Proséminaire SA 2016 – Structures de sous-groupes

Proséminaire SA 2016
– Structures de sous-groupes –
Aurelio Privitera
Contact: [email protected]
Responsable: Dr. Corina Ciobotaru
29.11.2016
Pour établir la propriété de connexité dans les graphes de Ramanujan X p,q , qui seront
construits à partir du chapitre 4, on doit d’abord comprendre quelques structures de
sous-groupes de PSL2 (q).
1
Contents
1 Structure de sous-groupes
3
2 Exercices
14
2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2
1
Structure de sous-groupes
On va d’abord rappeler que si on a un ensemble X et σ une permutation de X avec x ∈
X, l’orbite de x sous σ est l’ensemble Ωx = {σ k (x) : k ∈ Z}
Lemme 1.1. Soit σ une permutation d’un ensemble X. Si σ est d’ordre p avec p nombre
premier, alors chaque orbite σ de X possède soit un élément soit p éléments.
Preuve. Soit H le sous-groupe engendré par σ dans Sym(X). Par le cours d’Algèbre et
Géometrie I/II on sait que pour un groupe on a la formule suivante:
|H| = |Ωx | · |Hx |.
|H|
, où Hx = {α ∈ H: α(x)
| Hx |
= x} est le stabilisateur de x dans H. Dans notre cas |H| = p par hypothèse, donc soit
|Hx | = 1 et |Ωx | = p, ou |Hx | = p et |Ωx | = 1. (On peut remarquer que si |Ωx | = 1, alors
x est un point fixe de σ.)
Donc pour x ∈ X, par la formule d’orbite on a que |Ωx |=
Comme première application de ce lemme nous prouvons le théorème de Cauchy. Ce
théorème donne une condition pour d’élments d’ordre premier dans un groupe fini.
Théorème 1.2 (Théorème de Cauchy). Soit G un groupe fini, et soit p un nombre
premier. Si p divise |G|, alors G contient un élément d’ordre p.
Preuve. On considère le produit Gp = G × G ... × G (p facteurs). Soit σ la permutation
cyclique des facteurs :
σ(g1 ,g2 ,...,gp ) = (g2 ,...,gp ,g1 ).
Clairement σ est une permutation de Gp d’ordre p. Maintenant, soit H le sous-ensemble
de Gp défini par
H= {(g1 ,g2 ,...,gp ) ∈ Gp : g1 g2 ...gp = 1 }.
Clairement |H| = |G|p−1 , puisque nous pouvons choisir librement les p - 1 premières
coordonnées dans un p-tuple en H. Si g1 g2 ...gp = 1, nous obtenons par la conjugaison
g1 −1 que g2 ...gp g1 = 1, ce qui signifie que H est invariant par σ. À partir de maintenant,
nous considérons σ comme une permutation de H. Puisque les orbites de σ partitionnent
H, et comme |H| est un multiple de p par hypothèse, on voit que la somme des ordres
des orbites de σ dans H est congru à 0 modulo p. Par le lemme 1.1 ci-dessus, les orbites
sont soit des points fixes, ou ont p éléments. Comme σ a au moins un point fixe dans
H, notamment le p-tuple (1,1,...,1), il doit avoir au moins p - 1 autres points fixes, pour
correspondre à la congruence ci-dessus. Un tel point fixe est clairement de la forme
(g,g,...,g), avec g 6= 1. Ce p-tuple étant un élément de H, il doit satisfaire g p = 1, i.e g
est d’ordre p dans G. Ceci conclut la preuve.
3
Maintenant nous allons donner une nouvelle définition théorique d’un groupe.
Définition 1.3. Un groupe G est métabélien s’il admet un sous-groupe normal N tel
que N et G/N sont abéliens.
En particulier, les groupes abéliens sont aussi métabéliens, et les groupes métabéliens
sont résolubles. De plus les sous-groupes de groupes métabéliens sont métabéliens.
En 1901, le mathématicien américain Dickson (1874 - 1954), spécialiste en théorie des
nombres et en algèbre, a donné une liste, incluant tous les isomorphismes, de tous les
sous-groupes de PSL2 (q), où q est un nombre premier. En faisant particulièrement
attention au cas où q est un nombre premier, et en regardant la liste de Dickson, on
a remarqué que tous les sous-groupes propres de PSL2 (q) sont métabéliens, avec deux
exceptions possibles:
• Sym(4), d’ordre 24, qui est résoluble mais pas métabélien
• Alt(5), d’ordre 60, qui est simple non-abélien
Notre but dans cette section est de donner une preuve directe de ce fait.
