I. Moment cinétique

LOI DU MOMENT CINÉTIQUE
Quand on tourne le volant d’une voiture, on exerce deux forces opposées en deux points diamétralement opposés. D’après la loi de la quantité de mouvement on vérifie que le centre de
masse du système ne se déplace pas. Pourtant, le fait d’exercer ce "couple" de force permet de
mettre en mouvement le volant. Le mouvement va donc être décrit par une nouvelle loi, bien
adaptée à l’étude des mouvements de rotation : la loi du moment cinétique.
I.
Moment cinétique
1.
a)
Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un point
Définition
Soit M un point matériel se déplaçant à la vitesse ~v dans un référentiel R. Soit A un point quelconque. On définit ~σA (M )/R le moment cinétique du point M en A par rapport au référentiel
R
−−→
−−→
~σA (M )/R = AM ∧ p~(M )/R = AM ∧ m~v (M )/R
b)
Propriété
−−→
~σB (M )/R = BM ∧ p~(M )/R
−→ −−→
= (BA + AM ) ∧ p~(M )/R
−→
= BA ∧ p~(M )R + ~σA (M )/R
−→
~σB (M )/R = ~σA (M )/R + BA ∧ p~(M )R
Dimensionnellement [k~σ k] = M.L2 .T −1 ( kg.m2 .s−1 en unité SI). On peut remarquer que ces
dimensions sont les mêmes que celles de la constante de Planck h 1 .
~ A (M )/R .
Autre écriture courante : le moment cinétique ~σA (M )/R est fréquemment noté L
Pour alléger l’écriture on ne précisera plus par la suite le référentiel d’étude R dans la notation.
1. p = λh , avec λ la longueur d’onde de de Broglie
1
2.
Moment cinétique d’un point matériel par rapport à un axe orienté
Soit un axe ∆.
Soit O un point quelconque de ∆.
Soit ~u∆ un vecteur unitaire colinéaire à l’axe ∆. Le
sens de u
~ ∆ définit l’orientation de l’axe ∆.
On définit σ∆ (M ) le moment cinétique de M par rapport à l’axe orienté ∆, dans un référentiel R donné
par
σ∆ (M ) = ~σO (M ).~u∆
Quelques remarques :
. Le signe de σ∆ dépend du sens d’orientation choisi.
. La définition est indépendante de la position du point O choisi sur l’axe.
~ 0 6= ~0.
Soit O0 ∈ ∆ tel que OO
−−→
D’après la propriété établie précédemment ~σO0 (M ) = ~σO (M ) + O0 O ∧ p~(M ), d’où
−−→
~ )).~u∆ = ~σO (M ).~u∆ = σ∆
~σO0 (M ).~u∆ = ~σO (M ).~u∆ + (O0 O ∧ p(M
{z
}
|
−−→
=0 car O0 Ok~
u∆
. Seule la composante orthoradiale vθ de la vitesse contribue au moment cinétique par rapport
à l’axe.
Plaçons nous en coordonnées cylindriques : l’axe Oz est confondu avec l’axe ∆, ~uz = ~u∆ .
( −−→
OM = r~ur + z~uz
~v = ṙ~ur + rθ̇~uθ + ż~uz = vr ~ur + vθ ~uθ + vz ~uz
r
vr
−z vθ
−−→
OM ∧ m~v = m 0 ∧ vθ = m z vr − rvz
z
vz
r vθ
ainsi par projection σ∆ = ~σO (M ).~u∆ = ~σO (M ).~uz = mr vθ = rpθ = mr2 θ̇ avec pθ = p~.~uθ
composante orthoradiale de la quantité de mouvement.
σ∆ = r pθ = rmvθ = mr2 θ̇
2
On a tracé sur les figures ci-dessous uniquement la composante orthoradiale de la vitesse
Pour θ̇ > 0, vθ = rθ̇ > 0, le point M tourne autour de l’axe ∆ dans le sens direct σ∆ > 0.
Pour θ̇ < 0, vθ = rθ̇ < 0, le point M tourne autour de l’axe ∆ dans le sens indirect σ∆ < 0.
Le sens direct (sens positif) est lié à l’orientation de l’axe ∆ par la règle du tire-bouchon.
Le moment cinétique sera nul si vθ = 0. Dans ce cas le vecteur vitesse ~v est contenu dans le
plan défini par M et l’axe ∆.
3
3.
Moment cinétique d’un système de points par rapport à un axe
orienté
On considère un système S de points matériels Mi de masse de mi avec i = 1 . . . n. Le moment
cinétique en O du système, par rapport à un référentiel R donné est la somme des moments
cinétiques de chacun des points.
~σO =
n
X
n
X
−−→
~σO (Mi ) =
OMi ∧ mi~v (Mi )
i=1
i=1
Par projection, le moment cinétique du système S par rapport à un axe ∆ orienté sera
σ∆ = ~σO .~u∆ =
n
X
~σO (Mi ).~u∆ =
i=1
n
X
σ∆ (Mi )
i=1
En se plaçant en coordonnées cylindriques de telle sorte que l’axe ∆ soit confondu avec Oz, on
aura :
σ∆ =
n
X
mi ri2 θ̇i
i=1
où ri représente la distance du point Mi à l’axe ∆.
