conclusion : le champ électrique dans un conducteur en équilibre est nul.
15
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
2. Isolant (diélectrique) :
Polarisation électrique :
Dans un atome, les centres de gravité du noyau et des électrons coïncident, par conséquent le
moment dipolaire moyen de l’atome est nul (Figure). Par contre après l’application d’un champ
électrique externe, le centre de gravité des électrons est déplacé d’une certaine distance x par rapport au
noyau : l’atome est alors polarisé et devient un dipôle électrique de moment p (Figure 61). Dans chaque
atome est crée un champ Ep de sens opposé au champ appliqué.
Les molécules peuvent avoir un moment dipolaire permanent, de telles molécules sont dites polaires.
x
Pas de champ extérieur
Présence d’un champ extérieur
Figure
Les électrons dans l’isolant sont liés aux atomes. Quand on applique un champ électrique, les
électrons ne se libèrent pas mais sont légèrement déplacés par rapport au centre de gravité de l’atome,
c’est la polarisation.
Ep est appelé champ de polarisation (Ep <<)
Er = Eapp −∑ E p diminue légèrement mais ne s’annule pas.
Conclusion
Le champ électrique passe à travers un isolant et s’annule dans le conducteur.
q
Dans le vide E =
4πε 0 r 2
q
Dans un diélectrique matériel : E =
4πε r ε 0 r 2
La polarisation fait diminuer E dans le diélectrique matériel car ε =ε rε0⟩ ε0
ε r = ε > 1 : permittivité relative ; ε permittivité du verre.
ε0
16
Chapitre 1 : Electrostatique
Cours de A.Tilmatine
FORMULAIRE D’ELECTROSTATIQUE
•
Charges :
Ponctuelles : Q [C] ; linéiques : λ [C/m]
Surfaciques : σ [C/m2] ; volumiques : ρ [C/m3]
•
Champs : D Déplacement ou Induction électrique [C/m2]
E Champ électrique [V/m].
D=ε E
•
Loi de Coulomb :
F = qE
;
Charge ponctuelle : E =
•
q
4π ε 0 r 2
u
et
V=
q
4π ε 0 r
Lois de base :
divD= ρ ou
rot E =0 ou
Qint
∫ E.dS = ε
0
∫ E.dl =0
•
Potentiel :
•
V =−∫ E.dl ; dV =−E.dl ; E =−gradV =− ∂V ux − ∂V u y − ∂V uz
∂x
∂y
∂z
Tension :
B
U AB =VA −VB = ∫ E.dl
A
•
•
Travail :
WBA =qU AB
Capacité :
q
C=
U
•
Densité d’énergie électrique : w= 1 ε 0 E 2 .
2
17
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
CHAPITRE II
MAGNETOSTATIQUE
•
•
Une charge électrique immobile crée un champ électrique seulement;
Une charge en mouvement (un courant) crée un champ électrique et un champ magnétique.
Définition : la magnétostatique est l’étude des phénomènes magnétiques statiques, générés par des courants
constants uniquement (courant continu).
Courant
I. LOI D’AMPERE
rectiligne I
Le physicien danois Hans C. Oersted (1777 – 1851), en remarquant la
déviation d’une boussole placée prés d’un conducteur traversé par un
courant, fut le premier à observer le magnétisme crée par un courant
électrique.
H(P)
P
r
θ
Conducteur rectiligne
dl
O
∞
I dl ∧ur
H= ∫
;
4π r 2
−∞
ur
Figure
H : champ magnétique
r = OP ; ur: vecteur unitaire de r
∞
B=
µ 0 I dl ∧ ur
4π r 2
−∞
∫
B : Induction magnétique
Remarque : La loi d’Ampère est valable si l’on suppose que le conducteur est infiniment long, donc les
bornes de l’intégrale sont de -∞ à +∞.
Conducteur fermé :
B=∫
dl
µ 0 I dl ∧ ur
4π r 2
Figure : Courant circulaire
Avec
µ0 perméabilité magnétique (vide, air…) : µ0 = 4 π . 10−7
B = µ0 H
Unités
[H ]= mA
[B] = Tesla T ;
Cas d’un courant volumique :
J densité de courant (A/m2) ;
J = I / S,
soit I = J S,
ou bien plus généralement :
H /m
L
J
dS
Figure : Conducteur volumique
1
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
I =∫ J.dS ⇒ Idl = ∫J.dS dl = J S dl = JdV
Le champ magnétique d’un courant cylindrique (volumique) est donné par :
H = ∫ J ∧u2r dv
4π r
soit donc : B= µH =µ0 ∫ J ∧u2r dv
4πr
EXERCICE (Champ magnétique crée par un courant rectiligne)
Calculer le champ magnétique H produit par un courant rectiligne infiniment long.
EXERCICE (Champ magnétique crée par une spire)
Soit une spire circulaire de rayon « a » traversée par un courant I.
Déterminer le champ magnétique H dans un point P situé sur l’axe de la spire.
Solution :
On obtient :
Ia 2
H=
u
3
2(a 2 + R 2 ) 2
M
dl
ur
a
I
H max(R=0)= I
2a
O
P
R
H
Figure
II. DIRECTION DU CHAMP MAGNETIQUE (Règle de la main droite)
a) Fil rectiligne : (Règle de la main droite)
I
B
I
B
B
B
B
B
I
b) Spire : (Règle du tournevis)
I
I
B
B
I
B
EXERCICE
Un solénoïde est un courant formé de plusieurs spires circulaires coaxiales, de même rayon traversé par un
même courant.
Solution :
Le champ sur l’axe du solénoïde peur être calculé en additionnant le champ crée par chaque spire.
A la figure ci-dessous est représentée une coupe longitudinale dans le solénoïde.
Si N est le nombre total des spires, le nombre des spires d’une partie dl est égal à N dl .
L
Rappelons que le champ produit au point P par une spire est :
2
Chapitre 2 : Magnétostatique
B=
µ0 Ia
Cours de A.Tilmatine
2
L
2(a 2 + L2 )
3/ 2
dl
N dl Spires produisent l’induction
L
β
P
 µ0 Ia 2 
2 dl
a
β2
 N dl = µ0 IN
dB= 
β
1
3
/
2
3
/
2
2L (a 2 + L2 )
 2(a 2 + L2 )  L
l
D’après la figure, on peut écrire : a =tgβ et sin β = 2 a 2
L
a +L
soit, L= a ⇒dl =− a2 dβ
sin β
tgβ
en substituant ces équations dans l’expression de dB, on obtient :
µ IN
dB= 0 (−sin β dβ )
2L
B=
µ0 IN
2L
β2
∫(−sin β dβ )=
β1
µ0 IN
2L
(cosβ
2
a
Figure
−cosβ1 )
Si le solénoïde est très long, nous avons en un point du centre β1 ≈π et, soit :
µ IN
B= 0
L
Pour un point situé à l’extérieur, sur l’une des extrémités, β ≈π / 2 et β 2 ≈0 ou β1 ≈π et β 2 ≈π / 2 ,
soit : B=
µ0 IN
2L
soit la moitié de la valeur au centre.
Remarque : le solénoïde est utilisé pour produire un champ magnétique passablement homogène dans une
région limitée de son centre.
III. POTENTIEL MAGNETIQUE
Comme q est un scalaire, qui produit un potentiel électrique scalaire V ;
Par analogie avec l’électrostatique :
L’élément Idl est un vecteur, produit un potentiel magnétique vectoriel A.
B =rotA
A=
µ0 J
dV
4π ∫ r
I
qui représente l’expression du potentiel A.
IV. THEOREME D’AMPERE
1. Théorème d’Ampère :
∫ H.dl =?
H= I u
2π r
H
∫ H.dl =∫ 2πI r u.dl
Figure
Rappel :
A.ux =( Ax ux + Ay u y + Az uz ).ux = Ax
soit donc, la composante de A suivant l’axe des x. Par analogie : dl.u = dl’ est la composante de dl suivant u.
Comme par ailleurs, u⊥ur , soit u⊥r , donc aussi dl’⊥r ;
dl’ représente donc un arc de cercle de rayon r ⇒ dl'=r dθ
3
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
Par conséquent :
r dθ
2π
∫ H.dl =∫ Hdl = 2Iπ ∫ r = 2Iπ ∫dθ = 2Iπ θ )0 =I
Donc ∫ H.dl =I
qui représente le théorème d’Ampère.
Remarque importante : I est un courant circulant à l’intérieur du contour fermé.
2. Forme différentielle :
∫ H.dl =I est la forme intégrale du théorème d’Ampère.
Comme ∫ H.dl = ∫rotH.dS
S
et que I =∫ J.dS ,
S
On peut écrire : ∫rotH.dS =∫ J.dS
S
Soit donc :
S
rotH = J
qui représente la forme différentielle du théorème d’Ampère.
Conclusion : rotH = J implique que le champ magnétique est rotationnel, c’est à dire que les lignes de
champ sont fermées, contrairement aux lignes de champ électrique.
NON
Figure
OUI
Remarque :
- Les lignes de champ magnétique sont des courbes fermées car contrairement au champ électrique qui a pour source des charges
électriques (part de la charge positive et arrive à la charge négative), il n’y a pas de charges magnétiques.
EXERCICE
On considère quatre conducteurs traversés chacun par un même
courant I (figure). Quelle est la direction du champ magnétique
au point P, centre du carré de coté d.
I1
I2
I1 = I2 = I3 = I4 = I
I4
I2
Figure
I3
EXERCICE
Trois fils conducteurs portant un même courant, sont situés aux
coins d'un triangle équilatéral, comme montré à la figure 14.
Dans quel cadran trigonométrique se trouve la direction du
champ magnétique résultant au centre de la triangle?
I1
II
I
III
IV
I3
Figure
EXERCICE
Déterminer le champ magnétique H à l’intérieur et à l’extérieur d’un conducteur cylindrique plein traversé
par un courant I, de densité uniforme J.
EXERCICE
Utiliser le théorème d’Ampère pour calculer le champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde comprenant
n0 spires par unité de longueur et parcouru par un courant I0.
4
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
Solution :
Pratiquement une bobine formée d’un fil conducteur enroulé suivant une hélice de petit pas est un solénoïde.
Par conséquent, à l’intérieur loin des extrémités de la bobine, les lignes d’induction sont sensiblement
parallèles à l’axe (le champ crée par chaque spire étant perpendiculaire à son plan) ; le champ est donc
uniforme.
Choisissons un contour fermé MNPQ pour pouvoir appliquer le théorème d’Ampère.
L’application du théorème d’Ampère sur ce contour donne :
L
∫ H.dl =∑I
∫ H.dl =H.MN + H.NP+ H.PQ+ H.QM = H.MN = HL
H . QM = 0 et H . PN = 0 car H ┴ QM et H ┴ PN
H . QP = 0 car à l’extérieur H ≈ 0.
Q
P
M
N
Figure
D’autre part, ∑ I =n0 LI0
n0 : nombre de spires / mètre.
d’où H =n0 I 0
B= µ0 n0 I0 est l’induction à l’intérieur du solénoïde.
EXERCICE
On considère une bobine torique de n spires traversée par un
courant statique I. Déterminer le sens, la direction et la valeur
du champ magnétique crée à l’intérieur de la bobine.
I
Solution :
Le champ étant perpendiculaire aux spires, c’est donc
un cercle passant par le centre de chaque spire, dont le
Ligne de champ
centre coïncide avec celui de la bobine.
magnétique
∫ Hdl =nI ⇒
H ∫ dl = H 2π r = HL=nI avec L=2π r
d’où H = nI
L
R
Figure
B
IV. FLUX MAGNETIQUE
Φ m = ∫ B.dS ;
Unité [Φ m ]=Weber Wb ;
a) Surface non fermée
Flux: représente la quantité de lignes de champ passant à
travers la surface.
