Sujets de TD 2015-2016 - Institut d`Optique Graduate School

Mécanique Quantique
Sujets de TD
TD 1 : Evolution d’un paquet d’onde libre 18 novembre
TD 2 : Effet tunnel 20 novembre
TD 3 : Interaction proton-neutron 25 / 26 novembre
TD 4 : Opérateurs et commutateurs 27 novembre
TD 5 : Ordre des mesures – Mesure d’énergie 9 / 10 décembre
TD 6 : Oscillation de Rabi 17 / 18 décembre
TD 7 : Etats quasi-classiques 4 / 5 / 6 janvier
TD 8 : Oscillation de Rabi du vide 7 janvier
Cursus/option : 1ème année
Date de mise à jour : 17 novemre 2015
Année scolaire : 2015/2016 Auteur : Gaétan Messin

Institut d’Optique Graduate School
M´ecanique Quantique 1A
Mercredi 18 novembre 2015
TD de M´ecanique Quantique n˚1
Evolution d’un paquet d’ondes libre
(Examen 2011)
On consid`ere le mouvement `a une dimension suivant un axe (Ox) d’une particule
libre de masse m. On notera ψ(x, t) la fonction d’onde associ´ee `a l’´etat de cette
particule `a l’instant tet ϕ(p, t) sa transform´ee de Fourier d´efinie par :
ϕ(p, t) = 1
√2π¯hZ+∞
−∞
ψ(x, t)e−ipx/¯hdx .
On notera hxi,hpi, (∆x)2, (∆p)2les moyennes et variances respectives de la position
et de l’impulsion de la particule `a l’instant t.
On notera x0,p0, (∆x0)2, et (∆p0)2ces quantit´es prises pour t= 0.
De mˆeme, on notera simplement ψo(x) et ϕo(p) les fonctions ψ(x, t) et ϕ(p, t) prises
pour t= 0.
1. Rappeler l’´equation diff´erentielle `a laquelle ob´eit la fonction d’onde ψ(x, t).
2. En d´eduire l’´equation correspondante portant sur sa transform´ee de Fourier
ϕ(p, t).
3. Etablir l’expression de ϕ(p, t) en fonction de ϕo(p) en r´esolvant l’´equation
pr´ec´edente.
4. Exprimer hpiet (∆p)2en fonction de leur valeur p0et (∆p0)2`a l’instant t= 0.
5. Exprimer la transform´ee de Fourier de xψ(x, t) en fonction de ϕo(p).
6. Utiliser le th´eor`eme de Parseval-Plancherel1pour exprimer hxi`a l’aide de la
fonction ϕo(p).
1Etant donn´ees deux fonctions ψ1(x) et ψ2(x) et leurs transform´ees de Fourier ϕ1(p) et ϕ2(p),
le th´eor`eme de Parseval-Plancherel ´etablit l’´egalit´e :
Z+∞
−∞
ψ1
∗(x)ψ2(x)dx =Z+∞
−∞
ϕ1
∗(p)ϕ2(p)dp
1

7. En d´eduire une expression de hxien fonction de x0et p0. Interpr´eter.
8. Ecrire l’expression de hx2iet montrer que (∆x)2est un polynˆome du second
degr´e en t.
9. Si l’on choisit l’origine des temps de sorte que ce polynˆome atteigne son ex-
tremum `a l’instant t= 0, que devient l’expression de (∆x)2? Interpr´eter.
10. Calculer le temps d’´etalement du paquet d’onde correspondant `a un double-
ment de taille pour un ´electron, localis´e sur ∆x0= 10−10 m, et pour une goutte
d’eau de 10−3g, localis´ee sur ∆x0= 1 mm. On supposera ∆p0.∆x0= ¯h/2. On
rappelle la masse de l’´electron me= 9,1.10−31 kg et la valeur de la constante
de Planck h= 6,62.10−34 J.s.
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Institut d’Optique Graduate School
M´ecanique Quantique 1A
Vendredi 20 novembre 2015
TD de M´ecanique Quantique n˚2
Effet tunnel
1. ´ Ecrire l’´equation de Schr¨odinger du mouvement `a une dimension d’une par-
ticule de masse msoumise `a un potentiel V(x), on notera ψ(x, t) la fonc-
tion d’onde. Que peut-on en d´eduire sur la classe de continuit´e de la fonction
d’onde ?
2. On cherche des solutions o`u la fonction d’onde est factoris´ee :
ψ(x, t) = φ(x)ξ(t) (1)
Montrer que l’´equation diff´erentielle du 1. conduit alors `a deux ´equations
diff´erentielles d´ecoupl´ees, une sur φ(x), et l’autre sur ξ(t). On notera E=~2k2
2m
la constante, homog`ene `a une ´energie, qu’il faut introduire. Donner la forme
de la partie temporelle ξ(t).
3. Dans un domaine o`u V(x) = Vc= cste = ~2K2
2m, int´egrer l’´equation diff´erentielle
en φ(x) dans le cas E < Vcet E > Vc.
4. On consid`ere maintenant le potentiel V(x) d´efini par : V(x) = U0=~2K2
2msi
−a/2< x < a/2 et V(x) = 0 sinon.
On s’int´eresse au probl`eme de franchissement de la barri`ere par des particules
venant de x=−∞ et poss´edant une ´energie Etelle que : 0 < E < U0.
(a) Que se passe-t-il si on utilise les lois de la m´ecanique classique ? Que vaut
le facteur de transmission Tde la barri`ere de potentiel dans ce cas ?
(b) Donner la forme g´en´erale de la fonction d’onde dans chacune des trois
r´egions et montrer que pour ce probl`eme, la fonction d’onde dans la r´egion
x≥a/2 ne comprend qu’un terme. On notera α2=K2−k2tel que α > 0.
(c) En ´ecrivant les conditions de continuit´e de la fonction d’onde et de sa
d´eriv´ee en x=±a/2, d´eterminer le facteur de transmission ten amplitude
de l’ensemble de la barri`ere de potentiel.
(d) Montrer que le facteur de transmission Ten ´energie de la barri`ere de
potentiel vaut :
T=1
1 + α2
4k2(1 + k2 α2)2sinh2(αa)(2)
En d´eduire le comportement asymptotique de Tpour a”grand” ?
(e) On appelle ce ph´enom`ene l’effet tunnel. Quel est l’analogue optique ?
1

(f) Ordres de grandeur. Calculer le coefficient de transmission pour une
barri`ere de 2 eV, d’´epaisseur 0.1 nm, attaqu´ee par une particule de
1 eV, dans le cas d’un ´electron (m= 9.10−31 kg) puis d’un proton
(m= 1,7.10−27 kg.)
5. On envisage d´esormais le cas o`u E > U0. Sans refaire tous les calculs, donner
l’expression du facteur de transmission T. Avec quel instrument d’optique
trouve-t-on une forme similaire ? Tracer Ten fonction de l’´epaisseur ade la
barri`ere de potentiel.
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