4.
Cas du solide en rotation autour d’un axe fixe
On considère un solide Σ en rotation à la
vitesse angulaire ω = θ̇ dans le sens direct
autour d’un axe ∆ fixe dans le référentiel
d’étude R. Chaque point de Σ décrit dans R
une trajectoire circulaire d’axe ∆ à la même
vitesse angulaire ω.
∀i θ̇i = θ̇ = ω
D’après le résultat précédent, si on décompose le solide en un grand!nombre de points,
! le
X
X
moment cinétique de Σ par rapport à l’axe ∆ vaudra σ∆ =
mi ri2 θ̇ =
mi ri2 ω.
i
i
En réalité, chaque "point" correspond à un volume élémentaire de masse dm et la sommation
n’est pas discrète mais continue, ce qui revient à poser une intégrale.
Z Z Z
Z Z Z
2
2
σ∆ =
dm r ω =
ρ dV r ω
Σ
Σ
4
Le moment cinétique par rapport à l’axe ∆ est donc proportionnel à la vitesse angulaire de
rotation du solide autour de l’axe. On exprimera σ∆ sous la forme
σ∆ = J∆ ω
J∆ est appelé moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ∆.
Dimensionnellement [J∆ ] = M.L2 (kg.m2 en unité SI).
Le moment d’inertie traduit la répartition spatiale de la masse autour de l’axe de rotation.
Exemples :
• Système de masse m, constitué de deux points matériels de masses
tige de masse négligeable :
m
J∆ = 2 ×
2
m
2
rigidement liés par une
2
`
`2
=m
2
4
• Tige de masse m, homogène, de longueur ` en rotation autour d’un axe ∆ perpendiculaire
passant par son milieu :
J∆ = m
`2
12
Dans ce deuxième cas, la même masse m est répartie uniformément sur toute la longueur de la
tige : le moment d’inertie est plus faible que celui trouvé dans le premier cas où la toute masse
m se trouvait aux points les plus éloignés de l’axe ∆.
De manière générale plus la masse est répartie loin de l’axe, plus le moment d’inertie augmente (exemple : suivant que l’on place les bras perpendiculairement au corps ou le
long du corps, on modifie son moment d’inertie par rapport à un axe vertical passant par G,
voir cas du patineur).
• Tige de masse m, homogène, de longueur ` en rotation autour d’un axe ∆ perpendiculaire
passant par une de ses extrémités :
Tige homogène de masse masse m, de longueur `
`2
J∆ = m
3
Si toute la masse m était concentrée à l’autre extrémité de la tige, le moment d’inertie vaudrait
J∆ = m`2 . Il est donc normal ici de trouver une valeur inférieure.
Justification :
On découpe la tige en petits éléments, de longueur dr, de masse dm = m` dr car la tige est
homogène. Chaque élément de longueur possède un moment d’inertie dm r2 . On additionne
ensuite tous ces moments d’inertie en posant l’intégrale :
Z `
Z `
Z
m
m ` 2
m `3
`2
2
2
J∆ =
dm r =
dr r =
r dr =
=m
` 0
` 3
3
0
0 `
5
Moment d’inertie de solides homogènes autour de leur axe de symétrie
• Cylindre creux homogène de rayon R de masse totale m :
J∆ = mR2
• Cylindre plein homogène de rayon R de masse totale m :
1
J∆ = mR2
2
• Sphère pleine de rayon R de masse m :
2
J∆ = mR2
5
6
II.
1.
Moment d’une force
Moment d’une force par rapport à un point
Soit M le point d’application d’une force F~ .
Soit O un point quelconque.
On définit M~O (F~ ) le moment en O de la force F~ par
−−→
M~O (F~ ) = OM ∧ F~
Dimensionnellement kM~O (F~ )k est homogène à une force multipliée par une longueur. Cela
correspond également aux dimensions d’une énergie mais en unité SI, le moment d’une force
s’exprime généralement en N.m.
Le moment en O de la force sera nul si
– la force s’applique au point O lui-même (M = O)
−−→
– F~ est colinéaire à OM : la droite définie par M et F~ passe par O (force centrale).
Propriété :
−−→
M~O0 (F~ ) = O0 M ∧ F~
−−→ −−→
= (O0 O + OM ) ∧ F~
−−→
= O0 O ∧ F~ + M~O (F~ )
−−→
M~O0 (F~ ) = M~O (F~ ) + O0 O ∧ F~
7
2.
a)
Moment d’une force par rapport à un axe orienté
Définition
Soit un axe ∆.
Soit O un point quelconque de ∆.
Soit ~u∆ un vecteur unitaire colinéaire à l’axe ∆.
Le sens de u
~ ∆ définit l’orientation de l’axe
∆.
On définit M∆ (F~ ) le moment cinétique de M par
rapport à l’axe orienté ∆ par
M∆ (F~ ) = MO (F~ ).~u∆
. Le signe de M∆ dépend du sens d’orientation choisi.
. On peut vérifier que, de la même manière que pour le moment cinétique par rapport à un
axe, la définition de M∆ est indépendante de la position du point O choisi sur l’axe.
~ 0 6= ~0.