Figure : Surface non fermée
b) Surface fermée
∫ B.dS =∫divB dV =∫div(rotA) dV =0 ; car B=rotA
∫ B.dS = 0
B
Figure : Surface fermée
5
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
Forme différentielle :
∫ B.dS = 0 est la forme intégrale de cette loi.
∫ B.dS =∫divB dv=0⇒divB=0
div B = 0
est la forme différentielle.
V. FORCE MAGNETIQUE
1. Force de Lorentz :
Une charge électrique animée d’une vitesse v et placée dans un champ électrique et magnétique, subit la
force suivante :
F =q(E +v ∧ B ) ;
F =q E + qv ∧ B = Fe + Fm
avec :
Fe =qE est la Force électrique;
Si q=0⇒ Fe =0
La force électrique s’annule si la charge est nulle.
Fm =q(v ∧ B ) est la Force magnétique.
La force magnétique s’annule si la charge est nulle ou immobile.
L’induction magnétique n’exerce de force que sur une particule chargée en mouvement (ou un courant).
Conclusion:
La force magnétique n’agit que sur une charge en mouvement, ou un conducteur traversé par un courant.
EXERCICE
Un fil conducteur est traversé par un courant (figure 5). Quelle est la direction de la force appliquée sur :
• un électron se déplaçant vers le fil ;
• un proton se déplaçant parallèlement au fil (fig. a). Supposez que l'électron et le proton se déplacent
dans le plan du papier.
I
I
v
v
Figure
2. Force de Laplace :
Considérons un conducteur cylindrique traversé par un courant I.
Soient :
n’ : nombre de particules chargées traversant le conducteur;
e : charge élémentaire d’une particule.
S
I
La charge traversant le conducteur vaut alors :
q=n'e
En posant n= n'
V
n : nombre de particules/unité de volume ;
V : volume du conducteur.
On obtient :
B
dl
Figure
6
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
dq
I = = d (n'e)= d (neV )=ne dV =neS dl =neSv ;
dt dt
dt
dt
dt
avec
v : vitesse de déplacement des particules.
Par conséquent :
J = I = neSv =nev ⇒ J =nev
S S
Cette égalité est également valable en notation vectorielle :
J =nev
D’un autre côté, en reportant dans la loi de Lorentz la charge par unité de volume q=ne , on obtient :
Fm =q(v ∧ B ) = nev ∧ B = J ∧ B
Pour un volume élémentaire dV :
dFm =(J ∧ B ) dV
pour tout le volume V :
Fm = ∫(J ∧ B ) dV = ∫(JdV ∧ B )
Fm = ∫ Idl ∧ B
Comme J dV = I dl , on aboutit à l’expression de la Force de Laplace:
Remarque :
Si I = 0 ⇒ Fm=0
La force magnétique n’agit donc que sur un conducteur traversé par un courant.
EXERCICE
Soient deux (2) conducteurs rectilignes identiques, parallèles et traversés par les
courants I1 et I2 (I1 = 10 A ; I2 = 5 A)..
Calculer la force magnétique F1 exercée sur le conducteur 1 et F2 exercée sur le conducteur 2.
Remarque : Le sens de la force est déterminé grâce à la règle de la main droite :
Induction
Courant
Force
B → Majeur
I → Index
F → Force
Main droite
C1
Figure
EXERCICE
Si chacun des trois fils de la figure 8 porte le même courant,
quelle est la direction de la force appliquée sur chacun des
3 conducteurs par les deux autres (sans calculs).
Conducteur C1 :
C2
C3
Figure
7
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
EXERCICE
Une spire carrée de côté a parcourue par un courant I est placée dans une induction magnétique B
perpendiculaire (Figure 14). La spire peut tourner autour d’un axe ∆.
1) Calculer et représenter les forces agissant sur les côtés MN, PQ, MQ et NP de la spire.
2) En déduire le couple magnétique agissant sur la spire.
VII. ENERGIE MAGNETIQUE Wm
On considère l’exemple d’une bobine torique comprenant n spires.
Déterminer l’énergie emmagasinée quand le courant dans la bobine croit de 0 à I.
Considérons un circuit formé par une inductance.
A l’instant t nous avons : U = L dI
dt
En multipliant les deux membres par i dt de façon à faire apparaître les énergies mises en jeu pendant dt :
Uidt = Lidi =d 1 Li 2
2
Le terme U i dt représente l’énergie fournie par le générateur, le terme dW =d 1 Li 2 correspond à l’énergie
2
fournie pour établir le courant i, énergie emmagasinée dans l’inductance.
( )
( )
Démonstration :
Par analogie avec l’électrostatique où la densité de l’énergie électrostatique we = 1 ε 0 E 2 , démontrer que la
2
densité de l’énergie magnétique est wm = 1 µ0 H 2 .
2
Considérons pour cela un tube élémentaire d’induction
dl
S
Posons
B
dV = S dl
Figure 28
L’énergie magnétique localisée dans l’élément de volume dV est :
dW = 1π 0 H 2 dV = 1π 0 H 2 Sdl
2
2
En tenant compte que le flux d’induction est constant dans le tube : Φ= ∫ B.dS = B.S
et du théorème d’Ampère : ∫ H.dl = I ,
on obtient :
W = 1 B 2 S dl = 1 BS ∫ Bdl = 1 BS ∫ H dl = 1 ΦI
2
2
2π 0
2π 0
Comme
Φ=LI
W = 1 ΦI = 1 LI 2
2
2
Conclusion : le champ magnétique emmagasine bien une énergie de densité wm = ½ µ0 H2.
Autre démonstration :
Soit U la tension appliquée,
Le travail fourni
W =−∫UIdt ;
Or U =−n
dϕ
dt
dϕ
U =−n =−nS dB −nB ds
dt
dt
dt
R
I
=0
8
Ligne de champ
magnétique
Figure
Chapitre 2 : Magnétostatique
Cours de A.Tilmatine
dϕ
Soit W =−∫−n Idt =n∫ I dϕ
dt
B
H
H
W =∫ nIS dB =nIS ∫ µ0 dH =nISµ0 ∫ dH
0
0
0
Comme H = nI ⇒ I = LH (Exercice P6).
L
n
H
H
d’où W =nSµ0 ∫ LH dH = Sµ0 L∫ H dH = 1 µ0 H 2 SL
0
0
n
2
avec V = SL volume de la bobine où règne H, on obtient :
Wm = 1 µ0 H 2V [J],
2
est l’énergie totale emmagasinée dans le champ magnétique H.
wm = 1 µ0 H 2 [J/m3]
2
est la densité d’énergie magnétique.
VIII. RESUME DES LOIS DU REGIME STATIONNAIRE
1. Théorème de Gauss
q
ρ
; divE =
∫ E.dS =
ε0
ε0
2. ∫ E.dl =0 ; rotE=0
3. Théorème d’Ampère
∫ H.dl =I ; rotH =J
4. Théorème du Flux Magnétique
∫ B.dS = 0 ; divB=0
ANALOGIE ENTRE L’ELECTROSTATIQUE ET LA MAGNETOSTATIQUE
ELECTROSTATIQUE
Loi de Coulomb (champ électrique)
q
q→ E =
u
4πε r 2
Déplacement électrique
D=ε E
Potentiel électrique
q
V=
4πε r
E =−gradV
∫ E.dl =0
rotH = J
q
∫ E.dS = ε
ρv
ε
we = 1 εE 2
2
Loi de Biot & Savart (champ magnétique)
I dl ∧ ur
Idl → H = ∫
4π r 2
Induction magnétique
B = µH
Potentiel magnétique
µ
A= ∫ J dv
4π r
B =rotA
∫ H.dl =I
rotE =0
divE =
MAGNETOSTATIQUE
E =0 dans un conducteur
∫ B.dS = 0
divB =0
wm = 1 µH 2
2
H ≠0 dans le conducteur
9
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
CHAPITRE III
PHENOMENES DEPENDANT DU TEMPS
(Régime quasi-stationnaire)
Le Régime Quasi-Stationnaire ne concerne que les phénomènes variant avec le temps.
Exemple
i =i0 sinωt =i0 sin 2π ft
E = E0 e jωt = E0 e j2π f t
I. LOI DE FARADAY
Loi de Faraday : Quand un flux magnétique variable traverse un circuit conducteur fermé, il génère
(crée) un courant induit (ou une f.e.m) dans le conducteur. C’est le principe des générateurs.
Remarque : le fonctionnement des générateurs d’électricité (générateurs à courant continu, alternateurs) est basé sur le
principe de la loi de Faraday.
1) Induction B variable :
Supposons I variable [I =I0 sin(ω t) par exemple].
L’induction B au point quelconque M est B =
i
µ 0 I µ 0 I 0 sin (ω t )
=
2π x
2π x
B(I)
I
M
x
Comme l’induction est variable, le flux Φ = ∫ B.dS est
également variable et génère un courant induit i dans la spire.
Figure 1
i = e/R [A];
R : résistance de la spire [Ω];
dΦ
: Force électromotrice (f.e.m) induite [Volt]
e=−
dt
Loi de Faraday : e=− dΦ
dt
Remarque : e est appelée f.e.m et non tension, car en électricité la tension apparaît entre deux points différents. On ne peut
pas parler de Tension dans une spire fermée.
2) Induction B constante :
• Si le courant I est constant, alors l’induction B est constante :
µI
B(I)= 0 ; Φ= ∫ B.dS
2π x
I
Φ = 0 et donc pas de courant induit (e = 0 ; i = 0)
• Si le courant I constant, mais la spire se déplace à une
vitesse v :
En se déplaçant, puisque la spire s’éloigne du courant I l’induction
B diminue est donc variable. Le flux magnétique qui devient
variable induit un courant i dans la spire.
Cours ETL307
1
i
B(I)
M
x
v
Figure 1
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
EXRCICE 1
Un cadre plan comportant N spires, chacune de surface S, est
placé devant un fil rectiligne traversé par un courant variable
I = I 0 sin ω t . Calculer le courant induit dans le cadre.
Solution :
φ = ∫ B.dS = ∫ B dS
a
I
b
µ I µ I sin ω t
B= 0 = 0 0
2π x
2π x
Le flux traversant le cadre est :
µ I b x+a
µ Ib
µI
Φ= ∫ B.dS = ∫ 0 bdx= 0 ∫ dx = 0 Ln x+a
2π x
2π x x 2π
x
x
µ Ib
Pour N spires : Φ= N 0 Ln x+ a
2π
x
X
La f.e.m induite dans le cadre est :

 µ Ib
µb
dφ
µ Ib
e=− =− d  N 0 Ln x+ a =−N 0 Ln x+ a dI =−N 0 Ln x+ a I0ω cosωt
dt dt  2π
x 
x dt
2π
2π
x
i1 =
µ bI 0 ω
e
x+a
= −N 0
Ln
R
2πR
x
cos ωt
EXERCICE 2
Le même cadre est placé devant un courant I constant, mais se
déplaçant vers la droite avec une vitesse constante v.
Déterminer le courant induit dans le cadre.
Solution :
µI
B = 0 ; dS = b dx
2π x
Remarque : dS = dx dy , mais comme l’induction B varie
seulement suivant x, on pose dS = b dx .