Théorème 1.4. Soit q un nombre premier. Soit H un sous-groupe propre de PSL2 (q),
tel que |H| > 60. Alors H est métabélien.
Le théorème 1.4 suit immédiatement des deux résultats suivants.
Proposition 1.5. Soit q un nombre premier, et soit H un sous-groupe propre de PSL2 (q).
Si q divise |H|, alors H est métabélien.
Proposition 1.6. Soit q un nombre premier, et soit H un sous-groupe propre de PSL2 (q).
Si |H| > 60 et q ne divise pas |H|, alors H possède un sous-groupe abélien d’indice au
plus 2; en particulier H est métabélien (voir exercice 1 à la fin du script, page 14).
Pour prouver la proposition 1.5 on va d’abord donner une description des éléments
d’ordre q dans PSL2 (q). On rappelle que ϕ : SL2 (q) → PSL2 (q) définie par ϕ(A) =
ϕA désigne la carte canonique ou transformation linéaire fractionnaire (transformation
de Möbius). En plus on rappelle que P 1 (IFq ) = IFq ∪ {∞} est la droite projective sur
IFq , c’est à dire l’espace projectife sur IFq de dimension 1 où IFq est un corps fini avec q
éléments tel que q = pl avec p nombre.premier (p est la caractéristique de IFq ).
Exemple: IR → P 1 (IR2 ) = IR2 /{0, 0} ∼ avec (x1 , y1 ) v (x2 , y2 ) si et seulement si (0, 0)
appartient à la ligne qui passe par (x1 , y1 ) et (x2 , y2 ).
pour simplicité de calcul, on pose Cb comme la matrice donnée par Cb =
Notation:
!
1 b
.
0 1
Lemme 1.7. Soit q un nombre premier. Pour A ∈ SL2 (q), les propriétés suivantes sont
équivalentes:
4
i) ϕA est d’ordre q;
ii) il existe un unique sous-espace unidimensionel D de IF2q tel que A ou -A fixe D point
par point;
iii) ϕA est conjugué dans P GL2 (q) à un certain ϕCb avec b ∈ IF×
q
Preuve. i) ⇒ ii) Nous rappelons que ϕA est une transformation linéaire fractionnaire
sur P 1 (IFq ). Vu que P 1 (IFq ) = IFq ∪ {∞}, alors |P 1 (IFq )| = q + 1 (|IFq | = q) et ϕA est
F
d’ordre q par hypothèse. IFq ∪ {∞} =
< ϕA > x, où < ϕA > est le sous-groupe
x∈P 1 (IFq )
engendré par ϕA , i.e. < ϕA >= {ϕnA : n ∈ IN}. On sait par le lemme 1.1 que soit
|< ϕA > x| = 1, soit |< ϕA > x| = q. Supposons que toutes les orbites sont d’ordre 1,
donc ∀x ∈ P 1 (IFq ) |< ϕA > x| = 1.
⇒ < ϕA > x = x ∀x ∈ P 1 (IFq )
⇒ ϕA = id dans P SL2 (q), ce qui est une contradiction car ϕA est d’ordre q
Alors ∃x ∈ P 1 (IFq ) tel que |< ϕA > x| = q. Vu que |P 1 (IFq )| = q + 1, il reste un élément
y 6∈< ϕA > x tel que < ϕA > y = y. Il en suit par le lemme 1.1 que ϕA possède un
unique point fixe dans P 1 (IFq ) ce qui correspond à un sous-espace unidimensionnel D de
IF2q qui est globalement invariant sous A (peut seulement faire une dilatation des points
sur la droite D). L’application
ϕ : SL2 (q) → PSL2 (q)
(
a pour noyau
!
1 0
,
0 1
!)
−1 0
0 −1
, donc A peut être ou simplement A, qui est d’ordre
!
−1 0
, qui est d’ordre 2q. Donc A est d’ordre q ou 2q dans SL2 (q). On
0 −1
analyse maintenant ces deux cas:
q ou A
a) A est d’ordre q. Vu que A agit sur la droite D avec au moins un point!fixe (notamment
a
(0,0)), et vu que |D| = q, car la droite D est de la forme D =
IFq , ça veut dire
b
qu’il reste q − 1 points et par le lemme 1.1 ces points sont soit dans une orbite d’ordre
1, soit dans une orbite d’ordre q. Ce dernier cas n’est pas possible car nous avons
exactement p - 1 points, donc chaque point est dans une orbite d’ordre 1 et donc A
fixe D point par point.
b) A est d’ordre 2q, alors par la définition de l’ordre on a que A2q = id, donc (A2 )q =
id et donc |A2 | = q. On veut montrer que −A(x) = x ∀x ∈ D donc que −A fixe D
point par point. On suppose que A(x) = x ∀x ∈ D.