Soit O0 ∈ ∆ tel que OO
−−→
D’après la propriété établie précédemment M~O0 (F~ ) = M~O (F~ ) + O0 O ∧ F~ , d’où
−−→
M~O0 (F~ ).~u∆ = M~O (F~ ).~u∆ + (O0 O ∧ F~ ).~u∆ = M~O (F~ ).~u∆ = M∆ (F~ )
{z
}
|
−−→
=0 car O0 Ok~
u∆
. Par analogie avec le calcul du moment cinétique par rapport à un axe, on peut affirmer que
seule la composante orthoradiale de la force contribue au moment par rapport à l’axe ∆.
On note F~ = Fr ~ur + Fθ ~uθ + Fz ~uz .
On avait σ∆ = mrvθ = rpθ avec pθ la composante orthoradiale de p~. On aura M∆ (F~ ) = rFθ .
On peut bien sûr refaire le calcul.
Plaçons nous en coordonnées cylindriques : l’axe Oz est confondu avec l’axe ∆, ~uz = ~u∆ .
( −−→
OM = r~ur + z~uz
F~ = Fr ~ur + Fθ ~uθ + Fz ~uz
r
Fr
−z Fθ
−−→ ~ OM ∧ F = 0 ∧ Fθ = z Fr − rFz
z
Fz
r Fθ
ainsi par projection M~∆ = M~O (F~ ).~u∆ = M~O (F~ ).~uz = r Fθ
8
b)
Bras de levier
On peut décomposer la force F~ en une composante F~k parallèle à l’axe ∆ et une composante
F~⊥ située dans le plan perpendiculaire à ∆.
Soit H le projeté orthogonal de M sur ∆. Par définition H ∈ ∆. On peut exprimer le moment
de la force F~ par rapport à l’axe ∆
−−→
−−→
−−→
−−→
M∆ (F~ ) = HM ∧ F~ .~u∆ = HM ∧ F~k .~u∆ + HM ∧ F~⊥ .~u∆ = HM ∧ F~⊥ .~u∆
{z
}
|
−
→
=0 car F k k~
u∆
Rappel : on définit le sens positif de rotation à l’aide la règle du tire-bouchon.
9
1er cas : F~ tend à faire tourner M dans le sens positif
−−→ −−−→
−−→ ~
HM ∧ F⊥ = (HH 0 + H 0 M ) ∧ F~⊥
−−→
−−−→
= HH 0 ∧ F~⊥ + H 0 M ∧ F~⊥
| {z }
−−−→
~⊥
=~0 car H 0 M kF
−−→
= HH 0 ∧ F~⊥
= dkF~⊥ k ~u∆
M∆ (F~ ) = +dkF~⊥ k > 0
2eme cas : F~ tend à faire tourner M dans le sens négatif
−−→ −−−→
−−→ ~
HM ∧ F⊥ = (HH 0 + H 0 M ) ∧ F~⊥
−−→
−−−→
= HH 0 ∧ F~⊥ + H 0 M ∧ F~⊥
| {z }
−−−→
~⊥
=~0 car H 0 M kF
−−→
= HH 0 ∧ F~⊥
= −dkF~⊥ k~u∆
M∆ (F~ ) = −dkF~⊥ k < 0
Bilan :
Soit ∆ un axe orienté et F~ une force. Soit F~⊥ la composante de F~ orthogonale à ∆.
Le moment de la force F~ par rapport à l’axe ∆ s’exprime sous la forme :
+dkF~⊥ k si F~ tend à faire tourner autour de ∆ dans le sens positif
M∆ (F~ ) =
−dkF~⊥ k si F~ tend à faire tourner autour de ∆ dans le sens négatif
le sens positif étant relié à l’orientation de l’axe ∆ par la règle du tire-bouchon.
La distance d = HH 0 est appelée bras de levier.
10
Remarque :
Reprenons le premier cas ( F~ tend à faire tourner M dans le sens direct, dans ce cas sa
composante orthoradiale Fθ est positive).
F~⊥ = Fr ~ur + Fθ ~uθ
M∆ (F~ ) = dkF~⊥ k = r sin αkF~⊥ k
or kF~⊥ k sin α = Fθ , on retrouve bien
M∆ (F~ ) = rFθ
On peut reprendre le même raisonnement pour Fθ < 0.
En général, on utilise plutôt la formule du bras de levier pour calculer M∆ .
Illustrations :
– Forces exercées sur une porte. Moment par rapport à l’axe de rotation de la porte dans
différents cas.
– Principe du levier
11
3.
a)
Moment résultant. Couple de force
Moment résultant
On considère un système soumis à n forces F~i , i = 1 · · · n s’appliquant respectivement aux
points Mi . Le moment résultant en O sera :
M~0 =
n
X
M~O (F~i ) =
i=1
n
X
−−→ ~
OMi ∧ Fi
i=1
Le moment résultant par rapport à un axe orienté ∆ vaudra
M∆ =
n
X
M∆ (F~i )
i=1
b)
Couple de force
On nomme couple un système de forces dont la résultante est nulle mais dont
le moment résultant en un point O quelconque est non nul.
On peut vérifier sur un exemple que le moment d’un couple est indépendant du point où on le
calcule.
Soient F~1 et F~2 , deux forces s’appliquant respectivement en deux points M1 et M2 et telles que
F~1 + F~2 = ~0.
