5. Le champ magnétique

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5. Le champ magnétique
De nos jours, les aimants sont utilisés dans les appareils de mesure, les moteurs, les haut-
parleurs, les appareils d'enregistrement, les mémoires d'ordinateur, en analyse chimique, pour
concentrer le faisceau d'électrons dans un tube de télévision, et dans une foule d'autres
mécanismes. En plus d'être utile à la navigation, le champ magnétique nous protège contre les
effets dangereux des particules chargées de haute énergie provenant de l'espace. Nous allons
étudier dans ce chapitre les forces exercées par des champs magnétiques sur des particules
chargées et sur des courants électriques.
5.1. Le champ magnétique
Au voisinage d'un barreau aimanté, la limaille de fer forme
une configuration caractéristique qui montre l'influence de
l'aimant sur le milieu environnant. C'est à partir de ces configurations que Michael Faraday eut
l'idée d'introduire la notion du champ magnétique et les lignes de champ correspondantes. Le
champ magnétique
B
en un point est dirigé selon la tangente à une ligne de champ. Le sens
de
B
est celui de la force agissant sur le pôle Nord d'un barreau aimanté et correspond à la
direction vers laquelle pointe l'aiguille d'une boussole. L'intensité du champ est proportionnelle
au nombre de lignes traversant une surface unitaire normale au champ.
On remarque à la figure de gauche que les pôles ne sont pas
situés en des points précis mais qu'ils correspondent plutôt à
des régions mal définies proches des extrémités de l'aimant.
Si l'on essaie d'isoler les pôles en coupant l'aimant, il se
produit une chose curieuse : on obtient deux aimants,
comme on le voit à la figure ci-contre. Si l'on coupe l'aimant
en tranches très fines, chaque fragment garde toujours deux
pôles.
Même à l'échelle atomique, nul n'est parvenu à trouver un pôle magnétique isolé, ce que l'on
appelle un monopole. C'est pourquoi les lignes de champ magnétique forment des boucles
fermées. À l'extérieur de l'aimant, les lignes émergent du pôle Nord et entrent par le pôle sud ;
à l'intérieur, elles sont dirigées du pôle sud vers le pôle Nord.
Définition du champ magnétique
La définition du champ électrique est assez simple. Si
F
est la force agissant sur une charge
électrique stationnaire q placée dans le champ, le champ électrique est qFE , c'est-à-dire
la force par charge unitaire. Mais puisqu'il n'est pas possible d'isoler un pôle, la définition du

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champ magnétique n'est pas aussi simple. En examinant l'effet d'un champ magnétique sur
une charge électrique, on constate :
La force agissant sur une particule chargée est directement proportionnelle à la charge q et à la
vitesse v, c'est-à-dire : qvF
Si la vitesse vde la particule fait un angle avec les lignes de
B
, on trouve : sin F
F
est perpendiculaire à la fois à v et à
B
.
On peut tenir compte de tous ces résultats en définissant le produit vectoriel :
BvqF  équation 5.1
Puisque
F
est toujours perpendiculaire à v , une force magnétique n'effectue aucun travail sur
une particule et ne peut servir à faire varier son énergie cinétique. L'unité SI de champ
magnétique est le tesla (T). Un aimant ordinaire de laboratoire peut produire un champ
d'environ 1T, alors qu'un aimant supraconducteur peut produire plus de 30 T. Le tesla étant
une grande unité, on utilise parfois une autre unité, le gauss (G), dont la conversion est la
suivante :TG 4
101 
L'intensité du champ magnétique terrestre près de la surface est voisine de 0,5 G, alors que
l'intensité du champ au voisinage d'un barreau aimanté peut atteindre 50 G.
EXEMPLE 5.1 - Un électron a une vitesse s
m
v6 10selon l’axe y, dans un champ
GB 500 selon l’axe z. Quelle est la force agissant sur l’électron ?
5.2. La force sur un conducteur parcouru par un courant
Si l'on place un fil dans un champ magnétique, il n'est soumis
à aucune force. Les vitesses thermiques des électrons libres
sont orientées au hasard et la force nette est donc nulle. Par
contre, lorsque le fil est parcouru par un courant, les électrons
acquièrent une faible vitesse de dérive d vet sont donc soumis
à une force magnétique qui est ensuite transmise au fil.
Considérons un segment rectiligne de fil de longueur let de section Sparcouru par un courant
Iperpendiculaire à un champ magnétique uniforme. Si n est le nombre d'électrons de
conduction par unité de volume, le nombre de charges dans ce segment de fil est nSl. Chaque
électron est soumis à une force Bevdet la force totale exercée sur les électrons dans ce
segment est :
BevnSlFd )(

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D'après l'équation d nSevI, et l'expression précédente devient IlBF . Si le conducteur
parcouru par un courant n'est pas perpendiculaire au champ, la force exercée sur le fil est
donnée par l'expression vectorielle :
BlIF  équation 5.2
où le vecteur l est par définition de même sens que
le courant. Comme le montre la figure, la force est
toujours normale au fil et aux lignes de champ.
L'intensité de la force est :
sinIlBF équation 5.3
où est l'angle entre le vecteur l et le champ
B
. Si
le fil n'est pas rectiligne ou si le champ n'est pas
uniforme, la force agissant sur un élément de
courant infinitésimal Idlest :
BlIdFd
La force sur un fil est égale à la somme vectorielle (intégrale) des les éléments de courant.
EXEMPLE 5.2: Un fil rectiligne de longueur 30 cm et de masse 50 gsuit la direction est-
ouest. Le champ magnétique terrestre en ce point est horizontal et a une intensité de 0,8 G.
Pour quelle valeur du courant l’effet du champ compense-t-il le poids du fil ?
5.3. Le mouvement des particules chargées
La figure représente deux vues différentes d'une particule chargée positivement animée d'une
vitesse initiale v perpendiculaire à un champ magnétique uniforme
B
. Comme -v et
B
sont perpendiculaires, la particule est soumise
à une force qvBF , d'intensité constante et dirigée
perpendiculairement à v . Sous l'action d'une telle force, la
particule se déplace sur une trajectoire circulaire à vitesse
constante. D'après la deuxième loi de Newton, F = ma, nous
avons :
r
mv
qvB 2 équation 5.6
où rest le rayon de l’orbite.
qB
mv
r
Le rayon de l’orbite est proportionnel à la quantité de mouvement
et inversement proportionnelle au champ magnétique. La période
de l’orbite est :
qB
m
vr
T
22 
et la fréquence est donc :
m
qB
fc
2
équation 5.7
On constate, dans ces équations que la période ou la fréquence ne dépendent pas de la vitesse
de la particule. Les particules de même rapport q/m ont même fréquence.