⇒ A = ϕA
5
λ 0
0 λ
!
⇒ ϕA
! λ 0
x
0 λ
=x
!
⇒
λ 0
x = x ⇒ λ = 1 ⇒ ϕA = A, ce qui est une contradiction car ϕA est
0 λ
d’ordre q
Alors A agit sur D par x → −x et donc −A fixe D point par point.
ii) ⇒ iii) On choisit une base {e1 , e2 } de IF2q , avec e1 ∈ D et e2 ∈ IF2q \D. La matrice
A fixe D point par point dans le sens
! où A(D) = D ou A(D) = −D. La matrice A dans
a b
cette base est de la forme
, avec a = d = ±1 et b =
6 0 car par la formule de
0 d
changement de base on a que a = hAe1 , e1 i = 1 car Ae1 = e1 vu que e1 ∈ D, puis c =
hAe1 , e2 i = 0 car Ae1 = e1 vu que e1 ∈ D et he1 , e2 i = 0, et enfin d = hAe2 , e2 i = 1. Vu
que A ∈ SL2 (q) → ϕA ∈ PSL2 (q), et par la partie d’avant on a que la matrice A est de
la forme
±1 b
0 ±1
!
dans la base e1 et e2 .
Par la formule de changement de base on sait que A = BAe1 ,e2 B −1 , donc Ae1 ,e2 = B −1 AB
et donc ϕAe1 ,e2 = ϕ(B −1 AB) = ϕ(B −1 )ϕA ϕ(B). Cela signifie que, dans P GL2 (q), la
transformation ϕA est conjugée à ϕCab = ϕ(B −1 )ϕA ϕ(B) avec B ∈ GL2 (q) et ϕ(B) ∈
P GL2 (q) .
iii) ⇒ i) Cette implication est immédiate car ϕCb est d’ordre q, en effet
1 b
0 1
!q
!
=
1 qb
0 1
= id, car qb = 0 (q = pl où p est la caractéristique de IFq ).
Par la preuve ci-dessus, on peut affirmer les suivantes choses: soient A,B ∈ SL2 (q)
tel que ϕA et ϕB sont d’ordre q; si A,B fixent globalement la même ligne D dans IF2q ,
alors ϕA et ϕB génèrent le même sous-groupe d’ordre q dans PSL2 (q).
Preuve de la proposition 1.5. Puisque q divise |H|, par le théoreme de Cauchy 1.2 on
sait que H contient au moins un sous-groupe d’ordre q.
Assertion. On va d’abord prouver que H contient un unique sous-groupe d’ordre
q. En effet, on suppose par contradiction que C1 et C2 sont deux sous-groupes distincts
d’ordre q. Par le lemme 1.7 et la remarque ci-dessus, ils correspondent à deux différentes
lignes D1 , D2 dans IF2q . Choisissons une base {e1 , e2 } de IF2q , avec ei ∈ Di (i = 1,2). En
travaillant dans cette base (comme on l’a fait avant), on a que
6
(
C1 = ϕ
!
)
1 λ
0 1
: λ ∈ IFq
(
et C2 = ϕ
!
1 0
µ 1
)
: µ ∈ IFq .
Par le lemme de la section précedente 3.2.1, le sous-groupe engendré par l’union de C1 et
C2 est PSL2 (q); donc on aura que C1 ∪ C1 ⊆ H = PSL2 (q), ce qui contredit l’hypothèse
que H est un sous-groupe propre de PSL2 (q).
Alors soit C l’unique sous-groupe d’ordre q de H. Par unicité, C est un sous-groupe
normal de H (C / H), c’est-à-dire que ∀c ∈ C, ∀h ∈ H on a que hch−1 ∈ C.
Assertion. On prouve que si C est l’unique sous-groupe d’ordre q de H, alors C
est normal dans H. Si C est l’unique sous-groupe d’ordre q dans H, alors on a que
C = {e, a, b, ..., s} avec |C| = q. Mais alors hCh−1 = {heh−1 , hah−1 , ..., hsh−1 } possède
q éléments, donc vu que |C| = |hCh−1 | = q et comme C est un sous-groupe unique dans
H on peut conclure que C = hCh−1 et donc C / H.