Supposons qu’il existe un point O où le moment résultant, noté ~Γ0 , est non nul :
−−→
−−−→
~Γ0 = −
OM1 ∧ F~1 + OM2 ∧ F~2
Soit O0 un point quelconque :
−−−→
−−−→
−−→ −−→
−−→ −−−→
~Γ00 = O0 M1 ∧ F~1 + O0 M2 ∧ F~2 = (O0 O + −
OM1 ) ∧ F~1 + (O0 O + OM2 ) ∧ F~2
−−→
−−−→
−−−→
= O0 O ∧ (F~1 + F~2 ) +OM1 ∧ F~1 + OM2 ∧ F~2 = ~Γ0
| {z }
=~0
La démonstration peut se généraliser à tout système de force de résultante nulle.
Le moment résultant d’un couple est indépendant du point considéré. On le
notera donc simplement ~
Γ.
12
Exemple :
– Rotation d’un volant automobile
– Action d’un champ électrique sur une molécule polaire
4.
Liaison pivot
Une liaison pivot est un dispositif mécanique permettant la rotation d’un objet
autour d’un axe fixe, tout en empêchant la translation suivant cet axe.
Exemple : charnière de porte de placard
sur un vélo : beaucoup de liaisons pivot au niveau des roues, du pédalier et
des pédales, du guidon...
Au niveau d’une liaison pivot, les actions mécaniques peuvent être modélisées par un couple
(couple moteur, couple résistant, cf chapitre suivant).
13
III.
1.
Loi du moment cinétique
Forces intérieures - forces extérieures
On considère un système S de n points Mi i = 1 · · · n.
Chaque point Mi subit des forces de résultante f~i qui
se décompose en
f~i = f~iint + f~iext
avec f~iint la résultante des forces intérieures qu’exercent
X
les autres points du système sur Mi (f~iint =
f~j→i )
j6=i
et f~iext la résultante des forces qu’exerce l’extérieur du
système sur Mi .
2.
Loi du moment cinétique
On considère un système S (point matériel, système de points, solide) de masse totale m
fixée (système fermé).
On considère un point O fixe dans R galiléen.
Soit ~σO/R le moment cinétique de S en O par rapport au référentiel R. On a
d~σO/R
= M~Oext
dt
R
avec M~Oext moment en O des forces extérieures au système.
Seul le moment des forces extérieures peut contribuer à la rotation d’un système.
Si M~Oext = ~0 alors le moment cinétique est conservé : le moment cinétique d’un système
isolé se conserve.
Si un système est au repos, son moment cinétique est nul et donc M~Oext = ~0.
Remarque :
On a montré que on peut déduire de la loi de la quantité de mouvement que la résultante des
forces intérieures à un système est nulle.
On peut déduire de la loi du moment cinétique que le moment résultant des forces intérieures
est nul.
Prenons l’exemple d’un système de deux points M1 et M2 qui subissent respectivement les
forces :
f~1 = f~2→1 + f~1ext
f~2 = f~1→2 + f~2ext
Appliquons la loi du moment cinétique au système M1
d~σO (M1 ) −−−→
= OM1 ∧ (f~2→1 + f~1ext )
dt
14
puis au système M2
d~σO (M2 ) −−−→
= OM2 ∧ (f~1→2 + f~2ext )
dt
et enfin au système {M1 , M2 }
−−−→
−−−→
d~σO
d~σO (M1 ) d~σO (M2 )
=
+
= M~Oext = OM1 ∧ f~1ext + OM2 ∧ f~2ext
dt
dt
dt
On en déduit
−−−→
−−−→
M~Oint = OM1 ∧ f~2→1 + OM2 ∧ f~1→2 = ~0
Le moment des forces intérieures est nul.
La résultante des forces intérieures étant nulle f~2→1 = −f~1→2 , on peut alors déduire de la
relation précédente
−−−→ −−−→
−−−−→
(OM2 − OM1 ) ∧ f~1→2 = M1 M2 ∧ f~1→2 = ~0
Ainsi, la loi de la quantité de mouvement et la loi du moment cinétique "contiennent" le
principe des actions réciproques.
3.
Solide en rotation autour d’un axe fixe : loi scalaire du moment
cinétique
On considère un solide en rotation autour d’un
axe ∆ orienté fixe dans R galiléen.
Soit O un point quelconque de ∆. Le point O
est donc fixe dans R.
d~
σO/R
dt
La loi du moment cinétique en O fixe dans R galiléen donne
cette loi sur l’axe ∆ :
d~σO/R
.~u∆ = M~Oext .~u∆ = M∆ext
dt
R
d~u∆
~u∆ étant fixe dans R,
= ~0.
dt R
d~σO/R
d(~σO/R .~u∆ )
dσ∆
On peut écrire
.~u∆ =
=
dt
dt
dt
R
R
15
R
= M~Oext . On projette
On en déduit la loi scalaire du moment cinétique par rapport à l’axe ∆ orienté
dσ∆
= M∆ext
dt
On a montré que, pour un solide, σ∆ = J∆ ω où ω = θ̇ représente la vitesse angulaire de rotation
dans le sens positif associé à l’orientation de ∆. La loi scalaire du moment cinétique devient :
J∆
4.
dω
= M∆ext
dt
Retour sur la liaison pivot
On considère un solide en rotation autour d’un axe fixe via une liaison pivot. Les actions
mécaniques subies au niveau de l’axe se traduisent par un couple Γ∆ . D’après la loi scalaire du
moment cinétique
dω
= Γ∆
dt
Supposons que la rotation s’effectue dans le sens direct (ω > 0).