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Le mouvement hélicoïdal Considérons le mouvement d'une particule positive dont la
vitesse a une composante parallèle aux lignes d'un champ
magnétique uniforme. La composante perpendiculaire donne
lieu à une force Bvq qui produit un mouvement circulaire,
mais la composante parallèle ne change pas. On obtient la
superposition d'un mouvement circulaire uniforme normal
aux lignes de champ et d'un mouvement rectiligne uniforme
parallèle aux lignes. Ces deux mouvements se combinent
pour produire une trajectoire en spirale ou hélicoïdale. Le
«pas» de l'hélice est le déplacement de la particule dans la
direction des lignes pendant une période.
Dans un champ
non uniforme, le
rayon de la
trajectoire varie.
Si les autres
variables ont des
valeurs fixes, on peut voir d'après l'équation 5.6 que r
va comme 1/B, ce qui signifie que le rayon décroît au
fur et à mesure que l'intensité du champ augmente. Il
se produit aussi un effet plus important, lié au fait que
la particule est soumise à une force dirigée vers la
région où le champ est plus faible (figure). Il en résulte
que la composante de la vitesse le long des lignes de
B
n'est pas constante.
Un exemple important du confinement magnétique est observé
dans le champ magnétique terrestre. Les particules chargées
provenant de l'espace décrivent des trajectoires en spirale le
long des lignes de champ d'un pôle à l'autre (figure). Ces
particules captives sont confinées dans des régions que l'on
appelle ceintures de Van Allen.
La forme de ces éruptions solaires est une preuve de l'existence du champ magnétique solaire.
5.4. La combinaison des champs électrique et magnétique
La force de Lorentz :
BvEqF  équation 5.8
Le sélecteur de vitesse On construit une région dans laquelle des champs
magnétique et électrique sont perpendiculaires. Seule les
particules dont la vitesse est :

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B
E
v
vont traverser la zone sans être déviées.
Le spectromètre de masse
Un spectromètre de masse est un dispositif qui sépare les particules chargées, en général des
ions, selon leur rapport masse/charge. Si les charges sont identiques, l'instrument peut servir à
mesurer la masse des ions. La figure représente un instrument datant de 1933. Un faisceau de
particules chargées passe dans un collimateur (qui en fait un pinceau de particules) constitué
par les fentes S1 et S2. Les particules pénètrent alors dans un sélecteur de vitesse dans lequel
le champ magnétique est 1 B et le champ électrique perpendiculaire est
E
. Il s'ensuit que
seules les particules de vitesse v = E/B1pénètrent dans la section suivante, où il ne règne qu'un
champ magnétique 2 B . Les particules décrivent des trajectoires demi-circulaires et frappent
une plaque photographique. D'après l'équation 5.6, on sait que le rayon de la trajectoire est
2
qB
mv
r. En remplaçant v = E/B1, on obtient :
r
E
BB
q
m21
équation 5.9
Pour une valeur donnée de q, le rayon de la trajectoire est proportionnel à la masse. On utilise
cette technique pour séparer les isotopes.
5.5. Le cyclotron
On obtient une multitude d'informations concernant les propriétés
des noyaux et des particules élémentaires en bombardant des
cibles atomiques avec des particules de haute énergie.
Le physicien américain Ernest Lawrence avait envisagé la
possibilité d'accélérer des particules par étapes successives à l'aide
de différences de potentiel relativement faibles. Il mit au point un
dispositif, appelé cyclotron (1930), en collaboration avec M. S.
Livingston.
Le fonctionnement du cyclotron s'appuie sur le fait que la période
orbitale d'une particule dans un champ magnétique est
indépendante de sa vitesse. Le cyclotron, représenté à la figure, est
composé de deux demi-cylindres en forme de dé, appelés Dl et
D2, séparés par un petit espace et placés dans un champ
magnétique uniforme. Au centre de l'espace se trouve une source
d'ions qui produit des particules chargées, telles que des protons
ou des particules alpha, lesquelles sont injectées dans l'un des
demi-cylindres avec une faible vitesse. On a créé le vide dans
l'appareil afin de réduire au minimum les pertes dues aux collisions avec les molécules de l'air.
Le champ magnétique pénètre dans les demi-cylindres et donne aux particules une trajectoire
circulaire.
On applique aux demi-cylindres une tension élevée dont la polarité s'inverse selon une période
correspondant au temps que mettent les particules pour parcourir une demi-révolution. Le
champ électrique associé à cette différence de potentiel est principalement confiné dans
l'espace entre les demi-cylindres. Au moment même où les particules terminent leur première
demi-révolution, D2 devient positif et Dl négatif. Puisque cette polarité accélère les particules
(positives) lorsqu'elles traversent l'espace entre les demi-cylindres, elles acquièrent l'énergie