Le flux traversant le cadre est
µ I b x+a
µ Ib
µI
Φ= N ∫ B.dS = N ∫ 0 bdx= N 0 ∫ dx = N 0 Ln x+a
2π x
2π x x
2π
x
a
I
b
dx
v
Figure 2
x
X
La f.e.m est donnée par :
e=− dΦ =− dΦ dx =−v dΦ
dt
dx dt
dx
(
)
dΦ = N µ0 I b 1 − 1 =−N µ0 I ba
dx
2π x + a x
2π x(x+a )
e= N
µ0 I ba v
2π x(x+a )
i2 =
µ 0 I ba v
e
=N
R
2π x( x + a )R
Cours ETL307
2
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
EXERCICE 3
Le même cadre est placé devant un fil rectiligne traversé par un courant variable qui se déplace vers la
droite avec une vitesse v constante. Calculer le courant induit dans le cadre.
Solution :
µ bI ω
µ 0 I ba v
x+a
i = i1 + i2 = − N 0 0 Ln
cos ωt + N
x
2πR
2π x( x + a )R
Exemples de la loi de Faraday :
- L’énergie électrique dans les centrales est produite par. Dans les alternateurs, la tension est
produite suivant le principe de la loi de Faraday. Le principe est de placer les conducteurs dans
un flux magnétique variable.
- Le transformateur ne fonctionne qu’en courant alternatif car pour induire un courant dans
l’enroulement secondaire il faut un flux variable.
- Les noyaux de fer utilisés dans les machines à courant alternatif sont constitués de tôles isolées
les unes des autres. En effet, le flux étant variable il induit un courant dans le noyau lui-même
(courant de Foucault). L’isolant entre les tôles sert à augmenter la résistance pour atténuer le
courant. Par contre, les noyaux des machines à courant continu sont des masses compactes, car il
n’y a pas de courant induit dans ce cas.
- La foudre peut détériorer des équipements situés à plusieurs km du point d’impact. En effet, le
champ magnétique généré par la foudre se propage et induit dans les installations des surtensions
pouvant endommager les appareils fragiles.
II. LOI DE LENZ : (signification du signe "moins")
Loi de Lenz : "L’induction magnétique propre du courant induit s’oppose à la variation du flux
principal".
Exemple : soit un cadre qui se déplace vers la droite à une vitesse v constante. Déterminer le sens de
circulation du courant induit dans ce cadre.
L’induction principale B(I) a un sens entrant dans le cadre.
En s’éloignant du courant I le flux qui traverse le cadre
diminue (variation = diminution de Φ).
Loi de Lenz : L’induction propre B(i) du courant induit
s’oppose à cette variation (diminution de Φ) et aura le
même sens que l’induction principale B(I) pour augmenter
le flux (car l’induction résultante dans le cadre augmente
Br = B(I) + B(i)).
Résultat : puisque B(i) a un sens entrant, le courant i
circule dans le sens ABCD (Règle du tire-bouchon).
A
I
i
B
B(i)
v
B(I)
B
C
D
Figure 3
Remarque : Si le cadre se déplace vers le courant le flux cette-fois ci augmente.
Loi de Lenz : L’induction propre B(i) du courant induit s’oppose à cette variation (augmentation de
Φ) et aura le sens opposé à l’induction principale B(I) pour diminuer le flux (car l’induction
résultante dans le cadre diminue Br = B(I) - B(i)).
Résultat : puisque B(i) a un sens sortant, le courant i circule dans le sens ADCB.
EXERCICE 3
Soit une spire placée prés d’un fil rectiligne traversé par un courant I (figure 4). Déterminer le sens du
courant induit dans la spire dans chaque région du courant.
Cours ETL307
3
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
Solution :
L’induction principale B(I) a un sens sortant.
a) entre 0 et t0
I=0⇒ B=0 ⇒ Φ=0⇒ pas de courant induit i=0.
b) entre t0 et t1
I augmente ⇒ B(I) augmente ⇒ augmentation de Φ.
Le courant induit i s’oppose à cette augmentation ⇒
B(i) opposé à B(I) ⇒ B(i) entrant, donc i circule dans le
sens ABCD.
c) entre t1 et t2
I constant ⇒ B constante ⇒ Φ constant ⇒
dϕ
e=− =0 ⇒ i = 0.
dt
d) entre t2 et t3
I diminue ⇒ B diminue ⇒ diminution de Φ;
Le courant induit i s’oppose à cette diminution ⇒
B(i) même sens que B(I) ⇒ B(i) sortant, donc i circule
dans le sens ADCB.
a
A
B
I
b
B(I)
C
D
I
D
t0
O
C
t1
t2
t3 t4
t
Figure 4
III. FORMES INTEGRALE ET DIFFERENTIELLE
1. Forme intégrale :
Rappel
- Conducteur rectiligne :
V
V2
1
O
La différence de potentiel U entre deux
points d’un conducteur rectiligne est donnée
par l’expression suivante :
Figure 5
L1
l
L2
L2
U =V1 −V2 = ∫ E.dl (voir chapitre 1)
L1
dl
- Spire non fermée :
La différence de potentiel d’une spire non fermée est : VA A
B
B
VB
U AB =VA −VB = ∫ E.dl
A
dl
Figure 6
- Spire fermée :
U = ∫ E.dl
A
Figure 7
En conséquence, la loi de Faraday peut être mise sous la forme suivante :
dφ
e=− = ∫ E.dl
dt
Comme ϕ = ∫ B.dS ⇒
Cours ETL307
∂
∫ E.dl = − ∂t ∫ B.dS
4
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
Remarque: S’il n’y a pas de f.e.m produite par la loi de Faraday,
U = ∫ E.dl = V A − Va = 0 . La tension dans une spire
fermée est nulle. Pour cette raison, on ne dit pas tension induite dans une spire fermée, mais plutôt une f.e.m induite. En effet,
la tension dans une spire fermée doit être obligatoirement nulle, sauf dans le cas d’un f.e.m induite par la loi de Faraday.
2. Forme différentielle :
∫ E.dl =∫S − ∂∂Bt .dS
L’intégrale fermée
∫ E.dl
peut être transposée en une intégrale surfacique (voir rappel mathématique) :
∫ E.dl =∫rotE.dS
S
On obtient :
∫rotE.dS =∫− ∂∂Bt .dS
La forme différentielle de la loi de Faraday est donc :
rotE =− ∂B
∂t
E
Remarque : d’après cette équation on peut conclure qu’un champ
magnétique variable ( ∂B ) crée un champ électrique E. Ce champ
∂t
électrique est à l’origine du courant induit. En effet, c’est ce champ qui
produit déplacement des charges dans le conducteur et qui est à l’origine
du courant induit.
Sens positif
du courant
Figure 8
Régime stationnaire: rotE =0 ⇒ E est non rotationnel. (le champ E ne se referme pas)
Régime dépendant du temps RQS : rotE =− ∂B ⇒ E est rotationnel (le
∂t
champ E se referme).
Remarque :
C’est dans le cas seulement de la f.e.m induite par induction magnétique où l’on rencontre un champ électrique fermé.
EXERCICE
En régime stationnaire E =−gradV , démontrer qu’en RQS E =−gradV − ∂A .
∂t
Solution :
rotE =− ∂B
∂t
Comme B =rotA , il vient que
rotE =− ∂ rotA=−rot ∂A
∂t
∂t
soit
rot E + ∂A =0
∂t
Par analogie avec le RS
rotE =0⇒ E =−gradV , on pose :
(
Cours ETL307
)
5
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 3 : Phénomènes dépendant du temps
E + ∂A =−gradV
∂t
Donc
E =−gradV − ∂A
∂t
IV. COMPARAISON ENTRE R.S et R.Q.S
R.S et R.Q.S :
q
∫ E.dS = ; ∫ H.dl =I ; ∫ B.dS = 0
ε
RS seulement
∫ E.dl =0
soit rotE =0
E =−gradV
R.Q.S seulement : ∫ E.dl = −
E=−
Cours ETL307
∂
B.dS soit rotE =− ∂B
∫
∂t
∂t
∂A
− gradV
∂t
6
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
CHAPITRE IV
REGIME VARIABLE
Equations de Maxwell
I. PRINCIPE DE CONSERVATION DE LA CHARGE : (Régime variable)
Supposons une surface fermée comprenant une charge q à l’intérieur, et un courant I sortant.
Principe de conservation de la charge :
Courant sortant de S ⇔ diminution de q dans S;
d’où I = −
dq
;
dt
I
Comme I = ∫ J.dS
⇒ ∫ J.dS = −
q
q
∫ E.dS = ε ⇒ q = ε ∫ E.dS
vu que (théorème de Gauss)
donc
dq
dt
Figure 1 : Surface fermée S
∫ J.dS = − dt (ε ∫ E.dS )
d
∂E
.dS = 0
∂t
∂E 

ou bien ∫  J + ε
 .dS = 0
∂t 

Cette expression représente l’équation de conservation de la charge.
soit ∫ J.dS + ∫ ε
1. Forme intégrale
∂E 

∫  J + ε ∂t  .dS = 0 est la forme intégrale de l’équation de conservation de la charge.
2. Forme différentielle
L’intégrale de surface fermée

∫  J + ε
∫(J +ε ∂∂Et ).dS peut être transposée en une intégrale de volume
∂E 
∂E 

 .dS = ∫ div J + ε
dv = 0
∂t 
∂t 

V
(
)
Par conséquent, div J +ε ∂E dv=0
∂t
ou bien autrement, sachant que divE =
ρ
:
ε
divJ +ε ∂ (divE )=0 ;
∂t
On déduit alors : divJ +
Cours ETL307
∂ρ
=0
∂t
1
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Remarque :
∂ρ
et ∂E ne sont considérés que dans le cas du régime variable, ils sont négligeables dans
∂t
∂t
les autres régimes. C’est-à-dire que :
∂ρ
en RS et RQS :
≈0 et ∂E ≈0 (négligeables)
∂t
∂t
Donc, l’équation d conservation de la charge dans ces cas devient : ∫ J.dS =0 ou divJ =0
Les termes
Remarque :
La conservation de la charge est respectée, car lorsqu’un électron sort par la borne négative, il prend la place d’un électron
libre dans la matière qui relie les deux bornes (car les bornes doivent être reliées par un conducteur pour que le courant
circule), l’électron ainsi chassé va voler à son tour la place d’un électron situé un peu plus proche de la borne positive, et
ainsi de suite jusqu’à la borne positive, dans laquelle le dernier électron de la ‘chaîne’ va rentrer.
Donc, lorsqu’un électron sort de la borne négative, au même moment, un électron rentre dans la borne positive. La batterie
ainsi que le conducteur ne se sont donc pas chargés, ils sont toujours neutres, bien que le courant circule !
II. LOI DE MAXWELL-AMPERE
D’après le théorème d’Ampère rotH =J .
On peut écrire :
rotH = J ⇒ div(rotH ) = divJ
Comme div rot =0, on obtient :
divJ =0
Mais en régime variable nous avons divJ =−
∂ρ
et non pas divJ =0 !
∂t
Par conséquent, le théorème d’Ampère rotH = J n’est plus valable dans le régime variable.
• Question : que devient le théorème d’Ampère dans ce cas ?
