Groupes finis

Groupes finis
Jean-Pierre Serre

Cours à l’École Normale Supérieure de Jeunes Filles, /
rédigé par Martine Buhler et Catherine Goldstein
(Montrouge, )
révisé et transcrit en L
A
T
EX par
Nicolas Billerey, Olivier Dodane et Emmanuel Rey
(Strasbourg – Paris, )

Table des matières
1 Préliminaires 5
1.1 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sous-groupes normaux ; sous-groupes caractéristiques ; groupes simples . . 6
1.3 Filtrations et théorème de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Théorèmes de Sylow 10
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Existence des p-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Première démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Seconde démonstration (Miller-Wielandt) . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Propriétés des p-Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Groupes résolubles et groupes nilpotents 17
3.1 Groupes résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Suite centrale descendante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Groupes nilpotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Groupes nilpotents finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Cas des groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.6 Sous-groupe de Frattini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Cohomologie et extensions 29
4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Groupes finis : un critère de nullité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4 Extensions de groupes d’ordres premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Relèvements d’homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3

Table des matières 4
5 Groupes résolubles et sous-groupes de Hall 40
5.1 Π-sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Préliminaires : sous-groupes permutables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Systèmes permutables de sous-groupes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Démonstration du th. 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.5 Un critère de résolubilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.6 Démonstration du th. 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Groupes de Frobenius 45
6.1 Réunion des conjugués d’un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Groupes de Frobenius : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Structure de N................................. 48
6.4 Structure de H................................. 50
7 Transfert 52
7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Calcul du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.3 Exemples d’utilisation du transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3.1 Premier exemple (Gauss) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.3.2 Second exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.4 Transfert dans un sous-groupe de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.5 Application : groupes simples d’ordre impair inférieur à 2000 . . . . . . . 57
7.6 Application : groupes simples non abéliens d’ordre inférieur à 200 . . . . . 57
A Théorie des caractères 60
A.1 Représentations et caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A.2 Relations d’orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
A.3 Caractères et fonctions centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
A.4 Exemples de caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
A.5 Propriétés d’intégralité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.6 Application : théorème de Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
A.7 Démonstration du théorème de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Bibliographie 73
Index 74

Chapitre 1
Préliminaires
Ce chapitre est essentiellement constitué de rappels sur la théorie générale des groupes.
La lettre Gdésigne un groupe.
1.1 Actions de groupes
Définition 1.1 On dit que le groupe Gopère à gauche sur un ensemble Xsi l’on s’est
donné une application G×X−→ X
(g, x)7−→ g.x
vérifiant les conditions :
(1) g.(g0.x) = (gg0).x pour tout x∈Xet tout couple (g, g0)∈G×G.
(2) 1.x =xpour tout x∈X, où 1est l’élément neutre de G.
Remarque. La donnée d’une action à gauche de Gsur Xéquivaut à la donnée d’un
homomorphisme τde Gdans le groupe SXdes permutations de Xdéfini pour tout
g∈Get tout x∈Xpar τ(g)(x) = g.x.
On aurait une définition analogue pour les opérations à droite.
Le groupe Gdécoupe alors Xen orbites : deux éléments xet yde Xsont dans la même
orbite si et seulement s’il existe g∈Gtel que x=g.y. L’ensemble des orbites est le
quotient de Xpar Get est noté G\Xdans le cas d’une action à gauche (et X/G dans
le cas d’une action à droite).
Définition 1.2 On dit que Gagit transitivement sur X si G\Xest réduit à un élément.
En particulier, le groupe Gagit transitivement sur chaque orbite.
Définition 1.3 Soit x∈X; on appelle stabilisateur de x(ou fixateur de x) et on note
Hxle sous-groupe de Gformé des éléments g∈Gqui fixent x(i.e. tels que g.x =x).
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