Avec la conjugaison dans PSL2 (q), on peut supposer, par le lemme 1.7, que
(
C =ϕ
!
1 λ
0 1
)
: λ ∈ IFq ,
de sorte que l’action de C sur la ligne projective P 1 (IFq ) est une translation: z 7→ z +
λ. Puisque l’unique point fixe de C dans P 1 (IFq ) est ∞, et vu que C est sous-groupe
normal de H, on a pour tout ϕA ∈ C, ϕB ∈ H:
ϕA (ϕB (∞)) = ϕB (ϕB −1 AB (∞)) = ϕB (∞)
et donc ϕB (∞) est fixe sous C. Ainsi ϕB (∞) = ∞ pour tout ϕB ∈ H (car C ⊆ H), ce
qui signifie que H est contenu dans le stabilisateur de ∞ dans PSL2 (q). Mais cela n’est
rien d’autre que le sous-groupe
(
B0 = ϕ
a b
0 a−1
!
)
: a∈
IF×
q
, b ∈ IFq
parfois appelé le sous-groupe de Borel standard de PSL2 (q). Si on prend le sous-groupe
(
!
)
1 b
N =ϕ
: b ∈ IFq , on peut facilement verifier que N est abélien, N / B0 , et
0 1
aussi que le quotient B0 N est abélien, donc par la définition 1.3, B0 est métabélien. Vu
que B0 est metabélien, alors H aussi vu que H ⊂ B0 .
Avant de prouver la proposition 1.6, nous avons besoin d’une terminologie en plus.
Définition 1.8. Soit G un groupe; soient J ⊆ H ⊆ G deux sous-groupes et soit g ∈ G.
a) Le centralisateur CH (g) de g dans H est le sous-groupe des éléments en H qui
commutent avec g:
CH (g) = {h ∈ H: hg = gh }.
7
b) Le normalisateur NH (J) de J dans H est le sous-groupe des éléments de H qui
normalisent J:
NH (J) = {h ∈ H: hJh−1 = J}
Lemme 1.9. Soit G un groupe fini, et soit Z un sous-groupe central de G. Supposons que,
pour tout g ∈ G − Z, le centralisateur CG (g) est abélien. Soient J, K deux sous-groupes
maximaux abéliens de G. Si J 6= K, alors J ∩ K = Z.
Preuve. Nous remarquons d’abord que chaque sous-groupe abélien maximal J de G doit
contenir Z. Effectivement, étant donné que Z est un élément du centre, JZ = ZJ est un
groupe abélien contenant J. Par maximalité, on doit avoir JZ = J, i.e Z ⊆ J.
Assertion. Pour tout g ∈ G − Z, le centralisateur CG (g) est un sous-groupe maximal
abélien de G. En effet, soit J un sous-groupe abélien maximal de G contenant CG (g).
Puisque J commute avec g, c’est-à-dire que ∀h ∈ J, ∀g ∈ G − Z on a que hg = gh car J
est abélien, nous devons avoir que J ⊆ CG (g), i.e. J = CG (g).
Le lemme est maintenant facile à prouver. Si J,K sont des sous-groupes abéliens
maximaux de G avec J ∩ K 6= Z, il existe un élément g ∈ (J ∩ K) - Z. Alors CG (g) est
abélien maximal (par l’assertion), et J ⊆ CG (g), K ⊆ CG (g) car J,K sont abéliens. Par
maximalité nous devons avoir que J = CG (g) = K.
Remarque. Notez que l’hypothèse dans le lemme 1.9 est héritée pour un sous-groupe
de G contenant Z. Nous montrons maintenant que cette hypothèse est satisfaite pour
SL2 (q), avec q nombre premier.
Lemme 1.10. Soit q un nombre premier. Chaque matrice non-scalaire de SL2 (q) possède
un centre abélien.
Remarque. Le terme matrice scalaire est utilisé pour désigner une matrice qui est un
multiple de la matrice identité (multiplication de la matrice identité par un scalaire).