• Réponse :
Nous connaissons que (en R.S et R.Q.S) :
divJ = 0 ⇔ rotH = J (1)
Par analogie en régime variable nous pouvons poser :
∂E 
∂E

div J + ε
 = 0 ⇔ rotH = J + ε
∂t 
∂t

•
Conclusion : Maxwell a transformé le théorème d’Ampère en régime variable et a ajouté le terme
ε ∂E . Le théorème d’Ampère devient dans ce cas : rotH =J +ε ∂E (forme différentielle)
∂t
∂t
Forme intégrale :
rotH = J +ε ∂E ⇒∫ rotH.dS = ∫ J +ε ∂E .dS
∂t
∂t S
S
(
)
L’intégrale de surface ∫rotH.dS peut être transposée en une intégrale linéique fermée :
S
∫rotH.dS =∫ H.dl
S
On arrive alors à l’expression différentielle suivante :
∂E 

∫ H.dl = ∫S  J + ε ∂t  .dS (Forme intégrale)
Cours ETL307
2
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
III. EQUATIONS DE MAXWELL
Maxwell a établi quatre équations fondamentales de l’électromagnétisme et qui sont :
1. Equation de Maxwell-Gauss (MG) :
q
Forme intégrale : ∫ E.dS =
ε
Le flux électrique passant à travers une surface fermée est égal au rapport
Forme différentielle : divE =
ρ
ε
q
ε
.
C’est la charge électrique qui est à l’origine (source) du champ électrique.
2. Equation de Maxwell-flux magnétique (MΦ ) :
Forme intégrale : ∫ B.dS = 0
Le flux magnétique passant à travers une surface fermée est nul.
Forme différentielle : divB =0
Par analogie avec l’équation MG, il n’existe pas de "charge magnétique" dans la nature.
3. Equation de Maxwell-Faraday (MF) :
∂
Forme intégrale : ∫ E.dl = − ∫ B.dS
∂t
Un conducteur traversé par un flux magnétique variable est le siège d’une f.e.m induite.
Forme différentielle : rotE =− ∂B
∂t
Un champ magnétique variable crée un champ électrique variable.
4. Equation de Maxwell-Ampère (MA) :
Forme intégrale : ∫ H.dl =J +ε ∂E
∂t
Forme différentielle : rotH =J +ε ∂E
∂t
∂
E
Un champ électrique variable (
) crée au même titre qu’un courant (J) un champ magnétique variable.
∂t
Remarques :
• Les équations de Maxwell sont valables dans les trois régimes.
• Pour obtenir les équations dans le régime stationnaire, il suffit de poser ∂ =0 .
∂t
• Pour obtenir les équations dans le régime dépendant du temps (quasi-stationnaire), il suffit de
∂ρ
poser : ∂E ≈0 et
≈0 .
∂t
∂t
• Les équations de MA et MF montrent que les champs E et H sont liés entre eux ⇒
C’est le champ électromagnétique.
EXERCICE
1. On considère dans le vide un champ électrique E = E m sin (ω t − β z )u y .
Déterminer le champ magnétique H associé à E.
2. On considère dans le vide un champ magnétique H = H m exp j (ω t + β z )u x
Déterminer le champ électrique E associé à H.
3. Que peut-on conclure ?
Cours ETL307
3
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Solution :
1) M.A : rotE =− ∂B =−µ0 ∂H
∂t
∂t
 ux u y uz  ux u y uz 
rotE =  ∂ ∂ ∂  =  0 0 ∂  =ux − ∂E y 
 ∂x ∂y ∂z  
∂z   ∂z 
 Ex E y Ez   0 E y 0 
∂H
⇒
∂t
βE
βE
d’où H = − m ∫ cos(ω t − β z )dt u x = − m sin (ω t − β z )u x + Cte
Soit rotE = β E m cos(ω t − β z )u x + 0 = − µ 0
µ0
µ 0ω
2) H = H m exp j (ω t + β z )u x
M.A : rotH = J +ε 0 ∂E
∂t
dans le vide : J =0
d’où rotH =ε 0 ∂E
∂t
 ux u y uz   ux u y uz 
soit rotH =  ∂ ∂ ∂  =  0 0 ∂  =u y ∂H x ⇒
 ∂x ∂y ∂z  
∂z 
∂z
 H x H y H z   H x 0 0 
( )
rotH = jβ H m exp j(ωt + β z ) u y =ε 0 ∂E ⇒
∂t
jβ H m
jβ H m 1
exp j(ωt + β z )dt uy =
E=
exp j(ωt + βz )u y
ε0 ∫
ε 0 jω
βH m
exp j(ωt + β z )u y +Cte
Donc E =
ε 0ω
3) On peut conclure que :
• Un champ électrique E variable crée un champ magnétique H variable ;
• Un champ magnétique H variable crée un champ électrique E variable ;
• E⊥ H .
IV. LOI D’OHM LOCALISEE
La loi d’Ohm localisée est exprimée par la relation suivante :
J =σE
où σ conductivité électrique (1 Ωm)
σ=1
ρ
avec ρ résistivité (Ωm)
Exemples :
- Cuivre : σ =5,81.107 Ω−1m −1 ; ρ =1,7.10−8 Ωm
-
Aluminium : σ =3,54.107 Ω−1m −1 ; ρ =2,8.10−9 Ωm
-
Silicium (semi-conducteur) : σ =1,6..10−5 Ω−1m−1 ; ρ =6,25.103 Ωm
-
Verre : σ ≈.10−12 Ω−1m−1 ; ρ ≈.1012 Ωm
Cours ETL307
4
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Démonstration :
Soit un conducteur cylindrique de section S et de longueur L, soumis à une tension U
L
La loi d’Ohm généralisée s’écrit comme suit :
U =RI (1)
R : résistance du conducteur
S
I
Comme
U
ρ
R = ∫ dl , I =∫ J dS , et U = ∫ E dl
S
nous obtenons en substituant dans l’équation 1 :
ρ
E
Figure 2
ρ
∫ E dl =∫ S dl ∫ J dS ⇒ E = S J
Soit J = E
ρ
Ou bien J =σE
Cette égalité est également valable en notation vectorielle : J =σE
V. CONDITIONS LIMITES
Soient deux milieux diélectriques
différents (air et verre par exemple)
séparés par une interface –frontière
fictive de séparation- située dans le plan
YOZ par exemple.
Question : Que devient le champ
électromagnétique quant il passe d’un
milieu à un autre ?
Y
Milieu 1 (air)
(ε1 , µ1)
Et1
E1
Et2
ut
E2
un
En1
Posons E = Et + En
Et: composante tangentielle par rapport à
la surface de séparation (plan YOZ).
En: composante perpendiculaire par
rapport à la surface de séparation.
Milieu 2 (verre)
(ε2 , µ2)
En2
O
X
Figure 3
Z
1. CHAMP ELECTRIQUE
a) Composantes tangentielles :
La forme intégrale de l’équation de MF est :
∫ E.dl =− ∂∂t ∫ B.dS
Le contour fermé considéré est un rectangle ABCD situé de part et d’autre de la frontière.
∫ E.dl = ∫ E.dl = E n1 .DN + E n 2 .NC + Et 2 .CB + En 2 .BM + En1 .MA + Et 1 .AD
ABCDA
Etant donné qu’on veut étudier le champ à la frontière des deux matériaux, c’est-à-dire les
conditions limites du champ électrique, on pose :
AM = MB = DN = NC ≈0 ,
Cours ETL307
5
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
On obtient alors :
∫ E.dl = Et2 .CB+ Et1.AD=CB(Et2 − Et1 ),
Y
ABCDA
Milieu 1
Par ailleurs, vu que :
AB≈0 , donc S = ABxBC ≈0
En1
En2
B
A
M
On déduit que :
− ∫ ∂B .dS ≈0
∂t
Et1
En outre sachant que :
AD=-CB
on arrive à
∫ E.dl =CB(Et2 − Et1 )=0
E1
Et2
N
D
E2
C
En2
En1
X
O
ABCDA
Soit donc
Milieu 2
Figure 4
Et2 = Et1
Z
Conclusion : les composantes tangentielles du champ électrique sont égales.
b) Composantes normales :
La forme intégrale de l’équation de MG est :
q
∫ E.dS =
Y
ε
Milieu 1
Milieu 2
(ε1 , µ1)
On considère comme surface fermée un cylindre
de longueur L.
q
∫ E.dS = ⇒∫ε E.dS =q⇒∫ D.dS =q
(ε2 , µ2)
D2
L
D1
ε
ρs
Soit ∫ D.dS = ∫ Dn1.dS1 + ∫ Dn2 .dS2 + ∫ Dn3 .dS3
Dn1
dS1
On suppose le cas général où la surface de
séparation porte une charge q=ρsS .
dS2
Dn2
dS3
X
Par ailleurs, vu que l’on étudie les conditions limites,
on pose alors L≈0 , soit donc S3 ≈0 .
Figure 5
Z
D’où :
∫ D.dS =∫ Dn1.dS1 +∫ Dn2.dS2 =−Dn1 S1 + Dn2 S2
Comme S1 = S2 = S :
∫ D.dS =S[Dn2 −Dn1 ]= ρs S
Soit donc Dn2 − Dn1 = ρs
Si ρs =0 qui est le cas le plus fréquent, on aboutit alors à :
Ou bien ε 2 E n 2 = ε 1 E n1 ⇒ E n 2 = E n1
Cours ETL307
Dn2 = Dn1
ε1
ε2
6
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
2. CHAMP MAGNETIQUE
a) Composantes perpendiculaires :
La forme intégrale de l’équation de MΦ est :
∫ B.dS =0
Y
(ε2 , µ2)
(ε1 , µ1)
Considérons comme pour le cas précédent une
surface cylindrique de longueur L.
B2
L
B1
L’application de cette équation à cette surface donne :
∫ B.dS = ∫ B n1 .dS1 + ∫ B n 2 .dS 2 + ∫ B n3 .dS 3 = 0
Bn1
dS2
Bn2
dS1
À la frontière entre les deux milieux (conditions limites)
on doit poser :
L≈0 , soit donc S3 ≈0 .
dS3
X
O
Figure 6
Z
On obtient alors :
∫ B.dS = ∫ B n1 .dS1 + ∫ B n 2 .dS 2 = − Bn1 S1 + Bn 2 S 2 = 0
Comme S1=S2 =S :
S(Bn2 − Bn1 )=0
Soit Bn2 = Bn1
Ou bien : µ 2 H n 2 = µ 1 H n1 ⇒ H n 2 = H n1
µ1
µ2
Conclusion : les composantes perpendiculaires de l’induction B sont égales.
Y
b) Composantes tangentielles
La forme intégrale de l’équation de MA est :
∫ H.dl =∫ J.dS +∫ε ∂∂Et .dS
H2
Hn1
A
Choisissons comme contour fermé un cadre ABCD situé
de part et d’autre de la frontière entre les deux milieux.
Hn2
B
M
H1
Ht2
Ht1
D H
n1
N
Hn2
C
O
X
Figure 7
L’application de l’équation de M.A à ce cadre donne :
Z
∫ H.dl = ∫ H.dl = H
n1
.DN + H n2 .NC + H t2 .CB + H n2 .BM + H n1.MA+ H t1.AD
ABCDA
A la frontière entre les deux milieux (conditions limites), on doit poser :
AM = MB = DN = NC ≈0 .
On obtient alors :
∫ H.dl =H t2 .CB+ H t1.AD
Par ailleurs, vu que :
AD=-CB
On peut écrire:
Cours ETL307
7
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
∫ H.dl =CB.(H
t2
− H t1 ) (1)
D’autre part, comme AB ≈0 ,
⇒ S = ABxBC ≈0 ⇒ ε ∫ ∂E .dS ≈0
∂t
Calculons maintenant ∫ J.dS .
On considérera le cas général où la surface de séparation entre les deux milieux est une nappe de courant,
quoi que ce cas est peu probable en pratique.
