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Les fonctions du second degré
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Introduction
Les fonctions du second degré sont les fonctions définies sur R par f(x) = ax² + bx + c, avec a
non nul. Leurs courbes représentatives ont toutes la même forme. On commence donc par
étudier la plus simple des fonctions du second degré, la fonction carré. L’étude des autres
fonctions du second degré en découlera.
Ce chapitre réemploie les méthodes de collège :
Réduire une expression algébrique.
Développer une expression algébrique.
Factoriser dans les cas simples
Factoriser des parenthèses
Factoriser avec les égalités remarquables
Rappels utiles :
Théorème :
Définition :
Définition :
Théorème :
Distributivité : a(b + c) = ab + bc
Développer c’est transformer un produit en somme
Factoriser c’est transformer une somme en produit
Identités remarquables
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
La fonction carré
Définition : la fonction carré est la fonction qui à nombre réel tout
x
f (x) = x2
La fonction carré est définie pour tout x de IR.
x associe son carré :
Variations
Définition : Une fonction est croissante sur un intervalle I si et seulement si :
pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) < f(b)
On dit que la croissance conserve l'ordre
Définition : Une fonction est décroissante sur un intervalle I si et seulement si :
pour tout a et b de I, Si a < b alors f(a) > f(b)
On dit que la décroissance inverse l'ordre
Application à la fonction carré
Sur ]0 ; +∞[
posons 0 < a < b
en multipliant par a chaque terme on
obtient : 0 < a² < ab car a est positif.
De même en multipliant par b chaque
terme de l’inégalité de départ on obtient : 0
< ab < b² car b est positif.
On déduit de ces deux inégalités que 0 < a²
< ab < b² et donc que f(a) < f(b)
La fonction carré est donc croissante sur
]0 ; +∞[.
Sur [0 ; +∞[
posons a < b < 0
en multipliant par a chaque terme on
obtient : a² > ab > 0 car a est négatif.
De même en multipliant par b chaque
terme de l’inégalité de départ on obtient :
ab > b² > 0 car b est négatif.
On déduit de ces deux inégalités que a² >
ab > b² > 0 et donc que f(a) > f(b)
La fonction carré est donc décroissante sur
]–∞ ; 0[.
Définition : Dire que, sur l’intervalle [a ; b] la fonction f admet un maximum de y0 en x0
équivaut à dire que f est croissante de a à x0 et est décroissante de x0 à b
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Thierry Loof
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Définition : Dire que, sur l’intervalle [a ; b] la fonction f admet un minimum de y0 en x0
équivaut à dire que f est décroissante de a à x0 et est croissante de x0 à b
Définition : Minimums et maximums d’une fonction sont ses extremums.
Les variations d’une fonction et ses extremums sont résumés dans le tableau de variations
Le tableau de variation de la fonction carré est donc :
x
–
0
+
+
+
x²
0
1. Tableau de valeur
x
f(x)
–2
4
–3/2
9/4
–1
1
–1/2
1/4
0
0
1/2
1/4
1
1
3/2
9/4
2
4
2. Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction carré est une parabole

j
O

i
La connaissance de la courbe représentative de la fonction carré est utile pour :
Résoudre une équation de la forme x² = a
Résoudre une inéquation de la forme x² >< a
Encadrer un carré
Les fonctions du second degré
Définition :
Théorème :
Théorème :
Définition :
Théorème :
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a, b et c sont trois réels quelconques, a est non nul.
On appelle fonction du second degré toute fonction qui à tout réel x
associe ax² + bx + c.
La courbe représentative d’une fonction du second degré est une parabole que
l’on peut déduire de la courbe de la fonction carré
Si f est une fonction du second degré dont la courbe représentative a pour
sommet S ( ; ), alors on a f(x) = a(x – )² + 
a(x – )² +  est appelé forme canonique de la fonction f.
Le tableau de variation d’une fonction du second degré est donc :
– Si a a > 0
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x

–∞
+∞
f(x)

– Si
a<0
x

–∞

+∞



f(x)
La forme canonique permet de :
Justifier un extrémum minimum ou maximum
Déterminer le tableau de variations d’une fonction du second degré
Recherche des racines d’une fonction du second degré
Théorème :
Une fonction du second degré a une forme factorisée si et seulement si
l’équation f(x)= 0 a des solutions.
 Certaines fonctions du second degré n’ont pas de forme factorisées alors que toute ont une forme développée
et une forme canonique.
Théorème : Si une fonction du second degré a deux racines, son expression factorisée est :
a(x – x1)(x – x2)
Résoudre une équation-produit
Factoriser une expression en recherchant les racines à la calculatrice
Justifier de l’égalité de deux expressions
Choisir la forme d'une expression algébrique la plus adaptée
Etude du signe d’une fonction du second degré
Le tableau de signe d’une fonction du second degré
Dresser le tableau de signe d'une équation-produit
Résoudre une inéquation-produit avec un tableau de signes
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