J∆
si Γ∆ > 0 alors
si Γ∆ < 0 alors
dω
dt
dω
dt
> 0, ω % , le couple est moteur
< 0, ω & , le couple est résistant
Supposons que l’on mette le solide en rotation puis qu’on le laisse tourner librement. S’il n’y a
pas de frottement au niveau de l’axe, sa vitesse angulaire restera constante au cours du temps.
Dans le cas d’une liaison pivot idéale le moment des forces de liaison est nul :
Pour une liaison pivot idéale :
Γ∆,liaison = 0
En général, pour les machines tournantes on fait intervenir la notion de stator et de rotor.
Le rotor est la partie mobile en rotation par rapport au stator qui est fixe et en général
lié au bâti. C’est le stator qui, via l’axe de rotation exerce un couple moteur ou résistant
(freinage) sur le rotor.
Nous reverrons également ces notions en fin d’année, lors de l’étude des moteurs électriques.
16
IV.
1.
Pendule pesant
Description
Un pendule pesant est un solide en rotation autour d’un axe
fixe horizontal.
∆ : axe fixe horizontal
Σ : solide en rotation autour de ∆, de masse m, de centre
de masse G. On notera J∆ le moment d’inertie du solide par
rapport à l’axe ∆.
On suppose la liaison pivot idéale Γ∆,liaison = 0
Système : {Σ}
Référentiel : labo galiléen
Bilan des actions mécaniques :
– Poids m~g qui s’exerce en G
~ qui s’exerce sur l’axe donc
– Réaction de l’axe R
~
M∆ (R) = 0
– Liaison idéale : Γ∆,liaison = 0
On peut vérifier que le point d’application du poids correspond au centre de masse du système.
Pour cela considérons un système de deux points M1 et M2 de masses respectives m1 et m2 .
Le poids de l’ensemble vaut m1~g (M1 ) + m2~g (M2 ) = (m1 + m2 )~g si l’on suppose que le champ
de pesanteur ~g est uniforme à l’échelle du système (~g (M1 ) = ~g (M2 ) = ~g ). Soit O un point
quelconque. Soit M le point d’application de la résultante (m1 + m2 )~g . On aura
−−→
−−−→
−−−→
OM ∧ (m1 + m2 )~g = OM1 ∧ m1~g + OM2 ∧ m2~g
−−−→
−−−→
= (m1 OM1 + m2 OM2 ) ∧ ~g
−→
= (m1 + m2 ) OG ∧ ~g
On en déduit que M = G. Ce résultat est généralisable à tout sytème placé dans un champ de
pesanteur uniforme.
2.
Équation du mouvement
L’axe ∆ étant fixe dans le référentiel du labo supposé galiléen, on peut appliquer la loi scalaire
du moment cinétique.
dω
= M∆ (m~g ) = −mgl sin θ
dt
On a utilisé ici le bras de levier pour calculer directement M∆ (~g ).
J∆
17
Pour les accros au calcul de produit vectoriel on peut aussi
écrire :
−→
M~O (m~g ) = OG ∧ m~g = l ~ur ∧ mg(cos θ~ur − sin θ~uθ )
= −mgl sin θ~ur ∧ ~uθ
= −mgl sin θ ~u∆
M∆ (m~g ) = M~O (m~g ).~u∆ = −mgl sin θ
Enfin, on peut aussi calculer M∆ (m~g ) à partir de la formule M∆ = rFθ . Ici r = l et
Fθ = m~g .~uθ = −mg sin θ.
La vitesse angulaire ω vaut ω = θ̇ d’où
J∆ θ̈ = −mgl sin θ
θ̈ +
mgl
sin θ = 0
J∆
On peut vérifier que cette équation est en accord avec l’équation du pendule rigide simple constitué d’une masse m accrochée à l’extrémité de la tige rigide de longueur l et de masse négligeable.
= mgl
= gl . On retrouve alors l’équation du pendule simple
Dans ce cas J∆ = ml2 et mgl
J∆
ml2
θ̈ + gl sin θ = 0.
L’équation du pendule pesant n’est pas linéaire. On peut, pour des petites oscillations θ 1 rad
linéariser le sinus : sin θ ' θ.
θ̈ +
En posant ω02 =
mgl
J∆
mgl
θ=0
J∆
on retrouve alors l’équation de l’oscillateur harmonique :
r
θ̈ +
ω02
θ = 0 avec ω0 =
mgl
J∆
Les oscillations de faibles amplitudes sont harmoniques et donc isochrones. Si on augmente
l’amplitude, les oscillations ne sont plus harmoniques et la période des oscillations dépendra
de l’amplitude (elle augmente quant l’amplitude augmente). La résolution de l’équation non
linéaire ne peut se faire que numériquement.
18
3.