!
a b
Preuve. Soit A =
une matrice non-scalaire de SL2 (q). On considère la transforc d
mation linéaire fractionnaire (transformation de Möbius) ϕA en P 1 (IFq2 ) pour trouver
des point fixes, ou bien la ligne sur le corps avec q 2 éléments. L’équation du point fixe
est clairement donnée par:
az + b
=z
cz + d
et donc on cherche des z tel que cz 2 + z(d − a) − b = 0. On considère la transformation
linéaire fractionnaire (transformation de Möbius) ϕA dans P 1 (IFq2 ) car peut-être que
l’équation du point fixe n’a pas une solution dans P 1 (IFq ) et donc on doit regarder sur
l’extension de corps de SL2 (q) qui est SL2 (q 2 ) (A ∈ SL2 (q) ⊂ SL2 (q 2 )). En fait, il peut
arriver que le polynôme cz 2 + z(d − a) − b ne soit pas réductible sur IFq mais dans
8
(avec p(x) réductible) il est réductible, et donc on peut trouver des
IFq2 = IFq [x]
p(x)
solutions (des points fixes).
Vu que A est une matrice non-scalaire, par définition on a que ϕA 6= Id. ϕA possède une
ou deux solutions dans P 1 (IFq2 ). Nous séparons les deux cas:
a) ϕA possède un unique point fixe; avec la conjugaison de P GL2 (q 2 ), nous pouvons
supposer que ce point fixe est ∞; alors ϕA est une translation:
ϕA (z) = z + b (z ∈ IFq2 ),
!
donc la matrice A est clairement de la forme A = ±
1 b
. Le centralisateur de A
0 1
dans SL2 (q 2 ) est le sous-groupe
!
1 λ
{±
, λ ∈ IFq2 },
0 1
qui est abélien.
b) ϕA possède deux points fixes; avec la conjugaison de P GL2 (q 2 ), nous pouvons supposer
que les points fixes sont 0 et ∞. Alors ϕA (z) = α2 z pour un α ∈ IF×
q2 , α 6= ± 1 (car
on suppose que la matrice n’est pas scalaire). Cela signifie que A doit être de la forme:
!
α
0
.
0 α−1
A=±
Alors le centralisateur de A dans SL2 (q 2 ) est le sous-groupe diagonal, qui est abélien.
Lemme 1.11. Soit q un nombre premier impair. Soit H un sous-groupe de SL2 (q),
contenant des matrices scalaires, tel que q ne divise pas |H|. Si J est un sous-groupe
maximal abélien de H, alors [NH (J) : J] ≤ 2.
Preuve. Le résultat est trivial quand H est le sous-groupe des matrices scalaires dans
SL2 (q) car dans ce cas NH (H) = H et donc [NH (H) : H] = [H : H] = 1. Donc on peut
supposer que H, et donc aussi J, contient une certaine matrice non-scalaire A. Comme
dans la preuve du lemme 1.11, on considère la transformation linéaire fractionnaire ϕA
sur P 1 (IFq2 ).
Assertion. On va d’abord prouver que ϕA possède deux points fixes sur P 1 (IFq2 ).
Effectivement, si ϕ!
A possède seulement un point fixe, alors A est conjugué dans L =
1 b
SL2 (q 2 ) à ±
. Dans ce cas A est d’ordre q ou 2q, alors q divise |H|, ce qui est
0 1
9
clairement une contradiction.
Avec la conjugaison dans L, on peut supposer que les points fixes de ϕA sont {0, ∞}.
Puisque J est abélien on a que ∀A ∈ J, AB = BA ∀B ∈ J et donc BAB −1 = A
∀A, B ∈ J, ce qui implique que J ⊂ NH (J). De plus on a J ⊆ CL (A) = "fixe {0, ∞}", où
(
CL (A) =
a 0
0 a−1
!
)
: a∈
IF×
q2
.
Maintenant, pour g ∈ J, n ∈ NH (J) et z ∈ {0, ∞}, on a
g(n(z)) = n(n−1 gn(z)) = n(z)
car n−1 gn ∈ J. Donc n(z) est fixe sous J, alors n(z) ∈ {0, ∞}. Ceci montre que
chaque élément de NH (J) agit comme une permutation sur {0, ∞}, ce qui définit un
homomorphisme
ω : NH (J) → Sym {0, ∞}.
Clairement le noyau Ker(ω) est contenu dans CL (A) carker(ω) fixe les points {0, ∞}, et
Ker(ω) est donc abélien. D’autre part, Ker(ω) contient J car ω(g ∈ J) = id et donc
J ⊆ ker(ω). Puisque J est un sous-groupe maximal abélien de H, on doit avoir Ker(ω)
= J. Donc par le premier théorème d’isomorphisme on a
[NH (J) : J] = [NH (J)/J] ≤ 2 = |Sym{0, ∞}|.
