Proséminaire SA 2016 – Structures de sous-groupes

Proséminaire SA 2016
– Structures de sous-groupes –
Aurelio Privitera
Contact: [email protected]h
Responsable: Dr. Corina Ciobotaru
29.11.2016
Pour établir la propriété de connexité dans les graphes de Ramanujan Xp,q , qui seront
construits à partir du chapitre 4, on doit d’abord comprendre quelques structures de
sous-groupes de PSL2(q).
1

Contents
1 Structure de sous-groupes 3
2 Exercices 14
2.1 Exercice1.................................... 14
2.2 Exercice2.................................... 14
2.3 Exercice3.................................... 15
2

1 Structure de sous-groupes
On va d’abord rappeler que si on a un ensemble X et σ une permutation de X avec x∈
X, l’orbite de xsous σest l’ensemble Ωx={σk(x) : k∈Z}
Lemme 1.1. Soit σ une permutation d’un ensemble X . Si σ est d’ordre p avec p nombre
premier, alors chaque orbite σde Xpossède soit un élément soit p éléments.
Preuve. Soit H le sous-groupe engendré par σ dans Sym( X ). Par le cours d’Algèbre et
Géometrie I/II on sait que pour un groupe on a la formule suivante:
|H|=|Ωx| · |Hx|.
Donc pour x∈X , par la formule d’orbite on a que | Ω
x|
=
|H|
|Hx|
, où Hx = {α∈H : α ( x )
= x} est le stabilisateur de x dans H . Dans notre cas |H| = p par hypothèse, donc soit
|Hx| = 1 et | Ω
x|
= p, ou |Hx| = p et | Ω
x|
= 1. (On peut remarquer que si | Ω
x|
= 1, alors
xest un point fixe de σ.)
Comme première application de ce lemme nous prouvons le théorème de Cauchy. Ce
théorème donne une condition pour d’élments d’ordre premier dans un groupe fini.
Théorème 1.2 (Théorème de Cauchy) . Soit G un groupe fini, et soit p un nombre
premier. Si pdivise |G|, alors Gcontient un élément d’ordre p.
Preuve. On considère le produit Gp = G×G ... ×G ( p facteurs). Soit σ la permutation
cyclique des facteurs :
σ(g1,g2,...,gp) = (g2,...,gp,g1).
Clairement σ est une permutation de Gp d’ordre p . Maintenant, soit H le sous-ensemble
de Gpdéfini par
H={(g1,g2,...,gp)∈Gp:g1g2...gp= 1 }.
Clairement |H| = |G|p−1 , puisque nous pouvons choisir librement les p - 1 premières
coordonnées dans un p-tuple en H . Si g1g2 ... gp = 1, nous obtenons par la conjugaison
g1−1 que g2 ... gpg1 = 1, ce qui signifie que H est invariant par σ . À partir de maintenant,
nous considérons σ comme une permutation de H . Puisque les orbites de σ partitionnent
H , et comme |H| est un multiple de p par hypothèse, on voit que la somme des ordres
des orbites de σ dans H est congru à 0 modulo p . Par le lemme 1.1 ci-dessus, les orbites
sont soit des points fixes, ou ont p éléments. Comme σ a au moins un point fixe dans
H , notamment le p -tuple (1,1,...,1), il doit avoir au moins p - 1 autres points fixes, pour
correspondre à la congruence ci-dessus. Un tel point fixe est clairement de la forme
( g , g ,..., g ), avec g6 =1. Ce p -tuple étant un élément de H , il doit satisfaire gp = 1, i.e g
est d’ordre pdans G. Ceci conclut la preuve.
3