Intégrale première
D’après la loi scalaire du moment cinétique
J∆ θ̈ = −mgl sin θ
On multiplie chaque membre de l’égalité par θ̇.
J∆ θ̈θ̇ = −mgl sin θθ̇
ce qui permet de faire apparaître les dérivées temporelles :
d 1
d
2
J∆ θ̇ =
(mgl cos θ)
dt 2
dt
d 1
2
J∆ θ̇ − mgl cos θ = 0
dt 2
1
J∆ θ̇2 − mgl cos θ = Cte
2
Cette constante est homogène à une énergie. On reconnaît dans −mgl cos θ l’énergie potentielle
de pesanteur.
Le premier terme représente, comme on le vérifiera par la suite, l’énergie cinétique du solide
en rotation autour d’un axe fixe.
4.
Portrait de phase
Voir chapitre sur l’énergie et le polycopié sur le portrait de phase.
19
V.
1.
Pendule de torsion
Couple de torsion
Lorsqu’on accroche le milieu d’une tige homogène à
l’extrémité d’un fil métallique, celle-ci se stabilise à
une position d’équilibre où la tension du fil compense
son poids (les deux forces s’exerçant en O) et où
aucun couple ne s’exerce par rapport à l’axe ∆.
Si on écarte la tige de cette position d’équilibre, on
tord le fil qui exerce alors un couple de rappel qui
tend à ramener la tige vers sa position de repos. Le
couple de rappel a pour expression
Γ∆ = −K θ
Dimensionnellement K a les mêmes dimensions que Γ∆ et se mesure en N.m (Newton.mètre)
en unités SI.
2.
Équation du mouvement
Système : {T ige}
Référentiel : labo galiléen
Bilan des actions mécaniques :
– Poids m~g qui s’exerce en O donc M∆ (m~g ) = 0
~ qui s’exerce en O donc M∆ (T~ ) = 0
– Tension du fil R
– Couple de torsion Γ∆ = −Kθ
On note J∆ le moment d’inertie de la tige par rapport à ∆. La loi scalaire du moment cinétique
donne :
J∆
dω
= Γ∆ = −Kθ
dt
J∆ θ̈ = −Kθ
θ̈ +
On pose ω02 =
K
.
J∆
K
θ=0
J∆
On reconnaît l’équation de l’oscillateur harmonique :
r
θ̈ + ω02 θ = 0 avec ω0 =
qui admet des solutions de la forme
θ = θ0 cos(ω0 t + ϕ)
20
K
J∆
3.
Intégrale première du mouvement
On procède comme précédemment : on exprime la loi scalaire du moment cinétique que l’on
multiplie ensuite par θ̇.
J∆ θ̈ = −Kθ
J∆ θ̈θ̇ = −Kθθ̇
ce qui permet de faire apparaître les dérivées temporelles :
d 1
d 1 2
2
J∆ θ̇ = −
Kθ
dt 2
dt 2
d 1
1 2
2
J∆ θ̇ + Kθ = 0
dt 2
2
1
1
J∆ θ̇2 + Kθ2 = Cte
2
2
Cette constante est homogène à une énergie. Le premier terme est le même que celui obtenu
pour le pendule pesant et correspond à l’énergie cinétique de la barre. Le second est un terme
d’énergie potentielle dont nous établirons l’expression dans le chapitre suivant.
Le premier terme représente, comme on le vérifiera par la suite, l’énergie cinétique du solide
en rotation autour d’un axe fixe.
21
VI.
1.
Approche énergétique du solide en rotation
Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
On considère un solide Σ en rotation autour d’un axe
∆ fixe dans un référentiel R.
On peut assimiler le solide à un système indéformable
de points.
Tous les points constituant le solide décrivent un
mouvement circulaire d’axe ∆ avec la même vitesse
angulaire θ̇ = ω.
L’énergie cinétique du point Mi auquel on attribue la
masse Mi vaudra
1
1
ECi = mi vi2 = mi ri2 ω 2
2
2
L’énergie cinétique totale vaudra donc
!
X
1 X
Ec =
ECi =
mi ri2 ω 2
2
i
X i
On reconnaît l’expression du moment d’inertie J∆ =
mi ri2 qui permet d’aboutir à l’expresi
sion
1
Ec = J∆ ω 2
2
Remarque : en réalité, le "point" Mi est un petit volume élémentaire et le calcul de J∆ se
construit à partir d’une intégration continue sur tout le volume du solide et non
pas par une sommation discrète.
2.
Puissance d’une force s’exerçant sur un point d’un solide en rotation
La puissance de la force F~ s’exerçant au niveau du
point M vaut, dans le référentiel R considéré,
P = F~ .~v = F~ . rω ~uθ = Fθ rω
avec Fθ = F~ .~uθ la composante orthoradiale de la vitesse. On reconnaît M∆ (F~ ) = rFθ , le moment de la
force F~ par rapport à l’axe ∆. Ainsi
P = M∆ (F~ )ω
22
Cette expression est également applicable à la puissance d’un couple de moment Γ∆ par rapport
à l’axe ∆ :
P = Γ∆ ω
La puissance associée à une action mécanique dont le moment par rapport à l’axe ∆ orienté
est M∆ vaut, pour une vitesse angulaire de rotation ω,
P = M∆ ω
On en déduit l’expression du travail élémentaire δW = Pdt = M∆ ωdt = M∆ θ̇dt = M∆ dθ
δW = M∆ dθ
Le travail total effectué entre un état initial où θ = θA et un état final où θ = θB s’exprimera
sous la forme
Z
B
WA→B =
Z
A
3.