Courant volumique: le courant I circule dans un conducteur volumique de section S (figure 8).
La densité de courant dans ce cas est :
Js = I
S
C’est une densité de courant surfacique.
Nappe de courant :
Le courant I circule dans une nappe (plan) de largeur L (figure 9).
La densité de courant dans ce cas est :
Jl = I
L
C’est une densité de courant linéique.
I
Figure 8 : Courant volumique
S
L
I
Figure 9 : Nappe de courant
Par conséquent
I = Jl L
Y
Dans le cas donc où un courant surfacique circule dans la
surface de séparation, le courant qui passe à travers le cadre
ABCD est :
Jn
A
M
J
B
Jn
Jt
I = J n BC
On ne considère que la partie du courant traversant le cadre,
c’est-à-dire la composante perpendiculaire au cadre. Cette
condition est dictée par le théorème d’Ampère lui même.
D
Comme J n = J z et que J z =J.uz , on obtient ce qui suit :
I = (J.uz )BC = J.(ux ∧ u y )BC = u y .(J ∧ ux )BC = (J ∧ ux ). BCu y
soit I = (J ∧ u x ). CB (2).
Jt
N
J = Jn + Jt
C
X
O
Figure 10
Z
En établissant l’égalité des équations (1) et (2), on obtient :
CB. ( H t2 − H t1 ) = CB. (J ∧ ux )
Cours ETL307
8
Dr.Tilmatine Amar
Chapitre 4 –REGIME VARIABLE -Equations de Maxwell-
Soit H t2 − H t1 = J ∧ u x
En posant n12 comme étant le vecteur unitaire dirigé du milieu 1 vers le milieu 2, on arrive à :
H t 2 − H t1 = J ∧ n 12
RESUME :
E t 2 = E t1 ;
ε 2 E n 2 − ε 1 E n1 = ρ s (en général ρs = 0) ;
µ 2 H n 2 = µ1 H n1 ;
H t 2 − H t1 = J ∧ n 12 (en général J = 0).
EXERCICE
Soient deux milieux isolants différents. La surface de séparation entre les deux milieux est située dans le
plan XOY.
On donne B1 = 1,2u x + 0,8u y + 0,4u z .
Déterminer l’induction B2 régnant dans le milieu 2.
X
Solution :
B 1 = 1,2u x + 0,8u y + 0,4u z ⇒
Milieu 1
(ε1=ε0 , µ1=15µ0)
1  1,2
0,8
0,4 
uy +
uz 
 ux +
15
15 
µ1 µ 0  15
1
(0,08u x + 0,05u y + 0,03u z )
soit H 1 =
H1 =
B1
Milieu 2
(ε2=ε0 , µ2=µ0)
=
Bt1
µ0
B1
Bt2
D’autre part, nous avons H t2 − H t1 = J ∧n12
comme J =0 on pose
H t 2 = H t1
B2
Bn2
Bn1
O
Z
Figure 11
Y
Les composantes tangentielles sont : ux et uy .
d’où H = H = 1 (0,08ux +0,05u y )
t2
t1
µ0
et donc Bt2 = µ2 H t2 = µ0 H t2 =0,08ux +0,05u y
La composante normale étant suivant uz , alors :
Bn1=0,4uz
vu que Bn 2 = Bn1 , il vient:
Bn2 =0,4uz
d’où B2 = Bt2 + Bn2 =0,08ux +0,05u y +0,4uz
Cours ETL307
9
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
CHAPITRE V
PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE
ONDES ELECTROMAGNETIQUES
I. DESCRIPTION MATHEMATIQUE DE LA PROPAGATION
Considérons une fonction physique ξ = f(x) représentée graphiquement par la courbe
en trait plein, qui se propage dans le sens des x positifs. A la distance x = x0, nous obtenons la
fonction ξ = f(x-x0), la courbe a été déplacée vers la droite d’une quantité x0.
de même ξ = f(x+ x0) correspond à un déplacement vers la gauche.
De toute évidence, la forme de la courbe n’a pas été modifiée ; les mêmes valeurs de ξ se
retrouvent.
Si on pose x = v t, où v représente la vitesse de propagation de la courbe, on obtient
une courbe « voyageuse » ; c’est à dire que ξ = f(x-vt) représente une courbe se déplaçant vers
la droite et ξ = f(x+ vt) représente une courbe se déplaçant vers la gauche.
Nous concluons qu’une expression mathématique de la forme ξ = f(x ± vt) est
suffisante pour décrire un phénomène physique qui se propage sans déformation, suivant le
sens positif ou négatif de l’axe des x.
ξ = f(x+ vt)
ξ = f(x)
x0
ξ = f(x- vt)
x0
O
x
x0
x0
Figure 1 : Translation sans déformation de la fonction ξ = f(x ± vt)
Fonction sinusoïdale :
Un cas spécialement intéressant est dans lequel ξ = f(x,t) est une fonction sinusoïdale :
ξ = f(x,t)= ξ0 sin β(x – vt).
En remplaçant x par (x + 2π / β), on obtient la même valeur, soit :
ξ  x+ 2π −vt =ξ0 sin β  x+ 2π −vt =ξ0 sin[β (x−vt )+ 2π ]=ξ (x−vt )
β
β




donc
λ = 2π
β
Cours ETL307
1
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
représente la « période dans l’espace », c’est à dire que la courbe se reproduit égale à elle
même tous les λ, qui est appelée longueur d’onde. La quantité λ = 2π représente alors le
β
nombre de longueurs d’onde dans la distance 2π et est appelé nombre d’onde.
Par conséquent, on peut écrire :
ξ(x,t)=ξ0 sin(βx−ω t )
où
ω =βv= 2πv
λ
est la pulsation de l’onde.
Puisque
ω = 2π f
on a la relation importante :
λ f = v.
λ
λ
t = t0
X
t = t0 +T/4
X
t = t0 +T/2
X
t = t0 +3T/4
X
t = t0 +T
X
Figure 2
Cours ETL307
2
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Nous pouvons remarquer que, tandis que la situation physique se propage vers la
droite, elle se reproduit identique à elle même dans l’espace avec une période : la longueur
d’onde λ est la distance que progresse l’onde en une période T.
On adonc deux périodes :
l’une dans le temps T et l’autre dans l’espace λ, liées par la relation
λ = v =vT .
f
EXERCICE
Montrer que l’expression d’une onde progressive ξ = f(x ± vt) peut s’écrire sous une autre
forme ξ = f(t+ x/v).
x±vt = v (x±vt)=v x ±t =v t ± x
v
v
v
x
donc ξ(x±vt) ⇔ξ t ± .
v
Par conséquent, pour l’onde sinusoïdale, on peut écrire :
ξ (x,t )=ξ0 sin β (x±vt )=ξ0 sin βv x ±t
v
comme βv = ω,
ξ0 sin β (x±vt )=ξ0 sinω t ± x =ξ0 sin (ωt ± βx )
v
( )( )
( )
( )
( )
II. EQUATION DE PROPAGATION D’UNE ONDE QUELCONQUE
Exemple : Onde de vibration sur une corde.
Une vibration créée en "m" progresse vers "p"
en gardant la même forme, il s’agit donc d’une
onde progressive.
m
m
Si la propagation se fait vers les x > 0, on pose :
rp(t )=rm(t −τ )
Propagation vers les x<0, on pose :
rp (t )=rm(t +τ )
x
Mur
Sens de propagation
de l’onde
avec
τ = x v : retard ou temps de propagation ;
r
Figure 3
où
v : vitesse de propagation de l’onde.
1. Equation de propagation
On supposera une propagation vers les x > 0, on pose donc :
rp(t )=rm(t −τ )
posons
rp (t )= f (t ) et
( )
rm(t −τ )= f (t −τ )= f t − x = f (u )
v
Cours ETL307
3
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
avec
u =t − x
v
Calculons les dérivées première et seconde de r par rapport au temps t
∂rm(t −τ ) ∂f (u ) ∂f (u ) ∂u
=
=
= f' (u )
∂t
∂t
∂u ∂t
∂ 2rm(t −τ ) ∂ 2 f (u ) ∂  ∂f (u )  ∂
∂f' (u ) ∂u
=
= f' (u )=
=
= f'' (u )
∂t 2 ∂t  ∂t  ∂t
∂t 2
∂u ∂t
soit
∂ 2rm
= f'' (u ) (1)
∂t 2
Calculons les dérivées première et seconde de r par rapport à x
∂rm = ∂rm(t −τ )= ∂f (u )= ∂f (u ) ∂u =− 1 f' (u )
∂x
∂x
∂x
∂u ∂x v
∂ 2rm(t −τ ) ∂  ∂rm(t −τ )  ∂ 1
∂f' (u ) ∂u 1
= 
= − f' (u ) =− 1
= f'' (u )
∂x 2
∂x  ∂x  ∂x v
v ∂u ∂x v 2
∂ 2rm(t −τ ) 1
soit
= f'' (u ) (2)
∂x 2
v2
(
)
En combinant les équations (1) et (2), on obtient :
∂ 2rm 1 ∂ 2rm
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
Cette équation représente l’expression mathématique de l’équation de propagation de la
grandeur rm suivant l’axe des x.
Propagation suivant une direction quelconque
∂ 2rm ∂ 2rm ∂ 2rm 1 ∂ 2rm
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
∂ 2rm
soit ∇2rm = 12 2 (4)
v ∂t
Equation différentielle de la propagation
∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
=
∂x 2 v 2 ∂t 2
est l’équation différentielle de propagation de la grandeur ζ suivant l’axe des x.
La solution de cette équation est de la forme :
ξ (x,t )= f1 (x−vt )+ f1 (x+vt )
Cette solution peut alors s’exprimer comme la superposition de deux ondes se
propageant en sens opposés. Evidemment, pour une onde se propageant dans un seul sens,
seule l’une des deux fonctions de l’équation est nécessaire.
Cours ETL307
4
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Exercice : montrer que l’équation précédente est bien la solution de l’équation de propagation.
ξ (x,t )= f1 (x±vt )= f1 (u)
avec u = x±vt
∂ξ ∂ξ ∂u dξ ∂ξ ∂ξ ∂u
dξ
=
=
;
=
= ±v
∂x du ∂x du ∂t du ∂t
du
Ensuite en calculant les dérivées secondes on obtient :
∂ 2ξ ∂  dξ  ∂ ∂u  dξ  d 2ξ
=
=
=
∂x 2 ∂x  dx  ∂u ∂x  du  du 2
∂ 2ξ ∂  dξ  ∂ ∂u  dξ  ∂
dξ 2 d 2ξ
(
)
v
v
=
=
=
±
(
±
)
=v
du
du 2
∂t 2 ∂t  dt  ∂u ∂t  dt  ∂u
en combinant ces deux équations pour éliminer d2ξ / du2, nous obtenons l’équation de
∂ 2ξ
∂ 2ξ
propagation : 2 = 12 2 .
∂x v ∂t
Exercice : montrer que l’équation sinusoïdale est bien la solution de l’équation de
propagation.
ξ =ξ0 sin(ωt − β x )
∂ 2ξ
∂ξ
=−βξ 0 cos(ωt − βx ) ; 2 =−β 2ξ0 sin(ωt − β x ) (1)
∂x
∂x
∂ 2ξ
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt −β x ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − β x ) (2)
∂t
∂t
par conséquent, en éliminant ξ0 sin(ωt − β x ) entre les équations (1) et (2), on obtient :
2
2
2
2 2
2
1 ∂ ξ = 1 ∂ ξ ⇒ ∂ ξ =β ∂ ξ = 1 ∂ ξ
− β 2 ∂x2 −ω 2 ∂t 2
∂x 2 ω 2 ∂t 2 v2 ∂t 2
III. EQUATION DE PROPAGATION DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE DANS
LE VIDE
1. Equation de propagation de E
Les équations de Maxwell sont :
ρ
divE = ; divB =0 ; rotE =− ∂B ; rotH = J +ε ∂E
ε
∂t
∂t
En posant dans vide que :
• J =0 ; ρ =0 (milieu neutre).