Preuve de la proposition 1.6. Soit H un sous-groupe de PSL2 (q), avec |H| > 60, tel que
q ne divise pas |H|. Vu que dans la section précédente on a prouvé que pour q impair
q(q 2 − 1)
|PSL2 (q)| =
et pour q pair |PSL2 (q)| = q(q 2 − 1), alors on doit avoir que q ≥
2
7, en particulier q est impair. Comme on l’a défà vu dans le lemme 1.1, la transformation
de Möbius
ϕ : SL2 (q) → PSL2 (q)
(
possède un noyau d’ordre 2. Soit H̃ =
1 0
±
0 1
ϕ−1 (H).
En prenant le sous-groupe P =
!)
dans SL2 (q), on sait que ce sous-groupe commute avec tous les éléments de
SL2 (q) et par la formule de l’indice on a |H̃| = (H̃ : P ) · |P |, donc si on pose (H̃ : P ) =
h on a que |H̃| = 2h.
On denote par C1 , ..., Cs les classes de conjugaison des sous-groupes abéliens maximaux J
de H̃ avec [NH̃ (J) : J] = 1, et par Cs+1 , ..., Ct les classes de conjugaison de sous-groupes
abéliens maximaux J de H̃ avec [NH̃ (J) : J] = 2. Par le lemme 1.11 on sait que ce sont
les seules possibilités. Notons que, vu que H̃ contient au moins un sous-groupe maximal
10
(
!)
1 0
abélien, on a que s + t ≥ 1. Si on prend encore une fois le sous-groupe P = ±
,
0 1
alors pour un représentant Ji de Ci , la formule d’indice donne |Ji | = (Ji : P ) · |P | = 2gi
avec gi = (Ji : P ).
Assertion. Pour toute matrice non-scalaire A ∈ H̃, il existe un unique indice i
(1 ≤ i ≤ s + t) tel que A est conjugé dans H̃ à un certain élément de Ji .
Existence: évident car A est contenue dans un certain sous-groupe maximal abélien de
H̃, lui-même conjugué à un certain Ji .
U nicité: on suppose que A est conjuguée à un élément de Ji et à un élément de Jj , donc:
Bi ABi−1 ∈ Ji et Bj ABj−1 ∈ Jj
pour certains Bi , Bj ∈ H̃. Alors A ∈ Bi−1 Ji Bi ∩ Bj−1 Jj Bj . Par le lemme 1.10, le groupe
H̃ satisfait les hypothèses du lemme 1.9. Vu que Bi−1 Ji Bi et Bj−1 Jj Bj sont des sousgroupes abéliens maximaux de H̃, il suit du lemme 1.9 que Bi−1 Ji Bi = Bj−1 Jj Bj . Donc
Ji et Jj sont conjugués dans H̃. Alors i = j. Ce prouve l’assertion.
Grâce à l’assertion qu’on vient de montrer, pour un i fixe, le nombre de matrices
non-scalaires dans H̃ qui sont conjuguées à un certain élément de Ji est (|Ji | - 2)· |Ci |
(on fait "-2" parce qu’on doit enlever le noyau qui est de deux matrices scalaires et donc
est d’ordre 2). Mais vu que StabH̃ (Ji ) = NH̃ (Ji ), par la formule de l’indice on a que |H̃|
= (H̃ : NH̃ (Ji )) · |NH̃ (Ji )|.
| H̃ |
| H̃ |
(H̃ : NH̃ (Ji ) = |Ci | =
=
, donc en multipliant à droite et à
| NH̃ (Ji ) |
| Ji | [NH̃ (Ji ) : Ji ]
gauche l’égalité par (|Ji | - 2) et en posant à droite |H̃| = 2h et |Ji | = 2gi , on obtient en
(gi −1)2h
simplifiant le valeur 2 l’égalité suivante: (|Ji | - 2)|Ci | = gi [N
(Ji ):Ji ] . Donc
H̃
2h - 2 =
(gi − 1)2h
+
gi
i=1
s
P
(gj − 1)2h
.
2gj
j=s+1
s+t
P
Après quelques manipulations, ceci conduit à la relation de base:
s
P
1
1
1= +
1−
h
g
i
i=1
s+t
P
1
1
+
1−
.
2
g
j
j=s+1
1
1
≥ et donc
gi
2
1 s
t
s
t
1≥ + + > + .
h 2 4
2 4
Maintenant, vu que gi , gj ≥ 2, par conséquent 1 -
s
t
L’inégalité 1 > + possède exactement cinq solutions entières avec s ≥ 0, t ≥ 0 et
2 4
s + t ≥ 1:
a) s = 1, t = 0
11
b) s = 1, t = 1
c) s = 0, t = 1
d) s = 0, t = 2
e) s = 0, t = 3
Nous examinons maintentant ces solutions cas par cas.