θB
δW =
M∆ dθ
θA
Théorème de l’énergie cinétique pour un solide en rotation
On considère un solide en rotation à la vitesse angulaire ω autour d’un axe ∆ fixe dans un
référentiel R galiléen.
La loi scalaire du moment cinétique donne
J∆
dω
= M∆ext
dt
En multipliant chaque membre de l’égalité par ω on obtient
dω
J∆ ω = M∆ext ω
dt
d 1
2
J∆ ω = M∆ext ω
dt 2
dEc
= M∆ext ω = P ext
dt
La dérivée de l’énergie cinétique Ec par rapport au temps (puissance cinétique) est égale à la
puissance des actions mécaniques extérieures.
On a les formes équivalentes
dEc = M∆ext ωdt = M ext dθ
Z
θB
∆Ec =
M∆ext dθ
θA
Il y a équivalence entre le théorème de l’énergie cinétique et la loi scalaire du moment cinétique.
23
4.
Action mécaniques conservatives - Énergie potentielle
Une action mécanique de moment M∆ par rapport à un axe ∆ orienté sera conservative si son
travail élémentaire peut s’écrire sous la forme
δW = M∆ dθ = −dEp
avec Ep énergie potentielle associée à l’action mécanique considérée. Ep est une fonction de θ.
Dans ce cas
Z θB
Z θB
Z B
δW =
M∆ dθ =
−dEp = Ep (θA ) − Ep (θB )
WA→B =
A
θA
θA
le travail ne dépend que de l’angle initial θA et de l’angle final θB et ne dépend pas de la
manière dont on est passé de l’un à l’autre.
Exemple 1 : couple de torsion
Le travail élémentaire du couple de torsion pour une variation dθ de l’angle vaut
δW = Γ∆ dθ = −Kθ dθ = −dEp
dEp = Kθ dθ
1
Ep = Kθ2 + Cte
2
Si on choisit Ep = 0 pour θ = 0 alors Cte=0 et
1
Ep = Kθ2
2
Exemple 2 : pendule pesant
Le travail élémentaire du poids pour une variation dθ de l’angle vaut
δW = M∆ dθ = −mgl sin θ dθ = −dEp
dEp = mgl sin θ dθ
Ep = −mgl cos θ + Cte
Si on choisit Ep = 0 pour θ =
π
2
alors Cte=0 et
Ep = −mgl cos θ
24
Remarque : On a établi dans le cours que Ep = mgz,
avec l’axe Oz orienté vers le haut et Ep = 0 pour z = 0.
Ici z correspondra à la coordonnée verticale du centre
de masse G du système.
zG = −l cos θ
On retrouve bien Ep = mgzG = −mgl cos θ
5.
Énergie mécanique
On considère toujours un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentiel R galiléen.
Le théorème de l’énergie cinétique donne
ext
ext
dEc = δWcons
+ δWn.c.
ext
travail
élémentaire
δWcons
ext
= −dEpext
tives δWcons
des
actions
mécaniques
extérieures
conserva-
ext
travail élémentaire des actions extérieures non conservatives (ex : couple de frotteδWn.c.
ment ou couple moteur).
Ainsi
ext
dEc = −dEpext + δWn.c.
ext
d(Ec + Epext ) = δWn.c.
L’énergie mécanique Em = Ec + Epext vérifie donc
ext
dEm = δWn.c.
ce qui peut s’exprimer de manière équivalente
dEm
ext
= Pn.c.
dt
ext
avec Pn.c.
la puissance des forces non conservatives.
Si au cours du mouvement seules les actions mécaniques conservatives travaillent
alors l’énergie mécanique est conservée : le mouvement est conservatif.
Exemple :
On peut retrouver l’équation du mouvement du pendule de torsion à partir de la conservation
de l’énergie mécanique.
Au cours du mouvement, la seule action mécanique qui travaille est le couple de rappel qui
dérive de l’énergie potentielle 12 Kθ2 . Le mouvement est conservatif.
25
1
1
Em = Ec + Ep = J∆ θ̇2 + Kθ2 = Cte
2
2
dEm
1
1
= J∆ 2 θ̇θ̈ + K 2 θθ̇ = θ̇(J∆ θ̈ + Kθ) = 0
dt
2
2
La solution θ̇ = 0 étant sans intérêt, on conserve
J∆ θ̈ + Kθ = 0
On retrouve bien ainsi l’équation du mouvement.
26
VII.
1.
Bilan énergétique pour un système déformable
Première constatation
Considérons deux patineurs initialement immobiles sur la glace. S’ils se repoussent mutuellement ils vont alors s’éloigner dans deux directions opposées. Le système constitué des deux
patineurs n’aura acquis aucune quantité de mouvement (le c.d.m. G du système reste fixe) et
aucun moment cinétique. Pourtant le système a acquis de l’énergie cinétique : cette énergie
cinétique provient du travail des forces intérieures au systèmes qui est intervenu lorsque les
deux patineurs se sont repoussés mutuellement.