•
ε =ε 0 =8,85.10−12 F/m ; µ =µ0 =4π 10 −7 H/m
on obtient
rotE =− ∂B =−µ0 ∂H ⇒rot (rotE )=rot − µ0 ∂H =−µ0 ∂ (rotH )
∂t
∂t
∂t
∂t
2E
∂
d’où rot(rotE )=−µ0 ∂ ε 0 ∂E =−ε 0 µ0 2 (5)
∂t
∂t
∂t
(
(
Cours ETL307
)
)
5
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
d’autre part, nous avons
rot (rotE )= grad (divE )−∇ 2 E
comme divE =
ρ
=0 , on a :
ε0
rot (rotE )=−∇ 2 E
soit donc, en tenant compte de l’équation (5) :
∂2 E
∇2 E =ε 0 µ0 2 (6) ;
∂t
∂ 2rm
En comparant celle-ci avec l’équation (4), à savoir ∇2rm = 12 2 , on déduit :
v ∂t
1 =ε µ
v2 0 0
soit
v=
1 =
ε 0 µ0
1
≈3.10 8 m / s
8,85.10 −12.4π.10 −7
Conclusion : Le champ électrique E se propage dans le vide avec une vitesse v=3.10 8 m / s .
2. Equation de propagation de H
rotH = J +ε 0 ∂E =ε 0 ∂E
∂t
∂t
rot (rotH )=rot ε 0 ∂E =ε 0 ∂ (rotE )
∂t
∂t
∂2 H
rot (rotE )=ε 0 ∂ − µ0 ∂H =−ε 0 µ0 2 (7)
∂t
∂t
∂t
)
(
(
)
d’autre part
rot(rotH )= grad (divH )−∇2 H
comme divB =0 ,
rot (rotH )=−∇2 H
soit donc, en tenant compte de l’équation (7) :
∂2 H
∇2 H =ε 0 µ0 2 (8) ;
∂t
∂ 2rm
En comparant celle-ci avec l’équation (4), à savoir ∇2rm = 12 2 , on déduit également que :
v ∂t
v=
1 =3.10 8 m / s
ε 0 µ0
Conclusion : Le champ magnétique H se propage également dans le vide avec une vitesse
v=3.10 8 m / s .
Cours ETL307
6
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
IV. VERIFICATION EXPERIMENTALE
Contrairement à la majorité des découvertes scientifiques qui commencent par des
essais expérimentaux avant d’établir des lois théoriques (Loi de Coulomb, loi de Faraday), la
démonstration mathématique (théorique) de la propagation du champ électromagnétique était
réalisée bien avant que l’expérience ne vienne confirmer la théorie de propagation du champ
électromagnétique.
Expérience de Hertz
Vers la fin du dix-neuvième siècle, le physicien allemand Heirich Hertz (1857 – 1894)
a prouvé de manière indiscutable que le champ électromagnétique se propage bien dans le
vide. L’accumulation d’informations des ondes électromagnétiques concernant leur
production, leur propagation et leur absorption a ouvert la porte au monde merveilleux des
communications tel que nous le connaissons aujourd’hui. Avant que Hertz n’ait effectué ses
expériences, l’existence des ondes électromagnétiques avait été prédite par Maxwell à la suite
d’une analyse détaillée des équations du champ électromagnétique.
Y
E
P1
i
P2
X
O
H
S1
S2
Figure 4
Z
Le système formé par les deux boules sphériques P1 et P2 alimenté par une tension est
un oscillateur, à chaque étincelle (arc) qui apparaît entre les deux sphères circule un courant i
brusque et donc variable. Ce courant génère un champ électrique et un champ magnétique.
Résultat de l’expérience :
Il apparaît une étincelle aux bornes de la spire S1
Interprétation :
L’apparition de l’étincelle montre qu’il existe une tension aux bornes de la spire S1 ,
en fait c’est une f.e.m induite par le champ magnétique H crée par l’oscillateur, et qui s’est
propagé jusqu’à S1. La spire S2 étant parallèle au champ H, le flux magnétique est nul et ne
peut pas induire une f.e.m.
Conclusion :
Quand le champ électromagnétique est variable, il devient une onde qui se propage dans
l’air.
Cours ETL307
7
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
V. ONDE PLANE
L’expression ξ = f (ωt – βx) signifie qu’à un instant donné t, la fonction prend la
même valeur en tout point ayant une même coordonnée x. Mais x = const représente un plan
perpendiculaire à l’axe des x (Figure). Par conséquent, ξ = f (ωt – βx) décrit dans l’espace une
onde plane se propageant parallèlement à l’axe des x.
Y
E
Y
t=t1, x=x1
t2, x2
t3, x3
H
x
O
P
Z
ux
Vecteur de propagation
n
r
X
Figure 6
Figure 5
Z
n est un vecteur unitaire dirigé suivant l’axe de propagation, appelé vecteur de propagation.
L’onde électromagnétique est plane lorsque E et H forment un plan qui se propage dans une
seule direction.
Remarque :
Les ondes électromagnétiques sont soit des ondes planes soit une combinaison d’ondes planes.
Si r est le vecteur position d’un point quelconque P du front d’onde, on a x = n . r et l’on peut
donc écrire :
ξ = f (ω t −β n.r ) .
Cette forme reste valable quelque soit la direction de n :
n = nx ux + ny uy + nz uz.
Dans le cas d’une onde sinusoïdale se propageant dans une direction n quelconque, on écrit :
.
ξ =ξ0 sin(ω t −β n.r )
Il est commode de définir un vecteur β = β n. il est habituellement nommé vecteur d’onde.
Remarque : si la propagation a lieu dans l’espace à trois dimensions l’équation d’onde doit
être modifiée en conséquence. Elle devient alors
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
(1)
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
Dans ce cas, on pose également :
β = βx ux + βy uy + βz uz.
Pour une onde sinusoïdale, on obtient :
ξ =ξ0 sin(ωt − βnx x− β ny y − β nz z ) (2)
et,
Cours ETL307
8
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
β 2 =β x2 + β y2 + β z2 =
ω2
.
v2
Remarque : en plus des ondes planes, il existe des ondes cylindriques, sphériques…
• Les ondes planes se propagent dans une seule direction (Figure 7).
• Les ondes cylindriques se propagent perpendiculairement à l’axe d’un cylindre (Figure
8).
• Les ondes circulaires qui se propagent dans toutes les directions suivant un plan
(Figure 9).
• Les ondes sphériques se propagent dans toutes les directions (Figure 9).
Y
n
O
Z
Figure 7
X
Figure 8
Figure 9
Remarque : l’onde circulaire qui se propage sur un plan est bi-dimensionnelle qui demande
seulement deux coordonnées d’espace. L’équation pour cette onde est donc :
∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
.
+
=
∂x 2 ∂y 2 v2 ∂t 2
EXERCICE
Montrer que l’équation (2) vérifie l’équation différentielle de propagation (1).
Solution :
ξ =ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )
∂ 2ξ
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt −β x ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − β x ) (3)
∂t
Cours ETL307
∂t
9
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
∂ 2ξ
∂ξ
=−β nxξ0 cos(ωt − β nx x− β ny y − βnz z ) ; 2 =−β 2(nx2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (3)
∂x
∂x
par analogie avec l’équation (3), on obtient :
∂ 2ξ
=−β 2(ny2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (4)
∂y 2
∂ 2ξ
=−β 2(nz2 )ξ0 sin(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) (5)
∂z 2
En remplaçant les expressions (3), (4) et (5) dans l’équation différentielle de propagation, on
obtient :
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
+
+
=−β 2ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )[(nx2 + ny2 + nz2 )]
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
comme (nx2 +ny2 + nz2 )=1 ,
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ
+
+
=−β 2ξ0 sin(ωt − β nx x− β ny y −β nz z )
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
comme par ailleurs,
∂ξ 2
∂ξ
=ωξ0 cos(ωt − β nx x−β ny y − β nz z ) ; 2 =−ω 2ξ0 sin(ωt − βnx x− βny y − β nz z )
∂t
∂t
on aboutit à :
∂ 2ξ ∂ 2ξ ∂ 2ξ 1 ∂ 2ξ
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v2 ∂t 2
EXERCICE
Soit un champ sinusoïdal E = E0 ucos(ωt ) qui se propage suivant l’axe des x. Réécrire les
équations de Maxwell et l’équation de propagation en utilisant la forme exponentielle.
Solution :
Considérons le champ E = E0 ucos(ωt ) ,
Ecrit sous forme exponentielle, il devient :
E = E0 u exp jωt
Calculons les dérivées première et seconde par rapport au temps
∂E = jωE uexp jωt = jωE ;
0
∂t
et
∂2 E
2
=( jω ) E =−ω 2 E
∂t 2
donc on peut remplacer ∂ par jω
∂t
et
∂2
par −ω 2 .
∂t 2
Cours ETL307
10
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
En tenant compte de ces remplacements, les équations de Maxwell deviennent :
rotH = J +ε 0 ∂E =σE + jε 0ωE ; rotE =−µ0 ∂H =−jµ0ωH
∂t
∂t
divB =0 ; divE =
ρ
ε0
et l’équation de propagation devient :
∂2 E
∂2 E
∇2 E − 12 2 =0⇒∇ 2 E −ε 0 µ0 2 =0⇒∇2 E −ε 0 µ0 (−ω 2 )=0
v ∂t
∂t
soit ∇2 E +ε 0 µ0ω 2 E =0
En posant β 2 =ε 0 µ0ω 2 , on obtient :
∇2 E + β 2 E =0 .
Remarque
Si l’on considère une propagation suivant l’axe des x, l’équation précédente devient :
∂2 E ∂2 E
∇2 E = 2 ⇒ 2 + β 2 E =0
∂x
∂x
C’est une équation différentielle dont la solution est de la forme suivante :
E = E0 u1 exp j(ωt − βx )+ E0 u2 exp j(ωt + βϕ )
Où E0 u1 exp j(ωt − β x ) est une onde se déplaçant vers les x > 0 ;
Et E0 u2 exp j(ωt + βϕ ) est une onde progressive vers les x < 0.
VI. CARACTERISTIQUES DES ONDES PLANES
Dans tout ce paragraphe on supposera une propagation des ondes suivant la direction des x
positifs.