1
1
a) La relation de base donne 1 =
+1, i.e. h = g1 . Alors H̃ = J1 , i.e. H̃ est
h
g1
abélien, donc H est abélien.
1
1
1
1
1
1
1
1
+1+ (1 ), ou
+
= + .
h
g1
2
g2
g1
2g2
2
h
1
1
1
1
1
Maintenant
+ ≥
+
> , donc 2 ≤ g1 < 4.
g1
4
g1
2g2
2
b) La relation de base devient 1 =
1
1
1
+
> i.e. g2 < 3, ou g2
3
2g2
2
= 2. Alors grâce à la relation de base on a que h = 12, ce qui contredit le fait que h > 60.
Assertion. g1 = 2. Sinon, pour g1 = 3, on a que
Avec g1 = 2 on en déduit que h = 2g2 , i.e. [H̃ : J2 ] = 2, et [H : ϕ(J2 )] = 2: H possède
un sous-groupe abélien d’indice 2.
c) En fait ce cas est impossible: en effet la relation de base donne 1 =
1
1
1
+ , i.e.
h
2 2g1
1
1
1
+
= . Ce fait contredit l’inégalité |H̃| = 2h ≥ |NH̃ (J1 )| = 4g1 .
2
2g1
h
d) Ce cas est aussi impossible. En effet la rélation de base donne 1 =
1
1 1
1
1
, ou = ( + ).
2g2
h
2 g1
g2
1
1
1
1
+ + h
2 2g1
2
Par le lemme 0.9, le sous-groupe J1 ∩ J2 est exactement le sous-groupe des matrices
1
scalaires, i.e. |J1 ∩ J2 | = 2. Donc 2h = |H̃| ≥ |J1 J2 | = 2g1 g2 . Par conséquent =
h
1 g1 + g2
1 g1 + g2
(
≥ )
, i.e. g1 + g2 ≤ 2, ce qui contredit le fait que g1 ≥ 2, g2 ≥ 2.
2 g1 g2
2
h
e) La relation de base devient 1 =
1
1
1
1
1
1
1
+ −
+ −
+ −
, qui donne
h
2
2g1
2
2g2
2
2g3
1
1
1
1 1
1
+
+
= + > . Clairement on pose que g1 ≤ g2 ≤ g3 .
2g1 2g2 2g3
h 2
2
• Nous remarquons d’abord que g1 = 2. En effet, en supposant g1 ≥ 3, on a que
1
1
1
1
1
1
+
+
+
=
≤ , ce qui contredit l’inégalité précédente. Alors
2g1
2g2
2g3
2
2g2
2g3
1 1
1
+ >
h 4
4
12
• Nous observons maintenant que g2 = 2. En effet, si on avait g2 ≥ 4, nous aurions
1
1
1
1
1 1
≤ , qui contredit l’inégalité ci-dessus. Mais si g2 = 3, alors
+
= + ,
2g2 2g3
4
2g3
h 12
d’où
1
1
1
1
1
1
1
= +
<
<
+
= ;
12
2g3
h 12
60 12
10
i.e. 6 > g3 > 5, ce qui ne peut pas arriver.
• Alors on a finalement, grâce à la relation de base, le fait suivant: h = 2g3 , i.e.
[H̃ : J3 ] = 2, et [H : ϕ(J3 )] = 2. Comme dans le cas (b), H possède un sous-groupe
abélien d’indice 2.
13
2
Exercices
2.1
Exercice 1
Si un groupe H possède un sous-groupe abélien N d’indice 2, alors H est métabélien.
Solution. On va d’abord prouver que N est un sous-groupe normal de H.
Soit H un groupe et N un sous-groupe de H d’indice 2. Par définition de l’indice, il y a
seulement deux classes à gauche de N en G:
N , h1 N
où h1 est un élément de G qui n’est pas dans N . Notons bien que si h1 , h2 sont deux
éléments de H qui ne sont pas dans N , alors h1 h2 appartient à N . En effet la classe à
gauche h1 h2 N =
6 h1 N (car h1 h2 = h1 n impliquerait immédiatement que h2 = n ∈ N ) et
donc h1 h2 N = N et h1 h2 ∈ N .