2.
Travail des forces intérieures
Soit deux points Mi et Mj d’un système. On note
f~i→j la force qu’exerce Mi sur Mj . D’après le principe des actions réciproques :
f~i→j = −f~j→i = fi→j ~ui→j
fi→j > 0 interaction répulsive
fi→j < 0 interaction attractive
On note δW int le travail élémentaire des forces intérieures pour des déplacements élémentaires
−−→
−−→
dOMi de Mi et dOMj de Mj .
−−→
−−→
δW int = f~i→j .dOMj + f~j→i .dOMi
−−→
−−→
= f~i→j .dOMj − f~i→j .dOMi
−−→
−−→
= f~i→j .(dOMj − dOMi )
−−−→
= f~i→j .dMi Mj
−−−→
−−−→
Or Mi Mj = rij ~ui→j , d’où dMi Mj = drij ~ui→j + rij d~ui→j .
~ui→j étant un vecteur unitaire k~ui→j k = 1, ~u2i→j = 1, d(~u2i→j ) = 0. On en déduit
2~ui→j .d~ui→j = 0
δW int = fi→j ~ui→j .(drij ~ui→j + rij d~ui→j )
= fi→j drij + fi→j ~ui→j .d~ui→j
| {z }
=0
= fi→j drij
Ainsi, pour qu’une force intérieure travaille il faut que la distance rij entre deux points du
système varie et donc que le système soit déformable.
Pour un système indéformable (comme un solide), le travail des forces intérieures est nul.
Remarque : la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel d’étude.
27
3.
Théorème de l’énergie cinétique pour un système déformable
On se place dans un référentiel R galiléen. La dérivée par rapport au temps de l’énergie
cinétique d’un système mécanique est égale à la somme des puissances des forces intérieures et
extérieures.
dEc
= P int + P ext
dt
Autres formulations :
dEc = P int dt + P ext dt
dEc = δW int + δW ext
où δW int représente le travail élémentaire des forces intérieures et δW ext le travail élémentaire
des forces extérieures,
ainsi que
∆Ec = W int + W ext
où W int représente le travail des forces intérieures et W ext les travail des forces extérieures.
Remarque :
int
On peut écrire δW int = −dEpint + δWn.c.
où −dEpint représente le travail élémentaire des forces
int
représente le travail
intérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielle Epint ) et où Wn.c.
des forces intérieures non conservatives.
ext
où −dEpext représente le travail élémentaire des forces
De même δW ext = −dEpext + δWn.c.
ext
extérieures conservatives (dérivant de l’énergie potentielle Epext ) et où δWn.c.
représente le travail
des forces intérieures non conservatives. Ainsi
int
ext
dEc = −dEpint + δWn.c.
− dEpext + δWn.c.
int
ext
d(Ec + Epint + Epext ) = δWn.c.
+ δWn.c.
On peut définir une énergie mécanique Em = Ec + Epint + Epext telle que
ext
int
+ δWn.c.
dEm = δWn.c.
4.
Exemple : bilan énergétique du tabouret d’inertie
On peut visualiser l’expérience sur le site :
http://alain.lerille.free.fr/VideosPhysique/ConservationMomentCinetique.html
On constate qu’un rapprochement des haltères de l’axe de rotation augmente notablement la
vitesse de rotation : c’est une conséquence de la conservation du moment cinétique. Qu’en est-il
de l’énergie cinétique ?
28
Système : {tabouret tournant+homme+haltères}
• Position 1 : bras tendus, haltères loin de l’axe de rotation.
• Position 2 : bras repliés, haltères près de l’axe de rotation.
J2 < J1
Loi scalaire du moment cinétique :
dσ∆
= M∆ext
dt
Le moment du poids par rapport à l’axe ∆ est nul (le poids est parallèle à l’axe). Le moment
de la réaction du support de l’axe est nulle (puisqu’elle s’exerce sur l’axe) et enfin on a supposé
la liaison pivot idéale (Γ∆,liaison = 0). On a donc M∆ext = 0.
dσ∆
=0
dt
→ le moment cinétique par rapport à l’axe se conserve.
σ∆ = J2 ω2 = J1 ω1
J1
ω2 = ω1
J2
J1 > J2 donc ω2 > ω1 la vitesse angulaire de rotation augmente.
On peut alors calculer la variation d’énergie cinétique
1
1
ext
int
∆Ec = J2 ω22 − J1 ω12 = W
| {z } +W
2
2
=0
W ext = 0 car la liaison pivot au niveau de l’axe de rotation du tabouret est supposée idéale et
que les autres forces extérieures (poids, réaction) ne travaillent pas au cours du mouvement.
2
1
J1
J1 1
J1
1
2
2
ω1 =
J1 ω1 = Ec1
Ec2 = J2 ω2 = J2
2
2
J2
J2 2
J2
J2 < J1 d’où Ec2 > Ec1 .
passage de 1 → 2
∆Ec > 0 W int > 0
passage de 2 → 1
∆Ec < 0 W int < 0
Seule la prise en compte du travail des forces intérieures permet d’expliquer la variation de
l’énergie cinétique du système.
29