1. Onde transverse
l’équation de MG est : divE =
ρ
ε
En général les milieux où se propagent les ondes sont électriquement neutres, on pose ρ =0 :
Alors,
divE = ∂Ex + ∂E y + ∂Ez =0 (1)
∂x ∂y ∂z
pour simplifier, considérons une propagation suivant un seul axe, celui des x.
par conséquent nous avons
∂ = ∂ =0
∂y ∂z
l’équation (1) devient
∂Ex =0
∂x
on obtient par la suite que
Ex =Cte
donc Ex(x )=Cte
Cours ETL307
11
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
D’autre part,
l’équation de propagation de E suivant x s’écrit
∂2 E
∂2 E
=
ε
µ
∂x 2 0 0 ∂t 2
posons E = Ex ux + E y u y + Ez uz
∂2 E ∂2
∂2
(Ex ux + Ey uy + Ez uz )
=
(
E
u
+
E
u
+
E
u
)
=
ε
0 µ0
z
z
x
y
x
y
∂x 2 ∂x 2
∂t 2
Suivant ux, on obtient :
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
(1)
0 µ0
=
ε
∂x 2
∂t 2
Suivant uy, on obtient :
∂2 Ey
∂2 Ey
=
ε
0 µ0
∂y 2
∂t 2
Suivant uz, on obtient :
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
0 µ0
=
ε
∂z 2
∂t 2
on peut écrire
Vu que Ex(x )=Cte , l’équation (1) devient :
∂ 2 Ex
∂ 2 Ex
=
ε
=0
0 µ0
∂x 2
∂t 2
soit
∂ 2 Ex
=0
∂t 2
La solution de cette équation est
Ex(t )= At + B
ou bien Ex(t )=Cte
La première est une solution mathématiquement juste, mais physiquement impossible, car un
champ qui croîtrait de lui même indéfiniment avec le temps sans raison n’existe pas.
Par conséquent, vu que Ex(x) = Cte et Ex(t) = Cte, on peut établir que :
Ex(x,t) = Cte
Ou bien Ex(x,t) =0.
Vu que dans la propagation des ondes les grandeurs constantes,
donc statiques, sont négligées et posées égales à zéro.
Remarque :
on peut également démontrer que H x(x,t )=0
Conclusion :
La composante du champ électromagnétique suivant
la direction de propagation (Ex, Hx) étant nulle, l’onde
plane est située dans le plan YOZ et donc
perpendiculaire à la direction de propagation OX :
l’onde plane est transverse.
Cours ETL307
12
Y
Onde
plane
n = ux
X
E = E y u y + Ez uz
H = H y u y + H z uz
Z
Figure 10
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
2. Impédance caractéristique
Pour simplifier, supposons toujours une propagation suivant l’axe des x > 0, on peut alors
poser
E = f t− x , H =g t− x
v
v
∂ = ∂ =0 et
∂y ∂z
Ex = 0
( )
( )
l’équation de MF est :
rotE =−µ0 ∂H
∂t
ux u y uz
rotE =∂ ∂x 0 0 =−u y ∂Ez + uz ∂E y 
∂x
 ∂x 
0 E y Ez
( )
d’autre part
− µ0 ∂H =−µ0 ∂H y u y −µ0 ∂H z uz
∂t
∂t
∂t
on obtient alors
∂Ez =µ0 ∂H y (a)
∂t
∂x
et
∂Ey =−µ0 ∂H z (b)
∂x
∂t
Par ailleurs
A partir de l’équation de MA rotH =ε 0 ∂E nous obtenons ce qui suit :
∂t
ux uy uz
rotH =∂ ∂x 0 0 =−u y ∂H z + uz ∂H y 
∂x
 ∂x 
0 H yHz
( )
ε 0 ∂E =ε 0 ∂E y uy +ε 0 ∂Ez uz
∂t
∂t
∂t
on a alors
∂H z =−ε ∂E y (c)
0
∂x
∂t
et
∂H y =ε ∂Ez (d)
∂x 0 ∂t
( )
Si on pose Ey = f1 t − x , l’équation (c) donne :
v
∂E y = ∂f1(u )= ∂f1(u ) ∂u = f ' (u )=− 1 ∂H z
∂t
∂t
∂u ∂t 1
ε 0 ∂x
donc
Cours ETL307
13
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
H z =∫ −ε 0 f1 ' (u )dx
du =− 1⇒dx=−vdu
dx v
on arrive alors à
H z =−ε 0(−v )∫ f1 ' (u )du =ε 0 v f1(u )+Cte=ε 0v f1(u )
soit donc
H z =ε 0 vEy
et
E y = E y = 1 = ε 0 µ0 = µ0 =Z
ε0 0
H z ε 0 vE y ε 0 v
ε0
d’où
Ey =Z
Hz 0
( )
Si on pose Ez = f2 t − x , l’équation (d) donne :
v
(
)
(
)
∂Ez = ∂f 2 u = ∂f 2 u ∂u = f ' (u )= 1 ∂Hy
∂t
∂t
∂u ∂t 2
ε 0 ∂x
H y = ∫ε 0 f 2 ' (u )dx
comme dx = −vdu
il vient
H y =−ε 0 v∫ f 2 ' (u )du =−ε 0v f 2(u )+Cte=−ε 0vf1(u )
soit H y =−ε 0 vEz
et
Ez = Ez =− 1 =− ε 0 µ0 =− µ0 =−Z0
ε0
H y −ε 0 vEz ε 0v
ε0
E z = −Z 0
Hy
Le rapport entre les modules de E et H vaut alors :
2
2
E y2 + Ez2
E = E y + Ez =
2
H
2
H y2 + H z2
− Ez
+ Ey
Z0
Z0
(
E=
H
) ( )
E y2 + Ez2
= 1 = Z0
1 (E y2 + Ez2 ) 1
Z0
Z2
0
Soit E = Z0 = µ0 ε 0
H
Unité de Z0
[Z 0 ] = [E ] = V / m = V = Ω
[H ] A / m A
Cours ETL307
14
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Z0 est appelée "Impédance caractéristique" du milieu dans lequel se déroule la propagation
des ondes.
Pour le vide, air : Z 0 = 120π
3. E ⊥ H
Considérons toujours une propagation suivant l’axe des x positifs, donc on a :
- vecteur de propagation n=ux
- Ex =0
- E = E y u y + Ez uz
( )
E 
E.H = E y H y + Ez H z = E y Ez + Ez y =0
− Z0
 Z0 
Conclusion: les champs électrique E et magnétique H sont perpendiculaires entre eux.
4. Direction de propagation
Calculons E ^ H
ux u y uz ux u y
uz
E ∧ H = 0 E y E z = 0 Z 0 H z − Z0 H y
0 H yHz 0 H y Hz
soit
E ∧ H =ux (Z0 H z2 + Z0 H y2 )=Z0 H 2ux
comme ux =n , on peut écrire :
E ∧ H = Z0 H 2 n
Conclusion : le produit vectoriel de E par H donne la direction de propagation.
VII. PROPAGATION DANS UNE DIRECTION QUELCONQUE
Quand la propagation se fait suivant l’axe
des x, le champ E de l’onde s’exprime par :
E = E0 u exp j(ωt − β x )
Suivant OM, le champ E s’écrit :
E(M )= E0 u exp j(ωt − β OM ) ;
comme il s’agit d’un même plan d’onde,
le champ est le même sur tout le plan :
E(M )= E(P )
Vu que
OM =n.OP =n.r
soit donc
E(P )= E0 u exp j(ωt −β n.r )
y
Sens de propagation
P
M
r
Onde
plane
n
x
O
z
Figure 11
On déduit que l’expression du champ se propageant suivant une direction quelconque n est :
E(P )= E0 u exp j(ωt −β n.r )
Cours ETL307
15
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
VIII. VITESSE ET LONGUEUR D’ONDE
1. Vitesse de phase
Dans une onde plane considérée à un instant t, les modules de E et H ainsi que la phase ϕ sont
constants ;
On peut donc poser que la phase ϕ est constante :
ϕ =ωt − β x=Cte
soit
d(ωt −β x )=0⇒ωdt − β dx=0
d’où
dx =v= ω
β
dt
Vitesse de groupe
La vitesse définie auparavant v = ω / β est appelée vitesse de phase. En réalité, l’onde qui
possède une longueur d’onde et une fréquence unique n’est pas capable de transmettre un
signal, car un signale implique quelque chose qui commence à un instant et qui se termine à
un instant ultérieur, qu’on appelle Pulse (Figure).
La vitesse à laquelle le signal est transmis est la vitesse avec laquelle se propage la Pulse.
vg
X
Figure 12
Le pulse n’est pas sinusoïdal puisque son amplitude n’est pas constante le long de l’axe des X.
nous devons donc faire une analyse de Fourrier et nous devons donc examiner la situation
plus soigneusement.
2. Fréquence d’onde
ϕ =ωt −β x
Phase dans le temps : ϕ(t )=ωt
Pour t = T,
avec T période dans le temps
on écrit :
ω T = 2π
soit
T = 2π (1)
ω
3. Longueur d’onde
Phase dans l’espace : ϕ(x )=β x
Pour x = λ
Avec λ période dans l’espace ou longueur d’onde
on écrit :
Cours ETL307
16
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
βλ =2π
soit
λ = 2π (2)
β
En combinant les équations (1) et (2), on obtient :
ωT =βλ
d’où
ω =λ
β T
comme ω =v et 1 = f , on déduit la relation suivante :
β
T
v=λf
EXERCICE
On considère dans le vide une onde plane, dont le champ électromagnétique est exprimé par :
E = E0 u y cos(ωt −β x) et H = H0 uz cos(ωt − β x)
Tracer l’onde aux instants ωt=0 et ωt=π/2.
Solution
y
λ
λ
E1
E2
E3
x
H3
H2
H1
y
z
λ
λ
E1
E2
E3
x
Cours ETL307
17
H3
H2
H1
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Y
Sens de propagation
E
X
Z
H
Figure 14
Le champ électrique oscille dans le plan XY et le champ magnétique dans le plan XZ. Ceci
correspond à une onde polarisée linéairement, c’est à dire dans un plan. Le plan de
polarisation est défini comme le plan dans lequel oscille le champ électrique, en ce cas le plan
XY.
Remarque : il existe un autre type de polarisation : la polarisation circulaire.
Remarque : à côté des ondes planes, les équations de Maxwell admettent également pour
solution des ondes électromagnétiques cylindriques ou sphériques. A grande distance de la
source, une portion limitée de l’onde cylindrique ou sphérique peut pratiquement être
considérée comme plane.
IX. PROPAGATION DE L’ENERGIE ELECTROMAGNETIQUE
Une onde électromagnétique transporte de l’énergie.
Surface d’onde
E
E
H
Direction de
propagation
H
X
Définition de la direction d’écoulement de l’énergie
dans une onde électromagnétique
Figure 15
Rappel
Tout champ électrique E possède une énergie de densité we = 1 ε 0 E 2 ;
2
et tout champ magnétique H possède une énergie de densité wm = 1 µ0 H 2 .
2
Energie transportée par l’onde
Cours ETL307
18
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
E
n
Volume V
H
Figure 16
Considérons l’équation de M.A :
rotH = J +ε 0 ∂E ;
∂t
dans le vide , on pose J =0 :
rotH =ε 0 ∂E ⇒
∂t
E rotH =ε 0 E ∂E
∂t
comme div(E ∧ H )= H rotE − E rotH
vient E rotH = H rotE −div(E ∧ H )
soit E ε 0 ∂E = H −µ0 ∂H −div(E ∧ H )
∂t
∂t
d’où
∂E 2 1 ∂H 2
−div(E ∧ H )= 1 ε 0
+ µ
2 ∂t 2 0 ∂t
−div(E ∧ H )=ε 0 E ∂E + µ0 H ∂H
∂t
∂t
2
 1 ∂E 1 ∂H 2 
div
dv
−
∧
=
(
E
H
)
∫
∫ 2 ε0 ∂t + 2 µ0 ∂t dv
(
) (
)
( )
( )
on obtient ensuite
∫−(E ∧ H ).ds= ∂∂t ∫ 21ε0 E 2 + 21 µ0 H 2 dv
∫−(E ∧ H ).ds= ∂∂t (We +Wm )
(
)
Comme le terme ∂ (We +Wm ) représente l’augmentation de l’énergie électromagnétique dans le
∂t
volume V.