Soit n ∈ N un élément arbitraire de N et soit h ∈ H. Si h ∈ N alors hnh−1 ∈ N et donc
N / H. Autrement on pose h 6∈ N . Ainsi hn 6∈ N et par la remarque précédente on a
que hnh−1 = (hn)h−1 ∈ N . Donc ∀n ∈ N, ∀h ∈ H on a que hnh−1 ∈ H ⇒ N / H.
Il nous reste à montrer que H/N est abélien. On a vu ci-dessus que si h1 , h2 sont deux
−1
éléments de H qui ne sont pas dans N , alors h1 h2 appartient à N , alors h1 h2 h−1
1 h2 ∈ N
aussi, donc
H/N abélien ⇔ h1 h2 N = h1 N h2 N = h2 N h1 N = h2 h1 N ⇔ h1 h2 N = h2 h1 N ⇔
−1
−1 −1
h1 h2 h−1
1 h2 N = N ⇔ h1 h2 h1 h2 ∈ N . Donc H/N est abélien.
Donc on a prouvé que H possède un sous-groupe normal N abélien et que le groupe
quotient H/N est aussi abélien, par la définition de groupe métabélien on peut finalement
conclure que H est métabélien.
2.2
Exercice 2
Soit G un groupe. Pour g1 , g2 ∈ G, on définit le commutateur de g1 , g2 comme [g1 , g2 ] =
g1 g2 g1−1 g2−1 . Montrer que G est métabélien si et seulement si pour tout g1 , g2 , g3 , g4 ∈ G:
[[g1 , g2 ], [g3 , g4 ]] = 1
.
Solution. On définit le sous-groupe des commutateurs par
N = ([x, y] | x, y ∈ G)
” ⇐ ”: On a que
[[g1 , g2 ], [g3 , g4 ]] = 1 ⇔ [g1 , g2 ] · [g3 , g4 ] · [g1 , g2 ]−1 · [g3 , g4 ]−1 = 1 ⇔ [g1 , g2 ] · [g3 , g4 ] =
[g3 , g4 ] · [g1 , g2 ]
14
donc N = ([x, y] | x, y ∈ G) est abélien. Il nous reste à montrer que N est un sous-groupe
normal de G et que G/N est aussi abélien.
g[x, y]g −1 = gxyx−1 y −1 g −1 = gxg −1 gyg −1 gx−1 g −1 gy −1 g −1 =
(gxg −1 )(gyg −1 )(gx−1 g −1 )(gy −1 g −1 ) = [gxg −1 , gyg −1 ].
Alors maintenant si g ∈ G on a que gN g −1 = g([x, y] | x, y ∈ G)g −1 = (g[x, y]g −1 | x, y ∈
G) = ([gxg −1 , gyg −1 ] | x, y ∈ G) = ([x, y] | x, y ∈ G) = N . Finalement on a que N est
normal dans G.
G/N abélien ⇔ g1 g2 N = g1 N g2 N = g2 N g1 N = g2 g1 N ⇔ g1 g2 N = g2 g1 N ⇔
g1 g2 g1−1 g2−1 N = N ⇔ g1 g2 g1−1 g2−1 ∈ N
Vu que g1 g2 g1−1 g2−1 ∈ N car N est le sous-groupe des commutateurs on a que G/N est
abélien.
⇒ G est métabélien. ” ⇒ ”: Vu que G est métabélien par hypothèse il admet un sous-groupe normal N
tel que N et G/N sont abéliens. On pose
N = ([x, y] | x, y ∈ G)
qui est comme avant le sous-groupe des commutateurs. Par hypothèse on a que N est un
sous-groupe normal abélien de G par définition de métabélien. Cela implique que pour
tout g1 , g2 , g3 , g4 ∈ G on a que:
[g1 , g2 ] · [g3 , g4 ] = [g3 , g4 ] · [g1 , g2 ] ⇒ [g1 , g2 ] · [g3 , g4 ] · [g1 , g2 ]−1 · [g3 , g4 ]−1 = 1 ⇒
[[g1 , g2 ], [g3 , g4 ]] = 1. 2.3
Exercice 3
a) Avec a = 1 on peut vérifier que N =
,(
et le quotient donné par Af f (K)
1 b
0 1
!
1 b
0 1
est un sous-groupe abélien de Af f (K)
!)
est aussi abélien.


1 0 z


b) Si on pose comme sous-groupe normal de H3 (K) N = 0 1 0, on peut facilement
0 0 1
voir qu’il est abélien et que le quotient H3 (K) N est aussi abélien.
15