Maintenant nous allons donner une nouvelle définition théorique d’un groupe.
Définition 1.3. Un groupe G est m é tab é lien s’il admet un sous-groupe normal N tel
que Net G/N sont abéliens.
En particulier, les groupes abéliens sont aussi métabéliens, et les groupes métabéliens
sont résolubles. De plus les sous-groupes de groupes métabéliens sont métabéliens.
En 1901, le mathématicien américain Dickson (1874 - 1954), spécialiste en théorie des
nombres et en algèbre, a donné une liste, incluant tous les isomorphismes, de tous les
sous-groupes de PSL2 ( q ), où q est un nombre premier. En faisant particulièrement
attention au cas où q est un nombre premier, et en regardant la liste de Dickson, on
a remarqué que tous les sous-groupes propres de PSL2 ( q )sont métabéliens, avec deux
exceptions possibles:
•Sym(4), d’ordre 24, qui est résoluble mais pas métabélien
•Alt(5), d’ordre 60, qui est simple non-abélien
Notre but dans cette section est de donner une preuve directe de ce fait.
Théorème 1.4. Soit q un nombre premier. Soit H un sous-groupe propre de PSL2 ( q ),
tel que |H|> 60. Alors Hest métabélien.
Le théorème 1.4 suit immédiatement des deux résultats suivants.
Proposition 1.5. Soit q un nombre premier, et soit H un sous-groupe propre de PSL2 ( q ).
Si qdivise |H|, alors Hest métabélien.
Proposition 1.6. Soit q un nombre premier, et soit H un sous-groupe propre de PSL2 ( q ).
Si |H| > 60 et q ne divise pas |H| , alors H possède un sous-groupe abélien d’indice au
plus 2; en particulier Hest métabélien (voir exercice 1 à la fin du script, page 14).
Pour prouver la proposition 1.5 on va d’abord donner une description des éléments
d’ordre q dans PSL2 ( q ). On rappelle que ϕ : SL2 ( q ) →PSL2 ( q )définie par ϕ ( A )=
ϕA désigne la carte canonique ou transformation linéaire fractionnaire (transformation
de Möbius). En plus on rappelle que P1 ( IFq ) = IFq∪ {∞} est la droite projective sur
IFq , c’est à dire l’espace projectife sur IFq de dimension 1 où IFq est un corps fini avec q
éléments tel que q=plavec pnombre premier (pest la caractéristique de IFq).
Exemple : IR →P1 ( IR2 ) = IR2/{ 0 , 0 }.∼ avec ( x1, y1 ) v ( x2, y2 )si et seulement si (0 , 0)
appartient à la ligne qui passe par (x1, y1)et (x2, y2).
Notation : pour simplicité de calcul, on pose Cb comme la matrice donnée par Cb =
1b
0 1!.
Lemme 1.7. Soit q un nombre premier. Pour A∈SL2 ( q ), les propriétés suivantes sont
équivalentes:
4

i) ϕAest d’ordre q;
ii) il existe un unique sous-espace unidimensionel D de IF2
q
tel que A ou - A fixe D point
par point;
iii) ϕAest conjugué dans P GL2(q)à un certain ϕCbavec b∈IF×
q
Preuve. i) ⇒ ii) Nous rappelons que ϕA est une transformation linéaire fractionnaire
sur P1 ( IFq ). Vu que P1 ( IFq )= IFq∪ {∞} , alors |P1 ( IFq ) | = q +1( |IFq| = q ) et ϕA est
d’ordre q par hypothèse. IFq∪ {∞} =
F
x∈P1(IFq)
< ϕA> x , où < ϕA> est le sous-groupe
engendré par ϕA , i.e. < ϕA> = {ϕn
A
: n∈IN} . On sait par le lemme 1.1 que soit
|< ϕA> x| =1, soit |< ϕA> x| = q . Supposons que toutes les orbites sont d’ordre 1,
donc ∀x∈P1(IFq)|< ϕA> x|=1.
⇒< ϕA> x =x∀x∈P1(IFq)
⇒ϕA=id dans P SL2(q), ce qui est une contradiction car ϕAest d’ordre q
Alors ∃x∈P1 ( IFq )tel que |< ϕA> x| = q . Vu que |P1 ( IFq ) | = q + 1, il reste un élément
y6∈< ϕA> x tel que < ϕA> y = y . Il en suit par le lemme 1.1 que ϕA possède un
unique point fixe dans P1 ( IFq )ce qui correspond à un sous-espace unidimensionnel D de
IF2
q
qui est globalement invariant sous A (peut seulement faire une dilatation des points
sur la droite D). L’application
ϕ:SL2(q)→PSL2(q)
a pour noyau
( 1 0
0 1!
,
−1 0
0−1!)
, donc A peut être ou simplement A , qui est d’ordre
q ou A −1 0
0−1!
, qui est d’ordre 2 q . Donc A est d’ordre q ou 2 q dans SL2 ( q ). On
analyse maintenant ces deux cas:
a) A est d’ordre q . Vu que A agit sur la droite D avec au moins un point fixe (notamment
(0,0)), et vu que |D| = q , car la droite D est de la forme D =
a
b!IFq
, ça veut dire
qu’il reste q− 1points et par le lemme 1.1 ces points sont soit dans une orbite d’ordre
1, soit dans une orbite d’ordre q . Ce dernier cas n’est pas possible car nous avons
exactement p - 1 points, donc chaque point est dans une orbite d’ordre 1 et donc A
fixe Dpoint par point.
b) A est d’ordre 2 q , alors par la définition de l’ordre on a que A2q = id, donc ( A2 )
q
=
id et donc |A2| = q . On veut montrer que −A ( x ) = x∀x∈D donc que −A fixe D
point par point. On suppose que A(x) = x∀x∈D.
⇒A=ϕA λ0
0λ!
5