∫−(E ∧ H ).ds représente donc l’énergie électromagnétique transportée par l’onde entrant dans
le volume V
Remarques
• E ∧ H est appelé vecteur de Poynting (Flux d’énergie par unité de surface).
• ∫(E ∧ H ).ds représente l’énergie sortant de V.
Cours ETL307
19
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Rayonnement d’un dipôle électrique oscillant :
La source des ondes sonores est un certain corps vibrant tel que la membrane d’un tambour ou
la corde d’un violon. Dans le cas des ondes électromagnétiques, les sources des ondes sont de
toute évidence les mêmes que les sources du champ électromagnétique ; c’est-à-dire, les
charges en mouvement.
La diffusion contribue à réduire l’intensité de l’onde incidente parce que l’énergie absorbée
dans l’onde est réemise dans toutes les directions, ce qui produit une diminution effective de
l’énergie du rayonnement.
EXERCICE
Un conducteur cylindrique de résistivité ρ, de diamètre 2R est parcouru par un courant I
réparti uniformément dans la section. Comparer les pertes Joule et le flux du vecteur de
Poynting à travers la surface latérale.
Solution
La puissance dissipée dans le conducteur (Pertes Joule) est
P= RI 2
i
R
avec
R= ρ L et
S
I =∫ J dS = J S = J π R 2
j
L
2
soit P = ρ L (I ) = ρ L 2 I 2
πR
S
Le champ électrique dans le conducteur est celui de la loi
locale d’Ohm qui assure le mouvement des électrons :
E = J =ρ J
M
k
(S)
σ
où
σ=1
ρ
est la conductivité du conducteur
donc, le champ est uniforme, et vaut en tout point M de la surface latérale (S) du cylindre
E=
ρI
i
π R2
le champ magnétique est calculé par le théorème d’Ampère, en un point de (S) il vaut :
B=
µ0 I
j
2π R
le vecteur de Poynting sur la surface est
P=E ∧H =E ∧ B
µ0
soit
P=
2
ρI
I j =- ρ I k
i
∧
π R 2 2π R 2π 2 R 3
le flux de P entrant dans le cylindre par la paroi latérale est
φ = P.(−k)2πRL
soit
φ =ρ L 2 I 2
πR
Ce flux n’est autre que la puissance dissipée par effet Joule dans le volume du cylindre.
Cours ETL307
20
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
X. REFLEXION ET TRANSMISSION DES ONDES
1. Réflexion par un conducteur parfait
L’onde incidente est totalement réfléchie, il n’y a pas d’onde transmise à travers le
conducteur, car le champ électrique dans le conducteur est nul.
2. Réflexion par un diélectrique
Vu que le champ électrique pénètre à l’intérieur d’un diélectrique, contrairement à un
matériau conducteur, l’onde incidente donne naissance en plus de l’onde réfléchie à une onde
transmise.
y
y
Onde
incidente
Onde
incidente
Onde
réfléchie
Onde
transmise
Onde
réfléchie
x
Réflexion par un plan
conducteur parfait
x
z
Réflexion par un
diélectrique parfait
z
Figure 17
XI. ONDES GUIDEES
Soient P1 et P2 deux plans métalliques parallèles
L’onde qui entre à l’intérieur subit une succession de réflexions multiples puis sort de l’autre
côté : on dit que l’onde est guidée.
Sortie de l’onde
Entrée de l’onde
P1
n1 n2
Figure 18
Exemples de guide d’onde
• fibre optique :
c’est un tube métallique cylindrique
P2
Guide cylindrique
Figure 19
Cours ETL307
21
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
Ionosphère
• Guide d’ondes radio :
Les ondes émises par la station radio sont réfléchies
d’une part par la surface de la terre et d’autre part par la
couche atmosphérique de l’ionosphère.
Emetteur
Globe
Terrestre
80 km
• Guide d’ondes TV par satellite :
Le satellite réfléchit vers la terre les ondes émises par
la station TV.
Figure 20
Réflexion et transmission :
Les directions des trois vecteurs ui, ur et ut sont liées entre elles par les lois suivantes,
vérifiées expérimentalement :
1) les directions d’incidence, de réflexion et de transmission sont contenues dans un
même plan normal à la surface de séparation.
2) L’angle d’incidence est égal à l’angle de réflexion, c’est-à-dire :
θi = θr
3)
sinθi vi
=
sinθ r vr
Supposons qu’une onde incidente soit écrite comme suit :
Ei = E0i sin(ω t − β ni .r ) ,
les ondes réfléchies et transmises sont :
Er = E0r sin(ω t − β nr .r )
et
Et = E0t sin(ω t − β nt .r )
dans le milieu (1) on trouve les ondes incidente et réfléchie, tandis que dans le milieu (2)
n’existe que l’onde transmise. On a alors à la surface de séparation
Ei + Er = Et (*)
Pour que cette relation soit satisfaite à chaque instant en tout point de la surface de séparation,
il faut que les phases soient identiques dans les équations (1), (2) et (3):
ωt – βi ni.r = ωt – βr nr.r = ωt – βt nt.r (**)
soit,
βi ni.r = βr nr.r = βt nt.r (4)
Comme l’indique la figure, la surface de séparation coïncide avec le plan XZ. L’égalité (4) ne
sera donc vérifiée qu’en posant y = 0. Par conséquent
r = x ux + z uz .
D’autre part, la direction d’incidence est contenue dans le plan XY, donc :
Cours ETL307
22
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
ni = nix ux + niy uy.
β1 ni .r = β1 xnix (5)
Comme nr = nrx ux + nry uy + nrz uz
et
nt = ntx ux + nty uy + ntz uz
nous obtenons également
β1 nr .r = β1 xnrx + β1 z nrz (6)
et
β 2 nt .r = β 2 xntx + β 2 z ntz (7)
en remplaçant les équations 5, 6 et 7 dans l’équation 4, on obtient :
β1 nix = β1 nrx = β 2 ntx et β1 nrz =β 2 ntz =0
le second groupe d’équations indique que les vecteurs nr et nt n’ont pas de composante
suivant l’axe des Z. les rayons incident, réfléchi et transmis sont donc dans un même plan.
C’est la loi (1) énoncée précédemment.
Nous voyons ensuite sur la figure que :
ni = ux sinθi +
; nr = ux sinθr +
; nt = ux sinθt +
le premier groupe d’équations devient alors :
β1 sinθi =β1 sinθr = β 2 sinθt
et comme par ailleurs :
β1 = ω et β2 = ω
v1
v2
on obtient après simplification par ω
1 sinθi = 1 sinθr = 1 sinθt
v1
v1
v2
on déduit alors :
sinθi =sinθr , c’est-à-dire θi =θr
et
sinθi v1
=
sinθt v2
nous retrouvons donc, sous une forme plus analytique, les lois (2) et (3) de la réflexion et la
transmission.
Si l’équation (**) est satisfaite, l’équation (*) devient :
E0i + E0r = E0t
Qui est une relation entre les amplitudes des trois ondes.
Cours ETL307
23
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
XII. SPECTRE DU RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE
Spectre du rayonnement électromagnétique
La classification usuelle du spectre électromagnétique est la suivante :
1) Ondes radio et TV
la fréquence f s’étend de quelques kHz à 109 Hz ;
la longueur d’onde λ s’étend de quelques km à 0,3m.
Energie des photons est comprise entre 0 et 10-5 eV.
Les ondes qui sont utilisées pour les transmissions radio et la télévision sont produites par des
dispositifs électroniques, essentiellement des circuits oscillants.
2) Micro-ondes
f : de 109 à 3.1011 Hz ;
λ : de 0,3 à 10-3 m;
-5
-3
W : de 10 à 10 eV.
Ces ondes sont utilisées dans les radars et d’autres systèmes de communication, mais aussi
dans l’analyse de détails très fins des structures atomiques et moléculaires.
Cette région des micro-ondes est également désignée par le sigle UHF (Ultra - HauteFréquence par rapport aux fréquences Radio).
3) Le spectre infrarouge
λ : de 10-3 à 7,8.10-7 m ;
f : de 3.1011 à 4.1014 Hz ;
W : de 10-3 à 1,6 eV.
Ces ondes sont produites par les molécules et les corps chauds. Elles ont de nombreuses
applications dans l’industrie, la médecine, l’astronomie.
4) Spectre visible (lumière)
λ : de 7,8.10-7 à 3,8.10-7 m;
f : de 4.1014 à 8.1014 Hz ;
W : de 1,6 à 3,2 eV.
C’est une bande étroite formée par les longueurs d’onde auxquelles notre rétine est sensible.
La lumière est produite par le mouvement des atomes et des molécules par suite des
réajustements internes du mouvement des composants, principalement des électrons.
En raison des similitudes dans le comportement des régions infrarouge et ultra-violette du
spectre, le domaine de l’optique les inclut également en plus du spectre visible.
Les différentes couleurs que la lumière produit sur l’œil, dépendent de la fréquence ou de la
longueur d’onde du rayonnement :
Couleur
Violet
Bleu
Vert
Jaune
Orange
Rouge
Cours ETL307
Longueur d’onde
λ (m)
3,90 à 4,55. 10-7
4,55 à 4,92. 10-7
4,92 à 5,77. 10-7
5,77 à 5,97. 10-7
5,97 à 6,22. 10-7
6,22 à 7,80. 10-7
24
Fréquence
f (Hz)
7,69 à 6,59. 1014
6,59 à 6,10. 1014
6,10 à 5,20. 1014
5,20 à 5,03. 1014
5,03 à 4,82. 1014
4,82 à 3,84. 1014
Dr.Tilmatine Amar
Propagation du champ électromagnétique
5) Rayons Ultra-violets
λ de 3,8.10-7 à 6.10-10 m ;
f : de 8.1014 à 3.1017 Hz ;
W : de 3 à 2.103 eV.
Ces ondes sont générées par des sources chaudes, mettant en jeu des énergies élevées, telles
que le soleil ou les décharges électriques. Vu que certains micro-organismes qui absorbent le
rayonnement UV sont détruits, ces ondes sont utilisées dans certaines applications médicales
et certains procédés de stérilisation.
Le rayonnement ultra-violet du soleil interagit également avec les atomes de la haute
atmosphère, produisant ainsi de nombreux ions. Ceci explique pourquoi la haute atmosphère à
des altitudes supérieures à 80 km est fortement ionisée, on l’appelle pour cette raison
l’ionosphère.
6) Rayons X
f : de 3.1017 à 5.1019 Hz ;
W : de 1,2.103 à 2,4.105 eV..
λ : de 10-9 à 6 10--12 m ;
La méthode la plus commune de production des rayons X consiste à accélérer un faisceau
d’électrons par un potentiel de plusieurs kV et qui tombe sur une plaque métallique.
Sont dangereux, sont utilisées par exemple en radioscopie, mais pendant une durée très brève.
L’absorption relativement plus grande des os par rapport au tissu permet une « photographie »
précise. Les rayons X sont utilisés dans le traitement du cancer, dans la mesure où ils
semblent avoir tendance à détruire les tissus malades plus rapidement que les tissus sains.
7) Rayons γ
f : de 3.1018 à 5.1022 Hz ;
λ : de 10-10 à 6 10--14 m ;
4
7
W : de 10 à 10 eV.
D’origine nucléaire, produits par les corps radio-actifs et sont présents dans les réacteurs
nucléaires ; l’absorption des rayons γ peut donc produire des modifications à l’intérieur du
noyau.
Cours ETL307
25
Dr.Tilmatine Amar